具有多条曲线的仿射LIBOR模型：理论、实例和应用

远期OIS利率将由驱动过程X的两个组成部分驱动，对于价差，我们将仅使用第二个组成部分X，其取值为R>0，以确保非负性。这可以通过对参数Svxk施加适当的假设来实现。我们把建筑分成两步。第一步。鉴于远期OIS利率的初始期限结构，Fxk（0）∈ R、 外汇固定x和所有k∈ Kx，我们应用命题4.1并找到一个序列（uxk） R×R>0，使模型（4.15）符合初始期限结构。注意uxk，k∈ Kx，无需订购，Fxk（t）∈ R、 对于任何t.步骤2。接下来，给定乘法利差Rxk（0）的初始项结构∈R> 0，对于每个固定x和所有k∈ Kx，我们使用（3.6）计算初始伦敦银行同业拆借利率Lxk（0）。应用命题4.2，我们可以找到一个序列（vxk） R×R>0使得每k∈ Kx，vxk-1=（vx1，k-1，vx2，k-1） 满足vx1，k-1=ux1，k-模型（4.16）确定了初始期限结构。请注意，尽管我们在这里固定了第一个组件vx1，k-1个矢量vxk-1，命题4。2确保仅使用第二个组件vx2，k就可以确定初始期限结构-1.该产量1+δxRxk（t）=Mvxk-1tMuxk-1t=expφTN-t（ux1，k-1） +φTN-t（vx2，k-1） +ψTN-t（ux1，k-1） Xt+ψTN-t（vx2，k-1） Xt经验φTN-t（ux1，k-1） +φTN-t（ux2，k-1） +ψTN-t（ux1，k-1） Xt+ψTN-t（ux2，k-1） Xt=经验φTN-t（vx2，k-1） +ψTN-t（vx2，k-1） Xt经验φTN-t（ux2，k-1） +ψTN-t（ux2，k-1） Xt, （4.17）由于X和X的独立性，参见Keller Ressel（2008年，第4.7号提案）。因此，Rxkis仅由x驱动，且初始值Rxk（0）∈R> 0表示vx2，k-1.≥ ux2，k-1对于所有k。

因此，我们有Rxk（t）∈ R> 0表示所有t，紧随其后的是（4.17）。最后，我们还需要证明，初始价差相对于Rxk（0）的单调性≤ Rxj（0）表示在所有时间t的单调性，Rxk（t）≤ Rxj（t），适用于上述所有x，x和k，j。首先要注意的是Txk-1=Txj-1=TLUXK-1=uxj-1=uland相应的Muxk-1t=Muxj-1t。（4.18）因此，Rxk（0）≤ Rxj（0）意味着Mvxk-1.≤ Mvxj-1比（4.16）。这反过来会产生vxk-1.≤ vxj-1，或者更准确地说是vx2，k-1.≤ vx2，j-1since vx1，k-1=ux1，k-1=ux1，j-1=vx1，j-1.因此，Rxk（t）≤ Rxj（t），对于所有t，自1+δxRxk（t）=Mvxk-1tMuxk-1t≤Mvxj-1tMuxj-由于（4.18），1t=1+δxRxj（t）。具有多条曲线的仿射LIBOR模型155。与伦敦银行同业拆借利率市场模型的联系在本节中，我们将阐明有效的伦敦银行同业拆借利率模型与“经典”伦敦银行同业拆借利率市场模型之间的关系，参见桑德曼、桑德曼和米尔森（1995年）以及布拉斯、G,阿塔雷克和穆塞拉（1997年），以及Mercurio（2010a），将伦敦银行同业拆借利率市场模型扩展到多条曲线。即使在Keller-Ressel等人（2013年）的单曲线框架中，也尚未对这种关系进行研究。更准确地说，我们将在Jamshidian（1997）的一般半鞅LIBOR市场模型中嵌入多个有效LIBOR模型（4.3），并推导出OIS和LIBOR利率的相应动力学。为了简洁起见，我们将专注于一个有效的差异化过程，以便在没有太多技术细节的情况下公开想法。对于一个带有跳跃的有效过程的概括是直接的，留给感兴趣的读者。状态空间D=Rd>0上的一个有效扩散过程是SDEdXt=（b+BXt）dt+σ（Xt）dWNt的解X=xxx，X=X，（5.1），其中wn是D维IPN布朗运动。系数b，b=（β。

