具有建设时间和不确定性的明确投资规则

这个假设保证了有一些κ依赖于u，σs.t.0≤ v（c，d）≤ κ（1+| c+| d |），（c，d）∈ 特别是，它意味着值函数v是有限且局部有界的。Federico和Pham[2014]证明了以下事实。1.v相对于变量c2是凸的。v相对于c是可区分的，而vc在S3中是连续的。函数d7→ vc（c，d）不会随着c的增加而增加∈ R4。风险投资≥ -qFederico和Pham[2014]处理可逆问题。我们可以通过计算撤资的有限成本来应用他们的结果。法拉利[Foth.]研究了带有最大化准则的不可逆情况，具有类似的普遍性。鉴于这些事实，现在有了延续区域c:={（c，d）∈ S|vc（c，d）>-q} ，（27）和行动区域a:={（c，d）∈ S | vc（c，d）=-q} 。（28）因此，C和A是不相交的，S=C∪A.由于vc的连续性，连续区域是S的开集，而作用区域是S的闭集。此外，由于vc（c，·）的单调性和v（·，d）的凸性，c和A可以重写为asC={（c，d）∈ S |c>^c（d）}，A={（c，d）∈ S|c≤ ^c（d）}，（29）其中^c:O→ R是一个非递减函数。后一个函数是问题的最优边界，因为它是最优控制的特征。因此，在这种奇异随机最优控制中，最优控制包括通过沿控制方向在最优边界上反映受控过程，使状态过程保持在连续区域C的闭合范围内。参见图1。dCAo^c（d）c图1：需求承诺容量空间中的持续区域（c）和行动区域（A）。我们对^c有一个明确的描述，也就是下面的结果所提供的最优控制。定理1。

最优边界显式表示为^c（d）=β（d）- qρeρh+σ（d）β（d）ψ（d）- β（d）ψ（d）ψ（d），（30），其中β（d）在（20）中定义为EDdh,β（d）：=Z+∞E-ρtE[β（Ddt）]dt，（31）和ψ是线性常微分方程[Lφ]（d）的严格递增基本解：=ρφ（d）- u（d）φ（d）-σ（d）φ（d）=0，d∈ O.（32）问题（24）的唯一最优控制是过程i*t=“^csup0”≤s≤tDds！- c#+。（33）证据。Federico和Pham[2014]的定理4.2和推论5.2用^c（d）=ρ陈述了上述主张β（d）-ψ（d）ψ（d）β（d）- qeρh, （34）因此，如果（34）可以改写为（30）形式，那么它更适合解释。为此，因为ψ解ODE（32），所以我们有^c（d）=ρβ（d）- u（d）β（d）-σ（d）ψ（d）ψ（d）β（d）- qρeρh.（35）另一方面，从线性常微分方程和一维微分方程之间的联系可知，函数β用强迫项β：Lβ=β求解非齐次常微分方程（32）。（36）因此，结合（35）和（36），表达式（30）如下。考虑到价格过程，上述计算的社会最优投资也是一种价格投资者的最大化投资。因此，最优解可以被分散为竞争均衡：命题2。让pc，d，*使价格过程处于最佳状态。我们有Z+∞E-ρt个人电脑，d，*T- ηdt≤ q、 （37）当且仅当（c，d）∈ A.更准确地说，如果额外单位的预期当前收入严格低于其成本，则投资为零，而在平等的情况下，所有有利的机会都已用尽。证据见附录B.3.3边界的解释（30）定义的边界^c（d）和（33）定义的最优控制易于解释。边界由三项组成：^c（d）=β（d）- bρ- bσ（d）。(38)1.

β（d）是h年后d的预期值：当投资开始运作时，人们承诺满足预期的需求。2.贴现偏差bρ=qρeρ表明投资立即支付，而产能不足的成本则被贴现。这种影响可以通过该模型的启发式非随机版本进行检索。表示为, 与最佳估计β（d）相比，产能的永久性下降。投资者永久性地承担损失总精算成本为ρ. 通过转移产能节省的总成本为q. 投资家-ρhρ- Q （39）关于. 最小化 是qρeρh。然而，请注意，这里我们有一个术语eρh乘以q。这是因为我们的函数g等于Federico和Pham[2014]第5节中的函数g，直到常数e-ρh.3。预防性偏差σ（d）：=σ（d）β（d）ψ（d）ψ（d）- β（d）. （40）由于需求过程的随机性，给出了安全边际。例如，如果σ（d）=0，则为空。如果我们假设α漂移u（d）=ad+b，那么计算会更进一步。那么β（d）=deah- bh1- 哈哈。（41）该比率必须视为-当a=0时为1。因此，在这种情况下，β=0，bσ（d）=σ（d）eahρ- aψ（d）ψ（d）。（42）对于后一项bσ（d）：o只有当a 6=0时，延迟才会产生影响。

