基于成对Copula结构的违约概率估计

bootstrap Kolmogorov-Smirnov检验的假设是，实际数据是由相应的理论分布生成的。表1显示了Enron数据集边缘的引导Kolmogorov-Smirnov测试结果。对于本文中考虑的其他数据集，我们获得了非常相似的输出。对于测试的每个理论分布，显示1000次模拟中的平均p值和未拒绝无效假设的次数百分比。由于零假设总是在0.05水平上被拒绝，我们得出结论，所测试的经典参数模型都不适合我们的数据。Kolmogorov表的Bootstrap测试。列列出了四个边缘，行显示了所考虑的六个经典参数模型的平均p值和零假设未被拒绝的时间百分比。分配边际实际BCTBLTNORMAL平均p值0.000000.00032 0.000000.00002%未拒收H0。00 0.00 0.00 0.00 0中的左截断正态平均p值0.000000.00055 0.000000.00000%未拒收H0。00 0.00 0.00 0.00对数正常平均p值0.00425 0.00173 0.00184 0.00021%未拒收H0。01 0.00 0.00 0.00Gamma平均p值0.000000.00157 0.000000.00004%未拒收H0。00 0.00 0.00 0.00指数平均p值0.00000 0.00000 0.00000%未拒收H0。00 0.00 0.00 0.00威布尔平均p值0.000000.00023 0.000000.00000%未拒收H0。00 0.00 0.00 0.00由于经典模型对我们的边缘产品的适用性较差，并且由于当前和长期资产和负债呈现双峰分布，我们选择了两个成分参数混合模型。

我们在所有考虑的数据集的边缘测试了几个参数混合分布族，正态混合分布总是优于其他模型。特别是，我们选择了正态、对数正态和伽马混合，因为许多其他模型与之相关：截断正态与正态相关，指数和威布尔与伽马分布相关。图3描述了安然流动资产（欧元）的柱状图，该柱状图采用了三种不同的混合模型，正态混合（实线）清楚地显示了最佳的混合模型。剩余的边际和数据集也得到了类似的结果。图3：符合正态（实线）、对数正态（点线）和伽马（虚线）混合模型的安然流动资产（欧元）直方图。在选择用双组分正态混合模型对边缘进行建模之前，我们使用Kass和Raftery（1995）、Richardson和Green（1997）以及Marin等人（2005）提出的Bayes因子估计了组分p的数量。我们计算了所考虑公司的所有边际的Bayes因子，将具有两个分量的模型与具有多个分量p=1、3、4、…、的所有模型进行比较，10.将含有两种成分的模型放在Bayes因子的分子中，我们得到的结果对于所有边缘都大于1，表明两种成分的正态混合物是数据支持最有力的模型。为了便于说明，表2列出了安然流动资产数据的贝叶斯系数结果。BFr，SDE注意到模型r和模型s的贝叶斯因子。结果并不令人惊讶，因为对边缘直方图的检查清楚地揭示了双峰分布。此外，我们使用表2：安然流动资产数据的贝叶斯因子测试了双组分正态混合的fit。

每个贝叶斯因子将两个分量的模型与多个分量p=1、3、4、…、的模型进行比较，10.Bordes等人（2006年）和Hunter等人（2007年）的竞争性mo-dels-Bayes因子B2,12.7979BF2,32.8601BF2,43.0305BF2,53.1008BF2,63.1558BF2,73.1926BF2,83.4840BF2,92.9698bF2102.9564公制位置移动半参数模型，该模型基于非特定密度的混合，假设为对称，见Benaglia等人（2009年）。图4显示了安然长期负债（欧元）的柱状图，该柱状图采用两组分正态混合（实线）和半参数模型（虚线）。在第一行图中，半参数模型是在没有规定混合成分初始平均值的情况下获得的，而在第二行图中，半参数模型是在规定混合成分初始平均值的情况下获得的。在前一种情况下，半参数模型表现出比正常混合物更差的性能，为混合物添加了新的不必要成分。在后一种情况下，半参数模型的性能与正常混合非常相似，并且不会改善与原始数据的拟合。将半参数模型应用于其他考虑的数据集的剩余边缘得到了非常相似的结果。因此，我们使用双组分正态混合模型对当前和长期资产和负债进行建模，因为这是填补边际资产的最佳模型。对于每一家公司，我们在表3中报告了相应混合模型的参数估计值（后验平均值），以及95%可信区间（括号内）。Cirio数据的分类概率η相当接近0.5，资产图4：安然长期负债（欧元）直方图，符合两组分正态混合（实线）和半参数模型（虚线）。

