离散时间市场下的泛套利聚合器

辛切斯∈Z∑zt-1\\N）=Ohm \\ 我们有：英国电信∈ 对于所有ω，FQA（ω，·）tandbQA（ω，Bt）=0∈ Ohm \\ N，Q（N）=0。（19） 现在考虑sigma代数bft=\\ω∈Ohm\\NFQA（ω，·）并观察到∈bFt。注意，如果一个子集B Ohm 满意度：B C代表一些C∈ FtwithQA（ω，C）=0表示所有ω∈ Ohm \\ N、 然后q（C）=ZOhmQA（ω，C）Q（dω）=ZOhm\\NQA（ω，C）Q（dω）=0，所以B∈ FQt。这表明英国《金融时报》bFt FQt。因此英国电信∈ FQt。LetbQ:bFt→ [0,1]由BQ（·）：=R定义OhmbQA（ω，·）Q（dω）。ThenbQ是一个概率，它满足每个B的bq（B）=Q（B）∈ 因此，Ftand是bftof Q的扩展→ [0，1]是FQtof Q和Ft的唯一扩展bFt FQtthenbQ是q对bftandq（Bt）=bQ（Bt）=Z的限制OhmbQA（ω，Bt）Q（dω）=ZOhm\\NbQA（ω，Bt）Q（dω）=0。现在假设∈ 英尺-1，Γ=Azt-1并设置Ct:=Sz∈锌∪βt，zi=1Bit，其中位，zi在引理20中给出，Γ=Azt-1.固定任意ω∈ A.然后∑S0:T（ω）T A从A开始∈ 英尺-1.因此 Bt.推论31 Fix t∈ I={1，…，T}对于任何A∈ 英尺-1考虑Azt-1= {ω ∈ A | S0:t-1（ω）=z0:t-1} 6= . 那么对于任何问题∈ M集合{Azt-1| 0 /∈ 卷积和多项式相乘圣（Azt）-1)} 是anFt的一个子集-1-可测Q-零集，因此是M-极集。证据根据推论27 2），条件0/∈ 卷积和多项式相乘圣（Azt）-1)意味着∪βt，zi=1Bit，z=Azt-因此，QA（ω，Azt）-1） 在Azt上=1-1\\N，Dzt={ω∈ Azt-1s。t、 QFt-1（ω，Azt）-1) > 0}  Azt-1\\n与[{Azt-1| 0 /∈ 卷积和多项式相乘圣（Azt）-1)} \\ N[z]∈ZDzt N∈ 英尺-1.4.3.1多周期情况下的后向效应以下示例显示，在多周期设置中需要额外的注意：示例32Ohm = {ω，ω，ω，ω}考虑一个t=0，1，2的风险资产。S=7s（ω）=（8ω）∈ {ω, ω}3 ω ∈ {ω，ω}S（ω）=9ω=ω6ω=ω5ω=ω4ω=ω固定z∈ 前两个分量（Z，Z）等于（7，3）。第一周期：∑z=Ohm 和0∈ 里（康）(S（∑z））=(-对于i=1,2,3,4和S=EQ[S]，存在Qsuch thatQ（ωi）>0。

如果我们仅将问题限制在第一个周期，则（S，S）存在完全支持鞅测度，并且不存在M-极集。第二周期：∑z={ω，ω}，0/∈ 康夫(S（∑z））=[1,2]，因此∑zis不受S的任何鞅测度的支持，即如果Q∈ 然后Q（{ω，ω}）=0。向后：因为{ω，ω}是任意鞅测度Q的Q空集∈ M、 然后Q（{ω，ω}）=1。这反映在第一阶段为0/∈ 康夫(S（{ω，ω}））={1}，我们还推断{ω，ω}不受任何鞅测度的支持，这意味着M=.因此，这个例子表明，n个新的M极集（如{ω，ω}）可能在以后出现，从而对存在鞅测度产生反向影响。为了在时间t检测这些情况，我们需要在后时间预测某些极性集。更正式地说，我们需要考虑以下迭代过程。允许OhmT:=OhmOhmT-1:= Ohmt\\[z∈Z{∑zt-1| 0 /∈ 卷积和多项式相乘St（e∑zt）-1)}, T∈ 一、 式中e∑zt-1:= {ω ∈ Ohmt | S0:t-1=z0:t-1} ，t∈ I.我们证明了由引理20得到的集合位，Γ=e∑zt属于M（F）的极集族：N:={A A′∈ F|Q（A′）=0 Q∈ M（F）}更准确地说，引理33表示所有t∈ 土地z∈ Z考虑集合位，zf来自引理20，Γ=e∑zt-1.LeteBt:=[z∈锌∪βt，zi=1Bit，zoDt-1:=[z∈Zn∑zt-1| 0 /∈ 康夫(St（e∑zt）-1） ）或任何问题∈ M、 ebt是Ft-可测Q-零集和Dt的子集-1是Ft的一个子集-1可测Q-零集。证据我们用反向归纳法证明了这一点。对于t=t，推论30和推论31的断言为真。假设现在这个声明对任何k+1都成立≤ T≤ T根据归纳假设，存在NQk∈ 这样Dk NQk与Q（NQk）=0。引入辅助变量yfk可测随机变量xqk:=Sk-1NQk+Sk（NQk）c（20），注意等式[XQk | Fk-1] =Sk-1Q-a.s。

