具有多条曲线的仿射LIBOR模型：理论、实例和应用

现在，我们将导出互换期权定价的有效近似公式。该公式中的主要因素是向前测量下驾驶过程的有效特性和运动边界的线性化。该近似值的数值结果将在第8.3节中报告。我们首先介绍一些将在续集中使用的技术工具和假设。我们定义了每k的概率度量IPxk∈ Kx，通过氡-Nikodym densitydIPxkdIPNFt=MvxktMvxk。显然，在这个过程中，时间是不均匀的。更准确地说，我们有一个直接来自命题4.6的结果。具有多条曲线的仿射LIBOR模型23推论7.1。对于每一个X，过程X是一个时间不均匀的过程，其测量值为IPxk∈ 十、 k∈ Kx，带iexk呃，Xti= 经验φk，xt（w）+hψk，xt（w），Xi, 式中φk，xt（w）：=φtψTN-t（vxk）+w- φtψTN-t（vxk）, （7.5a）ψk，xt（w）：=ψtψTN-t（vxk）+w- ψtψTN-t（vxk）, （7.5b）每w∈ Ik，xwithIk，x:=nw∈ Rd:ψTN-t（vxk）+w∈ 伊藤。（7.6）互换期权的价格由（7.1）提供，为简单起见，我们应在续集中考虑t=0时的价格。我们可以将（7.1）改写为以下形式：s+（K，Txpq）=B（0，TN）IENqXi=p+1Mvxi-1Txp-qXi=p+1KxMuxiTxp{f（XTxp）≥0}= B（0，TN）qXi=p+1enhmvxi-1Txp{f（XTxp）≥0}i（7.7）-KxqXi=p+1enhmuxitxp{f（XTxp）≥0}i,其中，回顾（4.1）和（4.2），我们定义了函数f:Rd>0→ R byf（y）=qXi=p+1expφTN-Txp（vxi-1） +hψTN-Txp（vxi-1） 易-qXi=p+1KxexpφTN-Txp（uxi）+hψTN-Txp（uxi），易. （7.8）该函数确定互换期权价格的行权边界。现在，由于我们不能显式地计算f（XTxp）的特征函数，我们将遵循Singleton和Umantsev（2002）并用线性函数近似f。近似值。

我们估计了EF（XTxp）≈ef（XTxp）：=A+hB，XTxpi，（7.9），其中常数A，B根据Singleton和Umantsev（2002年，第432-434页）中描述的线性回归程序确定。linehB，XTxpi=-A近似于运动边界，因此A和B相互独立。以下假设将用于互换期权和基本互换期权的定价。假设（CD）。XT的累积分布函数是所有t的连续分布函数∈ [0，TN].24 Z.格巴克、A.帕帕潘托里昂、J.舍恩马克斯和D.斯科夫曼德勒=（Z）表示复数Z的虚部∈ C.现在，我们来看一下这一小节的主要结果。提议7.2。假设A、B由近似值（S）确定，且满足该假设（CD）。付款人掉期期权的时间-0价格，包括交易期限K、期权到期日Txp和掉期到期日Txq，近似为是+（K，Txpq）=B（0，TN）qXi=p+1Mvxi-1.+π∞Z=eξxi-1（z）zdz- KxqXi=p+1B（0，Txi）+π∞Z=eζxi（z）zdz, （7.10）式中，ζxiandeξxiare分别由（7.14）和（7.15）定义。证据从（7.7）中的互换期权价格开始，利用终端测量值Ip与测量值Ipxk和IPxkin（4.8）和（7.3）之间的关系，我们得到S+（K，Txpq）=B（0，TN）qXi=p+1Mvxi-1IExi-1h{f（XTxp）≥0}i- KxqXi=p+1B（0，Txi）IExih{f（XTxp）≥0}i.（7.11）此外，根据Gil Pelaez（1951）的反演公式，并使用假设（CD），我们得到了该公式{f（XTxp）≥0}=+π∞Z=（ζxi（Z））zdz，（7.12）IExi{f（XTxp）≥0}=+π∞Z=（ξxi（Z））zdz，（7.13）对于每个i∈ Kx，我们定义ζxi（z）：=IExi经验izf（XTxp）ξxi（z）：=IExi经验izf（XTxp）.然而，通常无法明确计算上述特征函数，因此我们将按照近似描述线性化运动边界。也就是说，由于X在正向测度下的有效性质，我们用允许显式表达式的函数来近似未知特征函数。

