买卖价差市场中的套利

我们可以如下构造它们：如果命中≥ 片场0{Hit-1.≥ 0}那么^Hit:=打ˇHit:=0，如果在集合中Hit<0{Hit-1<0}那么^Hit:=0，ˇHit:=击中，如果击中≥ 片场0{Hit-1<0}那么^Hit:=命中，ˇHit:=-打-1，如果在集合中命中<0{Hit-1.≥ 0}那么^Hit:=-打-1.击中。在买卖价差为7的市场中进行套利，这意味着我们将该策略分为另外两种策略，只包括多头和空头头寸。此外，当Ht≥ 0那么^Hit，ˇ击中≥ 0另一方面，如果那么Ht<0^Hit，ˇHit<0。因此我们一直都有(击中）+=(^Hit）+(ˇHit）+以及(击中）-= (^Hit）-+ (ˇHit）-. 总之，我们得到ξ≤ -TXt=1(Ht）+St-1+TXt=1(（Ht）-圣-1+（HT）+ST- （HT）-ST==-TXt=1(^Ht）+St-1+TXt=1(^Ht）-圣-1+（^HT）+ST- （^HT）-圣+-TXt=1(ˇHt）+St-1+TXt=1(ˇHt）-圣-1+（ˇHT）+ST- （ˇHT）-ST=：（？）请注意，以下不等式是令人满意的≤^坐下≤ 坐坐≤ˇ坐下≤ Sit，P-a.e.对于任何t=0，T和i=1，d、 因此我们可以写出下一个不等式，即（？）≤ -TXt=1(^Ht）+^St-1+TXt=1(^Ht）-^St-1+（^HT）+^ST- （^HT）-^ST+-TXt=1(ˇHt）+ˇSt-1+TXt=1(ˇHt）-ˇSt-1+（ˇHT）+ˇST- （ˇHT）-ˇST==-TXt=1^Ht^St-1+HT街-TXt=1ˇHtˇSt-1+HTˇST=（H·S）T+（H·S）T，然后（3.7）0≤ ξ ≤ （^H·^S）T+（71h·S）T.由于条件RT∩ L+={0}我们得到（^H·^S）T+（71h·S）T=0，P-a.e.，因此ξ=0，P-a.e。备注3.3。注意，如果市场中存在（CPS），那么定理3.1的假设也满足，我们的模型中没有套利，即∩ L+={0}。在我们阐述基本定理之前，我们先提出并证明一些技术引理，它们将在我们的理论中发挥作用。引理3.4。对于任何t=1，T持有这项权利 在证据请注意，必须显示Ft 其中FTI定义如（2.4）所示。取任何∏∈ 英尺。

根据定义，我们可以假设其形式为∏=-tXj=1θjSj-1+tXj=1|θjSj-1+tXj=1θjSt-tXj=1θjSt，其中Θ=（θj）tj=1，ΘΘ=（~θj）tj=1是可预测的非负过程。注意，可能存在另一个可预测的非负过程，即对于任何j=1，t我们有{θj>0，θj>0}=, a、 e.以下不等式满足∏≤ Ξ := -tXj=1θjSj-1+tXj=1θjSj-1+tXj=1θjSt-tXj=1θjSt，P-a.e.让我们定义策略H=（Hj）tj=1∈ 家长教师会紧随其后Hj:=(Hj）+- (Hj）-在哪里(Hj）+：=θjand(Hj）-:=θj.此外，我们把H:=手Hj:=Hj+Hj-1对于j>1。请注意，H是一个定义良好的策略。此外，txj=1(Hj）-圣-tXj=1(Hj）+St+H+tSt- H-tSt==（H+t）-tXj=1(Hj）+）St- （H）-T-tXj=1(Hj）-)以下等式满足xj=1(Hj）+-tXj=1(Hj）-=tXj=1Hj=Ht=H+t- H-t、 因此我们有H+t-tPj=1(Hj）+=H-T-tPj=1(Hj）-和H+t≤tPj=1(Hj）+。