半参数模型通过（第二行）和（第一行）指定混合物成分的初始平均值进行估计。帕玛拉特数据的边缘，瑞士航空的流动资产和长期负债，以及Sysco数据，表明这两个组成部分的观测值数量平衡。相反，安然数据、帕玛拉特数据的负债边际、瑞士航空数据的长期资产和流动负债显示出非常不同的分类概率η和η。这意味着不同比例的观察结果被分配到混合物的成分中，两种成分中的一种捕获了最多的数据。混合物u的两个正常组分的位置参数很好地分离，尤其是对于安然、帕玛拉特和Sysco，这表明混合物模型能够表达两个组分之间的平均差异。安然、帕玛拉特和Sysco的分散参数σ特别高，而Cirio和瑞士航空的分散参数σ较低。安然（Enron）和帕玛拉特（Parmalat）的混合成分最不平衡，尤其是在负债边际数据方面。这两家公司的数据特点是分类概率ηp的值非常不同，非常不同的意思是up，以及非常高的正态方差值σ。安然（Enron）和帕玛拉特（Parmalat）资产和负债结构的相似性，可以用这两家公司在违约前几年的类似行为来解释。帕玛拉特确实被称为“欧洲的安然”。我们现在对安然公司的结果进行图形分析。

我们已经对剩下的四家公司进行了类似的分析，但由于篇幅不足，我们不在此报告。图5显示了以欧元（灰色条）为单位测量的每个边缘的柱状图，该柱状图采用了第4.1节中描述的两个正态分量（黑线和灰线）的位置偏移模型。仪表板显示在左上角面板中，Fal显示在右上角，FBC显示在左下角，FBLin显示在右下角。让我们考虑一下与安然数据的流动资产边际相关的图片（图5的左上图）。柱状图显示了一个高度双峰分布，这正好说明了有限混合模型的使用。类似的评论来自对剩余边缘的固定直方图的分析。图6显示了水平轴上u参数和垂直轴上u参数的采样值。仪表板显示在左上角面板中，仪表板显示在右上角，仪表板显示在左下角，仪表板显示在右下角。值得注意的是，流动资产总流动资产密度0 500 1000 1500 2000 2500 30000.0000 0.0005 0.0010.0015 0.0020 0.0025长期资产密度0 200 400 600 800 1000 12000.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007流动负债流动负债密度0 500 1000 2000 2500 30000.0005 0.0010 0.0015 0.0020.0020.0030长期负债长期负债密度0 500 1000 1500 2000 25000.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 0.0030图5：安然数据，以欧元计量，由两个正常成分组成：FAC（左上）、FAL（右上）、FBC（左下）和FBL（右下）。图6：安然数据：u对u。

