非对称金融市场的马尔可夫纳什均衡

如果几家市场制造商的报价相同，我们采用总订单在他们之间平均分配的惯例。与[2]类似，我们假设做市商将风险证券S的价格设定为某些函数H的St=H（t，Yt）。为了理解后来得出的均衡的微妙之处，重要的是要观察一位内幕人士，他得到了V=V具有概率测度Pvon的信息(Ohm, F） 虽然市场制造商的概率度量由P给出，但在我们的设置中，这些度量彼此之间是单数的，即Pv（V=V）=1，其中P（V=V）=0。我们现在定义做市商函数H的可接受性（下文称之为定价规则）和投资者交易策略的可接受性。我们施加的条件是文献中的标准条件，首次在[2]中介绍。可积条件（2.1）和（2.2）防止内部人员遵循加倍策略（讨论见[2]）。insider策略的绝对连续性不会失去任何普遍性，因为带有鞅分量和/或跳跃的策略是严格次优的，如[2]所示。非对称信息和FORWA RD–Backbar D SYSTEMS 7定义2.1。函数H:R+×r7→ R是一个定价规则，如果H∈C1,2，在y和满意度（1，σB）中严格增加∞ 和EZH（t，σBt）dt<∞.（2.1）此类函数的类用H表示。注意，在任何定价函数严格单调的情况下，B适用于FI。内幕人士可接受的策略定义如下。定义2.2。

对于给定的pricingrule，H，如果对于某些FI，Xt=Rtαsds，内部策略X是允许的，对于所有v∈f（R），我们有Pv（R |αs | ds<∞) = 1，EvZH（t，Xt+σBt）dt<∞,（2.2）和Ev[min{0，WX}]>-∞, 式中，WXis是由wx产生的内部财富：=ZXsdH（s，Ys）+X（V-H（1，Y））=Z（V-H（s，Ys））dXs。（2.3）给定定价规则H的容许策略类将由a（H）确定。观察到，对于任何X的有限变化，WXis自V起定义良好-H（s，Xs）是任何定价规则的一个连续过程，Pv-a.s.（2.3）中的第一项对应于风险集合中的连续交易，而第二项的存在是因为当价值在时间t=1时成为公共知识时，资产价格的潜在不连续性。财富的第二个表达来自于部分的整合。考虑到定价规则和可接受交易策略的定义，我们现在可以定义如下均衡。定义2.3。一对（H）*, 十、*) 是一个平衡点，如果H*∈ H、 X*∈A（H）*), 和（i）给定H*, 内幕人士的策略X*解决了她的优化问题：Ev[WX*] = 好的∈A（H）*)Ev[WX]五、∈ f（R）。（ii）给定X*, 定价规则*在做市商的财富满足零效用增益条件下，即U（G）是（FM，P）-鞅，其中gt=-NZtY*sdH*（s，Y）*s） +1t=1Y*N（H）*（Y）*, 1) - V）。（2.4）8 U.C,ETIN和A.DANILOVAThe以上是我们模型中马尔可夫纳什均衡的公式。insider策略最优性的条件是直接描述内部人员对给定价格的最佳反应。做市商的最优性条件遵循K-y勒姆模型的传统，其中由于做市商之间的伯特朗竞争，每个做市商的效用r都是鞅。

事实上，前提是其中一个市场庄家，比如MMi，决定在某个时候偏离这个定价规则，例如，以高于H的价格出售，以实现正效用收益。然而，其他做市商可能不愿意以略低的价格出售，这仍将使他们获得积极的效用收益。此外，由于这一较低的价格对交易方更有利，因此没有人会与MMI进行交易，从而消除任何获得效用的机会。出于类似的原因，以较低的价格购买也不符合零效用收益条件。显然，以更高（或更低）的价格购买（或出售）是次优的，因为这会导致公用事业的损失。因此，满足零效用收益条件的定价规则是做市商的最佳反应。零效用收益条件也是自给自足效用概念的一个直接连续时间模拟。自给自足效用定义了[40]研究做市商风险规避对均衡的影响的单周期Kyle模型中的均衡。回想一下，假设市场制造商是相同的，因此，他们在均衡状态下提供相同的报价，并且由于我们的订单分割约定，当有多个中标报价时，订单在他们之间平均分割。3.平衡的特征描述。在本节中，我们通过研究做市商对内幕人士给定策略的最优响应，然后描述投资者的利益最大化策略，证明了该博弈的马尔可夫均衡是由（1.6）-（1.8）给出的随机偏微分方程的前向-后向系统描述的。