而且XQk:=XQk- Sk-NQK上的1=0Ohm \\ NQk Ohm \\ Dk，我们可以推断/∈ 里(Sk（e∑zk）-1） ）抄送==> 0 /∈ 里(XQk（σzk）-1） ）cc（21），表示EBK Bk（XQk）∪ nqk这里我们用Γ=∑zk表示Bk（XQk）从推论30得到的集合-1和XQkwhich取代Sk。根据推论30，我们发现了MQk∈ FkwithQ（MQk）=0，因此eBk Bk（XQk）∪ NQk MQk∪ NQk。因为Q是任意的，所以我们有了这个论点。我们现在展示第二个断言。每问∈ M和ε=（ε，…，ε）∈ Rdε>0时，我们可以定义qk=（Sk-1+ε）1NQk∪MQk+Sk（NQk）∪MQk）c（22）和EQ[SQk | Fk-1] =Sk-1.与SQk:=SQk- Sk-我们主张-1.[z]∈Z{∑zk-1| 0 /∈ 康夫(SQk∑zk-1))}. （23）确实让z∈ Z使得∑zk-1. Dk-1并注意这一点/∈ 康夫(Sk（e∑zk）-1)) <=> 0 /∈ 康夫(Sk∑zk-1\\Dk））。（24）自∑zk-1\\NQk ∑zk-1\\DkeBk NQk∪ MQk，然后∑zk-1=（∑zk）-1.∩ NQk）∪ （∑zk）-1\\NQk） NQk∪ MQk[z]∈Z{∑zk-1| 0 /∈ 康夫(SQk∑zk-1） ）}对于任何∑zk-1. Dk-1.因此，权利要求sinceSz{∑zk-1| 0 /∈ 康夫(SQk∑zk-1） ）是anFk的一个子集-1-可测Q-零集。4.4关于最大M极集和鞅测度的支持，第4.2节和第4.3.1节中介绍的集合提供了Ohm 分为两部分，Ohm = Ohm*∪ (Ohm*)C见下文第34条提案。布景Ohm*包含由鞅测度支持的事件ω，即，对于这些事件中的任何一个，都可以构造一个为ω分配正概率的鞅测度（即使有有限的支持）。观察这种组合是由S诱导的，它是在套利考虑之前确定的。提议34出租{Ohmt} t∈第4.5节定义的国际会计准则，以及∈ Z、 让我们来看看*t、 zbethe指数β与集合B*来自引理20，其中Γ=e∑zt-1.

