离散时间市场下的泛套利聚合器

我们用L表示(Ohm, 英尺；Rd）Ft可测量随机变量X的集合：Ohm → 和我一起(Ohm, FRd）适应过程集X=（Xt）t∈Iwith Xt∈ L(Ohm, 英尺；Rd）。该市场由一项非风险资产构成，所有t的St=1∈ 一、 始终等于1，and≥ 1风险资产Sj=（Sjt）t∈一、 j=1，d、 这是实值适应随机过程。设S=[S，…，Sd]∈ L(Ohm, FRd）是（折扣）价格过程的d维向量。在本文中，我们关注套利条件，因此在不失去普遍性的情况下，我们将把注意力限制在零初始成本的自我融资交易策略上。因此，我们可以假设交易策略H=（Ht）t∈Iis是一个Rd值可预测随机过程：H=[H，…，Hd]，带Ht∈ L(Ohm, 英尺-1.Rd），我们用H表示所有交易策略的类别。（贴现）值过程V（H）=（Vt（H））t∈定义为：V（H）：=0，Vt（H）：=tXi=1Hi·（Si）- 硅-1） ，t≥ 1.因此，在没有任何参考概率度量的情况下，金融市场的（离散时间）由四倍分配[(Ohm, d） )；（B）(Ohm), F）；sH] 满足之前的条件。符号5对于F-可测随机变量X和Y，我们写X>Y（分别为X≥ Y、 如果X（ω）>Y（ω）表示所有ω∈ Ohm （分别为X（ω）≥ 对于所有ω，Y（ω），X（ω）=Y（ω）∈ Ohm).2.1概率和鞅测度设P:=P(Ohm) 是所有概率的集合(Ohm, F） 和Cb:=Cb(Ohm) 平面上连续有界函数空间Ohm. 除非明确说明，我们赋予P弱*拓扑σ（P，Cb），因此（P，σ（P，Cb））是一个波兰空间（详见[AB06]第15章）。拓扑σ（P，Cb）中pn到P的收敛性用Pnw表示→ P与集Q的σ（P，Cb）闭包 P将用Q表示。我们定义了元素P的支持∈ P assupp（P）=\\{C∈ C | P（C）=1}其中C是(Ohm, d） 。

在我们的假设下，支持度由supp（P）={ω给出∈ Ohm | P（Bε（ω））>0表示所有ε>0}，其中Bε（ω）是半径ε以ω为中心的开放球。定义6我们说P∈ 如果supp（P）=Ohm 我们用P+表示：={P∈ P |支持（P）=Ohm}具有完全支持的所有概率度量集。观察P∈ P+当且仅当P（A）>0时，对于每一个开放集A。因此，从拓扑角度来看，完全支持度量是重要的，因为它们为开放集分配正概率。定义7 F-鞅测度集isM（F）={Q∈ P | S是a（Q，F）-鞅}。（3） 当过滤不模糊时，我们设置：M:=M（F）和M+=M∩ P+。定义8让P∈ P和G F是F的一个子s igma代数。非负X的广义条件透视∈ L(Ohm, F、 R）定义为：EP[X | G]：=limn→+∞EP[X∧ n | G]，对于X∈ L(Ohm, F、 R）我们设置EP[X | G]：=EP[X+|G]- EP[X-| G] ，在这里我们采用了公约∞ - ∞ = -∞. 条件期望的所有基本属性仍然成立（例如，请参见[FKV09]）。特别是如果Q∈ M和H∈ H然后EQ[Ht·（St- 圣-1） |英尺-1] =Ht·EQ[（St）- 圣-1） |英尺-1] =0 Q-a.s.，因此等式[VT（H）]=0 Q-a.s.3套利∈ 回想一下V+H:={ω∈ Ohm | VT（H）（ω）>0}且V（H）=0。定义9让P∈ 经典套利是一种交易策略∈ H以至于：oVT（H）≥ 0便士-a、 P（V+H）>0我们用na（P）表示不存在P-经典套利。回想一下引言中对套利的定义。定义10一些套利的例子：1。当S={C时，H是1p套利∈ F | C 6=}. 这是套利中最薄弱的概念，因为V+Hmight减少到一个点。1便士套利对应于[Ri11]给出的定义。

