具有建设时间和不确定性的明确投资规则

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英文标题：
《Explicit investment rules with time-to-build and uncertainty》
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作者：
Ren\\\'e Aid, Salvatore Federico, Huy\\^en Pham, Bertrand Villeneuve
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We establish explicit socially optimal rules for an irreversible investment deci- sion with time-to-build and uncertainty. Assuming a price sensitive demand function with a random intercept, we provide comparative statics and economic interpreta- tions for three models of demand (arithmetic Brownian, geometric Brownian, and the Cox-Ingersoll-Ross). Committed capacity, that is, the installed capacity plus the in- vestment in the pipeline, must never drop below the best predictor of future demand, minus two biases. The discounting bias takes into account the fact that investment is paid upfront for future use; the precautionary bias multiplies a type of risk aversion index by the local volatility. Relying on the analytical forms, we discuss in detail the economic effects.
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中文摘要：
我们为具有建设时间和不确定性的不可逆投资决策建立了明确的社会最优规则。假设具有随机截距的价格敏感需求函数，我们为三种需求模型（算术布朗、几何布朗和Cox-Ingersoll-Ross）提供了比较静态和经济解释。承诺产能，即装机容量加上管道投资，决不能低于未来需求的最佳预测值减去两个偏差。贴现偏差考虑到投资是为未来使用而预先支付的事实；预防性偏差将一种风险规避指数乘以局部波动率。根据分析表格，我们详细讨论了经济效应。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Explicit_investment_rules_with_time-to-build_and_uncertainty.pdf (694.08 KB)

2022-5-6 06:35:30 上传

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关键词：不确定性 确定性 不确定 Mathematical IRREVERSIBLE

具有建设时间和不确定性的明确投资规则*RenéAid+Salvatore FedericoHuyèn Pham§Bertrand Villeneuve*2014年6月3日摘要我们为一个具有时间和不确定性的不可逆转投资决策建立了明确的社会最优规则。假设具有随机截距的价格敏感需求函数，我们为三种需求模型（算术布朗、几何布朗和theCox Ingersoll-Ross）提供了比较静态和经济解释。承诺产能，即装机容量加上管道投资，决不能低于未来需求的最佳预测值减去两个偏差。贴现偏差考虑到了这样一个事实，即投资是为未来使用而预先支付的；预防性偏差将一种风险规避指数乘以局部波动率。根据分析形式，我们详细讨论了经济影响。关键词：最优容量；不可逆转的投资；奇异随机控制；是时候建设了；延迟方程。AMS分类：93E20、49J40、91B38。JEL分类：C61；D92；E22。1简介当建设时间阻碍产能扩张时，如何跟踪需求？什么时候投资，多少钱？我们用一个不可逆转的投资模型来回答这些问题。在该模型中，决策者的目标是最小化总贴现社会成本。也就是说，决策者将标准微观经济社会盈余最大化。我们能够特别表明，该解决方案是可以实现竞争平衡的。我们能够计算明确、紧凑的决策规则。在许多资本主义行业，施工延误至关重要。在本文中，我们关注发电。

在这一领域，建设延迟可能相当大：小型风电场可能只有一年，但天然气涡轮机可能有三年，核电站可能有八到十年。需求演变的情景及其趋势、阻力和随机部分需要特别注意。为此，我们开发了适用于发电的三种需求模型的比较静力学和经济解释。价格敏感需求函数的截距遵循Bar-Ilan等人[2002]中的算术布朗运动，或Bar-Ilan and Strange[1996]和Aguerrevere[2003]中的几何布朗运动，或Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型。后者是一个均值回复过程*这项研究得到了FiME（能源三月金融实验室）和“金融可持续发展-量化方法”主席的支持。+EDF研发部和www.fime-lab.org。雷内。aid@edf.fr米兰大学。萨尔瓦托。federico@unimi.it§LPMA，巴黎狄德罗大学。pham@math.univ-巴黎狄德罗。勒达神父，巴黎多芬大学。伯特兰。villeneuve@dauphine.frour据我所知，文献中不存在实物期权投资模型，需要时间来构建，也不存在这种类型的过程。公司论文（Federico and Pham[2014]）提供了基本存在性和规律性结果，但我们简化了说明，以确保可计算性。准确的决策规则有助于清楚地理解影响。决策规则规定了承诺的产能，即已安装产能加上在建产能。考虑到目前的情况，行动规则是承诺的产能不得低于延迟后需求的最佳预测值，减去两个偏差。