定义Ohm*:=T\\T=1[z∈ZB*t、 z！。我们有以下M 6= <==> Ohm*6=  <==> M∩ Pf6=,其中pf:={P∈ P | supp（P）是有限的}是一组概率度量，其支持度为ω的有限数∈ Ohm.如果m6= 那么对于任何ω*∈ Ohm*存在Q∈ M表示Q（{ω*}) > 0，所以(Ohm*)最大M极集，即(Ohm*)cis是一个M极集，并且N∈ N我们有N (Ohm*)c、 （25）证据。首先要注意：(Ohm*)c=T[T=1eBt.从引理33出发，ebt是任意T的M极集∈ 一、 这意味着(Ohm*)cis是一个M极坐标集。现在假设Ohm*=  因此Ohm =STt=1ebt是一个极坐标系。我们可以得出结论，M=.现在假设Ohm*6= . 我们证明了对于每个ω*∈ Ohm*存在一个Q∈ M这样的q（{ω*}) > 0.现在注意，对于任何t∈ 任何土地∈ Ohm*, 0∈ 里(St（B）*t、 z）ccz=S0:t（ω）。正如我们在推论25中所做的那样，我们应用备注24并得出结论，存在数量有限的B元素*t、 z，命名为Ct（ω）：={ω，ω，…，ωm} B*t、 z，就是这样-1（ω）=λt（ω）St（ω）+mXj=1λt（ωj）St（ωj）（26），其中λt（ω）>0且λt（ω）+Pmj=1λt（ωj）=1。现在修好ω*∈ Ohm*. 我们迭代地构建一个集合OhmTF适合作为adiscrete鞅测度（包含ω）的有限支持*).从Ohmf=C（ω）*) 对于t=1，满足（26）。对于任何t>1的情况OhmT-1f，定义Ohmtf：=nCt（ω）|ω∈ OhmT-1fo。一旦Ohm如果解决了这个问题，就很容易通过（26）：Q（{ω}）=TYt=1λt（ω）构造鞅测度ω ∈ Ohmtf，通过构造，λt（ω）*) > 任何t都是0∈ 一、 我们有Q（{ω*}) > 0和Q∈ M∩ Pf。要显示（25），只需从上一行观察Ohm*而不是M-polar(Ohm*)由于引理33，c=STt=1ebt是M极的。提案证明17。1便士套利的缺失显然意味着Ohm*= Ohm （见推论27）。取稠密子集{ωn}n∈诺夫Ohm: 从命题34出发，对于任意ωn都存在鞅测度Qn∈ 使Qn（{ωn}）>0。根据附录中的引理76，Q:=P∞i=1iQi∈ M、 而且Q（{ωn}）>0N∈ N

因为{ωn}n∈Nis稠密，Q是完全支持鞅测度。4.5扩大过滤和通用套利聚合在第4.2节和第4.3节中，我们解决了在固定时间间隔上刻画某个市场模型的M极集的问题[t- 1，t]代表t∈ I={1，…，T}。特别是，如果我们看水平集∑zt-1价格过程（St）t∈一、 我们可以确定这些集合的组成部分必须是极性的（推论30），当0/∈ 康夫(St∑zt-1） ）（推论31）。由于后向效应，在多周期情况下需要进一步注意（见第4.3.1节），但在第4.4节中获得了M极集的完整特征。在本节中，我们将建立一个可预测的战略，涵盖市场的所有效率。不幸的是，即使是在一个时间步长上，推论30给出的极性集通常也属于Ft（通用M-完成），因此，EMMA 20中等式（15）建议的交易策略无法预测。这反映了通过预测一些一步的头部信息来扩大原始过滤的必要性。在这种只依赖于市场基本结构的过滤扩大下，鞅测度集不会改变（见引理41）。定义35我们称通用套利聚合器为策略hot（ω）1∑zt-1:=（Ht，z（ω）onβt，zi=1Bit，z0 on∑zt-1\\Sβt，zi=1比特，z，t∈ I={1，…，T}，（27）其中z∈ Z满意度z0:t-1=S0:t-1（ω），Ht，z，Bit，z，B*t、 zcome来自（15）和引理20，其中Γ=e∑zt-1.就扩大的过滤效率而言，这种策略是可预测的∈Igiven byeFt:=英尺∨ σ（Ho…，Hot+1），t∈ {0，…，T- 1} （28）eFT:=英尺∨ σ（Ho…，HoT）。（29）备注36等式（27）中的策略H满足VT（Ho）≥ 0和V+Ho=T[T=1eBt.（30）事实上，从Lemm a 20 Ht，z·在βt上St>0，zi=1Bit，z，所以stt=1eBt V+Ho。

另一方面，V+Ho {Hot6=0对于某些t}STt=1eBt。因此，对于t<t，我们得出结论：eft 英尺∨St+1s=1Ns 英国《金融时报》，地址：=A=[z]∈V[i]∈J（z）位，z |代表某些人 ZJ（z） {1，…，βt，z}∪ Dt，而对于t=t，eFT 英尺∨STs=1Ns 对于任何问题∈ M和t∈ 一、 NTI的任何元素都是Ft-可测Q-空集的子集。从现在起，我们将假设允许交易策略的类别是由alleF可预测过程给出的。我们可以使用策略适应toeF改写套利的定义。也就是说，关于toeH的套利是一个可预测的过程，即VT（H）≥ 0和{VT（H）>0}在S中包含一个集合。备注37关于H的无套利意味着关于H的无套利。备注38（对过滤扩大的财务解释）修复∈ 一、 z∈ Z、 事件∑zt-1={S0:t-1=z0:t-1} 假设市场呈现0给出的机会/∈ 里(St∑zt-1） ）抄送。考虑两种可能性∈ P、 k=1，2，其中Pk（∑zt-1) > 0.在引理20之后，如果jk:=inf{i=1，…，β| Pk（位，z）>0}<∞, 然后，该策略的合理选择是Hjk，如推论23所示。因此，jk<∞ 两种可能性都成立，因此由Pand Pagree代表的两个代理∑zt-1是一个非有效水平的市场集合，尽管j6=jso可能不同意在∑zt上建立Pk经典套利的交易策略-1.在这种情况下，这两种套利在∑zt的不同子集上实现-1并产生不同的回报。但请注意，这些代理人中的任何一个都能够在有限数量的交易策略{Hit，z}βt，zi=1中找到套利机会，由Lemm a 20驱动（回忆βt，z≤ d） 。过滤的扩大使我们能够拥抱他们所有人。

