离散时间市场下的泛套利聚合器

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英文标题：
《Universal Arbitrage Aggregator in Discrete Time Markets under
  Uncertainty》
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作者：
Matteo Burzoni, Marco Frittelli and Marco Maggis
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In a model independent discrete time financial market, we discuss the richness of the family of martingale measures in relation to different notions of Arbitrage, generated by a class $\\mathcal{S}$ of significant sets, which we call Arbitrage de la classe $\\mathcal{S}$. The choice of $\\mathcal{S}$ reflects into the intrinsic properties of the class of polar sets of martingale measures. In particular: for S=${\\Omega}$ absence of Model Independent Arbitrage is equivalent to the existence of a martingale measure; for $\\mathcal{S}$ being the open sets, absence of Open Arbitrage is equivalent to the existence of full support martingale measures. These results are obtained by adopting a technical filtration enlargement and by constructing a universal aggregator of all arbitrage opportunities. We further introduce the notion of market feasibility and provide its characterization via arbitrage conditions. We conclude providing a dual representation of Open Arbitrage in terms of weakly open sets of probability measures, which highlights the robust nature of this concept.
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中文摘要：
在一个独立于模型的离散时间金融市场中，我们讨论了由一类$\\mathcal{S}$有效集生成的与不同套利概念有关的鞅测度族的丰富性，我们称之为套利de la classe$\\mathcal{S}$。$\\mathcal{S}$的选择反映了鞅测度的极集合类的内在性质。特别是：对于S=${\\Omega}$，没有模型独立的套利等价于鞅测度的存在；当$\\mathcal{S}$是开集时，没有开套利等价于存在完全支持鞅测度。这些结果是通过采用技术过滤放大和构建所有套利机会的通用聚合器获得的。我们进一步引入了市场可行性的概念，并通过套利条件对其进行了描述。最后，我们给出了开放套利的概率测度弱开放集的对偶表示，这突出了这个概念的鲁棒性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Universal_Arbitrage_Aggregator_in_Discrete_Time_Markets_under_Uncertainty.pdf (567.51 KB)

2022-5-6 10:25:13 上传

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关键词：离散时间 Mathematical Presentation Constructing Applications

不确定性下离散时间市场的通用套利聚合器*Matteo BurzoniMilano大学，电子邮件：Matteo。burzoni@unimi.itMarco弗里特利米拉诺大学，电子邮件：marco。frittelli@unimi.itMarcoMaggis+米兰大学，电子邮件：marco。maggis@unimi.itOctober2015年8月15日摘要在一个独立于模型的离散时间金融市场中，我们讨论了由一类重要集合（我们称之为套利de la classe S）生成的与不同套利概念有关的鞅测度族的丰富性。对极集合鞅测度类的内在性质的选择。特别是：对于={Ohm} , 无模型独立套利等价于鞅测度的存在；对于开集，不存在开放套利等价于存在全支撑鞅测度。这些结果是通过采用技术过滤和构建所有套利机会的通用聚合器获得的。我们进一步介绍了市场可行性的概念，并通过套利条件对其进行了描述。最后，我们给出了开放套利的一个双重表示，即概率测度的弱开放集，这突出了这个概念的健壮性。关键词：模型不确定性，资产定价第一基本定理，可行市场，开放套利，完全支持鞅测度。理学硕士（2010）：初级60G42、91B24、91G99、60H99；中学46A20，46E27。1导言：不确定性下的无套利金融数学模型中引入奈特不确定性最近重新引起了人们对期权定价规则、超级套期保值和套利条件等基本问题的关注。我们可以区分两种极端情况：1。我们完全确定参考概率测度P。

在这种情况下，可以成功应用无套利或NFLVR的经典概念（如[DMW90、DS94、DS98]）。*致谢：感谢J.Ob loj和F.Riedel就这一主题进行的有益讨论。+作者得到了意大利国立阿尔塔马特马蒂卡研究所（INdAM）的国民分析研究院（Gruppo Nazionale per l\'Analisi Matematica，la Probabilit\'a e le Loroa Applicazioni）的支持。我们面临任何概率模型的完全不确定性，因此我们必须以任何概率独立地描述我们的模型。在这种情况下，我们可能会采用模型独立（弱）的无套利概念。在第二种情况下，霍布森[Ho98]的论文中给出了一个开创性的贡献，其中在模型错误规范下解决了奇异期权的定价问题。在他的方法中，关键假设是市场存在一个鞅测度，与一些观察到的普通期权的价格一致（进一步的发展参见[BHR01，CO11，DOR14]）。在[DH07]中，Davis和Hobson通过半静态策略将前面的问题与模型独立性的缺失联系起来。Riedel[Ri11]曾在单周期市场上实现了离散时间内资产定价第一基本定理的无模型版本，Acciao at al[AB13]则在更一般的设置中实现了这一点。在案例1之间。2。，我们有可能接受模型可以在概率设置中描述，但我们不能假设特定参考概率测量的知识，但最多是一组先验知识，这导致了[BK12，C12，DHP11，DM06，Pe10，STZ11，STZ11a]中的准确定随机分析的新理论。其思想是，只要用一类（可能是非支配的）概率测度P′代替单参考概率P，就可以重新表述经典概率论。