第一个偏差是与不确定性无关的纯贴现偏差：因为投资是预先支付的，但只有在延迟后才会产生，所以所需的承诺产能会降低。第二种是预防性偏见，风险规避指数乘以局部波动率。由于这种分解，我们发现了以下定性结果。对于建设期较长的投资，我们发现，与需求增长趋势相比，不确定性几乎不重要。因此，长期趋势上的错误比波动性上的错误危害更大。对于建设期较短的投资而言，情况正好相反：决策者应该更加关注波动性。我们还用CIR模型阐明了需求可能饱和的实际重要性。投资者的行为非常不同，这取决于需求是否高于或低于长期平均水平或目标。当需求高于目标时，投资者对当前需求几乎不敏感，除非回报速度非常缓慢。在目标之下，建设时间和预期目标时间之间的比较是至关重要的：如果建设时间更长，那么最佳承诺容量实际上是目标本身减去偏差；如果建造时间较短，那么投资者会观察建造过程并逐步进行投资。关于这个话题的文献提供了许多见解。表1提供了一个潜在分类。竞争压力很重要：竞争扼杀了等待的价值，加速了投资。格林纳迪亚[20002002]和帕切科·德·阿尔梅达和泽姆斯基[2003]遵循了这一思路。我们只使用竞争性市场，并表明这种影响是完全内部化的。

McDonald和Siegel[1986]关于在不可逆决策情况下等待选项的开创性研究表明，不确定性对投资有负面影响。对这一结果的有力支持是，波动性越大，当前产品价格越高，即市场低迷的可能性越小，就会引发投资。一些扩展提供了一些条件，在这些条件下，该结果无法保持或可能会得到缓解。建设延误，也就是从决策到新产能的可用性之间的时间，已经引起了经济学家的注意。特别是，Bar Ilan and Strange[1996]、Bar Ilan et al[2002]和Aguerrevere[2003]中的模型展示了不确定性增加导致投资增加的情况。不确定性增加对投资产生积极影响的模型仅适用于特定的参数范围。此外，数量效应非常显著。Bar Ilan等人[2002]在他们的模拟中表明，当需求的不确定性乘以5时，投资阈值仅移动1%。正如作者自己指出的，投资门槛几乎与不确定性水平无关。在Majd和Pindyck[1987]中发现的巨大影响在Milne和Whalley[2000]中得到了重新考虑。在Aguerrevere[2003]的一篇论文中，我们分享了大多数建模选择，该论文中的生产是灵活的，尽管产能积累不是如此。投资者只有在有利的情况下才会选择生产，因此，生产与否的选择会削弱投资的刚性。建设时间越长，产能储备就越有利。因此，不确定性往往会增加投资率。

这篇论文之所以重要，是因为它整合了有意义的经济问题，论文客观竞争投资Majd and Pindyck 1987年Firm no Reversible Bar Ilan and Strange 1996年Firm no Reversible Regender 2000 Firm perfect Reversible Bar Ilan et al.2002年planner no Reversible Grindier 2002 Firm Defective Reversible Guerreere 2003年planner/Firm perfect/Defective Reversible with flible Production表1：关于不确定性和不确定性投资的论文是时候建房了。数值模拟具有指导意义。就电力生产而言，由于技术原因（核电厂）或每个闲置期的固定成本很重要（燃煤或燃气电厂），基础生产的灵活性受到限制。在这种情况下，生产与否的成本差异很小。我们的方法填补了文献中的空白。本文的组织结构如下。第2节描述并验证了我们的建模方法。第3节提供了解决方案和一般特性。我们给出了决策规则的表达式，并证明了优化方案的解可以被非中心化为竞争均衡。第4节针对几何布朗运动给出了构建时间和不确定性的联合影响的经济分析，第5节针对CIR模型给出了经济分析。第6节结束。有关流行的算术布朗运动应用程序的信息，请参见附录A.2模型我们建立了一个不可逆投资决策模型，其目标是尽可能密切地跟踪当前的电力需求。1.

