基于成对Copula结构的违约概率估计

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英文标题：
《Default Probability Estimation via Pair Copula Constructions》
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作者：
Luciana Dalla Valle, Maria Elena De Giuli, Claudia Tarantola, Claudio
  Manelli
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this paper we present a novel approach for firm default probability estimation. The methodology is based on multivariate contingent claim analysis and pair copula constructions. For each considered firm, balance sheet data are used to assess the asset value, and to compute its default probability. The asset pricing function is expressed via a pair copula construction, and it is approximated via Monte Carlo simulations. The methodology is illustrated through an application to the analysis of both operative and defaulted firms.
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中文摘要：
本文提出了一种新的企业违约概率估计方法。该方法基于多元未定权益分析和成对copula构造。对于每个被考虑的公司，资产负债表数据用于评估资产价值，并计算其违约概率。资产定价函数通过成对copula构造表示，并通过蒙特卡罗模拟进行近似。该方法通过对运营公司和违约公司的分析应用进行了说明。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Default_Probability_Estimation_via_Pair_Copula_Constructions.pdf (4.36 MB)

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关键词：Copula opula 违约概率 Construction Multivariate

通过成对Copula构造进行违约概率估计Luciana Dalla Vallea、Maria Elena De Giulib、Claudia Tarantolab、Claudio ManellicaSchool of Computing and Mathematics、普利茅斯大学、英国帕维亚大学经济与管理系、意大利资产负债表S.p.A、大教堂广场5727058 Voghera、，本文提出了一种新的企业违约概率估计方法。该方法基于多元未定权益分析和成对copula构造。对于每个被考虑的公司，资产负债表数据用于评估资产价值，并计算其违约概率。资产定价函数通过成对copula构造表示，并通过蒙特卡罗模拟进行近似。该方法通过对运营和违约企业的分析应用加以说明。关键词：违约概率，马尔可夫链蒙特卡罗，多元随机目标，配对Copula，Vines。杰尔：C11，C15，G32，G33。1.简介违约风险定义为债务人（在我们的案例中是一家公司）未履行其在财务合同中的承诺，且发生违约事件时的损失风险。违约概率（PD）是指违约发生的概率。随着金融不确定性的增加，机构、监管机构和学者进行了深入研究，以开发企业评估和PD估计模型。现有方法不同于用于评估企业价值的可用信息和数据。

它们可以根据市场数据和会计数据在模型中进行广泛分类。在基于市场数据的模型中，最受欢迎的是结构模型；seeMerton（1970、1974、1977）及其扩展；有关最近的完整评论，请参见。*通讯地址：Claudia Tarantola，帕维亚大学经济与管理系，Via San Felice 527100，帕维亚，意大利，电话：+39-0382-986213，传真：+39-0382-304226电子邮件：Claudia。tarantola@unipv.itPreprint提交给《欧洲运筹学杂志》2018Ji（2010年2月20日）、Laajimi（2012年）或Sundaresan（2013年）。资产价值被认为是异源的，在或有权益框架中被视为基础资产。一个常见的假设是，资产价值遵循几何布朗运动，其漂移和波动系数不依赖于企业的资本结构。Black and Scholes公式用于计算资产价格，因此PD可以很容易地估计，见Black and Scholes（1973）。第二类模型使用会计数据和财务比率来评估企业价值及其PD。它们起源于Beaver（1968）和Altman（1968）的著作，他们基于线性判别分析开发了单变量和多变量模型，通过使用一组财务比率预测特定企业的违约。Ohlson（1980）提出的另一种常用违约预测模型基于逻辑回归。之前的模型已经在经典和贝叶斯框架中进行了分析。关于古典框架中的一些近期作品，请参见Bharath和Shumway（2008）、De Giuli等人（2008）、Krein和Nagi（2008）、Su和Huang（2010）、Altman等人。Bo等人（2011年、2013年）、Bhimani等人（2014年）、Leow and Crook等人（2015年）、Tobback等人（2014年），以及其中的参考文献。有关贝叶斯分析，请参见。

基弗（2009年、2010年、2011年）、帕克等人（2010年）、塔什（2011年）、卡泽米和莫斯利（2012年）、奥思（2013年）、刘等人。（2015），以及其中的参考文献。斯科拉（Sklar，1959）引入的copula函数是风险管理中一个流行且有效的工具。连接函数的优点是能够得到嵌入变量依赖结构的联合多变量分布。不幸的是，虽然在二元情况下有许多可能的替代copula函数，但在多元环境中，由于计算和理论上的限制，使用不同于正常和学生t的家庭是相当少的。因此，Joe（1996）引入了成对Copula结构（PCC）来表示多元数据之间复杂的依赖结构。PCC是一种灵活且极具吸引力的财务分析工具，参见Vaz de Melo Mendes等人（2010年）、Min和Czado（2010年）、Allen等人（2013年）、Dissmann等人（2013年）、Bernard和Czado（2013年），以及其中的参考文献。一组可能不同的二元连接函数用于构建PCC的利益联合分布，从而可以轻松地表示不同类型和强度的依赖。在本文中，我们提出了一种新的PD估计方法，它结合了结构模型和基于会计的模型的特点。我们考虑基于资产负债表数据的或有权益模型，其中权益的动态通过PCC进行描述，并使用蒙特卡罗模拟进行计算。我们将贝叶斯参数混合模型应用于vine边际建模的新环境中，用于违约和未违约企业的资产负债表数据。PD是用一种相当简单的方法从等式分布中获得的。论文的概要如下。在第2节中，我们简要介绍了copula模型和PCC。

