非对称金融市场的马尔可夫纳什均衡

实际上，如上所述，我们有hy（t，y）=ZRh（z）qy（σ（1）-t） ，z-y） dz=ZRq（σ（1）-t） ，z-y） dh（z）>0。另一方面，Hy（t，y）=ZRh（z）z-yσ（1）-t） q（σ（1）-t） ，z-y） dz（4.6）≤ 苏普兹∈Rh（z）ZR | z- y |σ（1）-t） q（σ（1）-t） ，z-y） dz≤C√1.-t、 其中C=kh（z）k∞qσπ。因此，外稃4。1意味着（4.1）强解的存在唯一性。接下来，我们将通过Girsanov变换构造（4.1）的弱解来刻画T<1时Y在[0，T]上的分布。为此，让我们在一些过滤概率空间上做一个布朗运动（~Ohm,~F，（~Ft）t∈[0,1]，Q）。那么M是[0，T]上的M artin gale，由[26]中的推论3.5.16得出。因此，如果我们定义Ohm,)F）通过)dP/dQ=MT，σW在[0，T]上的)P下求解（4.1）。由于（4.1）解的唯一性，对于任何连续的有界函数g，我们因此有eP[g（YT）]=EQ[g（σWT）MT]。我们接下来的目标是将上述等式推广到T=1，一旦我们证明M是富于鞅的，这将遵循支配收敛定理。直接计算导致toMT=expB（T，σWT）+cZTHy（s，σWs）-Hy（s，0）-cWsHy（s，σWs）ds,其中b（t，y）=-cσZyxHy（t，x）dx≤0（4.7）非对称信息和FORWA-RD-Backward系统，因为Hy为正。因此，对于任何t≤ T，Mt≤经验cZHy（s，σWs）ds≤e2cC（4.8）意味着eP[g（Y）]=EQ[g（σW）M]，其中M:=limT→1公吨。我们的下一个目标是证明（4.5）中的估计值，而这反过来又会使误判呈阳性。设τ为W的自然过滤的停止时间，由1决定。然后ZτWsHy（s，σWs）dWs≤ |B（τ，σWτ）|+cZτHy（s，σWs）-Hy（s，0）ds≤ |B（τ，σWτ）|+3cC，其中B（t，y）由（4.7）给出。partson B（t，y）y ields积分的一个简单应用|B（t，y）|≤2cσ| y | khk∞.

因此ZτWsHy（s，σWs）dWs≤K（1+| Wτ|）≤ K（1+W）*),对于一些依赖于σ和khk的K∞只有上述估计还表明，cRtWsHy（s，σWs）dws是[0,1]上的平方可积鞅，czeq[Ws（Hy（s，σWs））]ds≤ 2cK（1+EQ（W）*)) < ∞.As{ω：M（ω）=0} {ω：RWs（ω）（Hy（s，σWs（ω）））ds=∞}, 这意味着M在[0,1]上是严格正的，Q-a.s.和M=exp-cZWsHy（s，σWs）dWs-cZWsHy（s，σWs）ds.我们将在ord er中考虑的定点算法不需要下一个引理来证明系统（3.6）-（3.8）的解的存在性。另一方面，它表明（3.7）的任何解都有一个平滑的跃迁密度，这是在我们的模型中构造平衡所必需的。引理4.3。设h是一个非常数、有界、非减量、绝对连续函数，其导数在紧集上有界。考虑（3.6）的解H和终端条件H，然后（4.1）的唯一强解Y允许一个规则的跃迁密度p（s，Y；t，z）为0≤s≤ T≤1代表（y，z）∈ 此外，对于任何固定的（t，z），p（s，y；t，z）>0on[0，t）×R并且是C1,2（[0，t）×R）。18 U.C,ETIN和A.DANILOVAProof。由于引理4.2，我们有0<Hy（t，y）≤C√1.-t对于t<1和y∈ R、 式中，H是（3.6）在终端条件H下的解，C=qσπkhk∞. 此外，解Y对于（3.7）和任何有界函数g和0都存在唯一性≤ t<u≤ 1，E[g（Yu）| Yt=y]=EQg（σWu）exp-cZutWsHy（s，σWs）dWs-cZtWsHy（s，σWs）dsWt=yσ.因此，Y的规则跃迁密度可以定义为asp（t，Y；u，z）=q（σ（u-t） ，z-y） r（t，y；u，z），0≤ t<u≤ 1，（4.9）式中（t，y；u，z）：=EQy→zt→U经验-cσZutYsHy（s，Ys）dYs（4.10）-c2σZutYsHy（s，Ys）ds,yσ是区间[t，u]上从yσ到zσ的布朗桥→zt→U

