基于Agent的复杂系统非对称交易与羊群模型

为了均衡dbulland dbear，我们引入了一个到r（t）的移位，表示为r、 使得dbull（r（t））=dbear（r（t））和r（t）=r（t+r、 从对r、 我们得出（见附录S2）r=[dbear（r（t））- [dbull（t））]。（12） 因此我们获得标准普尔500指数的r=0.067，以及r=-上证指数为0.043。在我们的模型中，我们类似地计算时间序列R（t）的偏移量，该时间序列使放牧度（t+1）=| R（t）相等- 牛市（R（t）>0）和熊市（R（t）<0）中的R |/N。实际上，我们可以证明转移到R（t）等同于转移到R（t）（见附录S3）。如果R（t）被R（t）=R（t+R、 D（t+1）变成D（t+1）=R（t）- R |/N=|R（t）|/N，这对牛市和熊市是对称的。因此R是向R（t）的移位，它只是向toR（t）的移位。在不同的实际市场和我们的模型中，回报的时间序列在不同的水平上波动。为了进行比较，我们用公式（8）对收益进行了标准化。同样地，R、 向回报率的转变也应该正常化r、 然而，在用我们的模型模拟股票市场时，我们需要的参数是R.因此，我们应该首先推导R和r、 随着时间序列r（t）的标准化，R应该标准化为r[R- hR（t）i]/σ=r、 （13）式中，h··i代表时间t的平均值，σ是r（t）的标准偏差。确定…的关系R和RR设定为-4.-3.-2.-分别为1、0、1、2、3、4，α设置为1.0以生成时间序列R（t）。每一次模拟R（t）100次R、 我们计算并对结果进行平均。如图1所示R和r是线性的R=38.2r、 对于介于0.9和1.1之间的α，结果保持稳健。因此，我们决定R=3，用于模拟S&P 500指数和R=-2.模拟上证指数。

表1显示了兰德R、 以及r、 日经225指数、富时100指数、恒生指数和DAX指数。由于经验数据的影响r约为10%。自从r确定模拟产生杠杆效应或反杠杆效应，我们进行Student t检验以分析r、 表1列出了相应的p值。p值小于0.05被认为具有统计意义。为了进一步验证关键参数的确定方法以及杠杆效应和反杠杆效应的模拟，研究了另外八个指数（见附录S4）。每个指数的模拟都能正确地产生杠杆效应或反杠杆效应。4.模拟我们模拟中的代理数为10000，即N=10000。α和R确定每个指数后，我们的模型在以下过程中产生收益的时间序列R（t）。最初，前150个时间步的轮次设置为0。在t+1天，我们根据式（3）计算R（t），然后分别根据式（4）和式（7）计算Ptrade（t+1）和D（t+1）。接下来，我们将所有药物随机分为1/D（t+1）组。集团中的代理人以相同的概率（Pbuy、PSELL或Phold）做出相同的交易决策（买入、卖出或持有）。在所有代理人做出决定后，我们用公式（1）和公式（2）计算回报率R（t+1）。重复这个过程，我们得到返回时间序列r（t）。在每次模拟中产生了20000个R（t）数据点，但前10000个数据点进行了平衡。结果为了描述过去收益率对未来波动率的影响，定义了收益率波动率相关函数L（t），L（t）=[hr（t）·r（t+t）|i- 五十] /Z，（14）带有Z=h | r（t）| i和L=hr（t）ih | r（t）| i[4]。这里h··i代表时间t的平均值，如图所示。

2，用标准普尔500指数的经验数据计算的L（t）显示至少15天内的负值，这就是众所周知的杠杆效应[4,6,15]。另一方面，上证指数的L（t）在大约10天内保持正值。这就是所谓的反杠杆效应[6,19]。将L（t）拟合成指数形式L（t）=c·exp(-t/τ），我们分别得出杠杆效应和反杠杆效应的τ=19天和8天。与收益的短相关时间（按分钟计算[2,3]）相比，杠杆效应和反杠杆效应都是显著的。作为回报的最低阶非零相关性，杠杆效应和反杠杆效应在理论上对理解价格动态至关重要[6,15,19,20]。在实际应用中，这些影响对于风险管理和最优投资组合选择非常重要[22,23]。在我们的模型中产生的时间序列R（t）被归一化为R（t）后，我们计算收益-波动率相关函数，结果与根据标准普尔500指数和上证指数的振幅和持续时间的经验数据计算的结果不一致，如图2所示。这是第一次利用微观模型产生杠杆效应和反杠杆效应。对于日经指数、富时100指数、恒生指数和DAX指数，我们无法获得早年的成交量数据。然而，L（t）仅根据价格数据计算。为了减少L（t）的波动，我们收集了较长时期的价格数据，从1984年到2012年，日经225指数有7092个数据点；从1984年到2012年，富时100指数有7227个数据点；从1988年到2012年，恒生指数有6181个数据点；从1990年到2012年，大兴指数有5514个数据点。如图3所示，模拟的L（t）与相应骰子的L（t）一致。