在第3节中，我们介绍了一种新的基于PCCs的PD估计的资产负债表多元或有模型。第四节介绍了模型估计方法。第5节描述了拟议方法在违约公司和运营公司的预测中的应用。最后，第6.2节给出了结束语。背景和初步情况2。1.Copula函数Copula是非常流行和吸引人的统计工具，它允许我们描述将边际分布结合在一起的复杂多元依赖模式。它们适用于各种领域，如经济、金融和营销；有关综述，请参见例如Jaworski（2010）。copula是一个多元分布函数，在区间[0,1]上具有均匀的边缘。一旦应用于单变量边缘，它将返回多变量联合分布，包含关于变量依赖结构的所有信息。因此，利用copula函数，我们可以将随机向量的分布拆分为其各自的边缘分量，并通过copula函数对依赖结构进行建模，而不会丢失信息；更多细节见Joe（1997）和Nelsen（1999）。Sklar定理是copula理论中最重要的结果。它表明，给定随机变量X=（X，…，Xd）的向量，以及d维联合累积分布函数F（X，…，Xd）和M=1的边际累积分布Fm（xm），d、 存在一个d维copula C，使得F（x，…，xd）=C（F（x），Fd（xd）；θ） ，（1）其中θ表示copula的一组参数。为了简化符号，在本文的后面，我们设置了c（F（x），Fd（xd））=C（F（x）。

，Fd（xd）；θ).对于具有严格递增的连续边际分布函数的绝对连续联合分布F，d维copula是唯一定义的。相反，根据尼尔森的推论，反演方法允许我们用以下方式来表达copula：c（u，…，ud）=F（F-1（u），F-1d（ud）），其中F-1.F-1是边缘的广义逆函数。联合密度函数是F（x，…，xd）=c（F（x），Fd（xd））·f（x）·Fd（xd），其中c（f（x），Fd（xd））是d变量copula密度，前提是它的存在。在本文中，我们采用参数化方法将数据输入到给定的模型中。copula密度估计的非参数方法也存在，例如Sancetta and Satchell（2004）、Shen等人（2008）和Kauermann等人（2013）。现有的关于copulas的文献主要集中在二元情况下。在多变量情况下，Normal和Student\'s t copula最受欢迎，而其他多维copula的使用相当有限，因为它们的构造非常复杂。g、 Aas和Berg（2009年）。然而，正常和学生的t copula通常不足以表示数据的依赖结构。因此，Joe（1997）和Whelan（2004）以部分嵌套的阿基米德连接函数的形式提出了阿基米德连接函数的多元扩展；Savu和Trede的分层阿基米德连接函数（2006）；Morillas（2005）和Liebscher（2006）的乘法阿基米德连接式。然而，这些多元扩展意味着对限制其灵活性的参数的额外限制。PCCS提供了该问题的可能解决方案，将在下一节中介绍。2.2. 成对Copula构造我们现在简要介绍了pcc、相关符号和术语；更多详情请参见Czado（2010）。

PCC最初由Joe（1996）提出，后来由Bedford和Cooke（2001、2002）、Kurowicka和Cooke（2006）以及Aas等人（2009）详细讨论。有关参数和非参数框架中的一些最新工作，请参见Minand Czado（2010）、Bauer等人（2012）、Nikoloulopoulos等人（2012）、Weiss和Scheffer（2012）、Hafff和Segers（2015）。PCC通过一系列二元连接函数表示多元数据的复杂依赖模式，并允许仅使用二元连接函数作为构建块来构造灵活的高维连接函数，见Aas等人（2009）。因此，联合分布是基于二元对连接函数获得的，这可能是一组特定变量的条件，允许对边缘变量之间的依赖性进行建模。为了获得PCC，我们按照以下步骤进行。首先，我们将随机向量x=（x，…，xd）的联合分布f（x，…，xd）分解为条件密度f（x，…，xd）=fd（xd）×fd的乘积-1 | d（xd）-1 |xd）×。x f1 | 2···d（x | x，…，xd）。（2） （2）中的因式分解在重新标记变量之前是唯一的，并且可以用二元copula的乘积来重新表示。根据Sklar定理，子向量（Xd，Xd）的联合分布-1） 可以用copula densityf（xd）表示-1，xd）=cd-1，d（Fd-1（xd）-1） ，Fd（xd））×Fd-1（xd）-1） x fd（xd），其中cd-1，d（·，·）是任意二元copula（pair copula）密度。因此，Xd的条件密度-1 | XD可以很容易地重写为FD-1 | d（xd）-1 | xd）=cd-1，d（Fd-1（xd）-1） ，Fd（xd））×Fd-1（xd）-1). （3） 通过对方程（3）的简单推广，（2）中的每一项都可以分解成适当的对copula乘以条件边际密度。