日期t的逆需求函数ispt（Q）=η+θ（Dt- Q） ，（1）带η≥ 0和θ>0，其中p是价格，Q是产量。（准）截距≥0是满足SDE（dDt=u（Dt）Dt+σ（Dt）dWt，D=D，（2）其中（Wt）t≥0是某个过滤概率空间上的布朗运动(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）。在不丧失普遍性的情况下，我们假设过滤（Ft）t≥0是由布朗运动W生成并由P-空集放大的。2.投资决策日期与投资完成并开始生产日期之间存在时间差h>0。因此，t时的投资决策在t+h时带来了额外的产能。Aguerrevere[2003]采用了类似的形式，并讨论了其灵活性。3.在时间t=0时，在该时间间隔内启动了一个待决投资的初始流[-h、 0）将在区间[0，h]内完成。表示该区间内计划的累计投资的函数[-h、 s]s∈ (-h、 0），是一个非负非减的cádlág函数。因此，该函数所在的集合isI={I:[-h、 0）→ R+，s 7→ Iscádlág，非递减}。（3） 我们是塞蒂-= 林斯↑是的，我∈ I.（4）4。决策变量由cádlág非递减（Ft）t表示≥0-适应过程（It）t≥0表示从时间0到时间t的累计投资≥ 0.因此，时间t时的投资≥ 0.我们用I表示的可容许策略集是setI={I:R+×Ohm → R+，icádlág，（Ft）t≥0-适应，不减损}。(5)5. 鉴于上述考虑，鉴于∈ 一、 我∈ 我和我-H-= 0，我们假设生产能力（千吨）t≥0遵循由状态方程（dKt=dIt）驱动的受控动力学-h、 K-= k、 Is=Is，s∈ [-h、 0）。（6） 上面的方程是一个受控的局部确定性微分方程，控制变量中有延迟。

通过这个方程的解，我们指的是cádlág过程：Kt=k+-It-HT≥ 0，（7）其中“I是过程”It=（It，t∈ [-h、 0），我-+ 是的，t≥ 0.（8）值得注意的是，（6）中的随机性只通过I进入，并且没有随机性总分。6.目标是最大限度地减少∈ I函数lf（k，d，I；I）=EZ+∞E-ρt（Kt）- Dt）Dt+qdIt, （9） 其中q>0是单位投资成本。损失函数的经济学解释。该计划是社会剩余的最大化，或者反过来是无谓损失的最小化。给定（1），根据标准定义，实际净消费者剩余为：St=ZKt（η+θ（Dt- q） ）dq- ptKt。（10） 这是每单位消耗的价值减去为其支付的价格之和。如果单位生产成本为η，如果每年有固定成本F，则瞬时生产商的利润πtis（pt- η） Kt- F总瞬时剩余TSt=St+πt因此：TSt=θZKt（Dt- q） dq-F（11）=-θ（Kt）- Dt）{z}依赖于控制+θDt- F |{z}不。（12）最大化贴现的社会盈余减去投资成本等于计划（9），其中真实投资成本Qi除以θ。因此，解决方案和（1）生成一个电价过程。它反映了边际成本加上一个可以是负的术语，反映了市场的紧张局势。扩散过程。过程D满足以下条件：我们假设系数u，σ：R→ （2）中的R是次线性增长的连续且具有足够的正则性，以确保（2）存在唯一的强解。此外，我们假设该解取R的一个开集O中的值，并且它在这个开集上是非退化的，也就是说，O上的σ>0。在这个例子中，我们将在下一节中讨论，这个开集O将是R或（0+∞). 我们观察到，由于假定μ，σ的次线性增长，SDE中的标准估计值（参见Krylov[1980，Ch。

