基于成对Copula结构的违约概率估计

在下一节中，我们将描述默顿模型的主要特征，并介绍我们的方法。3.1. 默顿的模型根据默顿（1970、1974、1977），对企业总资产的评估基于结构变量equity Et和bond Bt，At=Et+Bt。一个非常常见的假设是，企业的价值遵循几何布朗运动Dat=uAAtdt+σAAtdWt，其中uAis是资产的瞬时预期收益，σAis是波动率，Wtisa-Wiener过程。在市场效率、无套利机会和持续套期保值的假设下，股权满意度的市场价值=AtN（d）- E-rTDN（d），（5）其中r是无风险利率，N（·）是累积标准正态分布函数，d是到期时债券的面值T，dis由d=log（at/d）+（uA+0.5σA）TσA给出√Tand d=d- σA√T此外，权益的波动率为σE=AtEtN（d）σA。（6）不能直接观察到资产价值及其波动率At和σA；然而，它们可以通过求解方程（5）和（6）获得，见Ronn和Verma（1986）。因此，我们可以很容易地得到d，并且pd=pr[AT≤ BT]=N(-d） 。这种模式有一些缺点。其结构意味着，在交易市场中，权益和资产价值是非负的，而负资产和权益在计算中是可能的，参见Peterkort和Nielsen（2005）。此外，在特定会计期间，总债务中只有一部分是可交易和可观察的。最后，默顿的模型可能低估了失效概率，参见De Giuli等人（2008）和Su和Huang（2010）。下一节将提出解决这些问题的一个可能方案。3.2. 违约概率模型为了解决资产可观测性问题，我们通过标的证券（股权和债务）的或有目标对企业价值进行建模。

我们使用资产负债表数据作为市场数据的代理，并应用PCC对股权动态进行建模。有关PCCS在未定权益分析中的最新研究，请参见Bernard和Czado（2013）。到期日T的未定权益价值可以用一般形式G（S（T），S（T））表示，其中G（·）是支付函数，S（T）和S（T）是到期日T的基础证券。在这个框架中，公司的最终价值由AT=G（ET，BT；T）给出，其中eta和BT分别表示到期时的权益和债务。以类似的方式，我们可以将权益表示为ET=G（AT，BT；T）=（AT-其中g（·）是密度为g（·）的支付函数。时间t的权益价值计算为：t=G（at，Bt；t）=P（t，t）Z∞Z∞G（AT，BT；T）G（AT，BT）dATdBT，（7）其中P（T，T）是无风险贴现因子。公司价值及其回报波动性不可直接观察，因此我们使用资产负债表数据，以AT（资产）和BT（负债）表示，作为市场数据的可靠代理，如Eberhart（2005）。资产代表企业拥有的资产，而负债则是企业运营产生的债务。根据所考虑的时间段，我们对电流（CT）和长期分量（LT）进行分解；这就是AT=ACT+ALT和BT=BCT+BLT。流动资产将在一年内转换为现金，而长期资产将在一年以上转换为现金。同样，该公司预计在一年内支付流动负债；鉴于，该公司预计在一年后结清长期负债。通过比较流动/长期资产和流动/长期负债，我们可以快速了解公司的财务状况。

事实上，通常用于调查企业财务实力和效率的标准会计比率都基于这些数量。方程（7）可以根据资产负债表数据改写如下：set=G（ACt，ALt，BCt，BLt；t）=P（t，t）Z∞Z∞Z∞Z∞G（ACT，ALT，BCT，BLT；T）××G（ACT，ALT，BCT，BLT）dACTdALTdBCTdBLT，其中G（·）和G（·）分别是分解数据的支付函数及其密度。通过使用Sklar定理，四维密度函数G（ACT，ALT，BCT，BLT）可以通过一个copula来表示，等式becomesEt=P（t，t）Z∞Z∞Z∞Z∞G（ACT，ALT，BCT，BLT；T）××c（FAC，FAL，FBC，FBL）facflbldactdaltdbctdbblt，（8）其中c（·）表示四维copula密度函数，FAC，FAL，FBC，fBLare表示边际累积分布函数，FAC，FAL，FBC，fBLare表示边际概率密度函数。为了提高模型的灵活性，允许每对变量的依赖模式由不同的copula表示，我们通过PPCs重新表达之前的方程。四维copula密度函数c（FAC，FAL，FBC，FBL）通过D-vine分解，按照不必属于同一分布族的二元copula序列进行分解。具体的分解取决于所检查的特定数据结构；详情见第5节。通过D-vine分解进行模拟，我们可以通过蒙特卡罗方法近似权益函数不等式（8），如下所示：Et=P（t，t）NNXk=1G（~ACT k，~ALT k，~BCT k，~BLT k；t），其中N是模拟次数，~Et，~ACT k，~ALT k，~BCT和~BLT是权益、当前和长期资产和负债的模拟值。然后，我们将时间t处的Pd估计为（pd）t=pr（~Et）≤ 0）。关于从D-vine进行模拟的更多细节可以在Aas等人（2009）中找到。