更准确地说，对于一般元素X我们得到的向量X的|v（x）|v） =cx,v`|v-`（外汇）|五、-`（十）|五、-`), Fv`|v-`（v`|v-`)) x外汇|五、-`（十）|五、-`), （4） 式中，v是条件向量，v`是v的一般成分，v-`是没有分量v`，Fx的矢量|五、-`（·|·）是x的条件分布给定v-`,和cx,v`|v-`（·，·）是条件对copula密度。因此，d维联合多元分布函数可以通过递归地堵塞方程（2）中的方程（4）表示为二元copula和边际分布的乘积。由Joe介绍，Suchdisposition，1996年命名为PCC。注意，（4）中的PCC分解基于一个简化假设，即条件连接函数仅通过构成其参数的条件分布函数间接地依赖于条件变量。然而，正如Ha ff等人（2010年）所证明的那样，简化的PCC是一个很好的近似值，即使简化的假设远未被实际模型所满足。PCC依赖于订单。变量顺序的不同选择导致不同的PCC和联合多元分布的不同因式分解。此外，考虑到特定的因式分解，仍然存在许多不同的参数。对于高维分布，可能的PCC数量非常高，seeCzado（2010）和Morales Napoles（2011）。因此，有必要对所有这些问题进行适当的表述。出于这个原因，贝德福德和库克（2001年、2002年）引入了常规葡萄藤（R型葡萄藤）作为PCC的图示。R-Vine是一种特殊类型的图形模型，它使用一组嵌套的树将联合分布分解为其二元分量，并结合相关变量的依赖结构。

R型葡萄藤的两个特例是标准型葡萄藤（C型葡萄藤）和可拉拔型葡萄藤（D型葡萄藤），参见Kurowicka和Cooke（2006）。这里我们考虑一个四维问题，其中R-葡萄藤是Either C-葡萄藤或D-葡萄藤。我们将重点放在D-vine上，因为与C-vine不同的是，D-vine不假设存在支配依赖关系的特定节点。d变量上的藤V（d）是一组嵌套的树T，Td-1.树Tτ的边是树Tτ+1，τ=1，D- 1.在R-藤中，如果树Tτ的两条边共享一个公共节点，则它们在树Tτ+1中由一条边连接的节点表示。D-vine是一个R-vine，其中所有节点的阶数都不高于2，也就是说，每个节点连接到的其他节点不超过两个。在D-vine中，每个节点对应一个变量或一组变量。配对连词密度与任何边关联，边标签指示配对连词密度的下标。图1提供了一个四维D-vine的示例。FirstTree根据变量的成对依赖性对变量进行排序，其中前两个节点对应于关联性最强的变量，以此类推；节点{1}和{2}之间、节点{2}和{3}之间以及节点{3}和节点{4}之间的依赖关系是使用二元copula分布建模的。在第二棵树中，节点{1,2}和{2,3}之间，以及{2,3}和{3,4}之间的条件依赖性是通过对copula密度建模的。

在第三棵树中，节点{1,3 | 2}和{2,4 | 3}之间的条件依赖通过对copula密度建模。123 412 23 3412233413 | 224 | 313 | 224 | 314 | 23T1T2T3图1：四维D-vine图形表示使用D-vine表示，关节密度可以根据条件连接函数密度（由考虑的树中的边标签识别）乘以检查变量的边缘密度来分解。图1中所示的D形接头密度由F（x，…，x）=Yτ=1fτ（xτ）×c×c×c13 | 2×c24 | 3×c14 | 23给出，其中cab=cab（F（xa），F（xb））。更一般地说，维数为D的D-藤的密度的形式为f（x，…，xd）=dYτ=1fτ（xτ）×D-1Yj=1d-jYi=1ci，i+j | i+1，。。。，i+j-1（F（xi | xi+1，…，xi+j）-1） ，F（xi+j | xi+1，…，xi+j）-1） ）是d边际密度fτ和d（d）的乘积- 1） /2二元copulasci，i+j | i+1，。。。，i+j-1（·，·）在条件分布函数F（·|·）下计算。如果变量对之间的边际或条件独立性成立，则相应的对连接函数等于一，因此PCC和关节密度也相应简化。独立的情况在相应的藤中通过节点之间的缺失来描述，从而获得一个森林藤，如图2所示。这里，给定3的变量2和4之间的条件独立性由缺失边{2，4 | 3}表示，这减少了PCC的级别数。123 412 23 3412233413 | 213 | 2图2：森林葡萄树3。资产负债表多元未定权益模型在本文中，我们通过PCCson资产负债表数据提出了一种用于PD估计的新未定权益模型，该模型定义并改进了Merton的分析。我们的方法允许我们随时评估公司偿还债务的能力，从而以灵活的方式有效地预测其PD。