这可以很容易地推广到以下n点套利的概念：H是np套利When ns={C∈ F | C至少有n个元素}，可能对Ohm （最多）可数。2.当S={C时，H是开放套利∈ B(Ohm) | C打开非空}。当s={C时，H是P′-q.s.套利∈ 对于某些P，F | P（C）>0∈ P\'}，对于固定家庭而言 注意S=（N（P′）c，P′极集合的补集。如果：H，则不存在P′-q.s.套利∈ 这是VT（H）（ω）≥ 0ω ∈ Ohm => VT（H）=0 P′-q.s。该定义类似于[BN13]中的无套利条件，唯一的区别在于我们需要VT（H）（ω）≥ 0ω ∈ Ohm, 而在引用的参考文献中，仅要求vt（H）≥ 0 P′-q.s。。因此，在[BN13]中，无P′-q.s.套利是一个弱于无套利的条件。当s={C时，H是P-a.s.套利∈ F | P（C）>0}对于固定P∈ P.在前面的例子中，无P-a.s.套利条件比无P-经典套利条件弱，唯一的区别是这里我们需要VT（H）（ω）≥ 0ω ∈ Ohm, 而在经典定义中，只需要VT（H）≥ 0个P-a.s.5。当S={Ohm} , 本着[AB13，DH07，CO11]的精神。当S={Cε（ω）|ω时，H是ε-套利∈ Ohm} , 其中ε>0是固定的，Cε（ω）是封闭的(Ohm, d） 半径ε，以ω为中心。显然，对于任何类别的S，都没有1p套利=> 无套利=> 无套利模型（4），这些概念仅取决于金融市场的性质，不一定与任何概率模型相关。注11：以上定义的无套利概念，以及非免费午餐的可能泛化，也可以在更一般的连续时间金融市场模型中考虑。

我们选择在离散时间框架中展示我们的理论，因为下一节中的后续结果将在很大程度上取决于离散时间设置。例12我们方法的灵活性取决于S类的任意选择Ohm = C（[0，T]；R）是一个波兰空间，它曾被赋予上确界范数k·k∞. 我们可以考虑两个阶级∞= {k·k中的开球∞} S={k·k}中的开球，其中kωk=RT |ω（t）| dt。注意，由于积分算子rt |·| dt:C（[0，T]；R）→ R isk·k∞-k·kis中的每一个开放球在k·k中也是开放的∞. 因此，每一个类别的套利也是一个类别的套利∞但事实并非如此。例如，考虑一个由基础过程和数字期权描述的市场，其中只允许在一组有限时间{0，1，…，T进行交易- 1}. 定义S（ω）=Sω∈ Ohm 对于基础，St（ω）=ω（t），对于b:={ω| St（ω）的选项，St（ω）=1B（ω）1T（t）∈ （s）- ε、 s+ε）T∈ [0，T]}。时间T时期权中的多头头寸- 1是高级公寓吗∞即使在参考概率P∈ P是固定的，当且仅当存在时间t时，市场允许P-经典套利∈ {1，…，T}和一个随机向量η∈ L(Ohm, 英尺-1，P；Rd）使得η·（St-圣-1) ≥ 0 P-a.s.和P（η·（St-圣-1） >0）>0（见[DMW90]或[FS04]，提案5.11）。在我们的上下文中，在一定的时间间隔[0，T]内，套利的存在并不一定意味着套利在集合S上实现的单个时间步的存在。相反，它可能发生，代理需要在多个时间段内实施策略，以实现套利。下面的示例正好显示了发生这种现象的一个简单案例。