例如，这就是不确定波动率（例如[STZ11a]）的情况，在一般的连续时间市场模型中，波动率只存在于某个区间[σm，σm]。在非支配先验集合的套利理论中，Bouchard和Nutz[BN13]在离散时间内提供了重要的结果。对一类P′引入了一个合适的套利机会概念，称为na（P′），并证明了无套利条件等价于具有相同P′极集的鞅测度族Q′的存在性。在连续时间市场中，alsoby Biagini等人最近研究了一个类似的话题。[BBKN14]。Bouchard和Nutz[BN13]回答了以下问题：对于所有可接受的概率模型P，哪一个是一个关于任意性的好概念∈ P′（即，一个H作为所有可容许模型的一个轨道）？为了提出这个问题，我们必须先验地知道哪些是可容许模型，也就是说，我们必须展示概率P′的子集。在本文中，我们的目的是研究市场的套利条件和稳健性，这些条件和稳健性与任何参考概率或先验集无关。我们考虑由离散时间适应随机过程S:=（St）t描述的金融市场∈一、 I={0，…，T}，定义为(Ohm, F、 F），F:=（英尺）t∈一、 与T<∞ 并在Rd中取值（见第2节）。注：我们没有对S施加任何限制，以便它可以描述通用金融证券（例如，股票和/或期权）。

与以往的迭代方法不同，在我们的设置中，可测量空间(Ohm, F） 给出了定义在其上的价格过程，并研究了无套利条件下S的鞅测度的性质。H类可容许交易策略由所有F-可预测d-维随机过程构成，我们用M表示所有概率测度的集合，在该集合下S是一个可模鞅，用P表示所有概率测度的集合(Ohm, F） 。因此，我们引入了一个灵活的套利定义，它允许我们在auni fied框架中描述集合M的丰富性。套利。我们在H中寻找一个策略H，它在某种适当的意义上代表了套利机会。设：V+H={ω∈ Ohm | VT（H）（ω）>0}，其中VT（H）=PTt=1Ht·（St-圣-1） 是策略H的最终值。根据集合V+H的性质，引入套利的几个概念是很自然的。定义1假设我们是Ohm 以至于 /∈ 美国的贸易策略∈ 当V（H）=0，VT（H）（ω）时，H是套利≥ 0ω ∈ Ohm V+H在S中包含一个集合。S类的作用是从数学上解释“真正增益”的含义。当概率P给定（“参考概率”）时，我们同意表示真实收益asP（VT（H）>0）>0，因此经典的无套利条件可以表示为：无套利P（VT（H）<0）=0意味着没有真实收益P（VT（H）>0）=0。以类似的方式，当给出概率测度的asubset P′时，可以用P-q.s条件替换上述P-a.s.条件，如[BN13]所示。然而，如果我们不能或不想依赖于一组隐修会指定的可能性度量，我们很可能会使用另一个概念：如果集V+Hcontainsa被认为是重要的，那么就有真正的收益。

这正是第3部分的核心类S所扮演的角色。BattigJarrow[BJ99]和Cassese[C08]已经分别在资产定价的第一和第二基本定理的背景下使用了不由某些概率度量确定的集合族（更多具体比较见第4.1节）。为了研究由此类无套利条件引起的鞅测度的性质，我们首先研究（见第4节）市场的结构性质，采用了符合[Pl97]精神的几何方法，但Ohm 是一个普通的抛光空间，而不是一个有限的样本空间。特别地，我们刻画了M-极集合的类N。e、 那些是B Ohm 这样就没有鞅测度可以将一个正测度指定给B。在独立于模型的框架中，集合N是由市场诱导的，因为鞅测度的集合不必承受任何附加条件（例如等价于某个P）。一旦确定了这些极性集，我们在第4.6节中明确构建了一个过程Ho它只取决于价格过程S和满意度：oVT（Ho）（ω）≥ 0ω ∈ Ohmo N V+Ho每N∈ N该策略是一个集值过程H的可测量选择，我们将其称为UniversalArbitrage Aggregator，因为对于任何P，它相对于M不是绝对连续的，可以在H的值中找到一个套利机会HP（在经典意义上）。市场的所有效率都被过程H捕获o但一般来说，它无法预测。为了恢复可预测性，我们需要通过考虑合适的技术过滤系数来扩大过程的自然过滤：∈i不影响鞅测度集，即。

