信息集在预测中的作用——及其应用

Tsyplakov（2011）还指出了与命题6（见第3.1节）相似的PIT结果，并观察到PIT值的mer eindependence没有充分考虑信息集的重要性。8 H.霍尔兹曼和M.欧勒特推论4。让F G 越来越多的信息集将成为一种趋势。如果S是严格正确的评分规则，对于每个ω，uY | F（ω，·），uY | G（ω，·）∈ Θ，thenE（S（uY | G，Y）|G）（ω）≤ P-a.E.ω的E（S（uY | F，Y）| G）（ω）∈ Ohm（9） 安第斯山脉（S（μY | G，Y））≤ E（S（uY | F，Y）），（10）在（9）或（10）中相等，当且仅当P-a.E.ω∈ Ohm, 条件分布uY | G（ω，·）和uY | F（ω，·）重合。如果特别是G=σ（F，H），其中H A是另一个子σ-代数，则（9）或（10）中存在等式，当且仅当Y和H与给定F条件相关。因此，使用严格适当的评分规则来评估完整的预测分布，可以区分示例1中基于区分信息集的预测分布。然而，如果兴趣集中在单一函数上，如均值或VaR，那么这可能没有必要。推论的第二部分将Br¨ocker（2009）和Degroot and Fienberg（1983）的结果从有限扩展到一般真实状态的速度。2.4. 测试有效信息。考虑第2节的设置。2其目的是预测功能性T:Θ→ R.在以经验方式评估预测时，观察一系列预测^Y，^YNof T，以及相应的实现Y，YNand将相应的分数取平均值。更具体地说，假设（Yn）n≥1是一个平稳的遍历序列，let（Fn）n≥1过滤（增加a的次σ-代数的顺序），使Ynis Fn可测量，n≥ 1.假设h步预测^Y（h）n，F（ω）：=^YFn-h（ω）=T（FYn | Fn-h（ω，·））也是静态的和遍历的。

对于平均损失，N→ ∞,bmN，F:=NNXn=1S（^Y（h）n，F，Yn）→ E（S（^Y（h）1，F，Y）），P-a.S.（11）在这一节中，我们研究了经典Diebold和Mariano（1995）检验在使用严格一致的评分函数评估基于不同嵌套信息集的渐近理想预测时的行为。关于与文学的关系，请参见下文。假设（Gn）是第二个过滤，Fn GNN≥ 1，其序列^Y（h）n，G:=^YGn-他的静止和遍历也是如此。我们将为假设提出一个检验：所有n的^Y（h）n，G=^Y（h）n，F，P-a.s≥ 1、（12）信息集在预测中的作用9这两个信息集序列导致相同的预测。通过平稳性，这相当于^Y（h）1，G=^Y（h）1，F，P-a.s.基于Gn的时间n的h步预测-手放在Fn上-h实际发布的区域用Y（h）n和Y（h）n，F表示。由于我们关心理想预测，我们需要做出一个相当有力的假设，即这些预测序列中的错误（由于误判和估计影响）对分数的影响几乎可以忽略不计。更准确地说，考虑以下条件：NXn=1（S（~Y（h）n，J，Yn）-S（^Y（h）n，J，Yn））=oP(√N） （13）（或=OP(√N） J=F，G。作为检验统计，considerMN=NNXn=1（S（~Y（h）N，F，Yn）-S（▄Y（h）n，G，Yn））=bmN，F- bmN，G.定理5。在上述平稳性假设下，假设e（S（Y（h）1，F，Y））<∞ 在（12）中的无效假设H下，IF（13）与oP保持一致(√N） 那么√NMNd→ N（0，σ），（14）σ=EZ+2hXn=2ZZn！，Zn=S（^Y（h）n，F，Yn）-S（^Y（h）n，G，Yn）。在另一种情况下，如果（13）与OP保持一致(√N） ，我们得到√NMN→ ∞ 不可能。让我们对上述结果做一些评论。