让我们定义随机变量r:=（H+t-tPj=1(Hj）+）St- （H）-T-tPj=1(Hj）-)根据之前的观察，St=（H+t-tPj=1(Hj）+（St- （圣）≥ 0什么是SimpleMeans∈ L+（英尺）。因此∏+r≤ Ξ+r=-tXj=1(Hj）+Sj-1+tXj=1(Hj）-Sj-1+（Ht）+St- （Ht）-St.Ξ+r=xt（H）∈ Rtand∏≤ xt（H）- r、 此外，还存在arandom变量r∈ L+（Ft）使得∏=xt（H）- R- ~r.必须定义~r:=Ξ- Π. 因此我们得到∏∈ 在备注3.5。目前尚不清楚∧T 不是。我们只知道∧TTPt=1At。备注3.6。注意，对于任何∏∈ 存在一种策略∈ p和一个随机变量r∈ L+使得∏=xT（H）- r、 引理3.7。任何一个≤ T≤ t+k≤ T下列夹杂物不起作用-1，t+kFt+k 任意x的At+K∈ 英尺-1，t+k存在Ht∈ L（路，英尺）-1） 和r∈L+（Ft+k）使得x=xt-1，t+k（Ht）- r、 买卖差价市场中的套利。修正t，k，使1≤ T≤ t+k≤ T和任何x∈ 英尺-1，t+k。

设x=∏-lwhere∏=-θSt-1+/θSt-1+θSt+k-~θSt+kandθ，~θ∈ L+（路，英尺）-1） ，l∈ L+（英尺+k）。请注意，可能还存在另一个随机向量∈ L+（路，英尺）-1） 使得{θi>0，θi>0}=, a、 e.对于任何i=1，d、 因为我们同时在这些集合上购买和卖空股票，因此我们只需支付因买卖价差而产生的交易成本，并且满足以下不平等∏≤ Ξ := -θSt-1+θSt-1+St+k-θSt+k∈ Rt+k，P-a.e.现在让我们定义随机向量Ht:=θ-~θ. 注意，Ht∈ L（路，英尺）-1） 和（Hit）+=i（Hit）-=θi.此外，随机变量l:=Ξ-Π ∈ L+（Ft+k）我们得到等式x=∏- l=Ξ- L-~l.设r:=l+~l∈ L+（英尺+k）。那么wehavex=-（Ht）+St-1+（Ht）-· 圣-1+（Ht）+·St+k- （Ht）-· St+k- R∈ 英尺-1，t+k，也正如我们看到的x∈ Ft+kand引理3.4 Ft+k 在+k。下面的定理给出了在有买卖差价和货币账户的市场中不存在套利的等价条件。定理3.8（基本定理）。以下条件是等效的：（a）在∩ L+={0}（NA）；（b） 英尺∩ L+（Ft）={0}对于任何t=1，T（c） 英尺-1，t+k∩ L+（Ft+k）={0}对于任何1≤ T≤ t+k≤ T（d） 英尺-1，t+k∩ L+（Ft+k）={0}和Ft-1，t+k=Ft-1，t+k对于任何1≤ T≤ t+k≤ T（e） 英尺-1，t+k∩ L+（Ft+k）={0}对于任何1≤ T≤ t+k≤ T（f） 存在一个等价的bid ask过程的bid ask鞅测度Q，比如DQDP∈ L∞（EBAMM）；（g） 存在supcp（^S，Q）和subcp（'S，Q），因此dqdp∈ L∞.在定理3.8的证明中，将使用以下结果。他们的证据可以在[9]中找到。引理3.9。设Xnbe是一个随机向量序列，取几乎所有ω的Rdsuchthat值∈ Ohm 我们有lim-inf-kXn（ω）k<∞.