，βd）和σ必须满足Rd>0的有效争议的受理条件，见菲利波维奇（2009年，第10章）。也就是说，漂移向量满足b∈ Rd>0，βi（i）∈ R和βi（j）∈ R> 0适用于所有1≤ i、 j≤ d、 i6=j，（5.2），其中βi（j）表示列向量βi的第j个元素。此外，扩散矩阵σ：d→ 对于所有z，Rd×Dsatiesσ（z）σ（z）T=dXi=1αizi∈ D、 （5.3）其中α是所有1的对称正半限定矩阵≤ 我≤ d、 例如αi（ii）∈ R> 0和αi（jk）=0表示所有1≤ i、 j，k≤ d、 i6=j，k.（5.4）这里，αi（jk）表示矩阵αi的第j个条目。因此，有效扩散过程X由dxit=（b+BXt）idt+qXitσidWNt（5.5）对所有i=1，d、 我在哪里=√αi（ii）·ei（单位向量）。OIS动力学。我们首先计算OIS比率的动态。在上一节中，我们考虑固定的x∈ 利用IPN鞅Muxkin（4.1）的结构，我们得到了dMuxkT=MuxktψTN-t（uxk）dXt+。dt。（5.6）因此，将It^o的乘积规则应用于（4.3）并使用（5.6）得到dfxk（t）=δxdMuxk-1tMuxkt=δxMuxk-1吨ψTN-t（uxk-1)-ψTN-t（uxk）dXt+。dt=δx（1+δxFxk（t））ψTN-t（uxk-1) - ψTN-t（uxk）dXt+。dt。16 Z.GRBAC、A.PAPAPANTOLEON、J.SCHOENMAKERS和D.Skovmand因此，OIS费率满足以下SDEdFxk（t）Fxk（t）=1+δxFxk（t）δxFxk（t）ψTN-t（uxk-1) - ψTN-t（uxk）dXt+。dt（5.7）对于所有k=2。。。，Nx。现在，使用（5.5）中的有效过程X的动力学，我们得出dfxk（t）Fxk（t）=1+δxFxk（t）δxFxk（t）dXi=1ψiTN-t（uxk-1) - ψiTN-t（uxk）dXit+。dt=1+δxFxk（t）δxFxk（t）dXi=1ψiTN-t（uxk-1) - ψiTN-t（uxk）qXitσidWNt+。dt=：Γx，k（t）dWNt+。dt，（5.8），其中我们定义了波动性结构Γx，k（t）=1+δxFxk（t）δxFxk（t）dXi=1ψiTN-t（uxk-1) - ψiTN-t（uxk）qXitσi∈ Rd>0。

（5.9）另一方面，我们从离散复合远期利率的一般理论（参见Jamshidian 1997）中了解到，OIS利率应满足以下SDE，即终端测度IPNdFxk（t）Fxk（t）=-NxXl=k+1δxFxl（t）1+δxFxl（t）hΓx，l（t），Γx，k（t）idt+Γx，k（t）dWNt，（5.10）对于波动性结构Γx，kgiven in（5.9）。因此，我们通过等式Wx，k:=WN直接得到了与终端布朗运动有关的IPxk布朗运动Wx，kis-NxXl=k+1·ZδxFxl（t）1+δxFxl（t）Γx，l（t）dt=WN-NxXl=k+1dXi=1·ZψiTN-t（uxl）-1) - ψiTN-t（uxl）qXitσidt。