下文中用于描述平衡的启发性参数将在后续章节中进行严格说明。假设X是内幕人士可接受的交易策略，因此其自身的过滤满足度DYT=σdBYt+^αtdt，其中By是FM布朗运动，^α是α的FM可选投影。做市商的最佳反应是选择一个满足零效用增益条件的价格。让价格S followdSt=ZtdBYt+utdt，对于一些可预测的过程Z和可选过程u，由市场制造商决定。由于对称信息与前-后D系统9和V之间存在潜在差异，因此做市商的财富可能在某个时间点出现巨大差异。更准确地说，G=YN（S）-V）。然而，零效用增益条件意味着1=E经验-ρYN（S）-V）调频,这相当于脚趾经验ρYNV调频= 经验ρYNS.（3.1）另一方面，如果我们用^o’s公式计算t<1时U（G）的动力学，我们得到du（Gt）=U（Gt）ρNYtσtdBYt+ut+ρ2NYtσtdt.重申t<1的零效用增益条件表明，我们必须有ut=-ρ2NYtZt。因此，零效用增益条件规定价格S遵循sdSt=ZtdBYt-ρ2nytzdt，（3.2）而做市商的问题是找到（Z，S）来解决（3.2），在给定总需求过程Y的情况下，最终条件（3.1）。（3.2）中的BSDE让人想起二次BSDE，二次BSDE已被广泛研究，并且与数学金融中出现的p问题之间的联系已得到充分证实（例如，参见[7,13,27]和其中的参考文献）。（3.2）与这些论文中考虑的BSDE的本质偏差是，Ztin（3.2）的系数为ρ2NYt，通常是无界的。

这使得直接将现有文献中的结果应用到（3.2）中是不可能的。然而，如果我们转向一个马尔可夫平衡，也就是说，考虑St=H（t，Yt），我们很自然地会期望，在平衡中，对于某些确定性函数，dyt=σdBYt+α（t，Yt，St，Zt）dt。（3.3）因此，如果可以达到马尔可夫平衡，它将为（3.1）-（3.3）定义的FBSDE提供马尔可夫解，其中α是内部人员选择的最佳漂移。10 U.C,ETIN和A.DANILOVAWe现在转向内部人的优化问题，当St=H（t，Yt）对于一个可接受的定价规则H.O观察到，从内部人的角度来看，对于给定内部人的策略Xt=Rtαsds，总需求过程遵循DYT=σdBt+αtdt。值函数ψ可以定义为ψ（t，y）=supX∈A（H）EvZt（V）-H（s，Ys））α-sdsYt=y.然后，形式化地应用动态规划原理得到HJB方程ψt+σψy+supα{α（ψy+V）-H） }=0。由于要最大化的项在α中是线性的，确保溶液完整性的唯一方法是设置ψy=H-五、 从而得到ψt+σψy=0。然后，通过简单的计算，我们看到H必须满足一个反向热方程ht+σHy y=0，因此，它的公式将得出s应该满足σHy（t，Yt）dYt。将其与（3.2）和（3.3）相结合意味着zσ^α（t，y，s，z）=-ρ2Nyz，也就是α（t，y，s，z）=-ρσ2Nyz（3.4），只要我们注意到z=σHy（t，y）通过选择S。为了让做市商引用马尔可夫定价规则，上述形式的^α是必要的。然而，为了使这种^α出现在平衡状态，内部人士最好选择一个漂移，其fm可选投影具有这种形式。在命题3中。1，我们将证明，对于内部人来说，最优性的唯一标准是该策略满足桥接条件H（1，Y）=V。

因此，如果存在马尔可夫平衡，则dYt=σdBYt-σρ2NYtHy（t，Yt），（3.5）不对称信息和FORWA-WAR-BACKWAR D系统11和H求解上述反向热方程，并满足H（1，Y）=V。正如我们在第4节和第3节中所展示的，对于一些可容许的内幕交易策略，满足上述条件的一对（H，Y）存在，并且它构成了一个均衡。为了证明这种平衡是可行的，假设我们有一对（H，Y），它可以解以下方程组：Ht+σHy Y=0，（3.6）dYt=σdβt-σρ2NYtHy（t，Yt）dt，（3.7）Vd=H（1，Y），（3.8），Y=0，其中β是某个给定概率空间上的布朗运动，Y被理解为正向SDE的强解。进一步假设Y的跃迁概率具有光滑密度p。然后过滤放大理论给出（见[34]中的定理1.6]），Y解出SDEdYt=σdβt+σpyp（t，Yt；1，Y）-σρ2NYtHy（t，Yt）dt，（3.9），其中β是关于Y的自然过滤的布朗运动，最初用随机变量Yan放大，尤其是独立于Y。因此，如果V是一个随机变量，其分布与V相同，且β的凹痕小于，我们可以用H代替Y-1（1，~V）in（3.9）并获得固定的~Yt=σdβt+σpyp（t，~Yt；1，H）-1（1，V））-σρ2N~YtHy（t，~Yt）dt。现在，假设这个SDE的解在法律上是唯一的。那么，Y将具有与Y相同的定律，这特别产生了Y=H-1（1，V）并且在其自身的过滤中，dYt=σdBYt-σρ2NYtHy（t，~Yt）dt，对于某些布朗运动BY。上面的讨论清楚地表明了应该给投资者什么样的最优策略H。因为V独立于B，所以内幕人士在t时持有的风险资产的最优股数等于ztσpyp（s，Ys；1，H）-1（1，V））-σρ2NYsHy（s，Ys）ds。12 U.C,ETIN和A。