这可以参考[DH07]中的类似讨论：“weakarbitrage机会是一种情况，我们知道一定存在套利，但在没有进一步信息的情况下，我们无法判断什么策略会实现它”。我们更正式地展开这个论点。回想一下引理20提供了任何水平集∑zt的分区-1具有以下性质：对于任何ω∈ (Ohm*)存在一个唯一的集合位z，由i=i（ω）识别，因此ω∈ 位，z=S0:T（ω）。因此，对于任何∈ IthemultifunctionHt（ω）：=nH∈ Rds。t、 H·St（bω）≥ 对于任意的bω为0∈ ∪βt，zj=i（ω）Bjt，z∪ B*t、 zoifω∈ (Ohm*)c（31）和Ht（ω）={0}否则。注意这一点∈ 一、 如果ω，ω满足S0:t-1（ω）=S0:t-1（ω）和i（ω）=i（ω）它们属于同一位，zand-Ht（ω）=Ht（ω）。换言之，它在任何位上都是常数，在任何开集V上都是常数 我们有{ω∈ Ohm | Ht（ω）∩ v6=} =[z]∈Zβt，Z[i=1{Bit，Z|Ht（Bit，Z）∩ v6= }根据这一点，Ht是可测量的-1.∨Sts=1Ns。注意，由于Hot（ω）∈ 任何ω的Ht（ω）∈ Ohm, 我们发现Ho是一种具有相同可测量性的HTC选择。现在我们来展示过程H:=（Ht）t∈当我们选择概率模型P时，我提供了P-经典套利∈ P对于ν：=supQ不是绝对连续的∈MQ。P案<< ν在备注40中讨论。定理39让H在（31）中定义。如果P∈ P对ν不是绝对连续的，则存在一个FP-可预测的t-交易策略hpp，它是P-经典套利和hp（ω）∈ H（ω）P-a.s.其中FPt表示fta和FP的P-完成：={FPt}t∈一、证据。见附录7.1。从引理43如果P∈ 充分证明了定理39的假设，即存在一个F-可测集F (Ohm*)P（F）>0。注意，从备注69中可以看出，除非(Ohm*)c=.

因此，定理39断言，对于任何支持(Ohm*)在集值过程H的值中可以找到可预测的套利机会。该性质建议我们将H作为通用套利聚合器，从而将Ho作为通用套利聚合器的（标准）选择。注意，我们本可以考虑不同的H选择，以满足基本要求（30）。由于这个选择不影响我们的任何结果，我们只取Ho。备注40回顾（2）中的任何P∈ （P） Cadmit是一个P-经典套利机会。我们可以在（P）c中区分两个不同的类。第一个是：PM:={P∈ （P） c | P<<ν}或者换句话说，元素P∈ （P） C以下为PMi的任何子集：(Ohm*)cisp-null。对于这个类中的每一个概率P，都存在一个具有更大支持度的概率P′，它可以消除任何P-经典套利机会。回想一下例子26，其中Ohm*= Q∩ [1/2, +∞). 通过选择P=δ{}∈ 我们显然有P-经典套利。然而，通过简单地取p′=λδ{}+（1- λ） δ{2}对于一些0<λ<1的市场，这个市场是无套利的。从独立于模型的角度来看，这些情况并不被视为市场效率，因为一旦考虑到更多的轨迹，它们就会消失。通用套利聚合器通过以下属性捕获此功能：Ho=0 onOhm*.另一方面，当P∈ （P） c\\PMP然后给某个M-极性可测集F分配一个正测度∈ N因此，任何其他的P′∈ 具有较大支撑的P将满足P′（F）>0和概率模型(Ohm, F、 F，S，P′）也会表现出P′-经典套利。例26(Ohm*)c=B∪ B=R+\\Q和B=Q∩ [0,1/2）。如果P((Ohm*)c） >0市场表现出P-经典套利，但这仍然适用于P′给出的P<P′的任何概率模型。