然后在Rd中有一系列随机向量Yntaking值满足以下条件：（1）Yn几乎肯定地点式收敛到Y，其中Y是Rd中的随机向量taking值，（2）Yn（ω）是几乎所有ω的Xn（ω）的收敛子序列∈ Ohm.证据参见[9]中的引理2或[7]中的引理1。备注3.10。上述主张可表述如下：存在一个整值随机变量σk的递增序列，如Xσkconvergesa。s、 引理3.11（Kreps Yan）。让K -L+是一个封闭的凸锥∩L+={0}。还有一个可能性~ P与DEPDP∈ L∞使得E ~Pξ≤ 0为所有ξ∈ K.10普泽米律师事务所。参见[9]中的引理3或[8]中的定理2.1.4。定理3.8的证明。（a）=> （b） 引理2.4∩ L+（Ft）={0}对于任何t=1，使用引理3.4也可以是Ft∩ L+（Ft）={0}对于任何t=1，T（b）=> （c） 。不重要的（请注意，这也意味着（a）=> （c） 很明显，所以我们可以跳过条件（b），实际上我们把它放在这里是为了进行更全面的分析。）（c）=> （d） 为了证明这一含义，我们将使用与[9]特别是[12]中类似的技术（见定理2.33）。拿任何t，k这样的1≤ T≤ t+k≤ T首先请注意，通过引理3.7，我们得到了Ft-1，t+k∩ L+（Ft+k）={0}。我们将展示布景-1，t+kis由测度P的概率收敛生成的拓扑闭。取序列ξn∈ 英尺-1，t+k等于ξn→ 概率ζ。必须证明ζ∈ 英尺-1，t+k。序列ξ包含一个子序列收敛到ζa.s。因此，我们最多可以假设ξn→ ζ、 P-a.s.引理3.7对于存在Hnt的任何n∈ L（路，英尺）-1） 安德恩∈ L+（Ft+k）使得ξn=-（Hnt）+St-1+（Hnt）-· 圣-1+（Hnt）+·St+k- （Hnt）-· St+k- 注册护士∈ 英尺-1，t+k，这是什么意思-1，t+k（Hnt）→ ζ、 P-a.s.首先考虑现场的情况Ohm:= {lim inf kHntk<∞} ∈ 英尺-1.

ByLemma 3.9整数值Ft存在一个递增序列-1-可测量的停止时间τn确保Hτn在a.s.上收敛Ohm对于几乎所有的ω∈ Ohm序列Hτn（ω）t（ω）是序列Hnt（ω）的收敛子序列。注意Hτnt∈ L（路，英尺）-1） 和rτn∈ 分别为L+（Ft+k）。设Ht:=limn→∞Hτnt。既然Hτnt收敛，那么（Hτnt）+和（Hτnt）-它们是趋同的。此外（Hτnt）+→ （Ht）+和（Hτnt）-→ （~Ht）-. 因此rτ也是收敛的a.s.onOhm.定义r:=limn→∞rτn.然后ζ=limn→∞(-（Hnt）+St-1+（Hnt）-· 圣-1+（Hnt）+·St+k- （Hnt）-· St+k- rn=limn→∞(-（Hτnt）+·St-1+（Hτnt）-· 圣-1+（Hτnt）+·St+k- （Hτnt）-· St+k- rτn），其中上述极限等于-（~Ht）+St-1+（~Ht）-· 圣-1+（~Ht）+·St+k- （~Ht）-· St+k- ~r∈ 英尺-1，t+k.现在考虑一下片场的情况Ohm:= {lim inf kHntk=∞} ∈ 英尺-1.让我们定义Gnt:=HntkHntk，hn:=RNKHNTK，注意Gnt∈ L（路，英尺）-1） 嗯∈L+（英尺+k）。我们得到了收敛-（Gnt）+St-1+（Gnt）-· 圣-1+（Gnt）+·St+k- （Gnt）-· St+k- 嗯→ 0.与片场类似Ohm根据引理3.9，积分值Ft存在一个递增序列-1-可测量的停止时间σn确保Gσn收敛。s、 在Ohm对于几乎所有的ω∈ Ohm序列Gσn（ω）t（ω）是序列Gnt（ω）的收敛子序列。设<<Gt:=limn→∞Gσnt。如前所述，注意序列Gσntalso（Gσnt）+和（Gσnt）的收敛性-它们是趋同的。此外（Gσnt）+→ （Gt）+和（Gσnt）-→ （~Gt）-. 因此hσnis收敛。s、 在Ohm. 定义h:=limn→∞hσn.我们得到以下等式-（~Gt）+St-1+（~Gt）-· 圣-1+（~Gt）+St+k- （~Gt）-· St+k=~h.买卖价差为11的市场中的套利-1，t+k∩ L+（Ft+k）={0}我们有h=0，P-a.e。因此我们得到（~Gt）+·（St+k）- 圣-1) - （~Gt）-· （St+k）- 圣-1） =0，P-a.e.开启Ohm.因为▽Gt（ω）6=0 a.e。