实际上，使用近似，命题4.6和推论7.1，我们得到ζxk（z）≈eζxk（z）：=IExk经验izef（XTxp）= 经验izA+φk，xTxp（izB）+ψk，xTxp（izB），X, （7.14）ξxk（z）≈eξxk（z）：=IExk经验izef（XTxp）= 经验izA+φk，xTxp（izB）+ψk，xTxp（izB），X. （7.15）在（7.11）中插入（7.12）和（7.13）并使用（7.14）和（7.15）wearrive后，具有多条曲线的仿射伦敦银行同业拆借利率模型（7.10）。备注7.3。互换期权的定价本质上是一个高维问题。（7.1）中的期望值对应于d维积分，其中d是驱动过程的维数。然而，运动边界通常是非线性的，难以计算。有关允许显式解决方案的一些例外情况，请参见Brace等人（1997年）、Eberleinand Kluge（2006年）或Keller Ressel等人（2013年，§7.2，§8.3）。或者，你可以用写在2（q）上的零击篮选项来表示交换- p） 标的资产和定价方法；参见Hubalek和Kallsen（2005）或Hurd和Zhou（2010）。这导致了2（q-p） -三维数值积分。相反，本节中得出的近似值只需要计算2（q- p） 一元积分加上常数A、B的计算，大大降低了问题的复杂性。7.2. 基本交换选项的近似公式。在本小节中，我们推导了一个类似的基本互换期权近似定价公式。

该近似值的数值结果将在第8.4节中报告。与互换期权的情况类似，我们可以将基本互换期权（7.2）的时间-0价格改写如下：BS+（S，Txpq，Txpq）==B（0，TN）qXi=p+1伊恩Mvxi-1Txp{g（XxTp）≥0}- 伊恩MuxiTxp{g（XxTp）≥0}-qXi=p+1伊恩Mvxi-1Txp{g（XTxp）≥0}- SxIENMuxiTxp{g（XTxp）≥0},（7.16）我们定义了函数g:Rd>0→ R byg（y）=qXi=p+1expφTN-Txp（vxi-1） +hψTN-Txp（vxi-1） 易-qXi=p+1expφTN-Txp（uxi）+hψTN-Txp（uxi），易-qXi=p+1expφTN-Txp（vxi-1） +hψTN-Txp（vxi-1） 易+qXi=p+1SxexpφTN-Txp（uxi）+hψTN-Txp（uxi），易, （7.17）确定基础互换期权价格的行权边界。在Singleton andUmantsev（2002）之后，这将由一个线性函数来近似。近似值（BS）。我们估计（XTxp）≈ 例如（XTxp）：=C+hD，XTxpi，（7.18）26 Z.GRBAC，A.PAPAPANTOLEON，J.SCHOENMAKERS和D.Skovmand，其中C和D通过线性回归确定。提议7.4。假设C、D由近似值（BS）确定，且假设（CD）满足。带价差S、期权到期日Txp=Txp和掉期到期日Txq=Txq的基差互换期权的时间-0价格近似为FBS+（S、Txpq、Txpq）=B（0，TN）qXi=p+1Mvxi-1.+π∞Z=eξxi-1（z）zdz-qXi=p+1B（0，Txi）+π∞Z=eζxi（z）zdz- B（0，TN）qXi=p+1Mvxi-1.+π∞Z=eξxi-1（z）zdz（7.19）+SxqXi=p+1B（0，Txi）+π∞Z=eζxi（z）zdz,式中，对于l=1,2，ζxliandeξxliane由（7.20）和（7.21）定义。证据从（7.16）中给出的基础互换期权价格表达式开始，我们遵循与上一节相同的步骤：首先，我们使用终端度量值Ip和度量值IPxk，IPxk之间的关系，得出类似于（7.11）的表达式。第二，我们用（7.18）中的eg来近似g。