事实上，当我们证明ris是一个可测函数，而Chapman–Kolmogorov方程成立时，代表式（4.9）成立。事实上，正如我们在下面展示的，r对于其所有参数都是连续的，因此是可测量的（读者可以轻松地验证查普曼-科尔莫戈罗夫方程）。首先，观察It^o公式和PDE（3.6）满足H收益率[回想一下B（t，y）由（4.7）给出]、eB（t，y）-B（u，z）r（t，y；u，z）=EQy→zt→U经验库特Hy（s，Ys）-Hy（s，0）-c2σYsHy（s，Ys）ds（4.11）=exp-cZutHy（s，0）ds×EQy→zt→U经验库特Hy（s，Ys）-c2σYsHy（s，Ys）ds.此外，鉴于布朗桥的SDE表示（见[26]第5.6.B节），Qy下的Y定律→zt→与不对称信息下的Y和FORWA-RD-backward D SYSTEMS 19Q相同，其中Y:=yu-苏-t+Z-屠-t+σ（u）-s） ZstdWru-r、 s∈ [t，u]。因此，EQy→zt→U经验库特Hy（s，Ys）-c2σYsHy（s，Ys）ds= 情商经验库特Hy（s，~Ys）-c2σYsHy（s，~Ys）ds,期望的连续性来自于关于（t，Y，u，z）的∧Y的连续性，以及由于Hy上的界而应用的支配收敛定理。在order中，表明r（t，Y；u，z）>0≤ 1.必须证明这一点→zt→UZutYsHy（s，Ys）ds<∞= 1.（4.12）实际上，由于Hy的统一界，（4.11）中的条件期望中的非负随机变量仅在rutysy（s，Ys）ds中为零=∞. 为此，fix一ω，观察Kt，u:=su pt≤s≤uYssatis Fiesqy→zt→u（0<Kt，u<∞ ) = 1.因此，4Kt，uzutysy（s，Ys）ds≤ZutHy（s，Ys）ds=ZutZRh′（z）q（σ（1）-s） ，z-Ys）dzds≤祖特Z-1h′（z+Ys）q（σ（1）-s） ，z）dzds+ZutZ∞h′（z+Ys）q（σ（1）-s） ，z）dzds+ZutZ-1.-∞h′（z+Ys）q（σ（1）-s） ，z）dzds。注意，对于固定ω，Y是时间的连续函数，因此，d取紧集中的值，这意味着h′（z+Ys）是z的界∈ [-1,1]以及所有∈ [t，u]。

这意味着第一个积分是有限的-1q（σ（1）-s） ，z）dz<1。要查看第二个积分的完整性，请将部分积分应用到集合Zut中-~h（1+Ys）q（σ（1）-s） ，1）+Z∞~h（z+Ys）zσ（1）-s） q（σ（1）-s） ，z）dzds，20 U.C,ETIN和A.DANILOVAwhereh=h+khk∞. 请注意，h是正的，因此，ab-ove积分从上方以8KHK为界∞Zutq（σ（1）-s） ，1）ds<∞.第三个积分可以用同样的方式表示为有限积分。为了证明p（t，y；u，z）∈ C1,2（[0，u）×R）对于固定（u，z），其中u<1，我们将证明它是抛物微分方程的基本解（基本解的定义见[21]第3页）。鉴于偏微分方程的基本解与扩散过程的跃迁密度之间的关系（见[26]中定义5.7.9之后的讨论），让我们考虑偏微分方程组+σuy-cyHyuy=0（4.13），在区间[0，T]上，其中T<1。一旦我们证明[9]第28页上的条件（i）-（iii）满足，则该偏微分方程的基本解的存在将遵循[9]中的定理1。条件（i）对于σ为常数的f非常满足。而且,yyHy= |Hy+yHy |和Hy（t，y）≤ C√1.-t全部（t，y）∈ [0，T]×R，我们可以得出如下结论：当y属于有界区间时，如果可以证明y在（t，y）中有界，则yyy是局部有界的。实际上，通过直接区分H，我们得到了| Hy y |≤σ(1 -（t）ZR | H（1，z）| q（σ（1）-t） ，z-y） dz+ZR | H（1，z）|（z）-y） σ（1）-t） q（σ（1）-t） ，z-y） dz≤ 2kh（z）k∞σ(1 -也就是说，Hy在[0，T]×R.T hus上一致有界，我们已经证明了条件（ii）是满足的。由于常数函数解（4.13），条件（iii）也是满足的；因此，存在一个从Γ（t，y；s，z）到（4.13）的基本解。

