非对称金融市场的马尔可夫纳什均衡

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英文标题：
《Markovian Nash equilibrium in financial markets with asymmetric
  information and related forward-backward systems》
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作者：
Umut \\c{C}etin, Albina Danilova
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This paper develops a new methodology for studying continuous-time Nash equilibrium in a financial market with asymmetrically informed agents. This approach allows us to lift the restriction of risk neutrality imposed on market makers by the current literature. It turns out that, when the market makers are risk averse, the optimal strategies of the agents are solutions of a forward-backward system of partial and stochastic differential equations. In particular, the price set by the market makers solves a nonstandard \"quadratic\" backward stochastic differential equation. The main result of the paper is the existence of a Markovian solution to this forward-backward system on an arbitrary time interval, which is obtained via a fixed-point argument on the space of absolutely continuous distribution functions. Moreover, the equilibrium obtained in this paper is able to explain several stylized facts which are not captured by the current asymmetric information models.
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中文摘要：
本文发展了一种新的方法来研究具有不对称信息主体的金融市场中的连续时间纳什均衡。这种方法允许我们解除当前文献对做市商风险中性的限制。结果表明，当做市商规避风险时，代理人的最优策略是偏微分方程组和随机微分方程组的正倒向解。特别是，做市商设定的价格解决了一个非标准的“二次”倒向随机微分方程。本文的主要结果是通过绝对连续分布函数空间上的一个不动点变元，在任意时间区间上证明了该系统的马尔可夫解的存在性。此外，本文得到的均衡能够解释当前不对称信息模型无法捕捉的几个典型事实。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Markovian_Nash_equilibrium_in_financial_markets_with_asymmetric_information_and_.pdf (357.59 KB)

2022-5-6 10:48:49 上传

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关键词：金融市场 纳什均衡 马尔可夫 Differential Quantitative

《应用概率年鉴2016》，第26卷，第4期，1996-2029DOI:10.1214/15-AAP1138c数理统计研究所，2016年，信息不对称和相关前向-后向系统的金融市场中的阿尔科夫纳什均衡。Umut C,etin和Albina DanilovaLondon经济与政治科学学院本文提出了一种新方法，用于研究具有非对称信息代理的金融市场中的连续时间纳什均衡。目前，这种方法对市场庄家施加的风险限制得以解除。结果表明，当做市商规避风险时，代理人的最优策略是一个由部分微分方程和随机微分方程组成的前向-后向系统的解。特别是，做市商设定的价格解决了一个非标准的“二次”倒向随机微分方程。本文的主要结果是，通过绝对连续分布函数空间上的一个Exedpoint变元，在任意时间间隔上，该前向-后向系统存在马尔可夫解。此外，本文得到的均衡能够解释当前不对称信息模型无法捕捉的几个典型事实。1.导言。在本文中，我们讨论了一个长期存在的开放性问题，即在一个具有非对称信息的交易者和风险规避的做市商的金融市场中，在连续时间内，在有限的视野内，均衡的存在性。在这样的市场中，交易资产的价格是做市商和掌握高级信息的知情交易者之间博弈的均衡。做市商和知情的贸易商都会选择与其过滤相适应的控制措施。

我们假设，做市商通过与贸易商的互动获取信息，并有义务吸收对资产的总需求。因此，他们的过滤是由总需求过程Y产生的过滤。另一方面，知情交易者拥有2014年8月收到的共同产生的过滤；2015年7月修订。AMS 2000学科分类。初级60H30，60J60；中学91B44。关键词和短语。具有风险规避做市商的Kyle模型，Bertrand竞争，向前-向后随机和偏微分方程，马尔可夫桥。这是数理统计研究所在《应用概率年鉴》（2016年，第26卷，第4期，1996-2029年）中发表的原始文章的电子版。这本重印本与原版印刷和排版细节不同。这个问题由Subrahmanyam在[40]中提出。2 U.C,ETIN和A.DANILOVAmarket prices和她的私人信息。在这个博弈中，做市商的控制权是价格S，而知情交易者的控制权是她的交易策略X。因此，均衡价格应该满足以下条件：（i）知情交易者的优化问题有一个解，（ii）给定这个解，价格完全满足做市商的目标。对这一博弈的研究可以追溯到[29]，这是市场微观结构理论中的标准模型，用于分析私人信息存在下的战略交易（参见[3,14]和[37]对凯尔模型的回顾，以及对其与其他市场微观结构模型关系的讨论）。

