具有多条曲线的仿射LIBOR模型：理论、实例和应用

因此，相应的数值和远期指标是一致的，即B（·，Tl）=B（·，Txk）和IPl=IPxk。再次参见图3.2。接下来，我们定义了多曲线伦敦银行同业拆借利率设置中的两个主要建模对象：远期OIS利率和远期伦敦银行同业拆借利率。我们还定义了这两种速率之间的加法和乘法价差。让我们用L（Txk）表示-1，Txk）Txk时的即期伦敦银行同业拆借利率-1四个时间间隔[Txk-1，Txk]，这是一种FTxk-1-给定随机基上的可测随机变量。定义3.3。时间间隔[Txk]的time-t正向OIS速率-1，Txk]由fxk（t）定义：=δxB（t，Txk）-1） B（t，Txk）- 1.. （3.2）定义3.4。时间间隔[Txk]的time-t远期伦敦银行同业拆借利率-1，Txk]由xk（t）=IExk定义L（Txk-1，Txk）|英尺. （3.3）远期伦敦银行同业拆借利率是指应与未来即期伦敦银行同业拆借利率交换的固定利率，以便远期利率协议的初始值为零。因此，该利率反映了市场对未来即期伦敦银行同业拆借利率价值的预期。注意，在时间t=Txk时-1我们有LXK（Txk-1） =IExkL（Txk-1，Txk）| FTxk-1.= L（Txk-1，Txk），（3.4），即该利率与相应期限的即期伦敦银行同业拆借利率一致。备注3.5。在单曲线设置中，（3.2）是前向伦敦银行同业拆借利率的定义。然而，在多曲线设置中，我们有thatL（Txk-1，Txk）6=δxB（Txk-1、Txk）- 1.因此，OIS和LIBOR利率不再相等。定义3.6。伦敦银行同业拆借利率和OIS利率之间的利差由xk（t）确定：=Lxk（t）- Fxk（t）。（3.5）让我们也提供一种基于乘法而非加法分解的价差替代定义。定义3.7。伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）和其他利率之间的乘法利差由1+δxRxk（t）：=1+δxLxk（t）1+δxFxk（t）定义。（3.6）8 Z.GRBAC、A.PAPAPANTOLEON、J.SCHOENMAKERS和D。

OIS和LIBOR利率动态演变的斯科夫曼德模型，以及它们的利差，应满足经济计量、套利要求及其各自定义的某些条件。总体而言，这些数据与市场观察结果一致。我们将其表述为以下模型要求：（M1）Fxk（t）≥ 0和Fxk∈ M（IPxk），代表所有x∈ 十、 k∈ Kx，t∈ [0，Txk-1].（M2）Lxk（t）≥ 0和Lxk∈ M（IPxk），代表所有x∈ 十、 k∈ Kx，t∈ [0，Txk-1].（M3）Sxk（t）≥ 0和Sxk∈ M（IPxk），代表所有x∈ 十、 k∈ Kx，t∈ [0，Txk-1].这里M（IPxk）表示IPxk鞅集。备注3.8。如果加性扩散为正，则乘性扩散也为正，反之亦然。4.多曲线仿射伦敦银行同业拆借利率模型我们接下来描述了多曲线利率设置的有效伦敦银行同业拆借利率模型，并分析了其主要性质。特别是，我们表明，该模型产生正利率和利差，即它满足建模要求（M1）-（M3），并且在分析上可处理。在这个框架中，OIS和Liborrate是按照KellerRessel等人（2013年）提出的有效LIBOR模型进行建模的。让X成为定义在(Ohm, F、 F，IPN），满足假设（A），从标准值1开始。考虑一个固定的x∈ 我们按照引理2.2：取两个向量序列（uxk）k构造了两个参数化的矩阵族∈Kxand（vxk）k∈Kx，并定义IPN鞅Muxkand MvxkviaMuxkt=expφTN-t（uxk）+hψTN-t（uxk），Xti, （4.1）和MVxkT=expφTN-t（vxk）+hψTN-t（vxk），Xti. （4.2）多曲线伦敦银行同业拆借利率模型假设，与x-期限相关的OIS和伦敦银行同业拆借利率按照1+δxFxk（t）=Muxk演变-1muxkT和1+δxLxk（t）=Mvxk-每k=2。