在…上Ohm（因为对于几乎所有ω，Gσnt（ω）是序列Gnt（ω）的收敛子序列。）∈ Ohm对于几乎所有的ω∈ Ohm我们有kGnt（ω）k=1），然后存在Ohm最多分为d个不相交的子集Ohm我∈ 英尺-1使▽Git（ω）6=0 a.s.开启Ohmi、 （这样的分区可以通过选择Ohm:= {ω ∈ Ohm:~Gt（ω）6=0}然后继续执行集合上已经存在的分区Ohm\\ Ohm选择Ohm:= {ω ∈ Ohm\\ Ohm:~Gt（ω）6=0}等等。）此外，anynon-empty setOhmiwe最多可分为两个不相交的子集Ohmi、 +：={Git>0}和Ohm我-:= {Git<0}。让我们定义任何非空集合Ohmi、 +和Ohm我-以下序列（3.8）（Hnt）p:=（Hnt）+- βn（~Gt）+其中βn：=最小值：（~Git）+>0（Hnit）+（~Git）+开Ohmi、 +，（3.9）（Hnt）m:=（Hnt）-- βn（~Gt）-式中，βn:=mini:（~Git）->0（Hnit）-（~Git）-在…上Ohm我-.最后我们把Hnt:=（Hnt）p- （Hnt）m（等价于任何i=1，…，d）我们可以定义非空集上的Hnit=（Hnit）Ohmi、 +和Hnit=-（Hnit）mon是一个非空瓶Ohm我-). 首先注意，β依赖于ω∈ Ohm但它是一个定义良好的随机变量，满足不等式βn≥ 0.此外（Hnt）p≥ 0和（Hnt）m≥ 0.事实上，让我们考虑一下任何非空集上的情况Ohmi、 +。对于任何j=1，我们有（Hnjt）+-（Hnjt）+（~Gjt）+（~Gjt）+=0和0≤ βn≤（Hnjt）+（Gjt）+。因此（Hnt）p≥ 存在至少一个现在等于零的（Hnt）p坐标。注意，这个坐标依赖于ω。现场的情况Ohm我-这是类似的。事实上（Hnt）+=（Hnt）和（Hnt）-= （Hnt）m.因此我们得到了-1，t+k（Hnt）=-（Hnt）+St-1+（Hnt）-· 圣-1+（Hnt）+·St+k- （Hnt）-· St+k=-[（Hnt）+- βn（~Gt）+]·St-1+[（Hnt）-- βn（~Gt）-] · 圣-1++[（Hnt）+- βn（~Gt）+]·St+k- [（Hnt）-- βn（~Gt）-] · St+k=xt-1，t+k（Hnt）- βn(-~G+t·St-1+G-t·St-1+~G+t·St+k-~G-t·St+k）=xt-1，t+k（Hnt）。总结-1，t+k（Hnt）=xt-1，t+k（Hnt），P-a.e.onOhm至少有一个HNTI的坐标等于零。

然而，请注意，这个坐标当然可能与ω有关∈ Ohm. 现在我们将我们的程序应用于序列ξn:=xt-1，t+k（Hnt）- 注册护士→ ζ、 P-a.s.onOhm. 值得注意的是，我们的操作不会影响序列Hnt的零坐标。因此，通过迭代，在一系列步骤之后，我们构建了所需的序列。（d）=> （e） 琐碎的。（e）=> （f） 为了证明这一含义，我们使用了[11]中的一些技术，并结合[12]中类似的归纳法构造度量（见推论2.35）。注意，对于任何随机变量η，都存在一个概率测度12 PRZEMYS定律ROLAP~ P这样的DPDP∈ L∞和η∈ L（P）。性质（d）在概率的等价变化下是不变的。考虑到这一点，as可以在不丧失普遍性的情况下假设所有St，Stare都是可积的。我们将在时间范围内使用归纳法，或者在k上使用等价的归纳法。首先，让k=0，并乘以任何t∈ {1。定义该集合ψt-1，t:=Ft-1，t∩ L（Ft），它是L（Ft）中的一个封闭凸锥。既然我们有ψt-1，t∩ L+（Ft）={0}然后通过引理3.11存在一个概率测度qt~ 继续(Ohm, Ft）如此∈ L∞（Ft）和EQtξ≤ 0表示任何ξ∈ ψt-1，t.特别是（3.10）ξit-1，t=-HitSit-1+HitSit，（3.11）~ξit-1，t=HitSit-1.- HITSITHT=（0，…，11A，…，0），P-a.e.，a∈ 英尺-1第i个位置的值为11Ais。对于案例（3.10），这意味着在时间t- 1如果活动A举行，我们将以静坐价格购买i-thasset-1并在时间t清算投资组合。对于情况（3.11），情况正好相反，即我们首先在时间t卖空第i项资产- 1，然后我们在时间t购买它。因此我们得到不等式eqt[（Sit- 坐-1） [11A]≤ 0，EQt[（坐下- 坐-1） [11A]≥ 0.然后EQt（SitA）≤ EQt（坐下）-1A）和EQt（SitA）≥ EQt（坐下）-1A）对于任何i=1，d和A∈ 英尺-1.