文献中研究了原始模型的各种扩展；参见[2,4,5,8,15,17-19]和[28]。原始模型和所有这些扩展都假设市场制造商是风险中性的，并以伯特朗的方式竞争总需求（定义见[36]第12.C节）。这意味着，在均衡中，任何做市商的效用都是鞅。由于效用是线性的，这反过来意味着做市商的最佳策略是将价格设定为给定其过滤的资产基本价值的条件预期。特别是，在这些模型中，总是有一个独特的价格，以满足做市商对知情交易人的任何控制的目标。此外，价格的鞅性质导致知情交易者在均衡中采用最优策略；也就是说，Y自身的过滤定律与Y的过滤定律相同-X在其自身的过滤中。虽然做市商的风险中性使模型易于处理，但它与观察到的市场行为并不一致。的确有大量经验证据表明，做市商厌恶风险，并以一种方式行使其控制权，即总需求均值以其厌恶风险的速度回到目标水平附近（纽约证券交易所见[24]和[33]、伦敦证券交易所见[23]、外汇交易所见[12]；有关文献和结果的调查，见[10]第1.2和1.3节）。尽管放松做市商风险中性的假设是自然的，并且是由经验证据推动的，但文献中只有一次尝试调查这种扩展的影响。

Subrahmanyam在[40]中考虑了一个单周期模型，在该模型中，具有相同指数效用的市场庄家设定价格，使得他们的概率鞅。该假设与上文讨论的风险规避型做市商背景下的原始烷基模型直接类似。[40]中考虑的模型的可操作性取决于一个事实，即本文的重点是做市商和策略性交易者之间的平衡以及由此产生的价格。我们没有深入研究做市商在特定需求过程中的互动。读者可以参考Bank和Kramkov[6]最近的手册，对这种互动进行深入分析。非对称信息和FORWA RD–Backward D SYSTEMS 3一段时间内，市场决策者对内幕人士的任何策略都有最佳的反应。然而，在多个时期内，这种反应的存在是不确定的。事实上，苏布拉曼亚姆指出，由于特工们的战略意图，他的模型不可能扩展到多周期环境。上述困难在于做市商的最优响应持续存在。更准确地说，考虑到知情交易者的交易策略，通过求解反向随机微分方程（BSDE）dSt=Ztdβt，可以找到做市商的最优响应-cYtZtdt，（1.1）exp（cYS）=E[exp（cYV）|FY]，（1.2）其中c>0是一个常数，V是代表资产基本价值的有界随机变量，Y是给定的总需求过程，β是关于FY的布朗运动——由Y产生的市场做市商的过滤。该BSDE的一个解决方案是满足（1.1）和（1.2）的FY自适应过程对（Z，S）。

当BSDE承认一个解决方案时，Sis是使做市商效用鞅的价格。尽管终端条件是非常规的，如Y和V所示，（1.2）的右侧是一个固定的、可测量的随机变量。因此，我们可以将条件项改写为S=ξ，这是有界的，因为V是有界的。另一方面，驱动程序的形式带来了面积上的困难，因为Y乘Z的过程通常是无界的。这使得s y杆（1.1）–（1.2）超出了标准方形BSDE的范围。做市商的价格反应只是均衡的一面。为了描述一种均衡，我们还需要确定总需求水平Y，这是由知情代理人的最佳交易策略所暗示的。与文献一致，我们假设总需求由布朗运动驱动，并且有一个由informedtrader决定的漂移。因此，平衡由（α，S）组成，其中α是给定S的最佳漂移，S表示向前-向后随机微分方程（FBSDE）dYt=dβt+α（t，（Ys）S≤t） dt，（1.3）dSt=Ztdβt-cYtZtdt，（1.4）exp（cYS）=E[exp（cYV）|FY]，（1.5），其中^α是α的FY可选投影。众所周知，即使d河在全球范围内为Lipschitz河，且满足线性增长条件，FBSDE解的存在性也相当微妙。Antonelli[1]通过过程Banach空间上的定点算法，证明了4 U.C,ETIN和A.Danilovatha在s小时间间隔上解的存在唯一性。[22]和[20]通过粘贴针对小时间间隔获得的解，将该结果推广到任意时间间隔。

求解FBSDE的另一种方法是[31]引入的所谓四步方案，该方案要求系统系数具有很强的平滑性，并基于拟线性偏微分方程之间的边界。当驱动程序为二次型时，问题变得更加复杂，只能得到很少的结果。此外，由于可用结果源自二次BSDE的可解性，当前文献中的标准假设是，对于某些常数k，驱动程序的边界为k（1+z）（参见[25]）。然而，由于（1.4）不符合当前的定量BSDE范式，这些结果不适用于我们的环境。尽管存在这些困难，当α是给定S的信息交易者的最优漂移时，对于一些光滑函数H，我们得到了该系统的解，其中St=H（t，Yt）。该解为我们考虑的模型提供了马尔可夫平衡。我们证明，在这种情况下，系统（1.3）-（1.5）转化为HT+Hy y=0，（1.6）dYt=dβt-cYtHy（t，Yt）dt，（1.7）Vd=H（1，Y），（1.8）证明Y具有平滑的跃迁密度，其中最后一个等式是分布中的质量。这仍然是一个前向SDE和后向PDE的前向-后向系统，因此PDE的最终条件取决于SDE的解，而SDE的解又取决于H。SDE和PDE之间的这种耦合建议使用定点算法。事实上，如果我们得到Y的连续分布，（1.8）产生函数H（1，Y），它在Y中增加。这允许我们通过（1.6）获得H（T，Y），通过（1.7）获得Y。因此，该程序定义了从分布空间到自身的映射。