、NX和t∈ [0，Txk-1].在以下三个命题中，我们展示了如何从OIS和LIBOR利率的任何给定初始期限结构构建多个有效的LIBOR模型。提议4.1。考虑时间结构T，设B（0，Tl），l∈ K、 是非负OIS贴现因子的初始期限结构，并假设B（0，T）≥ ··· ≥ B（0，TN）。如果γX>B（0，T）/B（0，TN），则存在一个递减序列u≥U≥ ··· ≥ uN=0∩ Rd>0，因此对于所有l，Mul=B（0，Tl）B（0，TN）∈ K.（4.4）如果γX=∞, 多曲线伦敦银行同业拆借利率模型可以拟合OIS利率的任何初始期限结构。（2） 如果X是一维的，则序列（ul）为l∈Kis独一无二。（3） 如果所有初始OIS速率均为正值，则序列（ul）l∈Kis在严格降低。证据见Keller-Ressel等人（2013）中的命题6.1。在确定OIS贴现因子的初始期限结构后，我们希望确定LIBOR利率的初始期限结构，该利率现在取决于期限。因此，对于每个k∈ Kx，we setuxk:=ul，（4.5），其中l∈ K等于Tl=Txk；见备注3.2。一般来说，我们有l=kTx/T，而在例3.1的设置中，我们只有l=kx，即uxk=ukx。提议4.2。考虑命题4.1的设置，即固定x∈ X和相应的榫结构Tx。设Lxk（0），k∈ Kx是非负伦敦银行同业拆借利率的初始期限结构，并假设每k∈ KxLxk（0）≥δxB（0，Txk）-1） B（0，Txk）- 1.= Fxk（0）。（4.6）以下陈述成立：（1）如果γX>maxk∈Kx（1+δxLxk（0））B（0，Txk）/B（0，TxN），则存在一个序列vx，vx，vxNx=0∩ Rd>0，这样vxk≥ uxkandMvxk=（1+δxLxk+1（0））Muxk+1，对于所有k∈ Kx\\{Nx}。

（4.7）特别是，如果γX=∞, 然后，多曲线伦敦银行同业拆借利率模型可以拟合任何伦敦银行同业拆借利率的初始期限结构。（2） 如果X是一维的，那么序列（vxk）k∈Kxis是独一无二的。（3） 如果所有初始利差均为正值，则vxk>uxk，适用于所有利差∈ Kx\\{Nx}。证据与前一个命题类似，通过设定初始伦敦银行同业拆借利率，我们可以获得序列（vxk）k∈KX满足（1）-（3）。不等式vxk≥ UXK直接来自（4.6）。提案4.3。考虑前面命题的设置。然后我们有：（1）Fxkand-Lxkare-IPxk鞅，对于每k∈ Kx。（2） Lxk（t）≥ Fxk（t）≥ 0，每k∈ Kx，t∈ [0，Txk-1].证据自从Muxkand Mvxkare IPN鞅和密度过程放松了DipxKDIPN提供的测度IPN和IPxkis以来Ft=B（0，TN）B（0，Txk）B（t，Txk）B（t，TN）=MuxktMuxk，（4.8）我们从（4.3）得到1+δxFxk∈ 因为（1+δxFxk）Muxk=Muxk-1.∈ M（IPN）。（4.9）10 Z.GRBAC、A.PAPAPANTOLEON、J.SCHOENMAKERS和D.Skovmand，类似地，1+δxLxk∈ 因为（1+δxLxk）Muxk=Mvxk-1.∈ M（IPN）。（4.10）序列（uxk）和（2.10）的单调性产生了thatMuxk-1.≥ Muxk。此外，从不等式vxk≥ UXK与（2.10）再次结合，它遵循Mvxk≥ Muxk，为了所有人∈ Kx。因此，1+δxLxk≥ 1+δxFxk≥ 1.因此，OIS利率、LIBOR利率和相应的利差不是负IPxk鞅。备注4.4。上述命题提供了一个具有多条曲线的有效伦敦银行同业拆借利率模型的理论构建，给定任意x的债券价格B（0，Txk）和伦敦银行同业拆借利率Lxk（0）的初始期限结构∈ X和k∈ Kx。初始项结构决定了序列（uxk）和（vxk），但不是以唯一的方式，只要驱动过程的尺寸严格大于1，这在应用中通常是如此。这为模型的实现提供了极大的自由。

例如，将向量（uxk）和（vxk）的某些分量设置为零，可以排除驱动过程的相应分量，从而决定驱动过程X的哪些分量将影响OIS利率，分别是LIBOR利率。此外，如果假设X的组成部分相互依赖，则可以创建一个因子模型，其中包含每个OIS和LIBOR利率以及各种其他特定结构的公共和特殊组成部分。在第8.1节中，我们提供了有关该问题的更多细节，具体请参见备注8.1。备注4.5。现在让我们更仔细地看看序列（vxk）和（uxk）之间的关系。命题4.1和4.2暗示uxk-1.≥ uxkandvxk≥ UXK适用于所有k∈ Kx。然而，我们不知道VXK的订购情况-1，或者序列（vxk）是否单调。Libor利差的市场数据表明，在“正常”的市场情况下∈ [uxk，uxk-1].更准确地说，一方面，我们有vxk≥ UXK因为伦敦银行同业拆借利率利差为非负。另一方面，如果vxk>uxk-1，则LIBOR利率将比OIS利率高出两倍以上，从同一日期开始，间隔为OIS利率的两倍。这与正常的市场行为相矛盾，hencevxk∈ [uxk，uxk-1] 因此，序列（vxk）也将减少。参数（vxk）和（uxk）的顺序如图4.3（上图）所示。然而，“正常”市场情况与“极端”情况交替出现，即利差高于OIS利率。在图4.3的底部图中，我们绘制了另一种可能的参数顺序（vxk）和（uxk），对应于这种非常高的价差情况。