假设^σ是长期方差σ的一致估计。然后形成t-statisticTN=√NMN/^σN，在假设H是渐近N（0，1）-分布的情况下。选择一个单边拒绝区域，并以渐近水平αifTN>q1拒绝-α. 如果在备选方案^σn有界的情况下，我们得到TN→∞在概率上，所以测试是一致的。长期方差σ的估计是一项微妙的任务。有大量文献从纽伊和韦斯特（1987）开始，他们已经在（14）中提出了10 H.霍尔兹曼和M.欧勒特权重，保证了非负性和一致性。在我们的情况下，可以在固定的预测窗口h处截断序列，并使用权重1。虽然这是在假设下进行的，但在我们的模拟中，对于具有恒定权重的截断，较高的2h值可以提供更好的功率特性。此外，sin-ce在另一种情况下，观测值不具有平均值零，我们计算了实际协方差，包括居中（不只是二阶矩）。从迪博尔德·马里亚诺（Dieboldand Mariano，1995）的经典论文开始，有大量的计量经济学文献对竞争预测的预测准确性进行了比较。对于一系列预测，^y，^yN，以及相应的观察结果y，yN，通常是预测误差en=yN- ^y被转化，这些被插入到某个损失函数l（e）中。对于一系列相互竞争的预测，^z，^zN，采用相同的工艺，导致en=yn- ^zn。

Diebold和Mariano（DM）检验统计量现在是基于分析MN=NNXn=1（l（en）的不对称分布-l（~en））。在误差序列（en）和（en）的平稳假设下，可以分析mn的渐近分布，并且可以形成具有双边拒绝区域的t统计量。我们注意到，如果预测^yn对应于某个函数T和一系列信息集，如果评分函数S是差异en中的一个函数，那么我们的测试就是DM测试，我们分析了基于两个不同的有序信息集的渐近理想预测的行为。总之，在目前的情况下，DM测试作为一种单向测试，是一种一致的测试，用于测试增加信息集对预测活动的影响。当然，渐近预测的假设是一个强有力的假设。然而，如果它不成立，只要观测值和预测序列保持不变，并且CLT仍然适用（参见Durrett（2005），第416页，定理（7.6），有效条件），测试就仍然有效（当然，测试不再一致）。计量经济学文献中通常不追求将损失函数与要预测的函数精确关联的观点[但见Gneiting和Ranjan（2011）]，这通常对实际预测的是什么（即预测d分布的哪个函数）并不特别精确。对特定函数使用“g上的wr”损失函数可能会导致严重偏差的结果；参见《片麻岩》（2011）第1.2节中的示例。此外，还有一些评分函数不是线性预测误差e=y中的函数- ^y；查阅

Gneiting（2011）。预测信息集的作用11 Diebold（2012）重新审视了DM测试，并特别指出了比较预测模型（特定经济模型产生的预测）、预测方法[来自模型，但考虑到参数估计的影响；参见，例如，Giacomini和White（2006）]或DM测试中的单纯预测之间的区别，不管这些是如何产生的。我们的方法完全符合迪堡，因为我们只是比较预测。如果这些都是（至少在总体上是）理想的，那么增加功能上的信息集的效果可以得到一致的测试。3.我们在总结本小节时指出，上述测试可扩展到适当评分规则的情况，以评估增加完整预测分布信息集的效果。3.回溯测试风险估值。定量金融中最广泛使用的风险度量是风险价值（VaR）；例如，见Jorion（2006年）、Christo Offersen（2009年）或McNeil、Frey和Embrechts（2005年）。从形式上讲，这是损失分布的（高，比如说，0.99或0.999）数量。对于发布VaR预测，存在不同的变化。无条件方法以风险因素的无条件分布为基础，使用一个历史信息集，而条件方法指的是通常给定历史数据的条件分布。在这里，信息集也可能不同；从投资组合的角度来看，它只包括投资组合的回报，而单个风险因素的建模涉及到更大的信息集。详见第4 f节。继Berkowitz、Christo Offersen和Pelletier（2011）之后，VaR估计的典型应用领域包括：A.交易台的风险控制。

