无概率期权定价模型：一种粗糙路径方法

相似文件 换一批

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Option pricing models without probability: a rough paths approach》
---
作者：
John Armstrong, Claudio Bellani, Damiano Brigo, Thomas Cass
---
最新提交年份：
2020
---
英文摘要：
  We describe the pricing and hedging of financial options without the use of probability using rough paths. By encoding the volatility of assets in an enhancement of the price trajectory, we give a pathwise presentation of the replication of European options. The continuity properties of rough-paths allow us to generalise the so-called fundamental theorem of derivative trading, showing that a small misspecification of the model will yield only a small excess profit or loss of the replication strategy. Our hedging strategy is an enhanced version of classical delta hedging where we use volatility swaps to hedge the second order terms arising in rough-path integrals, resulting in improved robustness.
---
中文摘要：
我们使用粗糙路径描述了金融期权的定价和套期保值，而不使用概率。通过将资产的波动性编码为价格轨迹的增强，我们给出了欧洲期权复制的路径表示。粗糙路径的连续性特性允许我们推广所谓的衍生品交易基本定理，表明模型的一个小的错误指定只会产生复制策略的一个小的超额利润或损失。我们的对冲策略是经典delta对冲的增强版本，我们使用波动率掉期对冲粗糙路径积分中产生的二阶项，从而提高鲁棒性。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--

---
PDF下载：
--> Option_pricing_models_without_probability:_a_rough_paths_approach.pdf (561.52 KB)

2022-6-10 12:55:32 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：期权定价模型 期权定价 定价模型 Mathematical Quantitative

无概率期权定价模型：一种粗糙路径方法JohnArmstrong*, Claudio Bellani+，Damiano Brigo，Thomas Cass§§2020年7月8日星期三，作者注释。作者想把这篇论文献给他们已故的同事马克·戴维斯。多年来，每一位作者都从与马克的讨论中受益匪浅，尤其是在本手稿早期版本的准备过程中。下面介绍的一个方面是对所谓衍生品交易基本理论的看法。马克经常强调这一结果对于理解现实世界的翻译的重要性；事实上，他在《量化金融学百科全书》（Enc10）的条目“布莱克-斯科尔斯公式”（Black-Scholes Formula）中包含了一个版本。他的体面和善良的常识将被怀念。摘要我们描述了金融期权的定价和定价，没有使用粗糙路径的可能性。通过将资产的波动性编码为价格轨迹的增强，我们给出了复制Europeanoptions的路径演示。粗糙路径的连续性特性使我们能够概括衍生品交易的所谓基础理论，表明模型的一个小的误判只会产生复制策略的一个小的超额利润或损失。我们的hedgingstrategy是经典delta对冲的增强版，我们使用波动率掉期对冲粗糙路径积分中产生的二阶项，从而提高了鲁棒性。1简介粗糙路径理论为理解由不规则输入信号驱动的不同系统提供了一个框架。由差异模型产生的资产价格过程可能与粗糙路径有关。

通常，我们将从给定的扩散模型中找到一条粗路径的必要条件，并且我们将满足该条件的粗路径称为有效粗路径。投资策略产生了一个粗略的微分方程（RDE），描述了在给定资产价格信号下策略损益（P&L）的演变。如果有一个具有平滑支付功能的期权，我们将表明，P＆Lof a经典三角洲hedg策略的修改版本复制了任何不同粗糙路径的期权支付。我们为实现这一复制所做的修改是通过特定类型的波动性Swap确定的额外交易来增强delta对冲策略。通过假设这些掉期的价格得到很好的控制，我们可以看到，在连续的时间限制内，购买这些掉期不会影响损益。*伦敦国王学院+伦敦帝国学院Damiano Brigo i感谢【Bri19】会议与会者提供的有益反馈§Thomas Cass的工作得到了EPSRC计划拨款EP/S026347/1A的支持RDE解决方案的核心性能是其在输入粗路径方面的连续性。因此，我们的粗路径方法的第一个结果是我们提出的对冲策略的稳健性：如果真实的资产价格信号接近一个差异信号，我们的对冲策略仍将大致复制期权支付。这与衍生品交易的经典基本原理有关。该公式的经典参考文献包括《定量金融百科全书》[Enc10]中的条目“BlackScholes for mula”，以及[KJS98]；关于同一主题的最新论文是[EJP17]。这个经典定理表明，如果一个套期保值是根据给定的差异模型进行的，但实际资产价格过程是由一个任意差异模型决定的，那么经典的delta套期保值策略的误差将很小。