a的符号决定了延迟的影响：如果a>0（a<0），当h增加时，未来的不确定性会增加（减少），这就证明了更大（更小）的偏差系数σ（d）是局部的，它只考虑了局部风险因子ψ（d）ψ（d）>0考虑了全球风险。这个术语是一种绝对风险规避，与D的动力学有关，而不是延迟。几何布朗运动。1需求遵循几何布朗运动（GBM）的情况下的边界：dDt=udtdtt+σDtdWt，u∈ R、 σ>0，（43）初始数据d>0时，验证（13）的最小常数κ为2u+σ。因此，根据（25），我们假设ρ>2u+σ。（44）在这种情况下O=（0+∞) β（d）=euhd和β（d）=euhρ- ud.（45）此外，[Lφ]（d）=ρφ（d）- udφ（d）-σdφ（d），φ∈ C（O；R），（46）且Lφ=0的基本递增解是ψ（d）=dm，（47）罗杰斯和威廉姆斯[2000，Prop.（50.3），Ch.V（p.292）]证明ψ严格递增且是凸的。其中m是方程ρ的正根- um-σm（m）- 1) = 0. （48）根据定理1，我们有^c（d）=deuh- qρeρh-σeuhρ- u（m）- 1） d，（49）其中m=σru -σ+ 2ρσ-u -σ!. （50）此外，（44）意味着m>2.4.2比较静力学，即^c（d）=Ad- qρeρh，其中A=euhρ- u2ρ - u +σ-su -σ+ 2ρσ. （51）下一个结果分析了边界的敏感性，从而分析了作用区域对模型参数的敏感性。提议3。GBM案例中的边界具有以下属性：1。^c（d）q<02。A>03。哈A.h=uh，符号为u4。σAA.σ= -σq（u）-σ)+2ρσ< 05.uAA.u=uh+uρ-u1.-u+σq（u-σ)+2ρσ, 它的符号是u6。ρAA.ρ=ρσ+u-uσ-uq（u-σ)+2ρσ(ρ-u）q（u）-σ） +2ρσ>0证明。属性1、3和4是直接的。其他属性涉及相同的分母平方根。

在所有情况下，通过显示分子可以重新排列和简化，以显示其符号仅依赖于ρ（ρ）的符号来确定符号- u），这是阳性的。这些测定确保所有相关参数的术语具有相同的符号。物业2表示，该投资是对当前需求的响应。地产3展示了u的重要性：例如，当u>0时，更长的延迟首先意味着更高的未来需求，因此更高的投资。房地产4证实，不确定性越大，投资者就越谨慎。类似的逻辑解释了属性5。如果只关注预防性偏差，那么bσ（d）=euhρ- uru -σ+ 2ρσ-u +σ!d>0。（52）但是，ubσ（d）bσ（d）u= uH-ρ - u2ρ-u+σ-q（u）-σ） +2ρσq（u）-σ)+2ρσ. （53）在第二个因素中，第一项为正，第二项为负。我们采用u>0进行讨论。例如，弹性的整体标志取决于h：如果h很小，则弹性为负（预防性偏差随着μ的增加而减小）；如果h较大，则弹性为正（预防性偏差增加）。财产6表明贴现率有两个明显的对抗性影响：贴现偏差相对于ρ的绝对值增加，因为投资收益被贴现；预防性偏差在绝对值减少，因为未来成本被贴现。因此，ρbσ（d）bσ（d）ρ=ρρ - uu+σ-q（u）-σ） +2ρσq（u）-σ)+2ρσ< 0. （54）4.3模拟如果ρ=0.08，u=0.03，σ=0.1，那么在h=1和h=8时，w.r.t.对h的弹性分别为3%和24%。w.r.t.σ的弹性为-21%，无论h值是多少。当h=1时，bσ（d）w.r.t.对h的弹性为3%，当h=8时，bσ（d）w.r.t.对h的弹性为24%。bσ（d）w.r.t.σ的弹性为153%，无论h为多少。图2显示了h=8和σ=0.06的需求轨迹，起点为d=10。