二] ）表明存在κ，κ依赖于μ，σ，使得eh | Dt | i≤ κ（1+| d |）eκt，t≥ 0.（13）3解决方案延迟的问题本质上是有限维的。根据我们的案例，（9）中定义的函数F不仅取决于初始k，还取决于控制I的过去，控制I是一个函数。然而，这个问题可以用另一个不受延迟影响的一维状态变量来重新表述。我们重写objectivefunctional以引入一个新的状态变量，即所谓的提交容量。Bar Ilanet等人[2002]在最优随机脉冲问题的背景下（参见Bruder和Pham[2009]）提出了时滞控制问题的重新表述思想。在这里，我们发展了奇异随机控制的思想。值得强调的是，与Bar Ilan等人[2002]不同的是，我们通过不研究优化问题的值函数而直接研究基本函数来简化方法。3.1在不延迟的情况下简化为问题对于问题的两个变量（k，d）的域，集合为：S=R×O。（14）将承诺的容量定义为：Ct:=Kt+-It-“是吗-h=Kt+h.（15）一维微分理论的参考文献是卡拉茨和什里夫[1991]。真正的问题对k来说是有意义的≥ 0; 然而，从数学角度来看，允许k<0的情况是方便的。因为这个问题是不可逆的，从k开始≥ 0时，资本保持非负。以不同的形式，CTI的动力学（dCt=dIt，C-= I=k+k-.（16） 因此，它不包含控制变量中的延迟。从现在开始，K对K，I，I的依赖；C对C，I的依赖性；D对D的依赖性分别表示为Kk、I、I、Cc、I和Dd。允许消除延迟的关键事实如下。1.承诺容量为（Ft）t≥0-adapted。

这是由于K的受控动力学的特殊结构，使得Kk，I，It+hknown给定信息Ft.2。在区间[0，h]内，控制I不影响Kk，I，I的动力学，其（确定性且）完全由I决定。换句话说，对于每个t，Kk，I，I（1）t=Kk，I，I（2）t∈ [0，h]和每I（1），I（2）∈ I.因此，我们可以不含糊地写出Kk，it for t∈ [0，h）指的是区间[0，h]内的“受控”过程K。鉴于这些观察结果，我们有以下结论：命题1.F（K，d，I；I）=EZ+∞E-ρtg（Cc，It，Ddt）dt+qdIt+ J（k，d，I），（17）其中J（k，d，I）=E“Zhe-ρtKk，它- 滴滴涕dt#，（18）和g:S→ R+由g（c，d）定义：=e-ρhEh（c）- Ddh）i=e-ρh（c）- 2β（d）c+α（d）），（19），其中α（d）：=EDdh, β（d）：=EDdh. （20） 证据。利用g的定义，即D的时间同质性质，我们得到：Ehg（Cc，It，Ddt）i=e-ρhE呃(c)- Ddh）我c=Cc，It，d=Ddt=E-ρhEhEh（Cc，It- Ddt+h）| Ftii=e-ρhEh（Cc，It- 滴滴涕+h）i=e-ρhEh（Kk，I，It+h）- 因此，可以将（9）重写为f（k，d，i；i）=E“Z[0，h）E-ρtKk，我，它- 滴滴涕dt+qdIt#+ E“Z[h+∞)E-ρtKk，我，它- 滴滴涕dt+qdIt#= E“Z[0，h）E-ρtKk，我，它- 滴滴涕dt+qdIt#+ EZ+∞E-ρ（t+h）Kk，I，It+h- 滴滴涕+hdt+qdIt+h= EZ+∞E-ρtg（Cc，It，Ddt）dt+qdIt+ J（k，d，I）。（22）因此，命题1中定义的函数J（k，d，I）不依赖于I∈ 因此，通过设置（c，d；I）：=EZ+∞E-ρtg（Cc，It，Ddt）+qdIt, （23）在I上最小化F（k，d，I；·）的原优化问题等价于无延迟的优化问题v（c，d）：=infI∈IG（c，d；I）受（16）和（2）约束。（24）3.2解决方案特征在续集中，为了使问题有意义（即，为了保证精确性），我们假设贴现因子ρ满足ρ>max（κ，0），（25），其中κ是（13）中出现的常数。