特别地，如果考虑这个偏微分方程，对于某些有界的g，其边界条件为u（T，y）=g（y），则解由u（T，y）=ZRg（z）Γ（T，y；T，z）dz给出。另一方面，由于SDE（4.1）满足了[26]中关于时间间隔[0，T]的定理5.7.6的假设，u h是该定理的以下随机表示：u（T，y）=E[g（YT）|YT=y]=ZRg（z）p（T，y；T，z）dz。因此，ZRg（z）p（t，y；t，z）dz=ZRg（z）Γ（t，y；t，z）dz，并且由于g是任意的，并且Γ和p在其参数上都是连续的，我们推导出p（t，y；t，z）=Γ（t，y；t，z）对于所有0≤t<t<1，因此，对于t<1，它是C1,2on[0，t）×R。为了证明p（t，y；1，z）对于每个z是C1,2on[0，1）×R，考虑（4.13）的边界条件u（t，y）=p（t，y；1，z）。注意，u（t，y）是有界的，因为，由于（4.11），我们有R（t，y；u，z）≤ e2cCe-B（t，y）=e2cCe（c/σ）（yH（t，y）-RyH（t，x）dx）（4.14）≤ e2cCe（ckhk）∞/σ） |y |，其中第一个不等式是由Hy（t，y）的界引起的，最后一个不等式是由引理4中得到的H（t，y）的界引起的。2.因此，存在一个独特的经典解u（t，y）to（4.13），边界条件u（t，y）=p（t，y；1，z），由u（t，y）=ZRp（t，y；t，x）p（t，x；1，z）dx通过定义有趣的解给出。然而，通过查普曼-科尔莫戈罗夫方程，ZRp（t，y；t，x）p（t，x；1，z）dx=p（t，y；1，z），（4.15），这反过来又产生了p（t，y；1，z）处的th∈ C1,2（[0，T）×R）。由于T是任意的，我们有p（T，y；1，z）∈ C1,2（[0,1）×R）。收集了所有的先决条件之后，我们现在可以证明我们的主要定理了。理论证明4。1.在引理4.2的设置中，M定义了Y和σW定律之间的等效测量变化。因此，如果我们用[see（4.10）]r（y]定义r（y）：=r（0,0；1,y）=EQMW=yσ,（4.16）22 U.C,ETIN和A。

DANILOVAthenE[g（Y）]=ZRg（Y）q（σ，Y）r（Y）dy，因此，Yunder P的概率密度由q（σ，Y）r（Y）给出≤ q（σ，y）e2cC。（4.17）方程组（3.6）-（3.8）的解的存在将通过应用于某个算子的固定点参数显示n，该算子将R上的一组分布函数映射到自身。Schauder的不动点定理（见[21]中的定理7.1.2）表明ifD是Banach空间的闭凸子集，T:D7→D是一个连续算子，如果空间T D是预紧的，那么它有一个固定点，也就是说，T D中的每个序列都有一个子序列收敛到Banach空间的某个元素。为了应用这个定理，我们首先需要找到可测的Banach空间，它包含一类R上的p概率分布函数，该分布函数足够大，可以包含方程组（3.6）-（3.8）的解的其中一个分量Y的分布。鉴于上述讨论，Y的分布将是连续的，实际上它将允许密度。因此，我们可以将R上有界连续函数的空间Cb（R）作为Banach空间的基础，并将P设置为R上绝对连续分布函数的空间，即P∈ 如果P在增加，P(-∞) = 0，P(∞) = 存在一个可测函数P′，使得P（y）=Ry-∞P′（z）dz。然后我们可以定义setD=P∈ P:P′（z）≤ C*q（σ，z），Z∈R、 Z∞x（y）-x） P′（y）dy≥EC*Wσ-十、+, x>0，-Z-十、-∞（y+x）P′（y）dy≥ E-十、-C*Wσ+, x>0,Where C*:= 经验ρkf（z）k∞Nrπσ.明智地选择C的原因*将在我们确定操作员T时变得明显。我们将通过四个步骤验证固定点的存在性。第一步：D是一个闭凸集。很明显，D是凸的。