FACis在左上角，FALis在右上角，FBCI在左下角，FBLis显示在右下角面板中。我们的数据不受标签切换的影响，因为在u与u图上，对角线上没有点，所以片段对于u的分隔相当好。重点关注MCMC结果，这里我们说明了安然长期资产数据的结果，因为剩余边际资产的结果与上述结果非常相似。图7、图8和图9分别描绘了参数η、u和σ的MCMC迹线图和后验密度，这是从Gr¨uen（2014）的R软件包“bayesmix”中获得的核密度估计。我们将算法运行4000次迭代，将前1000次迭代作为磨合期丢弃。迹线图显示，这些链混合良好，自由探索样本空间，并明显收敛到目标分布。此外，在我们的案例中，由于标签转换而导致的不可识别性问题（可能导致偏差估计）并未发生。最后，后验密度图具有规则形式，不显示多峰性。图7：安然长期资产数据：η的MCMC轨迹（左图）和后验密度（右图）；η在第一行，η在第二行。5.2. PCC对于资产和负债数据按照第4.2节中描述的程序，我们为D-vine选择一个合适的对copula分解。对于每一个默认值，使第一棵树中成对Kendallτ指数最大化的边缘顺序为ACT-BCT- BLT- ALT.在表4、5、6和7中，我们为默认的公司显示了每个D-vine的成对copula列表、选定的copula族、copula参数（根据copula的类型有一个或两个）以及相应的Kendallτ。

使用图8：安然长期资产数据获得结果：MCMC轨迹（左面板）和后验密度（右面板）为u；第一行为u，第二行为u。图9：安然长期资产数据：MCMC轨迹（左面板）和σ的后验密度（右面板）。Brechmann和Schepsmeier（2013）的R包“CDVine”。从选定的连接性家族中，我们看到了不同类型不对称依赖的证据。这表明PCC的选择是合适的，因为它保证了足够的灵活性，可以对手头数据的复杂和不对称依赖结构建模。请注意，只有Cirio D-vine（表4）没有条件自变量对。对于这些数据，Genest和Favre（Genest和Favre（2007））独立性测试拒绝了所有相关联词的独立性。帕玛拉特和瑞士航空（表6和表7）的第二棵树中选择了一个独立copula，而不是cACT、BLT | BCT，而安然（Enron）的第二棵树中选择了一个独立copula（表5）。在这些情况下，D-vine结构被简化，我们不需要估计第三棵树上的copula cACT、ALT | BCT和bl的参数。在最后一种情况下，条件独立性的存在表明，考虑到负债的价值，流动资产和长期资产之间的关系较弱。从无条件配对连词中，我们注意到当前和长期资产或负债之间存在依赖关系，以及两种不同类型负债之间的依赖关系。

当流动资产由长期负债融资时，对条件连接函数的强烈依赖可能意味着失衡，或者当长期资产由流动负债融资时，可能意味着严重的流动性问题。这些情况需要特别注意，因为它们可能是公司违约的前奏。对于Sysco公司，第一棵树中的订单为- 中高音- BLT- BCT。在表8中，我们显示了Dvine的成对copula列表、选定的copula族、copula参数（根据copula的类型有一个或两个）以及相应的Kendallτ。在这种情况下，为cACT，BLT | ALT选择了一个独立的copula。D-vine结构被简化，我们不需要估计第三棵树中copula cACT，BCT | ALT，BL的参数。考虑到长期资产的价值，在最后一种情况下，条件独立性的存在表明流动资产和负债之间的关系较弱。5.3. 违约概率估计我们遵循第3.2节所述的方法来估计PD。对于每一场比赛，我们从选定的D-vine中生成10000个模拟，以获得公平分配和PD。图10描述了Cirio、安然、帕玛拉特、瑞士的股权密度。表4：Cirio：选定的连接函数和D-vine PCC参数。SBB1、BB7和BB8分别是生存的Clayton-Gumbel、Joe-Clayton和Joe-Frank copulas，它们是具有两个参数的阿基米德Copula族。Cirio:D-VineCopulas家族的成对Copula参数1参数2 Kendall\'sτcACT，BCTSBB1 0.0010 3.3814 0.7044cBCT，BLTBB8 1.2579 0.9902 0.1186cBLT，ALTBB7 1.1195 4.7016 0.6985cACT，BLT | BCTFrank 7.2222 N/A 0.5718cALT，BCT | BLTNormal-0.0337 N/A-0.0214cACT，ALT | BCT，BLTFrank-8.95N/A-535和Enrula-PCC-vine copulas家族的配对参数。