DANILOVAThis确保Y在其自己的过滤中遵循（3.5），H（1，Y）=为内部人员和市场制造商创造最优性条件。这些考虑意味着，平衡点的存在性问题可以归结为系统（3.6）-（3.8）的解的存在性问题，过程Y允许平滑过渡密度。尽管表面上很简单，但这个系统的解决方案的存在远不是一个历史性的问题。实际上，为了确定（3.6）中的基本偏微分方程的H v，我们首先需要知道它的边界条件。然而，如果我们知道下一个定理的存在条件，那么这一点是确定的。在本节结束时，我们将证明我们用于建立上述系统的内部人员的最优标准。提议3.1。假设H是一个满足ht+σHy=0的定价规则。（3.10）如果Xt=某些FI的Rtαsds可逐渐测量α，则∈f（R），我们有Pv（R |αs | ds<∞) = 1，电动汽车ZH（t，Xt+σBt）dt< ∞（3.11）和h（1，X+Z）=V，Pv-a.s.（3.12）然后X∈A（H），这是内部人士的最佳策略。证据我们将[2]和[41]中的论点改编为我们的案例。考虑函数ψ（t，y）：=Zyξ（t）{H（t，u）-V}du+σZtHy（s，ξ（s））ds，（3.13），其中ξ（t）是H（t，ξ（t））=V的唯一解。直接计算显示ψy（t，y）=H（t，y）-V（3.14）和ψt+σψy=0。不对称信息和FORWA-RD–BACKWAR D SYSTEMS 13因此，从（3.14）和It^o的公式可以得出ψ（1，Y）-ψ（0，0）=Z{H（t，Yt）-V}dYt（3.15）=-WX+Z{H（t，Yt）-V}σdbt对于任何X，使得Xt=Rtαsds和Pv（R |αs | ds<∞) = 1.

使用（3.15）和X的可容许性属性（见定义2.2），内幕人士的优化问题变成了问题∈A（H）Ev[WX]=supX∈A（H）EvZ（V）-H（t，Yt））dXt（3.16）=Ev[ψ（0,0）]- infX∈A（H）Ev[ψ（1，Y）]，（3.17），其中最后一个等式是due到（2.2）。因为ψ（1，Y）=RYξ（1）{H（1，u）-V}du是严格正的，除非Y=ξ（1）。当H（1，Y）严格增加时，只要X证明n是可容许的，就可以得出结论。考虑到（3.15），WX=ψ（0，0）+Z{H（t，Yt）-V}σdBt，因此，X的可容许性来自（3.11）。4.主要结果及其证明。在本节中，我们陈述并证明了本文的主要结果，即（3.6）-（3.8）给出的系统解的存在性。定理4.1。有一对（H，Y）解方程组（3.6）-（3.8）。此外，0<Hy（t，y）≤C√1.-t全部（t，y）∈ [0，1）×R，对于某些常数C.此外，Y是（3.7）的唯一强解，并且对于所有0≤ s≤ T≤ 1和（y，z）∈ r对于任何固定值（t，z），p（s，y；t，z）>0在[0，t）×R和isC1,2（[0，t）×R）上。我们将通过应用Schauder的定点定理来证明这个定理。注意，如果我们在完全支持的情况下，从R上的绝对连续概率测度开始，（3.8）产生一个递增函数H（1，·），它定义了一个H解（3.6）。如果我们将这个函数引入SDE，请参见第76页的最后一段[35]作为定义。14 U.C,ETIN和A.DANILOVAof（3.7），我们得出了与Y分布相关的R上的一个新概率测度。这个过程定义了从R上的概率测度空间到其自身的一个变换。