第三，我们定义了可以显式计算的近似特征函数：eζxli（z）：=IExli经验izeg（XTxlpl）= 经验izC+φi，xlTxlpl（izD）+ψi，xlTxlpl（izD），X, （7.20）eξxli（z）：=IExli经验izeg（XTxlpl）= 经验izC+φi，xlTxlpl（izD）+ψi，xlTxlpl（izD），X, （7.21）对于l=1，2。最后，把所有的部分放在一起，我们得出了基差互换期权价格的近似公式（7.19）。8.数值示例和校准本节的目的有两个：一方面，我们演示如何根据市场数据校准多曲线伦敦银行同业拆借利率模型，另一方面，我们测试互换期权和基础互换期权近似公式的准确性。我们首先讨论如何建立一个模型，当期权具有不同的基本期限时，该模型可以同时影响资本资产的波动性。接下来，我们使用校准的模型和参数对swaption和basis swaption近似公式（7.10）和（7.19）进行数值测试。在最后一小节中，我们建立了一个简单的模型，并在一个可以被感兴趣的读者轻松复制的设置中计算出精确和近似的互换期权和基本互换期权价格。具有多条曲线的仿射LIBOR模型278.1。具有依赖率的规范。构建模型的方法有很多种，其代价通常是在节约和可购买性之间。我们在这里选择了一种高度参数化的方法，该方法侧重于拟合能力，因为我们认为它最好地证明了我们模型的实用性。

特别是，我们想表明，由正向过程驱动的伦敦银行同业拆借利率模型确实可以很好地根据市场数据进行校准。此外，从一个复杂的规范到一个简单的规范通常比反之更容易。我们在下面提供了一个模型规范，其中伦敦银行同业拆借利率由共同和特殊因素驱动，适用于按市场数据进行顺序校准。起点是重新考虑伦敦银行同业拆借利率sin（4.3）的表达式：1+δxLxk（t）=Mvxk-1t/Muxkt（8.1）=expφTN-t（vxk-1) - φTN-t（uxk）+ψTN-t（vxk-1) - ψTN-t（uxk），Xt.根据命题4.2，当驱动过程的维数大于1时，向量vxk-1和uxkare不完全由初始期限结构决定。因此，我们可以通过改变序列（uxk）和（vxk）的结构来浏览不同的模型规格。备注8.1。以下观察结果可以为伦敦银行同业拆借利率创建一个（指数）线性因素结构，其中包含所需的尽可能多的常见和特殊因素。考虑一个Rd>0值的有效进程X=（X，…，Xd），（8.2），并表示向量vxk-1，uxk∈ Rd>0byvxk-1=（vx1，k-1.vxd，k-1） 和uxk=（ux1，k，…，uxd，k）。（8.3）选择子集Jk {1，…，d}，设置vxi，k-1=uxi，kfor all i∈ 假设{Xi}i∈jk独立于{Xj}j∈{1，…，d}\\Jk。然后，根据（8.1）和凯勒·雷塞尔（2008年，第4.7号提案），Lxkwill也将独立于{Xi}i∈Jkand将只依赖于{Xj}j∈{1，…，d}\\Jk。使用相同的随机变量或不同的随机变量构建模型；另见第4.1节。让x，x∈ 然后考虑榫结构Tx，Tx其中Tx 德克萨斯州。考虑中的数据集包含在每个期限的M个不同日期到期的Caplet，其中M小于Tx和Tx中的期限点数。