SBB8和BB8分别是存活的Joe-Frank和Joe-Frank copulas，具有两个参数的阿基米德copula族。安然：D-VineCopulas家族的成对Copula参数1参数2肯德尔τcACT，BCT学生的t 0.9868 7.6539 0.8963cBCT，BLTSBB8 6.0000 0.3924 0.2761cBLT，ALTBB8 5.9831 0.9979 0.7208cACT，BLT | B控制的粘土-1.4730 N/A-0.4241cALT，BCT | B依赖性N/A N/A N/A 0表6:Parmalat：选定的copulas和D-vine PCC参数。BB1是Clayton-Gumbel copula，阿基米德copula族，具有两个参数。帕玛拉特：D-VineCopulas家族的成对Copula参数1参数2肯德尔τcACT，BCTBB1 0.4325 4.2015 0.8043cBCT，BLTNormal 0.9998 N/A 0.9898cBLT，ALTClayton 1.2256 N/A 0.3800Act，BLT | BCT N/A N/A 0Alt，BCT | BltRank-7.3657 N/A-0.5778表7：瑞士航空：选定的copulas和D-vine PCC参数。BB7和SBB8分别是Joe Clayton和Survival Joe Frank copula，具有两个参数的阿基米德copula族Wissair：D-VineCopulas族的成对copula参数参数1参数2 Kendall的τcACT，BCTBB7 2.4309 5.3880 0.7267cBCT，BLTSBB8 1.0081 1 1.0000 0.0047cBLT，ALTBB7 1.0010 2.9494 0.5959cACT，BLT | BCT N/A 0Alt，BCT | B-T-Joe-2.3405 N/A-0.4222表8:Sysco：选定的连接函数和D-vine PCC参数。BB1和BB6分别是Layton-Gumbel和Survival-Joe-Gumbel copulas，它们是具有两个参数的阿基米德copula族。Sysco:D-Vine的成对Copula参数：Copulas族参数1参数2 Kendall\'sτcACT，ALTBB6 6 1.9387 0.8569cALT，BLTFrank 298.314 N/A 0.9867cBLT，BCTBB1 4.4714 1.7693 0.8253cACT，BLT |高度独立N/A N/A 0Alt，BCT | BLTNormal-0.0270 N/A-0.0172和Sysco，分别位于左上、右上、左中、右和下面板上。这个数字是通过核密度估计得到的。

PD值写在相关图中，对应于曲线下的面积，其中等式为零或负。所有默认公司的PD值都非常高，在0范围内。4468- 0.6892; 相比之下，Sysco PD仅为0.0026，正如我们对Healthy公司的预期，该公司破产的概率非常低。我们注意到，安然和瑞士航空的PDV值略低于其他违约公司。然而，可用的资产负债表数据不包括安然和瑞士航空去年的活动。这可能会影响最终结果，因为纳入去年的数据肯定会增加相应的PD值。为了进行比较，我们将我们的结果与应用Altman（1968）提出的原始Z分数（例如安然公司）获得的结果进行了对比。图11显示了1997年至2001年间奥特曼的Z分数线图。根据奥特曼（1968）的观点，当nz>2.99时，公司被认为处于“安全”区（健康），当1.81<z<2.99时，公司处于“灰色”区（中度违约风险），当z<1.81时，公司处于“困境”区（高违约风险）。奥特曼的Z分数显然无法预测安然公司的失败，因为直到1998年，它才将公司定位在困境区；随后，从1999年到2000年，它将公司转移到灰色地带（错误地表明业绩有所改善）；最后（当实际故障实际发生时）将公司置于安全区域，z分数为3.22。此外，在所考虑的时期内，奥特曼的Z分数没有下降，甚至上升，导致了完全误导性的结论。Z-score无法预测违约是因为，与PCC模型不同，它没有考虑资产负债表数据不同组成部分之间的依赖模式。