特别是，如果P′（B）>0，则H:=[0,0,1]是P′-经典套利，而如果P′（B）=0且P′（B）>0，则H:=[1,0,0]是期望的策略。在这个例子中，Ho=H{R+\\Q}+H{Q∩[0,1/2）}.引理41M（F） M（eF）具有以下含义o任何等式的限制∈ M（eF）到FTF属于M（F）；o任何问题∈ M（F）可以唯一地推广到M（eF）证明的一个元素。莱特克∈ M（eF）和Q∈ P(Ohm) 对于任何t，都是对FT.的限制∈ 土地A∈ 英尺-我们有EQ[（St- 圣-1） 1A]=EeQ[（St- 圣-1） 1A]=0。现在让我们来看Q∈ M（F）。存在一个我们称之为Q的唯一扩展。安妮娅∈eFt-1带t∈ 这里有一个∈ 英尺-1这样的等式（eA）=eQ（A）=Q（A）。因此EeQ[（St- 圣-1） 1eA]=等式[（St）- 圣-1） 1A]=0。我们得出结论，EeQ[St | eFt-1] =St-1.亨切克∈ M（eF）。备注42引入过滤放大EF是为了保证集合位上1个套利的聚合，ZOB来自引理20，Γ=e∑zt-1.如果我们确实遵循[C12]，我们可以考虑概率测度的任何集合Θt:={Pit，z}on(Ohm, F） 这样坑，z（位，z）=1。首先要注意这一点 σ[{Bit，z | z∈ 五、 我∈ J（z）}V和J（z）任意。对于任何坑，zt我们确实有FPit，zt包含（位，z）c的任何子集∈ 五、 我∈ J（z）}我们有o如果z/∈ V还是我/∈ J（z）然后A∈ FPit，因为 （位，z）co如果z∈ V和我∈ J（z）然后A∈ FPit，zt，因为A=Bit，z∪“A与”A （位，z）cIt很容易检查定义3.2[C12]中定义的FTA上的Θthas Hahn属性，Φt:=Θt | Ft。因此，我们无法应用[C12]中的定理3.16来找到一个FΘtt-可测量函数Ht，使得Ht=Hit，zPit，z-a.s。

这意味着Ht（ω）=Hit，zf代表每个ω∈ Bit，z.4.6主要结果我们现在的目的是展示没有套利的la classe S如何通过鞅测度的存在提供一个具有良好性质的定价函数。显然，“无1p套利”条件是在这个独立于模型的框架中可以假设的最强条件，我们在命题17中已经证明，它自动暗示了完全支持鞅测度的存在。另一方面，我们感兴趣的是描述那些可以表现出1p套利，但仍然承认一个合理的定价规则体系的市场。布景Ohm*第4.4节中的介绍有一个明确的财务解释，因为它代表了一组无法找到1便士套利的事件。这就是以下命题的内容。让(Ohm,eFT，eF），eH如第4.5节所述，并且定义+：=nH∈eH | VT（H）（ω）≥ 0 ω ∈ Ohm V（H）=0o。提案n 43（1）V+Ho=SH∈eH+V+H=(Ohm*)c（2）M 6= 如果而且只有伊夫什∈呃+V+他严格控制在Ohm.证据（2） 遵循第（1）条和第34条命题。的确：m6= 我Ohm*6=  我(Ohm*)c&Ohm 我很高兴∈eH+V+H（Ohm. 现在我们证明（1）。给定（30），我们只需要展示包容性∈eH+V+H(Ohm*)c、 让ω∈嘘∈eH+V+H，然后存在∈eH+和t∈ 这是Ht（ω）·吗St（ω）≥ 0ω ∈ Ohm 和Ht（ω）·St（ω）>0。设z=S0:T（ω）。引理20中有我∈ {1，…，βt，z}这样ω∈ 我们得出结论ω∈eBtand因此ω∈ (Ohm*)c、 定理2的证明。我们证明了这一点 套利交易<==> M= 或者N包含S的集合。注意，如果H∈eH满足VT（H）（ω）≥ 0ω ∈ Ohm 那么，如果m6=, V+H∈ N，否则Q为0<EQ[VT（H）]=V（H）=0∈ M.如果存在S类套利，则V+H在S中包含一个集合，因此N在S中包含一个集合。如果M= 我们已经有了答案。