因此（3.12）EQt（Sit | Ft-1) ≤ EQt（坐下）-1 |英尺-1） 坐-1，（3.13）EQt（坐|英尺-1) ≥ EQt（坐下）-1 |英尺-1） 坐-1.综上所述，在S=（Sj）tj=t的情况下，存在（EBAMM）投标-询价过程（S，S）-1和S=（Sj）tj=t-1.假设在时间范围为k的模型中，该声明为真≥ 1.我们将在时间范围为k+1的模型中证明这一点。修正任何t，k，使0≤ T≤ t+k≤ T我们证明了在具有买卖过程（S，S）的市场中存在一个等价的买卖鞅测度，其中S=（Sj）t+kj=t-1和S=（Sj）t+kj=t-1.根据归纳假设，存在（EBAMM）Qt+kin市场，且存在买卖过程（（Sj）t+kj=t，（Sj）t+kj=t）。注意，条件（d）在概率的等效变化下是不变的。因此，我们可以对概率空间应用与前一部分相同的方法(Ohm, Ft，Qt+k | Ft），其中Qt+k | Ft表示对σ-代数Ft有限制的度量Qt+k。然后存在概率度量Qt~ Qt+k | Ftsuch thatdQtdQt+k | Ft∈ L∞下面的不平等是令人满意的（St | Ft-1) ≤ 圣-1和EQt（圣|英尺-1) ≥ 圣-1.让我们定义测度空间上的概率测度Q(Ohm, Ft+k）如下（3.14）dQdP:=dQtdQt+k | FtdQt+kdP。在买卖价差为13的市场中进行套利，请注意，密度dqtdqt+k | fti是有界的，因此对于任何j∈{t+1，…，t+k}我们有eq（Sj | Fj）-1） =EP（dQtdQt+k | FtdQt+kdPSj | Fj-1） EP（dQtdQt+k | Fj-1dQt+kdP | Fj-1） =EP（dQt+kdPSj | Fj-1） EP（dQt+kdP | Fj-1） ==EQt+k（Sj | Fj）-1) ≤ Sj-1另一方面Q（Sj | Fj-1） =EP（dQtdQt+k | FtdQt+kdPSj | Fj-1） EP（dQtdQt+k | Fj-1dQt+kdP | Fj-1） =EP（dQt+kdPSj | Fj-1） EP（dQt+kdP | Fj-1） ==EQt+k（Sj | Fj）-1) ≥ Sj-1.此外，值得注意的是-1） =EQt（标准英尺）-1） 和类似的等式（St | Ft-1） =EQt（标准英尺）-1).