不同的交易台（股票、货币、衍生品、固定收益）对其交易头寸的VaR有限制，通常提前一天。这些由管理层设置，并由后台实时监控。B.投资组合选择。在形成最优投资组合时，VaR被用作风险度量，而不是经典的Markowitz均值-方差组合优化。在这里，考虑了更长的时间范围（月、季），需要对风险因素进行多变量建模；见克里斯托弗森（2009）。C.监管用途。商业银行被要求持有一定数量的安全资产。基于内部方法时，该金额被确定为VaR的一个函数，在两周的期限内，在99%的水平上。对于每一次会议中报告的特定变量，可能会追求不同的目标。例如，在案例C中，银行将有兴趣报告一个“小”（但仍然有效）风险值，以使监管资本的要求金额合理地小。此外，C中报告的VaR不应随时间变化过多，因为监管资本可以也不应突然改变。在这三种情况中的任何一种情况下，重要的是量化并最小化因报告的VaR估计值超标而导致的预期损失金额。为此，我们将VaR的预期分数与预期的s hortfall联系起来的结果具有重大意义。下面，我们从推论2中推断，理想的VaR预测是通过增加信息集来改善因其超出预期而产生的短缺。3.1. 超越指标。评估VaR预测被称为回溯测试。在无条件回溯测试中，我们会检查VaR估计超出的相对频率是否对应于VaR水平；见McNeil、Frey和Embrechts（2005）。

虽然无条件方法和条件方法（如果规定正确）都保持了这一水平，但仅凭经验水平的超标并不意味着预测序列实际上与质量有关。事实上，假设α=0.99，然后简单地系统地使用99个极高值，后跟一个极低值（导致非平稳预测）。通过这种方式，将观察到经验超标与非预期水平的非常快的收敛，但预测没有意义。条件方法通常伴随着独立性检查，其基础是以下众所周知的命题。对于严格意义上的a，连续分布函数F让qα（F）表示α分位数。提议6。假设每个ω∈ Ohm, 条件分布函数FY | F（ω，·）是连续且严格递增的。设Z为可测随机变量，I=1Y>zb为超标指标。那么下面的断言1和2是等价的：1。P（I=1）=1-α、 I和F是独立的。2.对于P-a.e.ω，Z（ω）=qα（FY | F（ω，·））∈ Ohm.这一命题暗示了以下所谓的i.i.d.和jointhy pothesis[见Christo Offersen（1998）]。推论7。假设（Yn）是一个随机变量序列，（Fn）是（Yn）适应的任何过滤（即，Yn是可测量的）。进一步假设所有条件分布函数FYn | Fn-1持续且严格增加。然后对于一步预测^Yn=qα（FYn | Fn-1（ω，·）），超过指标在=1Yn>^yn中的顺序是独立的，并且以成功概率1分布-α.预测13条评论的信息集的作用是有序的。1.

该推论有助于检查对于给定的信息集序列，基于规范和测试的特定预测方法是否有效。考虑到模型误判和估计方案的影响，提出了几项测试；参见Escanciano和Olmo（2011）。然而，如Escanciano和Olmo（2011）所述，仅仅依赖于超越指标并不能恰当地考虑信息集序列（Fn）的作用，因为所需要的只是（Yn）适应（Fn）。例如，当通过对风险因素进行多变量建模来增加信息集时，我们不能期望超越指标的平均值系统性地接近1级-α、 然而，这有时被视为一个标准[见麦克尼尔、弗雷和恩布雷切茨（2005），第55-59页]。实际上，收敛速度innpn=1In→1.-独立（In）的α由中心极限定理控制√NNNXn=1In-(1 - α)!D→N（0，α（1）-α)).为了减小渐近方差α（1-α） ，需要负相关的超额指标，以达到比预期更快的速度√N、 非平稳预测需要像上面的样式化示例一样发布。4.h步预测的情况更糟，因此在学术研究中很少进行研究。这里，^Y（h）n=qα（FYn | Fn-h（ω，·）），并且超过指标In=1Yn>^Y（h）仅对滞后独立≥ h、 五,。原则上，VaR基于特定信息集Fn-通过对照信息集Fn检查完全独立性，可以从超标指标中识别出Hc-H见提案6。一些测试考虑了超越指标与额外滞后变量之间所需的独立性；参见Berkowitz、Christo Offersen和Pelletier（2011）。