为了证明它也是封闭的，假设Pn是D中的一个元素序列，收敛到Banach空间的某个元素P，在sup范数中。很明显，P是对称信息，前-后D系统23随着P的增加而增加(-∞) = 0和P(∞) = 1.此外，对于任何x≤ y在R中，它来自于法图引理0≤ P（y）- P（x）=limn→∞ZyxP′n（z）dz≤Zyxlim s upn→∞P′n（z）dz，因为每个P′都由同一个可积函数从上面限定，而反过来又是正函数lim supn的上界→∞P′n.然而，这意味着P是绝对连续的，尤其是存在一个函数P′，其值为0≤P′（z）≤ 林尚→∞P′n（z）≤ C*所有z的q（σ，z）∈ R.为了证明D是闭合的，我们需要证明Z∞x（y）-x） P′（y）dy≥ 情商C*Wσ-十、+x>0。由于pnp弱收敛，存在一个支持随机变量（Yn）n的概率空间≥0和Y以至于→Y，a.s.，Y有分布Pn，Y有分布P。注意，可以直接验证Zr（y-x） Pn（dy）≤ C*E[（Wσ）-x） ]表示序列（Yn）的均匀可积性-x） +。因此，Z∞x（y）-x） P（dy）=limn→∞Z∞x（y）-x） Pn（dy）≥EC*Wσ-十、+.类似的论点显示了其他的不平等。因此，D是闭合的。第2步：定义操作员T。任何P∈ D、 设H:[0,1]×r7→ R是唯一的函数，它解决了以下边值问题：Ht+σHy y=0，（4.18）H（1，y）=f（Φ）-1（P（y）），其中Φ是标准正态随机变量的累积分布函数。观察h（z）：=f（Φ-1（P（z））是一个有界的递增函数。此外，其导数由f′（Φ）给出-1（P（y））（Φ-1） “（P（y））P′（y）对于所有y都有很好的定义∈ R为P（y）∈ （0,1）对于所有P∈ D和y∈ 因此，h也是绝对连续的。

因此，通过引理4。2，对于所有t<1,0<Hy（t，y）≤ C√1.-t、 其中C=qσπkfk∞取决于P的选择。对于这个H，我们可以将一个唯一的过程Y与概率密度q（σ，Y）r（Y）联系起来，当r在（4.16）中定义时，该过程求解（4.1）c=σρ2n，Y是一个连续的随机变量。因此，我们可以确定P（y）=Zy-∞q（σ，z）r（z）dz。24 U.C,ETIN和A.DANILOVANote，T P属于D du e to（4.2）、（4.3）和（4.17）。第三步：T是预紧的。由于T D是一个等连续函数族，由Ascoli–Arzela th eorem的一个版本（见[30]中的推论III.3.3]），如果Pn是T D中的一个序列，则它允许一个子序列逐点收敛到P∈ Cb（R）。此外，在R的一个非常紧的子集上，这种收敛是一致的。这意味着T D在Ce上是预紧的。我们证明了收敛在所有R上是一致的。为此，让我们假设Pn本身是收敛子序列，并且考虑ε>0。由于D的定义，存在x*还有x*例如Pn（x）≤ C*Zx-∞q（σ，y）dy≤ C*Zx*-∞q（σ，y）dy=C*Φ（x）*) ≤ε十、≤ 十、*;1.-Pn（x）≤ C*Z∞xq（σ，y）dy≤ C*Z∞十、*q（σ，y）dy=C*Φ(-十、*) ≤ε十、≥ 十、*.由于pnp在点上收敛到P，我们也有相同的x*还有x*thatP（x）≤ε十、≤ 十、*; 1.-P（x）≤ε十、≥十、*.因为在紧致[x]上收敛是一致的*, 十、*], 存在着一种对所有人来说≥ Ksupx∈[x]*,十、*]|Pn（x）-P（x）|≤ε.因此，对于任何n≥ 我们有SUPX∈R | Pn（x）-P（x）|≤ 好的∈[x]*,十、*]|Pn（x）-P（x）|+supx∈(-∞,十、*]（Pn（x）+P（x））+supx∈[x]*,∞)(1 -Pn（x）+1- P（x））≤ ε.因此，我们认为pnp的收敛性在R上是一致的，也就是说，td在具有sup范数的Cb（R）中是预紧的。因此，Schauder的Fix ed point定理给出了T有一个固定点，前提是T是一个连续算子，我们将在下面展示。第四步：T是连续的。为此，让（Pn）n≥1.D收敛到P∈喧闹。