应用Schauder的定点定理需要在R上选择一个合适的概率测度的闭凸集D，从而使上述变换映射到自身，并满足Schauder定点定理的条件。在给出定点结果的p屋顶之前，我们收集了一些关于（3.7）解在下面的引理中的行为的有用事实。第一个引理观察到（3.7）解的时间1定律与Bσ的时间1定律之间存在显著关系。这个引理的一个直接结果是，Y定律，其中Y是给定H的（3.7）解，对R有充分的支持。这个性质允许我们使用B定律计算Yviaa-Girsanov变换定律，这是在第二个引理中实现的。引理4.1。假设H∈ C1,2（[0,1）×R）满意度0≤ Hy（t，y）≤C√1.-t全部（t，y）∈[0,1）×R和一些常数C≥0为常数，则随机微分方程Dyt=σdBt-cYtHy（t，Yt）dt（4.1）在[0，1]上有一个唯一的强解。此外，对于任何x>0，E[（Y-x） +]≥ E[（E-2cCBσ-x） +]>0，（4.2）E[(-十、-Y） +]≥ E[(-十、-E-2cCBσ）+]>0，（4.3），尤其是P（Y≤y）∈（0，1）为所有y∈R.证明。由于对于任何t<1，yHy（t，y）在[0，t]×R上是局部Lipschitz，所以上述方程在[0，t]上有一个唯一的强解，直到爆炸时间τ。由于T是任意的，这意味着[0,1]上存在唯一的连续强解∧ τ). 设τn:=inf{t∈ [0,1]：|Yt |>n}和观测τn↑τ，a.s.此外，对于任何t∈ [0,1]Yt∧τn=2Zt∧τnYsσdBs-2cZt∧τnYsHy（s，Ys）ds+σ（t∧τn）≤ 2Zt∧τnYsσdBs+σ（t∧τn）。因此，通过它^o的等距和初等不等式x≤ 1+x，E[Yt∧τn]≤ 1+σ+4σ中兴[Ys[s<τn]]ds≤ 1+σ+4σ中兴[Ys]∧τn]ds。因此，Gronwall不等式产生E[Yt]∧τn]≤ （1+σ）e4σ适用于所有t∈ [0,1]和n≥ 1.

因此，（Yt）∧τn）n≥1是一致可积的，因此P（τ<不对称信息和前-后D系统15t）=0和E[Yt]≤ （1+σ）e4σ适用于所有t∈ [0，1]，也就是说，Y永远不会爆炸，SDE有一个非扩张强解。为了获得估计值（4.2）和（4.3），让¨Yt=YtexpcZtHy（s，Ys）ds并观察到▽Yt=ZtexpcZsHy（右，右）博士dBsσ。因此，对于某些布朗运动W和时间变化ttt，y=wtt≤ Tt=σZtexp2cZsHy（r，Yr）博士ds≤ σexp（4cC）t。因此，根据可选抽样定理，对于任何K∈ 我们有-K） +]=E[（重量）-K） +]≥ E[（Wσ）-K） +]>0，E[（K-~Y）+]=E[（K）-WT）+]≥ E[（K）-Wσ）+]>0，这意味着（4.2）和（4.3）。引理4.2。设h是一个有界的、非减量的、绝对连续的函数，它不是常数。考虑（3.6）在终端条件H下的解H，然后| H（t，·）|≤ khk∞对于t≤ 1和0<Hy（t，·）≤C√1.-t对于t<1，其中C=qσπkhk∞. 因此，存在（4.1）的唯一强解Y，对于任何有界连续函数和T≤ 1，我们有e[g（YT）]=EQ[g（σWT）MT]，其中W是过滤概率空间上的布朗运动（~Ohm,~F，（~Ft）t∈[0,1]，Q）和（Mt）t∈[0,1]是由mt:=exp给出的严格正（~Ft），Q）-鞅-cZtWsHy（s，σWs）dWs-cZtWsHy（s，σWs）ds,（4.4）c是引理4中的常数。此外，Q-a.s.，M≤e2cC，以及ZτWsHy（s，σWs）dWs≤K（1+| Wτ|）≤K（1+W）*),（4.5）式中，τ是与自然过滤有关的任何停止时间，例如τ≤1，Q-a.s.，W*t=sups≤t | Ws |，K是依赖于σ和khk的常数∞.16 U.C,ETIN和A.DANILOVAProof。观察h（t，y）=ZRh（z）q（σ（1-t） ，z-y） dz，其中q（t，x）是均值为0且方差为t的正态随机变量的概率密度。然后，很明显，|H（T，y）|≤RR | h（z）| q（σ（1）- t） ，z-y） dz≤khk∞. 此外，当t<1时，Hy（t，y）是严格正的。