然而，问题是，这种扩展的独立性属性带来了什么特殊的额外收益。3.2. 分位数损失和预期短缺。在什么意义上，通过增加信息集来改善理想的预测？上一节的理论似乎提供了一个合适的答案，使用了scoringfunctions。实际上，α分位数是可导出的，满足（1）的严格一致的scoringfunctions由（x，y）=（1x）给出≥Y-α） （g（x）-g（y）），（15）14 H.HOLZMANN和M.Eulert，其中g严格增加（且所有相关预期值假设存在）；参见Gneiting（2011）。注意，我们可以从（15）中去掉术语αg（y），并保留严格一致的评分函数[尽管不再是非负的，也不一定满足（1）]。一个有吸引力的特例是选择g（x）=x/α。在减去y之后，我们得到了（不再是非负的）严格一致的评分函数*（x，y）=αx≥y（x）-y）-x=x（α）-1x≥Y-1) - yα-1x≥y、 现在我们把分数和S联系起来*以弥补预期的短缺。提议8。假设Y是可积的，每个ω都是可积的∈ Ohm条件分布函数FY | F（ω，·）是连续且严格递增的。对于条件分位数^YF（ω）=qα（FY | F（ω，·））我们得到*（YF，Y）|F）（ω）=-αZ^YF（ω）-∞P-a.e.ω的yFY | F（ω，dy）∈ Ohm .（16） 此外，如果F G A和^YG（ω）=qα（FY | G（ω，·）），然后-αZ^YG（ω）-∞yFY | G（ω，dy）≤-αZ^YF（ω）-∞P-a.e.ω的yFY | F（ω，dy）∈ Ohm,E-αZ^YG（·）-∞yFY | G（·，dy）F(ω)(17)≤-αZ^YF（ω）-∞P-a.e.ω的yFY | F（ω，dy）∈ Ohm,ZOhm-αZ^YG（ω）-∞yFY | G（ω，dy）dP（ω）≤ZOhm-αZ^YF（ω）-∞yFY | F（ω，dy）dP（ω），当且仅当^YG=^YFa，在（17）中的一个不等式中相等。s、 对于解释，假设Y对应于利润和损失分布（例如，是对数回归），因此α确实是一个小值，例如α=0.01或0.001。

然后-αZ^YF（ω）-∞yFY | F（ω，dy）预测15的信息集的作用是条件分布的较低尾部预期短缺，因此，E（S）*（^YF（ω），Y））如（17）所示，是使用信息集F.Rockafellar和Uryasev（2000）得出与（16）相似的结果时，平均较低的尾部预期短缺；参见他们的定理1.4。模拟和应用。在本节中，我们将在风险价值估计的背景下，在模拟的例子中，以及在几个股票和股票指数的对数收益率中，研究所提出的方法。我们：Θ→ R是α分位数，设S（x，y）=x（α）-1x≥Y-1) -yα-1x≥Y见第3节。虽然分位数损失函数已用于一些数值研究[cf.Bao、Lee和Saltoglu（2006）]，但到目前为止，似乎尚未研究信息集的特殊影响。4.1. 无条件与有条件风险管理。我们认为有条件的风险管理是无条件的风险管理；见McNeil、Frey和Embrechts（2005）。让（Rt）t∈Zbe是一个平稳的时间序列，对应于股票或股票指数的日对数收益率，letFt={, Ohm}, Gt=σ{Rs:s≤t} 。因此，基于微不足道的Ft的预测关注回报的无条件分布，而基于Gt的预测关注的是有条件分布的每日日志回报。修正一些预测范围≥ setYt+h=Y（h）t+h=Rt+1+····+Rt+h，即h步日志返回。我们的目标是对Yt的分位数进行h步预测，即^Y（h）t+h，F=t（FYt+h | Ft）和^Y（h）t+h，G=t（FYt+h | Gt）。由于FTI很小，所以^Y（h）t+h，Fare常量a.s.等于Yt的非条件分位数，而^Y（h）t+h，Gis是h步返回的条件分位数，给出了e步返回到时间t的历史。