我们的方法超越了这一点，因为它允许资产价格信号根本不来自任何差异模型。由于市场冲击和前期运行等现象，从资产价格动态角度描述n投资策略损益动态的任何微分方程都可能包含一些错误。资产价格动态二阶项的扰动使我们能够对这种错误进行建模，从而解释了套期保值策略在更现实的市场中的稳健性，而非DiffusionModels给出的稳健性。我们的粗糙路径方法的第二个结果是，它证明了套期保值理论在不需要概率理论的情况下是可行的，尽管概率在【HK79，HP81】中确立的套期保值的经典处理中起着核心作用。我们的工作通过确定两个步骤，阐明了概率理论在证明价格合理性方面的应用：（i）表明差异模型的总价格路径满足我们的差异性条件；（ii）通过无套利论证，从复制策略的存在性中推断出期权价格的唯一性。在一个有套利的市场中，任何价格都是可能的，因此如果不调用无套利条件，就不可能获得唯一性，因此也就涉及到概率理论。因此，我们可以看到，经典定价的正确无概率模拟证明了给定初始禀赋的复制策略的存在。通过这种方式，我们可以将我们的理论解释为提供了一种无概率定价方法。在差异模型中，二次变化是一个明确的路径概念，它决定了价格。我们对不同粗糙路径的定义确定了三角洲对冲策略在粗糙路径环境下工作所需的exa c t属性。

连续定价信号通过其粗括号的规格增强，以获得简化的粗路径（见【FH14，第5章】），我们将其称为增强的价格路径。我们的财务模型将采用粗括号属性的特定形式。因此，我们的模型规格相当于选择增强器，正是这个粗略的括号为我们的资产定价模型提供了适当的质量变化模拟。在我们版本的《衍生品定价基础理论》（FundamentalTheem of Derivative Pricing）中，我们将通过检查我们的策略对增强器选择的敏感性，来研究财务模型错误指定的影响。增强器、价格以及隐含波动率的纯粹路径性质与历史波动率的统计（以及概率）概念形成了鲜明对比。路径属性和概率属性之间的这种二分法以前已经注意到。例如，[BM00]中利用了这一点，这部分启发了目前的工作（另请参见[Bri19]），给出了使用固定时间网格上的样本在统计上无法区分但具有任意不同期权价格的差异模型的示例。我们的工作并不是第一次给出期权定价的非概率公式。[BW94]使用[Foe81]中给出的非概率方法获得了期权定价的路径公式。类似的定价方法也可以在[Rig15]中找到。这种方法的必要条件是，【BW94】中使用的连续时间积分取决于离散时间近似序列，这或多或少地妨碍了获得方法的稳健性。为了消除这种依赖性，我们提出的策略是增量对冲的扩展版本，其中还可以投资波动率掉期，以获得定价信号的二阶部分。

这产生了一个稳健的交易策略，但代价是引入波动率掉期价格的假设，以确保我们的策略是自我融资。BSV08中给出了另一种方法，它使用二次变分给出了一种定价理论，该理论能够适应非半鞅信号。然而，该理论仅限于规则性信号，至少与半马氏体信号一样规则，而我们的理论适用于2<p<3的有限p变化路径。我们在方法中必须做出的另一个假设是，期权支付是不同的。我们将证明，对于具有K点的欧式看涨期权，我们无法找到我们的策略无法重复期权支付的不同路径。然而，这些粗糙路径的股票价格必须与到期时的走向完全相等。在概率理论中，此类路径出现的概率为零，因此可以忽略。然而，我们的解释是，这种路径的存在证明了经典deltaheding策略确实缺乏稳健性。随着经典差异模型的崩溃和新现象的出现，对稳健战略的需求变得越来越重要，例如围绕交易所交易的罢工“钉住”股价（参见[AL03]、[AKL12]、[JIS08]、[GJ12]）。我们对某些股票路径的策略失败表明，应该将接近成熟的策略转换为真正的概率策略，如买入并持有策略。这反映了实际的交易实践，即放弃了增量对冲策略，而在接近到期时选择了截然不同的策略。本文组织如下。在第二节中，我们回顾了对冲的经典理论，并建立了我们的符号。

在第3节中，我们解释了如何依靠简化的粗糙路径积分来解决与无界变化信号相关的积分技术难题，并详细解释了我们的方法与[BW94]方法之间的差异。在第4节中，我们定义了不同的粗糙路径的含义。在第5节中，我们正式演示了如何在连续时间内获得经典数学金融公式的路径公式。第6节展示了我们的连续时间交易策略如何被解释为波动率掉期中离散时间交易策略的限制。第7节证明，当股票价格在行权时终止时，我们提出的策略在Black-Scholes看涨期权模型中失败。第8节给出了我们的结论。附录A对[BM00]进行了扩展，从我们的路径观点解释了它们的构造。2符号和预备知识我们将开发经典差异模型的粗略路径版本，并将从描述经典模型开始。我们支持价格向量的每个组成部分∈ Rdof d非股息支付股票在定价测量中显示以下动态SIT=σijdBj，i=1，d、 S=S∈ Rd，在随机基础上(Ohm, F、 P，（Ft）t，（Bt）t）携带标准的n维布朗运动（Bt）t。我们假设σ在Cα-H¨olloc（Rd，Rd×n）中，0<α<1。本文采用了Einstein的双指数求和约定，并将贯穿全文。我们假设这是一项无风险资产，用St表示，它遵循一维确定性动态St=rStdt，S=1。我们让▄St为风险资产在时间t的贴现价格，即▄St=St/St=e-rtSt。设f（ST）是基础S上普通期权的支付。我们假设f是Rd上的连续有界函数。Leth（x）：=f（erTx）（2.1）和h：=e-rTh。