换句话说，只有M个到期日与校准相关。OIS和LIBOR利率的动态由一个有效进程的元组驱动dxit=-λi（Xit）- θi）dt+2ηiqXitdWit+dZit，（8.4）dXct=-λc（Xct）- θc）dt+2ηcpXctdWct，（8.5）对于i=1，M、 其中xC表示第i个成熟度的共同和特殊因素。这里是Xi∈ R> 0，λi，θi，ηi∈ R> 对于0c，i=1，M、 还有Wc，W，WM是独立的布朗运动。此外，Ziare28 Z.GRBAC、A.PAPAPANTOLEON、J.SCHOENMAKERS和D.SKOVMANDux `（M）=~ux`（M）0。0\'ux`（米）ux`（M）-1=~ux`（M）-10 . . . 0\'ux`（米）-1.ux`（M）-2=~ux`（M）-20 . . . 0\'ux`（米）-2.ux`（M）-3=~ux`（M）-30 . . . 0\'ux`（米）-3.ux`（M）-1)=~ux`（M）-1)0 . . . 0 0\'ux`（米）-1） \'ux`（M）-3.ux`（M）-1)-1=~ux`（M）-1)-10 . . . 0 0\'ux`（米）-1)-1“ux”（米）-3.ux`（M）-1)-2=~ux`（M）-1)-20 . . . 0 0\'ux`（米）-1)-2“ux”（米）-3.ux`（M）-1)-3=~ux`（M）-1)-30 . . . 0 0\'ux`（米）-1)-3“ux”（米）-3.ux`（M）-2)=~ux`（M）-2)0 . . . 0\'ux`（M-2） \'ux`（M）-1)-3“ux”（米）-3......................ux`（1）=~ux`（1）~ux`（1）~ux`（2）-3.\'ux\'（M-2)-3“ux”（米）-1)-3“ux”（米）-3.........................ux=~ux\'ux\'ux`（2）-3.\'ux`（M）-2)-3“ux”（米）-1)-3“ux”（米）-3.图8.4。该序列包含拟议的“对角线加公共”因子结构。在这个特殊的例子中，x=3个月，小囊在整年内成熟。具有常数强度的独立复合泊松过程和平均值为ui的指数分布跳跃，对于i=1，M因此，整个过程的维度为M+1:X=Xc，X，XM, （8.6）和工艺特定参数的总数等于5M+3。有效过程Xc，X，因此，使用命题4，它们是相互独立的。7在Keller-Ressel（2008）中，函数φ（Xc，Xi），分别是ψ（Xc，Xi），已知函数φXc和φXi，分别是ψXc和ψXi，用于∈ {1，…，M}。

后者由Grbac和Papapantoleon提供（2013年，Ex.2.3）。为了创建一个“对角线加公共”的因素结构，其中每个期限的每个费率由一个特殊因素Xian和公共因素Xc驱动，我们将使用备注8.1。我们从最长的成熟期开始，它由特质因子Xm和公因子Xc驱动。然后，在下一个caplet到期日，我们加入独立特质因子XM-1，我们通过“冻结”对应于该因子的uxandvx值来抵消xm的贡献。重复进行施工，UX和vx的结果结构如图8.4和8.5所示，其中特定“对角线”下方的UX元素被“冻结”为最新设定值，并复制到vx。这些结构产生了期望的特性，即每个速率都由一个特殊的和共同的因素驱动，而它们不违反vxk≥ uxk≥ uxk+1，源自命题4.1和4.2。在图8.4和8.5中，`（k）：=k/δxf或k=1，M、 也就是说，该函数将到期日映射为期限点。此外，这些矩阵中的所有元素都是非负的，uxNx=vxNx=0∈ RM+1。具有多条曲线的仿射LIBOR模型29vx`（M）=~vx`（M）0。0英寸vx英寸（米）vx`（M）-1=~vx`（M）-10 . . . 0英寸vx英寸（米）-1.vx`（M）-2=~vx`（M）-20 . . . 0英寸vx英寸（米）-2.vx`（M）-3=~vx`（M）-30 . . . 0英寸vx英寸（米）-3.vx`（M-1)=~vx`（M-1)0 . . . 0 0英寸vx`（M-1） \'ux`（M）-3.vx`（M-1)-1=~vx`（M-1)-10 . . . 0 0英寸vx`（M-1)-1“ux”（米）-3.vx`（M-1)-2=~vx`（M-1)-20 . . . 0 0英寸vx`（M-1)-2“ux”（米）-3.vx`（M-1)-3=~vx`（M-1)-30 . . . 0 0英寸vx`（M-1)-3“ux”（米）-3.vx`（M-2)=~vx`（M-2)0 . . . 0’vx`（M-2） \'ux`（M）-1)-3“ux”（米）-3.vx`（M-2)-1=~vx`（M-2)-10 . . . 0’vx`（M-2)-1“ux”（米）-1)-3“ux”（米）-3......................vx`（1）=~vx`（1）~vx`（1）~ux`（2）-3.