记得我(Ohm, FRd）是上的Rd值F-可测随机变量集Ohm.例13考虑由两个风险资产S，Son（R，B（R））组成的两阶段市场模型，其由以下轨迹描述：3→ 3 ω ∈ A5ω∈ A2→ 2 1 ω ∈ A1→ 1 ω ∈ AS:7→ 7 ω ∈ A3ω∈ A2→ 2 1 ω ∈ A1→ 1 ω ∈ Acosider H=(-1，+1）和H=（1A）∪A.-1A∪A） 。然后H·（S）-S） =41A和H·（S）-S） =21A。选择A=Q∩ （0,1），A=（R\\Q）∩ （0,1）和A=[1+∞), A=(-∞, 0]我们观察到，开放套利只能通过两步策略获得，而在每一步中，我们只有1p套利。通常，多步策略在时间T实现套利，即使它不一定每次都产生正收益：即可能存在一个T<T，使得{Vt（H）<0}6=. 例32就是这样。在本节的剩余部分St=[St- 圣-1.Sdt- Sdt-1].引理14策略H∈ H是1p套利当且仅当存在时间t时∈ 一、 α∈ L(Ohm, 英尺-1.Rd）和非空a∈ f如α（ω）·St（ω）≥ 0 ω ∈ Ohmα(ω) · 在一个（5）证明中St（ω）>0。(=>) 让H∈ H可能是1便士的套利。Sett=min{t∈ {1，…，T}Vt（H）≥ 对于某些ω，Vt（H）（ω）>0时为0∈ Ohm}.Ift=1，α=hs满足要求。如果t>1，根据定义，{Vt-1（H）<0}6= 或{Vt-1（H）=0}=Ohm . 在第一种情况下，对于α=Ht{Vt-1（H）<0}我们有α·圣≥ 0与{Vt]上的严格不等式-1（H）<0}。在后一种情况下，α=hT满足要求。(<=) 以α为例∈ L(Ohm, 英尺-1.Rd）根据假设和定义H∈ H乘以Hs=0，每s 6=tand Ht=α。因此，对于每个ω，VT（H）（ω）=VT（H）（ω）∈ Ohm 所以VT（H）≥ 0和{ω∈ Ohm |VT（H）（ω）>0}={ω∈ Ohm | α · St（ω）>0}这结束了证明。备注15请注意，只有(<=) 前一个引理的结论适用于开放套利。

这意味着，如果我们能找到一个时间t，就存在一个公开套利∈ 一、 α∈ L(Ohm, 英尺-1.Rd）和一套a∈ 包含一个开放集，使得（5）成立。另一方面，如例13所示，相反的情况通常是错误的。下面的引理通过策略的多步分解提供了套利的完整特征。引理16（碎片整理）策略H∈ H是一个套利，当且仅当存在时：o一个有限族{Ut}t∈我和Ut∈ 犹他州金融时报∩ 美国= 每t 6=s和st∈IUT包含一个集合策略∈ H使VT（bH）≥ 0开Ohm, 和bht·对于任何Ut6=.证据(=>) 让H∈ H是一个等级S的套利。定义Bt={Vt（H）>0}和U=B=> H·S（ω）>0 ω ∈ UU=Bc∩ B=> H·S（ω）>0 ω ∈ UUT-1=Bc∩ . . . ∩ BcT-2.∩ 英国电信-1.=> HT-1· 装货单-1(ω) > 0  ω ∈ 美国犹他州-1UT=Bc∩ . . . ∩ BcT-2.∩ BcT-1.∩ V+H=> HT·ST（ω）>0 ω ∈ 根据{U，U，…，UT}的定义，我们得到了V+HSTi=1Ui。SetbH=手动考虑每2次的策略≤ T≤ T由bht（ω）=Ht（ω）1Dt给出-1（ω），其中Dt-1=t-1[s=1Us！c.按构造bh∈ H和BHT·对于每个ω，St（ω）>0∈ 美国犹他州。(<=) 相反的含义是微不足道的。4套利和鞅测度在全面讨论这个话题之前，我们对这个问题提供了一些见解，并介绍了一些例子，这些例子将有助于发展我们对所采用方法的直觉。所需的技术工具将在第4.2节和第4.3节中说明。考虑MN的极集合族：={A A′∈ F|Q（A′）=0 Q∈ M} 。在Nutz和Bouchard[BN13]中，NA（P′）的概念适用于任何固定的家庭P′ P定义为：VT（H）≥ 0 P′的- q、 美国。=> VT（H）=0p′- q、 其中H是一个可预测的过程，可测量F的普遍完备性。