（5.11）此外，IPXK下X的动力学形式为dxit=（b+BXt）idt+qXitσidWx，kt+σiqXitNxXl=k+1dXj=1ψjTN-Tuxl-1.- ψjTN-t（uxl）qXjtσjdt=bi+（BXt）i+NxXl=k+1ψiTN-t（uxl）-1) - ψiTN-t（uxl）Xit |σi |！dt+qXitσidWx，kt，（5.12）对于所有i=1，d、 最后一个等式为命题4.6提供了另一种证明，即在有效扩散的设置中，因为它明确表明，在IPxk下，X是一个时间不均匀的有效扩散过程。我们还应该注意，具有多条曲线的仿射伦敦银行同业拆借利率模型（5.11），即终端和远期布朗运动之间的差异不依赖于“经典”伦敦银行同业拆借利率市场模型中的其他远期利率。如备注4.7所述，forwardprice模型共享同一物业。因此，我们得出了以下OIS汇率的IPxk动态：Fxk（t）Fxk（t）=Γx，k（t）dWx，kt（5.13），波动性结构为Γx，kP由（5.9）提供。Γx，k的结构表明模型中存在一个内在的变化，而波动性结构由ψ和σ决定。伦敦银行同业拆借利率动态。接下来，我们推导出与相同期限相关的伦敦银行同业拆借利率的动态。使用（4.3），（4.2）并重复上述相同步骤，我们得到以下dlxk（t）Lxk（t）=δxLxk（t）dMvxk-1tMuxkt=δxLxk（t）Mvxk-1吨ψTN-t（vxk-1) - ψTN-t（uxk）dXt+。

dt=1+δxLxk（t）δxLxk（t）dXi=1ψiTN-t（vxk-1)-ψiTN-t（uxk）qXitσidWNt+。dt，对于所有k=2。。。，Nx。与（5.9）类似，我们引入了波动率结构∧x，k（t）：=1+δxLxk（t）δxLxk（t）dXi=1ψiTN-t（vxk-1)-ψiTN-t（uxk）qXitσi∈ Rd>0，（5.14），然后获得Lxk的以下IPxk动力学Lxk（t）Lxk（t）=∧x，k（t）dWx，kt，（5.15），其中Wx，kis是（5.11）给出的IPxk布朗运动，而x的动力学由（5.12）提供。传播动力学。使用这个Sxk=Lxk- Fxk，Libor和OIS利率在正向测量IPxkin（5.13）和（5.15）下的动态，以及（5.9）和（5.14）中的波动性结构，经过一些直接计算，我们得出了DSxk（t）=Sxk（t）Υt（vxk-1，uxk）+1+δxFxk（t）δxΥt（vxk-1，uxk-1)dWx，kt，其中Υt（w，y）：=dXi=1ψiTN-t（w）-ψiTN-t（y）qXitσi.（5.16）18 Z.GRBAC、A.PAPAPANTOLEON、J.SCHOENMAKERS和D.SKOVMAND5。4.瞬时相关性。通过推导OIS和LIBOR利率满足的SDE，可以快速提供各种利息量的公式，例如OIS和LIBOR利率或不同到期日或期限的LIBOR利率之间的瞬时相关性。例如，我们发现，在TX和TXL到期的伦敦银行同业拆借利率之间的瞬时相关性是由Corrt试探性地描述的Lxk，Lxl=dLxk（t）Lxk（t）·dLxl（t）Lxl（t）rdLxk（t）Lxk（t）·dLxk（t）Lxk（t）rdLxl（t）Lxl（t）·dLxl（t）Lxl（t）因此我们得到了相应的结果Lxk，Lxl（5.15）=h∧x，k，∧x，li |∧x，k |∧x，l |=Pdi=1ψiTN-Tvxk-1.