模型估计等式（8）中权益价值的动态取决于总体参数和边际分布参数。我们用θ表示copula函数c（FAC，FAL，FBC，FBL）的参数向量，用δm表示边缘分布m，m的参数向量∈ {AC，AL，BC，BL}。向量 = （δAC，δAL，δBC，δBL）包含边缘的参数，ψ=(, θ） 表示与（8）关联的全套参数。为了估计ψ，我们遵循Joe和Xu（1996）提出的边际推理函数（IFM）程序。IFM方法估计边缘参数在第一步中，然后估计copula参数θ，给定^如果是M，在第二步中。4.1. 边缘参数估计为了对边缘进行建模，我们采用了基于双组分正态混合的参数方法。这种方法是由第5.1节所述的大量测试和模拟研究推动的。使用混合分布来模拟多峰现象是一种流行的技术，这引起了文献中几位作者的兴趣，例如McLachlan和Peel（2000）。Peel和McLachlan（2000）使用ECM算法将Student t分布的混合数据拟合到包含具有重尾或典型观测的观测组的数据中。Komarek和Lesa ffre（2008）提出通过混合高斯分布对广义线性混合模型的随机效应进行建模，并使用MCMC技术在贝叶斯环境下估计参数。Escobar和West（1995）使用混合的Dirichlet过程进行密度估计。有关用于密度估计的贝叶斯非参数方法的综述，请参见e.g.M¨uller等人（2015）。

Benaglia等人（2009年）提供了一组基于EM算法的R函数，用于分析各种有限混合模型，如回归混合、多项式混合、非参数和半参数混合模型。Schellhase和Kauermann（2012）通过混合基密度，使用惩罚样条表示未知密度，允许依赖于协变量。流动和长期资产和负债呈现双峰分布。这种行为可以解释为提高企业地位而采取的管理行动和决策的影响。这些行动和决策直接影响当前和长期资产和负债的动态，这可以直观地解释两个独立的数据集群的存在。假设F（xmt）是时间t时边际m的累积分布函数。我们通过两组分正态混合模型估计每个边际分布F（xmt），假设均值不同但方差相等（位置移动模型）F（xmt）=Xp=1ηpΦ（xmt |up，σ）。（9） 在（9）ηpis中，p组分（含ηp）的分类概率≥ 0和pp=1ηp=1），Φ（xmt |up，σ）是平均方差为σ的正态累积分布函数。可能性由l（xm）=nYt=1Xp=1ηpφ（xmt |up，σ）给出，其中n是资产负债表观察的数量，φ是正态分布的概率密度函数。虽然基于标准分布，但混合模型带来了高度复杂的计算挑战。特别是，一个主要困难是参数估计。关于混合模型的文献在经典和贝叶斯框架中提供了各种解决方案。考虑到经典方法，最流行的方法是EM算法，这是一种数值优化程序，允许计算最大似然估计量。

然而，该算法可能无法收敛到似然模型，见Marin等人（2005）。贝叶斯方法为混合模型的估计提供了一种更灵活、计算更方便的解决方案，通过使用潜在变量，可以将复杂结构分解为一组更简单的结构。此外，贝叶斯方法允许通过使用先验分布，将来自不同数据源的可用附加信息纳入模型。此外，与经典方法不同的是，Bayesianone提供了可靠的参数估计，即使对于有限维度的样本量也是如此。基于上述原因，我们使用贝叶斯方法对当前和长期资产负债数据的动态进行建模。m-thmarginal的后验分布由π（δm，η| x）给出∝nYt=1Xp=1ηpφ（xt |δm）！×π（δm，η），其中x是资产负债表数据向量，π（δm，η）是δ和分类概率向量η的联合先验分布。后验π（δm，η| x）在计算上易于处理；因此，使用数据增强MCMC算法来估计混合分布的参数，见Tanner和Wong（1987）。数据增强算法引入了一个潜在变量z=（z，…，zn）向量，它表示与每个观测值相关的分配。因此，后验密度可以表示为π（δm，η| x）=ZZπ（δm，η| z，x）π（z | x）dz，其中π（z | x）表示给定x的潜在数据z的预测密度，其中z=（z，…，zn），π（δm，η| z，x）是给定增强数据的参数的条件密度。此外，π（δm，η| z，x）=π（δm |η，z，x）π（η| z，x）和π（η| z，x）=π（η| z），因为分布与x无关。