[BN13]中的一个主要结果断言，在NA（P′）下，存在一类共享P′的相同极集的马氏测度Q′。如果我们取P′=P，那么NA（P）等价于No（普遍可测量的）1p套利，因为P包含所有狄拉克测度。此外，P的极集合类是空的。在第4.4节中，我们将证明，作为命题34的结果，同样的结果在我们的环境中也是成立的。一类无极集鞅测度的存在性意味着ω ∈ Ohm 存在Q∈ M使得Q（{ω}）>0Ohm 是一个可分空间，我们可以找到稠密集D:={ωn}∞n=1，与Qn相关∈ M、 如此∞n=1nqn是一个完全支持鞅测度（见引理76）。我们有以下含义。无1便士套利==> M+6=.2.M+6= ==> 没有公开套利。证据1的证明。推迟到第4.4节。我们证明2。通过观察任意开集O和Q∈ 我们有Q（O）>0。因为安∈ 使VT（H）≥ 我们有Q（V+H）=0，那么V+H不包含任何开集。然而，例18注意到，完全支持鞅测度的存在与1p套利是相容的，因此1的逆蕴涵。17号提案不成立。让(Ohm, F） =（R+，B（R+）。考虑一种风险资产的市场：S=2=3 ω ∈ R+\\Q2ω∈ Q+（6）那么显然存在1p套利，即使存在完全支持鞅测度（这些概率仅为每个有理数分配正质量）。一旦我们通过在定义10中采用任何其他无套利条件来削弱无1p套利，就无法保证鞅测度的存在，如第4节所示。1.

为了获得M 6= 无模型独立套利（无套利条件中最弱的一种）我们将扩大过滤，如第4.5.4.1节示例所述。本节提供了各种反例，以反驳在无模型框架下制定FTAP的许多可能猜测。一个财务上有意义的例子是[DH07]中公式化的两个现货价格p=pB相同但执行价格K>K的看涨期权中的一个，它已经强调了不存在模型独立性和鞅测度之间的等价性是不可能的。我们考虑一个单周期市场（即T=1），其(Ohm, F） =（R+，B（R+），d=2时，除无风险资产S=1外，S=[S，S]）。容许交易策略由向量H=（α，β）表示∈ Rso thatVT（H）=αS+βS、 在哪里Si=Si- Sifor i=1，2。设S=[S，S]=[2，2]，S=3 ω ∈ R+\\Q2ω∈ Q+；S=1+exp（ω）ω∈ R+\\Q1ω=01+exp(-ω) ω ∈ Q+\\{0}（7）和F=FS。我们注意到以下简单的事实。1.没有鞅测度：M= .事实上，如果我们用Mit表示ithasset的鞅测度集，我们有M={Q∈ P | Q（R+\\Q）=0}和Q∈ M、 Q（R+\\Q）>0.2。策略的最终值H=（α，β）∈ RisVT（H）=α+β（exp（ω）- 1) ω ∈ R+\\Q-βω=0β（exp(-ω) - 1) ω ∈ Q+\\{0}。只有策略是H∈ Rhavingβ=0和α≥ 0满足VT（H）（ω）≥ 0表示所有ω∈ Ohm.对于β=0和α>0，V+H=R+\\Q，因此不存在开放套利和模型独立套利（但M=). 即使我们对过程S或容许策略H施加了无约束限制，这一事实仍然存在，如下面对示例的修改所示：设S=[2,2]，取S=[2+exp(-ω） [1R+\\Q+21Q+和S=[1+exp（ω）∧ 4] 1R+\\Q+1{0}+[1+exp(-ω） [1Q+\\{0}.3。