- ψiTN-t（uxk）ψiTN-Tvxl-1.- ψiTN-t（uxl）Xi |σi | rPdi=1ψiTN-Tvxk-1.- ψiTN-TuxkXi |σi |×rPdi=1ψiTN-Tvxl-1.- ψiTN-TuxlXi |σi |。对于其他瞬时相关性，例如Corrt，也可以推导出类似的表达式Fxk，Lxk还是畜栏Lxk，Lxk.瞬时相关性对于描述不同伦敦银行同业拆借利率之间的（瞬时）相关性非常重要。

例如，在伦敦银行同业拆借利率市场模型中，瞬时相关矩阵的秩决定了驱动模型所需的因素数量（例如布朗运动）。附录A.6中提供了伦敦银行同业拆借利率之间终端相关性的明确表达式。掉期和caps6的估值。1.利率和基差互换。我们首先介绍了一种固定付款人利率掉期，其名义金额标准化为1，固定付款与伦敦银行同业拆借利率挂钩的浮动付款进行交换。伦敦银行同业拆借利率是预先设定的，付款是拖欠的，同时为了简单起见，我们假设浮动分期付款的时间和频率与固定分期付款的时间和频率一致。交换在时间txp启动≥ 0，其中x∈ X和p∈ Kx。付款日期的集合由Txpq表示：={Txp+1<····<Txq}，固定利率由K表示。然后，互换的时间t值，即t≤ Txp由t（K，Txpq）=qXk=p+1δxB（t，Txk）IExk给出L（Txk-1、Txk）- K |英尺= δxqXk=p+1B（t，Txk）（Lxk（t）- K） 。（6.1）具有多条曲线的仿射伦敦银行同业拆借利率模型19因此，公平掉期利率Kt（Txpq）由Kt（Txpq）=Pqk=p+1B（t，Txk）Lxk（t）Pqk=p+1B（t，Txk）提供。（6.2）基差掉期是利率市场上的新产品，其价值反映了不同期限的伦敦银行同业拆借利率之间的差异。基差互换是一种aswap，在这种互换中，两个与不同期限的伦敦银行同业拆借利率相关的流动支付流被交换。例如，在300万-600万基础掉期中，每季度支付（收到）300万伦敦银行同业拆借利率，每半年支付（收到）600万伦敦银行同业拆借利率。在续集中，我们假设这两个费率都是提前设定的，并且是拖欠的；当然，关于basisswap的两个分支的支付也存在其他约定。有关基差掉期的更详细说明，请参见Mercurio（2010b，第5.2节）或Filipovi\'c和Trolle（2013，第2.4节和附录F）。

请注意，在危机前的情况下，由于不同期限的利率之间存在无套利关系，此类产品的价值在任何时间点都将为零；例如，参见Crèepey、Grbac和Nguyen（2012）。让我们考虑一个与Txpq表示的两个期限结构相关的基差互换：={Txp<…<Txq}和Txpq:={Txp<…<Txq}，其中Txp=Txp≥0，Txq=Txq和Txpq Txpq。再次假设名义金额为1，掉期在Txp时开始，而第一笔付款分别在Txp+1和Txp+1时到期。基础掉期利差是固定利率，在较短的期限内加入到付款中。更准确地说，对于X期限，浮动利率L（Txi-1，Txi）在期限日期Txi由L（Txi）代替-1，Txi）+S，对于每一个i∈ {p+1，…，q}。对于0，给出了这种协议的时间t值≤ T≤ Txp=Txp，byBSt（S，Txpq，Txpq）=qXi=p+1δxB（t，Txi）IExiL（Txi-1，Txi）|英尺-qXi=p+1δxB（t，Txi）IExiL（Txi-1，Txi）+S | Ft=qXi=p+1δxB（t，Txi）Lxi（t）-qXi=p+1δxB（t，Txi）Lxi（t）+S. （6.3）我们还希望计算公平基础掉期价差St（Txpq，Txpq）。