直观地说，相应模型排列的值取决于参数（vxk）和（uxk）之间的距离，尽管是非线性的。下一个结果涉及多曲线自由行模型的一个重要特性，即其分析可处理性，即模型结构在不同的远期措施下保持不变。更准确地说，过程X在任何前瞻性度量下都是有效的，尽管其“特征”变得依赖于时间。我们参考菲利波维奇（2005）的时间不均匀过程。该性质在推导具有多条曲线110=uxnx的可跟踪仿射LIBOR模型中起着关键作用-1vxNx-1.uxkvxkuxk-1.uxvx0=uxNxuxNx-1.uxk。uxvx。vxNx-1.VxK图4.3。（uxk）和（vxk）两种可能的顺序。在接下来的章节中，利率衍生品的定价公式，因为这意味着在任何远期措施下，任何伦敦银行同业拆借利率集合的规律都是已知的。凯勒·雷塞尔等人（2013年，参见等式（6.14）及其证明）给出了下面的结果，不过，为了完整性，我们在这里提供了一个简短的证明。在第5节中，我们还提供了另一种证据，证明Nx是一种有效的分歧。提案4.6。对于每一个X，过程X是一个时间不均匀的过程，其测量值为IPxk∈ X和k∈ Kx。特别是呃，Xti= 经验φk，xt（w）+hψk，xt（w），Xi, 式中φk，xt（w）：=φtψTN-t（uxk）+w- φtψTN-t（uxk）, （4.12a）ψk，xt（w）：=ψtψTN-t（uxk）+w- ψtψTN-t（uxk）, （4.12b）每w∈ Ik，xwithIk，x:=nw∈ Rd:ψTN-t（uxk）+w∈ 伊藤。（4.13）证据。

使用正向测量之间的密度过程，见（4.8），我们得到了呃，Xti财政司司长= IENhehw，XtiMuxkt/MuxksFsi=IENhexpφTN-t（uxk）+hψTN-t（uxk）+w，XtiFsi/Muxks=expφTN-t（uxk）- φTN-s（uxk）+φt-s（ψTN）-t（uxk）+w）×expDψt-s（ψTN）-t（uxk）+w）- ψTN-s（uxk），XsE，（4.14），其中上述预期对每w∈ Ik，x；召回（2.1）。这表明，在IPxk下，X是一个时间不均匀的过程，而（4.11）则通过在（4.14）中替换s=0，并使用流量方程（2.5）。备注4.7。在所有正向度量下，保持驾驶过程的有效性是所有正向价格模型共享的稳定性，其中过程1+δxFxk=B（·Txk）-1） B（·，Txk）被建模为驱动过程的确定性指数变换。这与后续正向测量之间测量值变化的密度过程有关，具体为DIPxk-1dIPxkFt=B（0，Txk）B（0，Txk）-1） B（t，Txk）-1） B（t，Txk）=1+δxFxk（t）1+δxFxk（0），见（4.8），具有相同的指数形式，并保证在执行测量变化时，驱动过程保持在同一等级。我们参考Eberlein12 Z.GRBAC、A.PAPAPANTOLEON、J.SCHOENMAKERS和D.SKOVMANDand Kluge（2007）的一个例子，了解在所有远期措施下由时间非齐次L’evy过程驱动的远期价格模型。伦敦银行同业拆借利率市场模型（LMM）的精神中的模型，即远期汇率FXK，被建模为指数，不具备这种特性。这些模型中的测量变化产生了驱动过程特征中出现的随机项δxFxk1+δxfxkap（更准确地说，在跳跃随机测量的漂移和补偿器中），在任何不同于终端测量的正向测量下，这破坏了模型的分析可跟踪性。