因此，付款等价地写为h（ST），其计算值为h（ST）。[HK79，HP81]的经典理论告诉我们，期权支付可以在一个价格下复制，即满足Vt=PT-t▄h（▄St），其中（Pt）是由极小算子aν（x）=Xkσikσjk！生成的Cb（Rd）上的半群！i、 jД（x），Д∈ C（Rd）∩ Cb（Rd），S的动力学。我们称A为波动率算子。为了确保没有套利，我们必须做出一些假设，以确保Black-Scholes PDE的解决方案是唯一的。本文通常假设波动率算子是一致椭圆的。然后，随机过程vt是在（t，~St）之后应用的时间和空间的确定函数w=w（t，x），其解(t+A方程（2.2）是布莱克-斯科尔斯偏微分方程的贴现版本。我们将写出v（T，z）=ertw（T，e）-rtz）表示未折现值函数，并将使用以下希腊符号：Deltat：=zv（t，St）=xw（t，~St），取Rd中的值~=霍姆（Rd，R），安格玛（andGammat）：=zzv（t，St）=ertxxw（t，~St），取Rd×d中的值~=Hom（Rd Rd，R）~=Hom（Rd，Hom（Rd，R））。在我们的设置中，定价PDE的合理性在于存在一种复制支付策略。一项投资策略可以被视为一对（Ht，Ht），表示每次购买无风险和有风险资产的数量。根据It^o公式，w（t，Xt）- w（0，X）=^txw（u，Xu）σ（Xu）dWu+^tt+Aw（u，Xu）du=^txw（u，Xu）dXu。（2.3）由此得出，Ht给出的delta对冲策略φt=（Ht，Ht）：=xw（t，~St）Ht：=w（t，~St）- HtSt（2.4）是指未贴现投资组合过程VT（φ）=Htert+HtSt=ertw（t，St）是自我融资的，即满足VT（φ）=V（φ）+^tHudSu+^tHudSu，（2.5）并复制期权支付，即。

VT（φ）=f（ST）。这里我们指的是Cb（Rd）上线性算子的半群，对于任何连续且有界的F，柯西问题的解(t型- A.R+×Rdu（0，x）=f（x）（在{0}×Rdis上）中的u=0表示为u（t，x）=Ptf（x）。3路径积分在本节中，我们将首先激发我们对问题的补偿黎曼和的使用，然后描述我们将需要的关于路径积分的定义和结果。在B中给出了证明。3.1动机考虑第2节中介绍的设置。设H表示连续对冲策略，ndlet X是半鞅。在这种情况下，如果交易资产的价格是基于半鞅X建模的，则使用It^o integral'HdX来表示与策略H相关的投资组合值。这由以下极限参数进行调整，该参数将realtrading与连续时间抽象联系在一起。在实际交易中，套期保值在离散时间进行，给定一个划分π为[0，T]，网格大小为|π|：=sup{| u′- u |：u∈ π} ，策略H通常由πHt：=Xu放置∈πHut型∈ （u，u′）,u的位置∈ πwe表示为u′：=inf{v∈ π：u<v}它的下一个分界点。初等caglad过程πH的（It^o-）积分为（πH.X）t=Xu∈πHuXu，u′。H是连续的，离散时间积分沿网格大小|πn |收缩到零的任何序列（πn）nof分区，概率收敛到It^o积分| HdX（见[RY99，第四章，（2.13）命题]）。这一趋同需要强调两个问题。首先，对于任意的分区序列，共收敛不会发生路径收敛；如果有，积分器X将是有界变差的（见下面的命题3.1），这不是半鞅的情况。

其次，在相同的过滤概率空间中，收敛性不一致，具体到等效的人工测度（见下面的示例3.2）。因此，在套期保值中使用It^o积分的合理性主要取决于概率框架。与此不同，A.Bick和W.Willinger在[BW94]中对对冲策略的投资组合价值进行了无概率分析，这些价值表示为路径积分“A la F¨ollmer”。他们的方法是对每个积分的近似序列所依赖的必要类别的权重，但这似乎代表了无概率描述所需的权衡。然而，随着粗糙路径理论的发展，人们认识到，通过适当地压缩Riema-nn和，可以在所有可能的近似序列上一致地实现路径收敛。此外，通过采用粗糙路径理论，可以削弱对股价规律性的假设：我们不必假设路径是有限的二次变化，而只能假设对于一些小于3的p，路径是有限的p-变化。这将使我们的公式进一步远离概率框架，因为这些公式不会像有限非零二次变差的典型半鞅正则性那样概括。粗糙路径理论通过部署积分器和被积函数的高阶展开来实现规定的收敛。