在需求（偶然）稳定期间，承诺的产能停止增长。考虑到长时间的延迟，承诺的产能几乎总是超过需求。0 5 10 15 20 25 30 35 400.511.522.533.544.55x 104MWtime（年）几何情况图2：H=8年且σ=0.06.5 CIR模型5时几何情况下的需求、承诺和装机容量行为。1需求遵循Cox-Ingersoll-Ross模型的情况下的边界：dDt=γ（δ- Dt）Dt+σpDtdWt，γ，δ，σ>0，（55）然后，在假设2γδ下≥ σ、 我们有O=（0+∞). 我们认为这个假设是正确的。在这种情况下，对于任何ε>0的情况，也用κ=ε验证（13）。因此，根据（25），我们假设ρ>0。这种情况下，β（d）=e-γhd+（1）- E-γh）δ和β（d）=e-γhd- δρ + γ+δρ. （56）此外，[Lφ]（d）=ρφ（d）- γ(δ -d） φ（d）-σdφ（d），φ∈ C（O；R），（57）和Lφ=0的递增基本解是ψ（d）=M（ρ/γ，2γδ/σ，2γd/σ），（58），其中M是第一类的反超几何函数。因此，^c（d）=e-γhd+（1）- E-γh）δ- qρeρh-σe-γhρ+γψ（d）ψ（d）（59）=δ+e-γh（d）- δ) - qρeρh- E-γhσ2γδ+σM2+ργ，2+2γΔσ，2dγσM1+ργ，1+2γδσ，2dγσd、 （60）5.2比较静力学根据以下结果，对边界的样式化版本进行分析。提议4。CIR模型中的边界验证：1。d=0时的切线：切线（d）=γδγδ+σe-γhd+1.- E-hγδ - qρehρ（61）2。d时渐近线→ ∞:渐近线（d）=ρρ+γe-γhd+1.-ρ+γe-γhδ -σ2γρρ+γe-γh- qρeρh（62）3。上面两条线的交点是δ+σ2γ，δ- qρeρh！（63）见Abramowitz和Stegun[1965]。证据切线的计算由M:M（a，b，z）的级数展开式立即给出=∞Xs=0（a）s（b）ss！zs=1+abz+a（a+1）b（b+1）2！为了计算渐近线，我们从（34）开始。设M（a，b；z）是第一类具有参数a，b的反超几何函数。

然后（i）zM（a，b；z）=a（M（a+1，b；z）- （这里是导数w.r.t.z）（ii）M（a，b；z）~Γ（b）Γ（a）ezza-b、 当z→ ∞使用（i），M（a，b；z）zM（a，b；z）=M（a，b；z）zM（a，b；z）=M（a，b；z）a（M（a+1，b；z）- M（a，b；z））=aM（a+1，b；z）M（a，b；z）- 1., （65）使用（ii），我们得到limz→∞M（a，b，z）zM（a，b；z）=0。（66）因此，^c的渐近线的斜率为α：=limd→∞^c（d）d=limd→∞ρβ（d）d=ρρ+γe-γh.（67）计算为：κ：=limd→∞^c（d）- 因此，κ=δ1.-ρ+γe-γh- κρ+γe-γh- qρeρh，（69）式中κ：=limd→∞ψ（d）ψ（d）。（70）为了计算后者，（i）用于获得M（a，b；z）M（a，b；z）=zaM（a+1，b；z）M（a，b；z）- 1.. （71）然后，使用（ii）和aΓ（a）=Γ（a+1）getslimz→∞M（a，b；z）M（a，b；z）=limz→∞zz- a=1。（72）因此，给定感兴趣的函数M（ρ/γ，2γδ/σ，2γd/σ），得到κ=σ2γ。渐近线的表达式如下。交点的表达式是点1的直接含义。和2。这是我的主张。对于经济解释，^c（d）有一个程式化的表达式：min{切线（d），渐近线（d）}。（73）扭结点δ +σ2γ, δ - qρeρh如果不确定性与收敛速度相比很小，则接近（δ，δ）。当h和σ很小时，切线是45度线减去贴现偏差：承诺产能跟随需求。渐近线是保守的，因为每单位需求增加，容量仅增加ρρ+γ。与波动率（小σ/γ）相比，具有较大的收敛速度，不确定性对边界的影响可以忽略不计。随着h的增加，切线和渐近线变得越来越模糊：当延迟更长时，由d测量的当前条件无关紧要。影响是有意义的。回归均值意味着，随着延迟的增加，当前需求逐渐失去对未来需求预测的相关性。