通常通过将这些项的值冻结在其初始值δxFxk（0）1+δxFxk（0）-一种被称为冻结漂移的近似值，来重新建立可跟踪性。众所周知，这种近似在许多现实环境中是不可靠的；参见Papapantoleon、Schoenmakers和Skovmand（2012）及其参考文献。另一方面，在LMMs中，Fxkis利率的积极性得到了保证，而在远期价格模型中，通常情况可能并非如此。由于其特殊的结构，伦敦银行同业拆借利率模型能够协调这两个属性：利率FX的正性和所有远期措施下驱动过程的结构保留。我们请感兴趣的读者参阅Keller Ressel等人（2013）第3节中关于这个问题的详细讨论。最后，应该强调的是，在当前的市场情况下，观察到的OIS利率也有负值，但这种情况很容易被纳入有效的LIBOR模型中；参见下文第4.1节。备注4.8（单曲线和确定性排列）。通过为所有x设置vxk=UXKF，多曲线自由基模型很容易简化为其单曲线对应模型（参见Keller Reselet al.2013）∈ X和k∈ Kx。另一个有趣的问题是，利差是否可以是确定性的，或者类似地，利差率是否可以是OIS利率的确定性转换。例如，考虑一个二维驱动过程X=（X，X），其中xis是任意一个过程，而X是常数过程（即Xt）≡ 十） 。然后，通过设置UXK-1=（ux1，k）-1,0）和vxk=（ux1,k-1，vx2，k-1） ux1，k在哪里-1，vx2，k-1> 我们到达1+δxLxk（t）=（1+δxFxk（t））evx2，k-1.X.因此，伦敦银行同业拆借利率是OIS利率的一种确定性转换，尽管（3.5）中定义的利差Sxka不是确定性的。在这种情况下，（3.6）中定义的乘法传播Rxkde显然是确定性的。4.1.

一个负利率和正利差的模型。multiplecurve a ffine LIBOR模型产生正利率和利差，这与典型的市场观察结果一致。然而，在当前的市场环境中，已经观察到负利率，而息差仍然是正的。在这种设置中，负利率（以及利差，如果需要）可以通过考虑，例如，Rdin上的一个有效流程而不是Rd>0或“转移”的正有效流程，其中支持（X）∈ [a，∞)a<0。具有多条曲线的仿射伦敦银行同业拆借利率模型13为了说明有效伦敦银行同业拆借利率模型的灵活性，我们提供了一个明确的规定，允许负OIS利率，同时仍保持正利差。它基于特定的驱动过程选择和对矢量UXK和vxk的适当假设。回忆一下Remark4。4.如果驱动过程是多维的，我们在确定初始期限结构时，在选择参数UXK和VXK方面有一定的自由度，我们将在这里加以利用。从（4.3）中的有效伦敦银行同业拆借利率模型开始，我们得到了一个theOIS利率FX的表达式，我们将推导（3.6）中定义的乘法利差Rxka的表达式。我们选择乘法价差作为更方便的量，而不是加法价差Sxkin（3.5），但显然，通过结合（3.5）和（3.6），加法价差和异方差率可以很容易地恢复加法价差，反之亦然。此外，两个吊具都有相同的符号，即Rxk≥ 0当且仅当Sxk≥ 0.下面的模型规格除了可以确保价差相对于期限长度的单调性，这也是市场上观察到的一个典型特征。更准确地说，这意味着对于任意两个TenorsTX和Tx 德克萨斯州，即。

这样δx≤ δx，利差具有以下性质：对于所有k∈ KX和j∈ Kxsuch[Txk]-1、Txk）[Txj-1，Txj）和Txk-1=Txj-1.我们有Rxk（t）≤ Rxj（t），对于所有t≤ Txk-1.也就是说，期限越短，价差越低。例如，在与3个月期同时开始的6个月期中，3个月期的差价低于6个月期的差价。根据（4.3），每x的OIS比率为Fxk∈ X和每k∈ Kx，由1+δxFxk（t）=Muxk提供-1tMuxkt，（4.15），其中我们注意到uxk=ul，对于l，Txk=Tl。这个过程是一个IPXK的构造。乘法扩散系数Rxk（t）现在取m1+δxRxk（t）=1+δxLxk（t）1+δxFxk（t）=Mvxk-1tMuxk-1t，（4.16）这是一个IPxk-1-构造鞅。现在，让我们介绍一种可能的驱动过程选择，它允许适应Fxk（t）∈ R、 在保持Rxk（t）的同时∈ R> 0，以及确保价差相对于期限长度的单调性。我们假设远期OIS利率的初始期限结构为Fxk（0）∈ R和乘法读物Rxk（0）∈ R> 对于每个固定x和所有k，都给出0∈ Kx。此外，我们假设初始价差相对于基调是单调的，即每两个基调x和x都是δx≤ δx，我们有Rxk（0）≤ Rxj（0），对于所有k∈ KX和j∈ KXK和Txk-1=Txj-1.为了确定想法，我们只考虑状态空间R×R>0上的二维有效过程x=（x，x），这样x和x是独立的。该结构可以很容易地扩展到d维a ffine过程14 Z.GRBAC、a.PAPAPANTOLEON、J.SCHOENMAKERS和d.SKOVMANDon Rn×Rm>0，其中n+m=d，使得前n个组分独立于后m个组分。