通过归纳，我们得出结论，对于买卖过程存在一个等价的买卖鞅测度（（St）Tt=0，（St）Tt=0）。（f）=> （g） 如前所述，我们在时间范围内使用归纳法，或在k上等效使用归纳法。首先，让k=0，并fix任意t∈ {1。让我们来定义过程^S=（^Sj）tj=t-1和ˇS=（ˇSj）tj=t-1如下（3.15）^St:=St，^St-1:=max{St-1，等式（^St | Ft）-1） }，（3.16）ˇSt:=St，ˇSt-1:=min{St-1，等式（ˇSt | Ft-1)}.注意，（^S，Q）是（supCPS）而（'S，Q）是（subCPS）。现在假设在一个时间范围为k的模型中，这个断言是正确的≥ 1.我们将在时间范围为k+1的模型中证明这一点。修正任何t，k，使0≤ T≤ t+k≤ T我们证明了在买卖过程（S，S）中存在（supcp）（^S，Q）和（subcp）（71s，Q），其中S=（Sj）t+kj=t-1和S=（Sj）t+kj=t-1.根据归纳假设，在有买卖过程的市场中存在（supCPS）（（Sj）t+kj=t，Qt+k）和（subCPS）（（Sj）t+kj=t，Qt+k）（Sj）t+kj=t，（Sj）t+kj=t）。注意，条件（e）在概率的等价变化下是不变的。因此，我们可以对概率空间应用与前一部分相同的方法(Ohm, Ft，Qt+k | Ft），其中Qt+k | Ft表示对σ-代数Ft有限制的度量Qt+k。然后存在概率度量Qt~ Qt+k | Ftsuch thatdQtdQt+k | Ft∈ L∞过程（^Sj）tj=t-1，（ˇSj）tj=t-1定义如（3.15），（3.16）为（SUPCP），（SubCP）。让我们定义停止时间τ：=min{j≥ T- 1 |ˇSj=ˇSt}。然后使用最优停止理论，对过程τ：=（ˋSj∧τ） tj=t-1是一个Qt鞅。现在我们定义了测度空间上的概率测度Q(Ohm, Ft+k）如下（3.17）dQdP:=dQtdQt+k | FtdQt+kdP。此外，设^S=（^Sj）t+kj=t-1对于任何j>t和^Sj=^Sj的形式（3.18）的过程∧j=t的τ- 1、t.14普泽米斯的法律法规-1=ˇSt-1.∧τ=ˇSt-1和^St=^St∧τ=ˇSτ。

因此出现了不平等现象≤^Sj≤ 对于j=t，我们也感到满意-此外，过程^S=（^Sj）t+kj=t-1是一个Q-超级艺术家。以类似的方式，我们可以构造一个Q-子鞅。（g）=> （a） 它来自定理3.1。备注3.12。定理3.8中的条件也等价于另一个条件，即对于任何1≤ T≤ t+k≤ T存在等价的买卖鞅测度Qt+kt-1对于招标过程{（St）-1号街-1） ，（St+k，St+k）}这样dqt+kt-1dP∈L∞.备注3.13。让我们定义任何t，k，使1≤ T≤ t+k≤ 下面的场景是什么-1，t+k:=Rt-1，t+k- L+（Ft+k），其中Rt-1，t+k:={xt-1，t+k（Ht）| Ht∈L（路，英尺）-1)}. 然后在假设-1，t+k∩ L+（Ft+k）={0}集合-1，t+kis在概率上是闭合的。有必要使用类似的推理，如隐含式（c）中的推理=> （d） 定理3.8。推论3.14。如果时间范围T=1，那么我们有以下等价性（NA）<=> （EBAMM）<=> （CPS）。备注3.15。条件（g）特别指出存在supCPS（^S，Q）。让我们定义过程的斯奈尔包络，即（3.19）~ST:=ST，~ST-1:=max{^St-1，等式（~St | Ft）-1） }对于任何t=1，T注意，根据最优停止定理，随机变量τ：=min{t≥ 0 |St=^St}是一个最佳停止时间，过程|Sτ：=（^St）∧τ） Tt=0是一个Q-鞅。另一方面，我们不能说一对（~Sτ，Q）是一个一致的价格体系，因为我们不知道≤~St∧τ≤ 不是。我们只知道圣∧τ≤~St∧τ≤ 圣∧τ.在[5]中可以找到以下结果（见引理6.3）。引理3.16（Guasoni，L\'epinette，R\'asonyi）。让（Xt）t∈[0，T]和（Yt）T∈[0，T]是两个c\'adl\'ag有界过程。下列条件是等价的：（i）存在一个c`adl`ag有界鞅（Mt）t∈[0，T]这样X≤ M≤ Y a.s.（ii）对于所有停止时间σ，τ，0≤ σ ≤ τ ≤ 我们有[Xτ| Fσ]≤ Yσ和E[Yτ| Fσ]≥ Xσa.s.备注3.17。