\'ux\'（M-2)-3“ux”（米）-1)-3“ux”（米）-3.vx`（1）-1=~vx`（1）-1“ux”（1）-3“ux”（2）-3.\'ux\'（M-2)-3“ux”（米）-1)-3“ux”（米）-3.........................vx=<<vx>>ux`（1）-3“ux”（2）-3.\'ux\'（M-2)-3“ux”（米）-1)-3“ux”（米）-3.图8.5。序列VX类似于toux。在这个特殊的例子中，x=3个月，并且在整年内完成。在Tx的每个期限日期都不可用的情况下，装箱要素是唯一对定价能力有影响的要素。共同因素的影响由vxk之间的差异决定-1和uxk。如果我们设置vxk-1=~uxk，从备注8.1可以看出，lxk独立于公因子xc，因此仅由相应的特质因子Xi确定，k=`（i）。如果vxk和uxkar的值是预先确定的，则剩余值（\'uxk）k=1，。。。，Nxand（`vxk）k=1，。。。，Nx由OIS和LIBOR利率的初始期限结构唯一确定；再次参见命题4.1和4.2。该模型结构与vxk一致-1.≥ uxk-1.≥ uxkif和仅当序列ux和ux减少时，~vxk≥ <<uxkand>>vxk≥ \'-uxkfor everyk=1，Nx。此外，该结构将与备注4.5中描述的“正常”市场状况相一致，前提是vxk∈ [~uxk，~uxk-1] 和“vxk”∈ [\'uxk，\'uxk-1] 每k=1，Nx。xtenor的相应矩阵以类似的方式构造。更准确地说，ux是通过简单地从ux复制相关行来构建的。同时，对于vxk元素（`vxk）k=0，。。。，引入NX是为了确定x初始伦敦银行同业拆借利率期限结构，以及元素（~vxk）k=0，。。。，这些因素决定了共同因素的作用。为了简洁起见，我们在图8.6和8.7中仅展示了这些矩阵中的四行。8.2. 校准caplet数据。我们用于校准的数据来自2013年5月27日从彭博社收集的欧元市场。

这些市场数据对应于完全抵押的合同，因此被认为是“干净的”。彭博社提供欧元银行同业拆借利率的合成零息票债券价格，以及按照Akkara（2012）中描述的方式构建的OIS利率。在《我们的30》中，Z.格巴克、A.帕帕潘托里昂、J.舍恩马克斯和D.斯科夫曼杜`（M）=~ux`（M）0。0 0\'ux`（米）ux`（M）-1=~ux`（M）-20 . . . 0 0\'ux`（米）-2.ux`（M）-1)=~ux`（M）-1)0 . . . 0\'ux`（M-1） \'ux`（M）-3.ux`（M）-1)-1=~ux`（M）-1)-20 . . . 0\'ux`（M-1)-2“ux”（米）-3.图8.6。ux的前四行。在这个特殊的例子中，x=6个月，小囊在整年内成熟。vx`（M）=~vx`（M）0。0 0英寸vx`（米）vx`（M）-1=~vx`（M）-10 . . . 0 0英寸vx`（米）-1.vx`（M-1)=~vx`（M-1)0 . . . 0’vx`（M-1） \'ux`（M）-3.vx`（M-1)-1=~vx`（M-1)-10 . . . 0’vx`（M-1)-1“ux”（米）-3.图8.7。vx的前四行。在这个特殊的例子中，x=6个月，小囊在整年内成熟。0 2 4 6 8 10 120.0020.0040.0060.0080.010.0120.0140.0160.0180.02 300万欧元或600万欧元的初始零息票利率图8.8。零息票利率，欧元市场，2013年5月27日。例如，我们将只关注3个月和6个月的期限。零息票债券价格被转换为零息票利率，并绘制在图8.8中。Cap价格使用Evin（2012）中描述的算法转换为caplet隐含波动率。隐含波动率是在使用Black（1976）公式时使用OIS贴现计算的。我们处置的caplet数据与3个月和6个月的期限结构有关。更准确地说，在欧元区，3个月期限的上限仅在2年内报价，而6个月期限的上限从3年及以后的到期日报价。此外，我们的期权价格仅适用于与整年相对应的到期日，而不是每个期限点。据彭博社报道，我们有14次罢工，从1%到10%不等。