数据增强算法使用一个迭代过程，首先模拟z，然后从π（η| z）生成η，最后从π（δm |η，z，x）生成δmf。密度π（η| z）和π（δm |η，z，x）比原始后验密度更容易取样。假设参数之间存在先验独立性，我们指定以下先验分布ZT~ 伯努利（η）（η，η）~ 狄里克莱（α，α）up~ 正态（bp，bp）σ~ Γ-1（ν/2，νS/2），其中超参数α，α，bp，bp，ν，S的方便选择导致我们得到模糊的先验分布。进行敏感性分析，提出不同的超参数值；然而，所有结果的高度相似性表明，该模型对先验参数选择不敏感。我们需要指出的是，模拟是使用JAGS软件实现的（只是另一个Gibbs采样器；Plummer（2003）），其中避免了由于标签切换而导致模型不可识别的风险，通过分段分布的升序方式指定了分段唯一顺序的约束。4.2. Copula参数估计为了估计Copula参数θ，我们采用以下五个阶段的程序。在第一阶段，选择合适的D-vine分解来模拟copulac（FAC、FAL、FBC、FBL；θ）。我们选择最大化所考虑变量之间成对依赖关系的树作为第一棵树。作为成对依赖性的度量，我们使用肯德尔τ，计算连接两个节点的每条边。确定变量的最大加权序列的问题可以转化为旅行推销员问题实例，并相应解决，见Brechmann（2010）。剩余树木的结构完全由第一棵树的结构决定。

因此，在第一棵树中捕捉到最强的依赖关系，从而获得一个更简洁的模型，具有更稳定的参数估计。在第二阶段，选择合适的成对连接词。对于每一对变量，我们使用Akaike信息准则（AIC）选择最佳拟合对copula，该准则与其他准则（即Vuong（1989）和Clarke（2007）开发的Vuong和Clarke优度检验，以及贝叶斯信息准则（BIC））一样，在模拟研究中表现良好。然而，在计算AIC之前，进行Genest和Favre二元渐近独立性检验（Genest和Favre（2007））以检查D-vine的每对变量的独立性。如第2.2节所述，如果观察到变量之间的条件独立性，则会减少成对copula分解的层数，从而简化构造。在第三阶段，估计第一棵树中连接函数的参数。对于每个copula，至少有一个参数需要确定。参数的数量取决于在上一阶段选择的copula类型。为了估计copula参数，我们采用了最大似然估计方法，使用顺序更新参数估计作为起始值，更多细节请参见Aas等人（2009）。在第四阶段，根据第一棵树的结果，我们通过条件分布F（x | v）计算伪观测值。这些值随后被用作D-vine的下一个树的输入。在第五阶段，对D-vine的所有树重复从第2阶段到第4阶段的程序。5.

实证分析我们考虑了四个与众所周知的财务丑闻有关的欺诈性破产案件：Cirio（1993-2002）、安然（1997-2000）、帕玛拉特（1990-2003）、瑞士航空（1988-2000）。为了测试我们方法的行为，我们还对Sysco公司进行了调查，该公司与前几家公司在同一时期运营，财务声誉良好，并呈现出一些与被调查的违约公司相同的特征。为了进行比较，我们考虑了1990-2003年的资产负债表数据。除安然公司外，其他违约公司目前在不同领导层的指导下运营。我们使用“汤森路透”和“彭博社”数据库下载的semestral资产负债表数据。这些数据已被转换成月度观测数据，假设在学期内分布均匀。对于瑞士航空和安然，故障年份的完整平衡表不可用。我们现在简要描述了每一家被审查企业的情况，而不是导致违约企业破产的事件。Cirio是一家意大利食品公司，成立于1856年。2002年的破产是其管理集团的欺诈性财务政策造成的。安然是一家美国能源、商品和服务公司，成立于1985年，由两家天然气公司合并而成。在2001年倒闭之前，它是美国声誉良好的领先公司之一，也是华尔街评级最高的公司之一。2001年底，该公司被公开，其明显稳固的财务状况基本上由制度化、系统化的会计欺诈维持。该公司于2001年12月宣布破产。Parmalat成立于1961年，是意大利帕尔马的一家小型巴氏杀菌厂。

后来，它在80年代成为一家跨国公司，拥有不同的食品生产线，并在90年代进一步扩张。它于1990年首次在米兰证券交易所上市。2003年的帕玛拉特破产案是欧洲一家私营公司犯下的最大的金融欺诈和洗钱案。这是意大利首次发生具有国际影响的企业破产。瑞士航空的情况与之前的违约公司不同。该公司成立于1931年，由巴莱尔航空公司（Balair）和阿德阿斯特拉航空公司（Ad Astra Aero）合并而成，是财务稳定的主要国际航空公司之一。2001年，该公司迅速从收支平衡最强的主要国际航空公司之一破产。这种快速下降是“9·11”恐怖袭击后联盟政策失效、管理不力和经济衰退的结果。Sysco是美国食品服务产品的营销和分销商。它成立于1969年，1970年上市。如今，它是一家信誉良好的可靠公司。在下一节中，我们报告了对四家违约公司的详细分析，并介绍了Sysco公司的主要重要结果。5.1. 资产和负债数据的混合模型我们采用第4.1节所述的双组分正态混合模型对所考虑公司的当前和长期资产和负债进行建模。该模型的选择是通过广泛的试验和模拟研究确定的。首先，为了确定边缘的最佳模型，我们评估了经典参数模型的数据，如正态分布、零左截断正态分布、对数正态分布、伽马分布、指数分布和威布尔分布。Wei实现了单变量Kolmogorov-Smirnov检验的自举版本，并进行了1000 Monte Carlo模拟。