我们在理论4中展示。1，通过Schauder的不动点定理，该映射具有一个不动点，前提是对于满足一些微正则条件的某些递增和有界f，V=f（η），以及一个标准正态随机变量η。Schauder不动点定理在我们的设置中的有效性依赖于（1.7）对于满足（1.6）的任何给定函数H，在有界且递增的终端条件下解的巨大性质。Lemmata 4.1–4.3探讨了这些属性。特别是，我们得到了一个显著的不对称信息，以及布朗运动定律和正反两个系统之间的联系。也就是说，我们证明了-x） +]≥ E[（E-建行-x） +]>0，E[(-十、-Y） +]≥ E[(-十、-E-cCB）+]>0，对于所有x>0，其中C是一个常数，仅取决于H上的束缚。我们还表明Y具有平滑的跃迁密度。系统（1.6）-（1.8）的解的存在确保了价格过程的马尔可夫解的存在，这使得市场制造商马丁·盖尔斯的效用一旦总需求的漂移，Y具有等式（1.7）中给出的形式。然而，为了使这样的dr if t看起来不平衡，内部人员最好选择一个具有这种形式的漂移选项。为此，我们在命题3中确定。1第1条唯一的标准是，该策略满足桥接条件h（1，Y）=V。因此，如果存在马尔可夫平衡，平衡对（H，Y）求解系统（1.6）-（1.8）和s aties H（1，Y）=V。这样一对的存在正是理论的结果。这使得我们可以在理论中建立平衡的存在性。2.论文结构如下。

第2节描述了我们考虑的模型，而第3节则致力于系统（1.6）-（1.8）的（正式）推导和informedtrader最优策略的特征描述。第4节证明了系统（1.6）-（1.8）解的存在，第5节证明了平衡的存在。在第6节中，我们讨论了风险规避对均衡市场行为的影响，并探讨了与实证文献的联系。2.市场结构。让(Ohm, F、 （Ft）t∈[0,1]，P）是一个满足右连续性和P-完备性通常条件的过滤概率空间。我们假设Fis不是平凡的，并且存在一个F-可测的标准范数al随机变量η。此外，过滤后的速度也支持标准的布朗运动B，B=0，因此，B独立于η。我们定义V:=f（η），对于一些有界且严格递增的函数f，其导数为连续导数。在σF=t的情况下，我们的模型只依赖于σF∈[0,1]是可测量的，且∧N={E:E F代表一些F∈~F与P（F）=0}。此外，鉴于v和B的独立性，我们可以假设存在一系列概率测度（Pv），使得分解公式P（E）=Zf（R）Pv（E）P（v∈ dv）6个U.C,ETIN和A.DANILOVAholds代表所有E∈ F、 为了所有的v∈ f（R）测量pvsaties Pv（E）=P（E | V=V）。当我们考虑时，这样一个家庭的存在很容易得到证实Ohm = f（R）×C（[0,1]，R），其中C（[0,1]，R）是[0,1]上实值连续函数的空间。我们考虑一个市场，其中无风险利率设置为0，交易一项风险资产。

该资产的基本价值等于V，将在T=1时公布。在这个市场中有三种类型的代理人相互作用：（i）流动性交易者，他们的交易原因与模型无关，并且在时间t时，对于某些常数σ>0，其累积需求由σbt给出。（ii）单一知情交易者，从t=0开始就知道V，且风险中性。接下来，我们将通知知情交易员内幕人士，并用Xt表示她在时间t的累积需求。内部人士FI的过滤是通过观察风险资产和V的价格产生的。因此，在V=V时拥有信息的内幕人士拥有由V和价格过程产生的最小持续过滤权，并以零Pv集完成。（iii）做市商只观察风险资产的净需求，Y=X+σB，thu s，他们的过滤，FM，是由Y生成的最小右连续过滤，用P-空集完成。假设做市商的数量为N≥ 2.我们还假设做市商具有公共效用函数U（x）=-E-ρx，并以异常方式竞争风险资产的净需求。