在大延迟的限制下，不需要任何预防性偏差。5.3模拟CIR模型提供了一个丰富的环境来分析构建时间、波动性和不同收敛速度的影响。以下参考参数为：初始值需求为10，贴现率为ρ=0.08，长期需求为δ=20，需求以γ=0.8的速度接近该极限，备选方案考虑延迟h=1或8，需求波动率σ=0.1或0.05的四种情况。图3（左）给出了四个边界。然而，h=8的两个边界几乎完全模糊。另外两个有非常接近的切线和渐近线，很难从视觉上辨别。还绘制了45度线。图3（右）显示了h=8和σ=0.2的轨迹。承诺容量立即达到最大值，然后变化很小，除非需求首次达到异常高的水平。10 12 14 16 18 20 22 26 28 3010112141618202224262830承诺产能需求案例大平均值逆转0 5 10 15 20 25 30810121416182022GWtime（年）大平均值CIR案例-反转图3：（左）投资边界。（右）CIR模型的需求、承诺和装机容量行为，延迟八年，平均值大幅回归（γ=0.8）。图4（左）显示了四个边界，其参数与图3中相同，但γ=0.08除外。与收敛速度更快的边界相比，边界有一个不太明显的扭结：边界更像45度线，因为需求发展得更慢，而且它们在位置和坡度方面更相似。图4（右）显示了h=8和σ=0.2的轨迹。承诺产能对当前条件的反应更灵敏，因为与γ较大时相比，承诺产能更能预测未来需求。

这种影响在需求水平低于20或高于20时起作用。10 12 14 16 18 20 22 26 28 3010112141618202224262830承诺产能需求案例小均值逆转0 5 10 15 20 25 30810121416182022GWtime（年）具有大均值的CIR案例-反转图4：（左）投资边界。（右）CIR情况下的需求、承诺和装机容量行为，八年延迟和小均值回归（γ=0.08）。6结论电力需求具有随机性，对价格敏感。我们对预期二次损失的最小化是建立在微观经济理论基础上的，我们的最优解可以实现为竞争均衡。在本文中，考虑了投资决策和新产能激活之间的延迟，我们刻画了重要类需求过程的显式决策规则。封闭式解决方案的好处无论怎么强调都不过分，因为我们可以在投资者的决策中显示建设时间和不确定性之间的相互作用。特别是，我们确定了基本规则和两个纠正条款：如果投资者的承诺产能（即管道中的产能）低于对未来需求、当前给定需求和延迟的最佳线性估计，投资者应进行投资，这是由不确定性和全球风险规避决定的贴现偏差和预防性偏差。后一个术语因需求模型的不同而有很大差异。在算术布朗运动中，延迟和不确定性具有加性分离效应。在几何布朗运动中，冲击呈指数级放大，因此随着延迟时间的延长，限制未来产能的成本将变得更高。另一方面，打折也加剧了延迟。当延迟增加时，这些相反的影响中的哪一个主导着另一个的问题可以通过我们的明确表达来解决。

在CIR的情况下，回归均值意味着随着延迟的增加，当前需求逐渐失去对未来需求预测的相关性。在大延迟的限制下，不需要预防性偏见。算术布朗运动。1 Frontier根据算术布朗需求模型，我们的模型是Bar Ilanet等人[2002]的一个特例，其中固定投资成本为零。最优策略更简单。需求动态为：dDt=udt+σdWt，u∈ R、 σ>0，（74）然后O=R和（13）用κ=ε验证每个ε>0。因此，根据（25），我们假设ρ>0。因此，[Lφ]（d）=ρφ（d）- （d）-σφ（d），φ∈ C（O）。（75）Lφ=0的递增基本解是ψ（d）=eλd，其中λ是ρ的正解- uλ -σλ= 0. （76）因为在这种情况下，β（d）=d+uh和β（d）=uhρ+dρ+uρ。（77）根据定理1，^c是一个函数：^c（d）=d+uh- qρeρh-pu+2ρσ- u2ρ. （78）A.2比较统计学考虑到^c（d）Hσ= 0. （79）无论何时建造h，投资都会以同样的方式受到σ增加的阻碍，反之亦然。与Bar Ilan等人[2002]相反，这种加性可分性使得很难用该模型找到不确定性和延迟之间的交叉影响。不确定性的增加总是阻碍投资：^c（d）/σ = -σpu+2ρσ<0。（80）^c（d）相对于构建h的时间的变化为^c（d）/h=u- qρeρh.（81）如果u相对较大，其影响是加速投资。如果h相对较大，那么与未来贴现损失相比，投资成本似乎较大，投资受到阻碍。我们检索了几何布朗运动中遇到的影响。此外^c（d）/u=h+2ρ1.-u√u+2ρσ> 0，（82）和^c（d）/ρ = -q（1+hρ）eρh+u+ρσ- upu+2ρσρpu+2ρσ！。