表2显示了六个指标的指数函数L（t）=c·exp（ξt）的c和ξ值以及相应的模拟。因为c显然不是零，所以Student t检验的p值只列出ξ。我们的模型还产生了真实市场的其他特征，例如波动率的长期相关性和收益的厚尾分布。这里我们以标准普尔500指数和上海指数为例。挥发性的自相关函数定义为asA（t）=[h | r（t）| r（t+t）|i- h | r（t）|i]/A，（15）式中A=h | r（t）|i- h | r（t）| i[19]，h···i代表时间t的平均值。如图4所示，模拟的A（t）与经验数据的A（t）一致。绝对收益的累积分布p（|r（t）|>x）如图5所示，其中，在模拟收益的分布中也可以观察到经验回归分布中的厚尾。根据定义，α和r不依赖于模型中的代理数（用N表示）。然而，斜率之间的线性关系R和r随N增大，因此R随着N的增长而变大。对于模拟结果，L（t）的振幅随着N的增加而增加，但随着N的增大而逐渐收敛（见附录S5）。对于A（t）和P（|r（t）|>x），情况类似。讨论在我们的模型中，收益-波动相关性的关键生成机制是牛市和熊市中代理人的不对称交易和羊群行为。现在，我们讨论这两种机制如何产生杠杆效应和反杠杆效应，以及哪一种更重要。根据式（4）和α+β=2，如果α=1.0，则ptrade关于R（t）=0是对称的，如果α6=1.0，则ptrade是不对称的。另一方面，式（7）中的D（t+1）对于R（t）=0是不对称的，如果r6=0。

在我们的模型中，S&P500和上证指数用（α，R） =（1.0,3）和（α，R） =（1.1，-2） 分别为。因此，在标准普尔500指数的模拟中，PTRADE是对称的，但在上证指数的模拟中是不对称的。在标准普尔500指数和上海指数的模拟中，D（t+1）是不对称的。在模型的其他部分保持不变的情况下，我们考虑以下控制措施：（a）在模拟上证指数时，将Ptradeis替换为对称Ptradeis；（b） 在标准普尔500指数和上证指数的模拟中，D（t+1）被非对称的D（t+1）所取代；（c） 在上证指数的模拟中，ptraded和D（t+1）都被对称的替代。模拟平均执行100次。我们得出结论，对于杠杆效应和反杠杆效应，投资者的不对称交易和羊群效应都是重要的生成机制。如图6所示，用对称D（t+1）代替不对称D（t+1）后，反杠杆效应显著减弱，杠杆效应消失。另一方面，不对称的PTrade被对称的PTrade取代后，反杠杆效应减弱。值得一提的是，在表现出杠杆效应的五个股票市场中，标准普尔500指数、日经225指数、富时100指数、恒生指数和DAX指数的Ptrade近似对称，因此对杠杆效应的贡献很小。投资者在上海市场的不对称交易可能是因为上海市场是一个新兴市场。投资者有些投机性，随着股价上涨，他们会争相交易[6]。结论基于投资者的个人和集体行为，我们构建了一个基于代理的模型来研究股票市场中收益-波动相关性是如何产生的。在我们的模型中，代理相互联系，并进行分组交易。

特别介绍了两种新的机制：投资者的不对称交易和牛市和熊市中的羊群行为。在我们的模型中有四个参数，即p、M、α和R.我们采用参考文献[41]中估计的p，并将唯一可调参数M估计为150。α和R、 关键参数分别由贸易和放牧的不对称性引起。具体而言，我们根据股价上涨和股价下跌时的平均交易量之比确定α，以及R来自投资者在牛市和熊市中的不同羊群程度。我们收集了世界上六个有代表性的股票市场指数的每日价格和成交量数据，包括标准普尔500指数、上证指数、日经225指数、富时100指数、恒生指数和DAX指数。α和r分别针对这些指标，我们从模拟中得到了相应的杠杆效应或反杠杆效应，并且这种效应在振幅和持续时间上与经验效应一致。其他特征，如波动率的长期自相关和收益率的厚尾分布，也同时产生。此外，我们的模型定量地证明，投资者的不对称交易和羊群效应都是微观层面上杠杆效应和反杠杆效应的重要生成机制。然而，对于表现出杠杆效应的五个股票市场，投资者的交易几乎是对称的，因此对杠杆效应的贡献很小。

这两种微观机制和测定α和β的方法R还可以应用于更复杂的经济系统，这些系统在个人和集体行为中具有类似的不对称性，例如未来市场、银行利率、外汇汇率和有色金属现货市场。支持信息附录S1 k的推导（PDF）附录S2的推导r（PDF）附录S3转移到r（t）和转移到r（t）的等效性（PDF）附录S4α的值，r和R更多八个指数（PDF）附录S5如何影响模型参数和模拟结果（PDF）确认参考1。Mantegna RN，Stanley HE（1995）经济指数动态中的标度行为。《自然》376:46-49.2。Gopikrishnan P，Plerou V，Amaral LAN，Meyer M，Stanley HE（1999）金融市场指数分布影响的标度。物理版E 60:5305.3。刘毅，戈皮克里希南P，Cizeau P，Meyer M，Peng CK等（1999）价格波动的统计特性。物理版E 60:1390.4。Bouchaud JP，Matacz A，Potters M（2001）金融市场中的杠杆效应：延迟波动模型。物理版次87:228701.5。Gabaix X，Gopikrishnan P，Plerou V，Stanley HE（2003）金融市场波动中的幂律分布理论。《自然》423:267–270.6。邱T，郑B，任F，Trimper S（2006）金融动力学中的收益-波动相关性。PhysRev E 73:065103.7。沈杰，郑波（2009）金融动力学中的互相关。Europhys Lett 86:48005.8。邱T，郑B，陈G（2010）具有静态和动态阈值的金融网络。新的JPhys 12:043057.9。赵磊，杨庚，王伟，陈毅，黄JP，等。（2011）复杂适应系统中的羊群行为。Proc Nati Acad Sci 108:15058–15063.10。Preis T，Schneider JJ，Stanley HE（2011）金融市场中的转换过程。Proc Nati AcadSci 108:7674–7678.11。

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