任意鞅测度Q∈ M可以唯一地推广到放大滤波上的鞅测度。这使我们能够在第4.6节中证明本文的主要结果：定理2(Ohm,eFT，eF）是第4.5节中的放大滤波空间，并且是D维离散时间eF可预测随机过程的集合。那就没有套利了<==> M 6= N不包含SIn的集合换句话说，S族的性质在定价泛函的极集合方面有一个对偶对应物。在第4.6节中，我们进一步提供了资产定价基本定理的版本：不存在套利和鞅测度Q之间的等价性∈ M的所有C的Q（C）>0∈ 美国模式的独立套利。当S:={Ohm} 然后，套利与模型独立套利的概念相对应。像Ohm 从不属于极集N类，从定理2我们直接得到以下结果。定理3无模型独立套利<==> M 6=.在[AB13]中将单个风险资产视为路径空间上的规范过程时，也得到了类似的结果Ohm = RT+，一个可能不可数的选项集合（α）α∈a哪些价格在时间0时已知，何时可以通过半静态策略进行交易（详细讨论请参见[Ho11]）。假设存在一个具有特定功能的选项，定理3中的等价性在原始可测空间中实现(Ohm, F、 F，H）。在我们的设置中，虽然我们可以自由选择（d+k）维过程，对可能不同的基础（d）上的有限个选项（k）进行建模，但允许策略的类别在每个SIF中都是动态的，即i=1。d+k。

为了考虑半静态策略的情况，我们需要考虑限制因素，因此这两个结果不能直接比较。关于开集的套利。在拓扑环境下，为了获得全支撑鞅测度，S的合适选择是开集类。这个选择决定了套利关于开放集合的概念，我们将其缩短为“开放套利”：o开放套利是一种交易策略∈ 使得V（H）=0，VT（H）（ω）≥ 0ω ∈ OhmV+h包含一个开放集。这一概念允许以下双重重新表述（见第6节，提案64）。公开套利包含在交易策略中∈ H和非空弱开集U 所以对于所有的∈ U、 VT（H）≥ 0 P-a.s.和P（V+H）>0。（1） 因此，开放式套利的稳健特征可以从这种双重表述中明显看出，如果它代表了一组整体概率的经典意义上的套利，则作为某种策略H满足（1）。此外，如果H是这样的策略，我们忽略任何有限的子时间概率，那么H仍然是一个开放套利。此外，UCO的每个弱开子集都包含一个完全支持概率P（见引理57），在这个概率下，H是经典意义上的P-套利。无论何时，当我们面对模型规格错误时，都可以有效地使用完全支持鞅度量，因为它们具有广泛的支持，能够捕获事件样本空间的特征，而不会忽略重要的大部分。在Dolinski和Soner[DS14]中，已经证明了NA的局部版本的等价性和完全支持鞅测度的存在性（见第2.5节[DS14]），在由一个风险资产和比例交易成本决定的连续时间市场中。可行性和近似措施。

在第5节中，我们回答了这样一个问题：在市场的属性对“大多数”概率模型来说是好的意义上，哪些市场是可行的？显然，这个问题取决于可行性标准的选择，但为了达到这个目的，我们不需要展示先验的概率子集。相反，给定一个市场（在没有参考概率的情况下描述），该市场的诱导无套利模型集（概率）将决定该市场本身是否可行。这里需要的是“大多数”概率模型的良好概念。更准确地说，考虑到价格过程的定义(Ohm, F） ，我们引入了经典意义上无套利的集合Pof概率测度：P={P∈ P |关于P}无套利。（2） 当npτ=p关于某些拓扑τ时，市场是可行的，因为任何“坏”参考概率都可以用无套利概率模型来近似。在命题58中，我们证明了如果我们选择τ作为弱*拓扑，这个性质等价于全支撑鞅测度的存在性。本文的另一个贡献（在第5节中得到了证明）是，根据完全支持鞅测度的存在性，对可行市场和无公开套利进行了以下描述。我们用P表示+ P全支撑概率测度集。定理4下列条件是等价的：1。市场是可行的，即ePσ（P，Cb）=P；2.存在P∈ P+s.t.无套利w.r.对P（在经典意义上）成立；3.M∩ P+6=;4.不存在与可接受策略有关的公开套利。Riedel[Ri11]已经指出了无概率集合中完全支持鞅测度概念的相关性。

事实上，在单期市场模型中，在假设价格过程相对于状态变量是连续的情况下，他证明了没有一点套利（非负支付，至少在一点上具有严格的正性）相当于存在完全支持鞅测度。如第6.1节所示，这种等价性在多周期模型（或具有非平凡初始西格玛代数的单周期模型）中不再成立，即使对于ω中连续的价格过程也是如此。在本文中，我们考虑了一个没有ω-连续性假设的多资产多期模型，我们发展了开放套利的概念，以及它的双重重新表述，允许上述定理中所述的等价性。最后，我们给出了一些简单的例子来指出：单周期和多周期模型之间的差异（例子13、66、67）；无轨道和鞅测度存在性的几何方法（第4.1节）；原子解体的多周期设置的需要（例26）；对单极集合的单周期预测的需要（例32）。我们的FTAP版本对于超边缘对偶性的健壮公式的后果将在即将发表的论文中进行分析。2.金融市场我们会认为(Ohm, d） 是一个抛光空间，F=B(Ohm) 是由度量d导出的Borel-sigma代数吗Ohm 在第4.3节中使用is Polish来保证适当的正则条件概率的存在，见定理28。我们定义了一个有限的时间范围≥ 1，一组有限的时间指数I:={0，…，T}，我们设置：I:={1，…，T}。设F:={Ft}t∈Ibe a过滤F={, Ohm} 和英国《金融时报》 F