由于Tpn和Tp属于D，鉴于[11]中的问题14.8（c），Tpn到Tp的点态收敛将意味着一致收敛不对称信息和前-后D系统，因为Tp是连续的。对于每一个Pn和P，我们可以把函数Hn和H，bn和B，以及引理4.2中的过程mn和M联系起来。一旦我们能证明，对于任何连续且有界的函数，它的点态收敛将立即发生→∞等式[g（σW）Mn]=等式[g（σW）M]。考虑到（4.8）在mn和M上的一致界，如果我们能证明mn收敛到Min Q-p概率，上述收敛将成立。为了得到证明这种收敛性的估计，首先要注意，由于引理4。2对于任何以1为界的停止时间τ，我们有cZτWsHny（s，σWs）dWs≤K（1+| Wτ|）≤ K（1+W）*),对于一些独立于n的K，这表明cRtWsHny（s，σWs）在[0,1]上与czeq[Ws（Hny（s，σWs））]ds是平方可积的martin gale≤ K（1+EQ（W）*)),其中K是独立于n.LetNnt的常数：=ZtWs{Hny（s，σWs）-Hy（s，σWs）}dWs。因为[回想一下，B（t，y）由（4.7）给出]-cZWsHy（s，σWs）dWs=B（1，σW）+cZHy（s，σWs）-Hy（s，0）ds，将bn和B按部分积分得到cnn=cσW（Hn（1，σW）-H（1，σW））-cσZσW{Hn（1，y）-H（1，y）}dy+cZ{Hy（s，σWs）-Hny（s，σWs）}ds-cZ{Hy（s，0）- Hny（s，0）}ds。当Hnare一致有界且Hny≤ C√1.-t对于t<1，如果我们能证明Hn（1，y）→ H（1，y）和Hny（t，y）→ Hy（t，y）f或全部y∈ R和t∈ [0,1]，上述w将立即意味着nn收敛到0，Q-a.s。此外，它还意味着所有p的Lp（Q）收敛∈[1, ∞) 鉴于（4.5）中获得的边界。特别是，我们要去哈夫林→∞情商ZWs{Hny（s，σWs）-Hy（s，σWs）}ds= 0.（4.19）26 U.C,ETIN和A。

达尼洛瓦图斯，林→∞ZWs{Hny（s，σWs）-Hy（s，σWs）}ds=0，在Q-概率中。（4.20）此外，ZWs | Hny（s，σWs）-Hy（s，σWs）| Hy（s，σWs）ds≤ZWs{Hny（s，σWs）-Hy（s，σWs）}dsZWs（Hy（s，σWs））ds，这反过来[由于（4.5），RWs（Hy（s，σWs））ds<∞ Q-a.s.]im plieslimn→∞ZWs{Hny（s，σWs）-Hy（s，σWs）}Hy（s，σWs）ds=0（4.21）。结合（4.20）和（4.21），我们可以推导出thatlimn→∞ZWs（Hny（s，σWs））ds=ZWs（Hy（s，σWs））ds。与Nn一起→0，Q-a.s.上述表示Mn→M、 Q-概率。因此，仍然需要证明Hn（1，y）→H（1，y）和Hny（t，y）→Hy（t，y）代表所有y∈R和t∈[0,1]的确，林→∞Hn（1，y）=limn→∞f（Φ-1（Pn（y））=f（Φ-1（P（y）），考虑到f的连续性oΦ-关于（0，1），序列（Pn（y））收敛到极限P（y）∈ （0,1）对于任何y∈R由于D的定义。接下来，观察t<1 | Hny（t，y）-Hy（t，y）|≤ZR | Hn（1，z+y）-H（1，z+y）| | z |σ（1）-t） q（σ（1）-t） ，z）dz。As Hn和H以kfk为界∞, 收敛到0遵循支配收敛定理和Hn（1，y）→H（1，y）为n→ ∞.因此，我们验证了T是连续算子，D是Banach空间的闭凸集，T D是预紧的。因此，bySchauder的不动点定理T有一个不动点P，即T P=P。对于P，定义H为（4.18）的解，定义Y为（3.7）对应的唯一解。然后（H，Y）是方程组（3.6）-（3.8）的解。不对称信息和FORWA RD–Backward D SYSTEMS 27为了完成定理的证明，我们需要证明（3.7）的解有一个具有所需光滑性和正性的跃迁密度。当我们观察到H（z）：=f（Φ）时，这是引理4.3中的f-1（P（z））满足要求的条件。