设置H+：={H∈ H | VT（H）≥ 0和V（H）=0}所以我们有∈H+V+H=R+\\Q$Ohm.这表明条件M= 不等于toSH∈H+V+H=Ohm i、 e.鞅测度集不是空的，因为对于每一个ω，都存在一个策略H，它在ω上给出正财富，V（H）=0。为了恢复这两个概念之间的等价性（如命题43），我们需要按照第4.5.4节所解释的方式扩大过滤。由于FTAP为真，且M=. 的确：（a）如果P（R+\\Q）=0，那么β=- 1（α=0）产生P-经典套利，因为V+H=Q+和P（V+H）=1（b）如果P（R+\\Q）>0，那么β=0和α=1产生P-经典套利，因为V+H=R+\\Q和P（V+H）>0.5。相反，通过采用P-a.s.套利（VT（H）（ω）的定义≥ 0表示所有ω∈ Ohm 当P（V+H）>0时，有两种可能性：（a）如果P（R+\\Q）=0，则不存在P-a.s.套利，因为只有策略H∈ Rhavingβ=0和α≥ 0满足VT（H）（ω）≥ 0表示所有ω∈ Ohm V+H=R+\\Q.（b）如果P（R+\\Q）>0，那么β=0和α=1产生一个P-a.s.套利，因为V+H=R+\\Q和P（V+H）>0.6。几何方法：如果我们绘制向量[sS] 在实平面上（见图1），我们看到存在一个由垂直轴给出的唯一分离超平面。因此，1p套利只能通过投资第一项资产（β=0）产生。对于分离超平面，我们指的是一个经过原点的超平面，并且其中一个相关的半空间包含（不一定严格包含）随机向量的所有图像点[sS] 。现在让我们考虑另一个关于（R+，B（R+）的例子。设S=[2,2]，and=3 ω ∈ R+\\Q2ω=01ω∈ Q+\\{0}S=7 ω ∈ R+\\Q2ω=00ω∈ Q+\\{0}（8）在示例（7）和（8）中都存在分离超平面，即可以得到1p套利（见图1）。

在示例（7）中，M是空的，我们发现了一个唯一的分隔超平面：这个超平面不能对集合进行严格分隔[S（ω），S（ω）]ω∈Q+，即使Q+不支持任何鞅度量。在例（8）中，M={Δω=0}，只有事件{ω=0}支持鞅测度，并且存在一个有限数量的超平面，它严格地分隔了极性集R+\\Q和Q+\\{0}的图像，即图1中分隔凸灰色区域的超平面。总之，前面的例子表明，在无模型环境中，套利条件不能暗示阿马廷格尔测度的存在——至少是目前所考虑的类型。这是无模型和准确定分析方法之间的一个重要区别（参见示例[BN13]）：图1：在示例（7）和（8）中，0不属于点生成的凸集的相对内部{[S（ω），S（ω）}ω∈Ohm因此存在一个分隔点的超平面。-4.-2 2 4-2.S2S1Ex。(5)-4.-2 2 4-2.S2S1Ex。（6） 图例：R+\\Q{0}Q+\\{0}o无模型方法：我们直接从基础市场结构推导鞅测度集M的“丰富性”(Ohm, F、 S）我们分析了关于M.准肯定方法的极化集类：先验P′类 给出了P及其极集，并给出了一个无套利型条件，以保证一类与先验集具有相同极集的鞅测度的存在性。套利的另一种定义。无P-经典套利的概念（P（VT（H）<0）=0=> P（VT（H）>0）=0）可以重新表述为：V（H）=0，{VT（H）<0}可以忽略不计=> {VT（H）>0}可以忽略不计（9）或在我们的设置中-HDoE不包含S中的集合=> V+H不包含S.（10）中的集合，其中V-H:={ω∈ Ohm | VT（H）（ω）<0}。