这是使基差交换值在时间t等于零的分布，即通过求解BSt（S，Txpq，Txpq）=0得到。我们得到st（Txpq，Txpq）=Pqi=p+1δxB（t，Txi）Lxi（t）-Pqi=p+1δxB（t，Txi）Lxi（t）Pqi=p+1δxB（t，Txi）。（6.4）公平掉期利率和基差的公式可用于从市场数据中提取伦敦银行同业拆借利率的初始值，见Mercurio（2010b，§2.4）。6.2。帽子。在多曲线伦敦银行同业拆借利率模型中对小规模资产进行估值，从而对小规模资产进行估值是一项简单的任务，其复杂性等于单曲线伦敦银行同业拆借利率模型中对小规模资产进行估值的复杂性；与Keller-Ressel等人（2013年）的7.1号提案进行比较。这有两个原因：20年代的Z.GRBAC、A.PAPAPANTOLEON、J.SCHOENMAKERS和D。

SKOVMAND一方面，伦敦银行同业拆借利率是直接建模的，见（4.3），与Mercurio（2010a）相反，在Mercurio（2010a）中，伦敦银行同业拆借利率隐式建模为OIS利率和利差之和。在我们的方法中，caplet的估值仍然是一个一维问题，而在后一种方法中，它变成了OIS利率和价差的“篮子”期权。另一方面，在任何远期措施下，驱动过程都是有效的，参见命题4.6，该命题允许将傅立叶方法应用于期权定价。在续集中，我们将为任何多曲线LIBOR模型推导半显式定价公式。让我们指出，我们不需要像LIBORmarket模型中的跳跃那样“冻结漂移”（见备注4.7）。提议6.1。考虑一个带有K号线的x-高音帽，它放出δx（L）（Txk-1、Txk）- K） +在时间Txk。时间-0价格由c（K，Txk）=B（0，Txk）2πZRK1提供-R+iwxΘWxk-1（R）- iw）（R）- iw）（R）- 1.- iw）dw，（6.5）代表R∈ (1, ∞) ∩eIk，x，假设（1，∞) ∩eIk，x6=, 式中Kx=1+δxK，ΘWxk-1由（6.7）给出，而seteIk，xis定义为aseIk，x=nz∈ R:（1）- z） ψTN-Txk-1（uxk）+zψTN-Txk-1（vxk-1) ∈ 伊藤。证据使用（3.3）和（4.3）caplet等式c（K，Txk）=δxB（0，Txk）IExk的时间-0价格（L）Txk-1、Txk）- （K）+= δxB（0，Txk）IExk（Lxk（Txk）-1) - （K）+= B（0，Txk）IExkhMvxk-1Txk-1/MuxkTxk-1.- Kx+i=B（0，Txk）IExkheWxk-1.- Kx+i、 whereWxk-1=对数Mvxk-1Txk-1/MuxkTxk-1.= φTN-Txk-1（vxk-1) - φTN-Txk-1（uxk）+ψTN-Txk-1（vxk-1) - ψTN-Txk-1（uxk），XTxk-1.=: A+hB，XTxk-1i。（6.6）现在，使用Eberlein、Glau和Papapantoleon（2010，Thm 2.2，Ex.5.1），我们直接到达（6.5），其中ΘWxk-1确定随机变量Wxk的IPxk矩母函数-1，即代表z∈eIk，x，ΘWxk-1（z）=IExkezWxk-1.= IExk经验z（A+hB，XTxk）-1i）= 经验zA+φk，xTxk-1（zB）+ψk，xTxk-1（zB），X.

（6.7）最后一个等式来自命题4.6，指出z∈eIk，ximplieszB∈ Ik，x。具有多条曲线的仿射LIBOR模型217。掉期期权和基础掉期期权的估值本节专门讨论利率和基础掉期期权的定价，换句话说，是掉期期权和基础掉期期权的定价。在第一部分中，我们利用多曲线有效利率模型的结构，提供了互换期权和基础互换期权估值的一般表达式。在接下来的两部分中，我们通过进一步利用模型性质，即在任何正向测度下保持有效结构，并应用Singleton和Umantsev（2002）提出的线性边界近似，推导出了交换期权和基础交换期权定价的有效且准确的近似值。与Caplet的定价类似，我们也不必“冻结漂移”，而在特殊情况下，我们甚至可以导出封闭或半封闭形式的解决方案（参见Keller-Ressel等人2013年第8节）。让我们首先考虑一个付款人掉期期权，其执行利率为K，行权日期为TXP，固定利率掉期从TXP开始，到期日期为atTxq；第6.1节对此进行了定义。互换期权可以被视为固定支付序列δx（KTxp（Txpq）- K） +在付款日期XP+1收到，Txq；见Musiela和Rutkowski（2005年，第13.1.2节，第524页）。此处，kTxp（Txpq）是在Txp时基础掉期的掉期利率，参见（6.2）。请注意，付款人（代表接收人）互换期权到卖出期权（代表。

息票债券的看涨期权在多重曲线设置中无效，因为伦敦银行同业拆借利率不能用零息票债券表示；见备注3.5。时间t时交换期权的价值≤ Txp由s+t（K，Txpq）=B（t，Txp）qXi=p+1δxIExp提供B（Txp，Txi）KTxp（Txpq）- K+英尺= B（t，Txp）IExpqXi=p+1δxLxi（Txp）B（Txp，Txi）-qXi=p+1δxKB（Txp，Txi）+英尺因为t=Txp的交换率KTxp（Txpq）由（6.2）给出。使用（3.2），（4.3）和伸缩积，我们得到B（Txp，Txi）=B（Txp，Txi）B（Txp，Txi）-1） B（Txp，Txi-1） B（Txp，Txi-2） ·B（Txp，Txp+1）B（Txp，Txp）=MuxiTxpMuxpTxp。再加上Lxi（Txp）的（4.3），这个yieldsS+t（K，Txpq）=B（t，Txp）IExpqXi=p+1Mvxi-1TxpMuxpTxp-qXi=p+1KxMuxiTxpMuxpTxp+英尺= B（t，TN）IENqXi=p+1Mvxi-1Txp-qXi=p+1KxMuxiTxp+英尺, （7.1）如果Kx:=1+δxK，第二个等式从（4.8）22 Z.GRBAC、A.PAPAPANTOLEON、J.SCHOENMAKERS和D.SKOVMANDNext中给出的从Ipxp到IPNas的度量变化得出，我们接着讨论基础互换期权的定价。基差互换期权是一种使用价差S进行基差互换的期权。我们认为基差互换是第6.1节中定义的，从Txp=Txp开始，到Txq=Txq结束，而我们假设行权日期是Txp。对于t=Txp，在Txp时的基差掉期支付由（6.3）给出。因此，timet的基差互换期权的价格≤ Txp由BS+t（S，Txpq，Txpq）=B（t，Txp）IExp提供qXi=p+1δxLxi（Txp）B（Txp，Txi）-qXi=p+1δxLxi（Txp）+SB（Txp，Txi）+英尺.沿着交换选项的推导过程，使用MuxpTxp=MuxpTxp（参见（4.5）），我们得到了atBS+（S，Txpq，Txpq）==B（t，Txp）IExpqXi=p+1Mvxi-1Txp/MuxpTxp- MuxiTxp/MuxpTxp-qXi=p+1Mvxi-1Txp/MuxpTxp- SxMuxiTxp/MuxpTxp+英尺= B（t，TN）IENqXi=p+1Mvxi-1Txp-MuxiTxp-qXi=p+1Mvxi-1Txp-SxMuxiTxp+英尺,（7.2）其中Sx:=1- δxS。7.1. 交换选项的近似公式。