关于摆动看跌期权的最优行使边界

关于美式看跌期权的背景材料与我们对V（n）的定义一致。我们注意到，对于n=1，价值函数V（1）与到期日T>0且履约价格K>0的美式看跌期权的价值函数一致。我们还稍微滥用了表示法，表示V（0）为到期日T>0且行使K>0的欧洲看跌期权的价格。在我们关于t的马尔可夫框架中∈ [0，T]和x>0我们有v（0）（T，x）=Ehe-r（T）-t） （K）-XxT-t） +i（2.4）和v（1）（t，x）=sup0≤τ≤T-特赫-rτ（K）-Xxτ）+i（2.5），其中τ是（Ft）-停止时间。我们现在回顾一些关于美国看跌期权问题的众所周知的结果（参见[25，第25节]和其中的参考文献），这些结果将被用作我们方法的基础。我们定义了TSC（1）：={（t，x）∈ [0，T）×（0，∞) : V（1）（t，x）>（K）-x） +}（2.6）D（1）：={（t，x）∈ [0，T）×（0，∞) : V（1）（t，x）=（K）-x） +}（2.7），回想一下，（t，Xt）进入D（1）的第一次进入时间是（2.4）中的最佳停止时间。此外，存在唯一的连续边界t7→ b（1）（t）将C（1）和D（1）分开，摆动选项6的最佳运动边界为0<b（1）（t）<K∈ [0，T），停止时间τ：=inf0≤ s≤ T-t:Xxs≤ b（1）（t+s）在（2.4）中是最优的。众所周知，V（1）∈ C1，2在C（1）中，它求解V（1）t+ILXV（1）- 房车（1）（t，x）=0表示x>b（1）（t），t∈ [0，T）。地图x7→ 对于所有t，V（1）x（t，x）在最优边界b（1）上是连续的∈ [0，T）（所谓的平滑条件）和Vx≤ [0，T]×（0，∞) （参见[25]等式（25.2.15），第381页，注意V（1）（t，·）正在减小）。变量公式的变化（参见[24]）给出了V（1）的表示，我们将在本文的其余部分中经常使用，即-rsV（1）（t+s，Xxs）=V（1）（t，x）- rKZse-芮（Xxu）≤ b（1）（t+u）du+Mt+s（2.8）s∈ [0，T-t] x>0，其中（Mt+s）s∈[0，T-t] 是连续鞅（见[25]式（25.2.63），p。

390).在命题3.10的证明中需要以下备注，我们在这里给出一部分背景材料。备注2.1。请注意，为了考虑不同的到期日，我们应该在价值函数的定义中指定它们，例如，对于到期日为t的欧洲/美国看跌期权，表示V（n）（t，x；t），n=0，1。然而，这种表示法并不必要复杂，因为在定价看跌期权时，有效的重要因素是到期时间。事实上，对于固定的x∈ (0, ∞) λ>0表示时间t的值∈ 到期日为T的欧洲/美国看跌期权的[0，T]与到期日为T+λ的期权的价值相同，但在时间T+λ时考虑，即V（n）（T，x；T）=V（n）（T+λ，x；T+λ），n=0，1。在这项工作中，我们主要处理单成熟度T，并通过设置V（n）（T，x）：=V（n）（T，x；T）来简化我们的表示法。问题的解决方案我们的首要任务是根据标准最优停止理论，以更规范的形式重写问题（2.3）。每n≥ 2.任何t∈0，T- （n）- 1)δ当x>0时，我们定义为负（n）（t，x）：=（K-x） ++R（n）（t，x）（3.1）其中我们表示dr（n）（t，x）：=Ehe-rδV（n）-1） （t+δ，Xxδ）i（3.2）带n的摆动期权的预期贴现值-1行使权利，在折射时间δ后可供期权持有人使用。下一个结果在[9，Thm.2.1]中得到了证明，其背景比我们的更为普遍，我们建议读者参考该论文以获得证明。我们应该注意到，我们对Snt施加的约束，需要对[9]中的证明进行一次微不足道的调整。引理3.1。

对于每个n和任意（t，x）∈ [0，T-（n）-1)δ] × (0, ∞) （2.3）的值函数V（n）可以等价地写成V（n）（t，x）=sup0≤τ≤T-（n）-1） δEhe-rτG（n）（t+τ，Xxτ）i（3.3）和τ*n:=inf{0≤ s≤ T-（n）-1） δ：V（n）（t+s，Xs）=G（n）（t+s，Xs）}在（3.3）中是最优的。此外，对于固定的最佳停止时间序列（τ*k） k=1，。。。对于值函数V（k），k=1。n在原始配方中是最佳的（2.3）。摇摆选项的最佳练习边界7最初的问题现在被简化为一个单一停止时间的问题，但多重练习结构的复杂性并没有消失，它已经被编码到增益函数G（n）中。实际上，必须注意的是，G（n）通过函数R（n）以非平凡的递归方式依赖于带有n的swing选项的值函数-1，n-2.1保留权利。（3.3）中的优化涉及单个停止时间τ，尤其应将其理解为（2.3）中的τnf。我们的目标是从引理3.1中描述最优停止时间序列的特征，即最优停止集序列，然后分析其边界。为此，我们采用了一种迭代方法：一次计算V（k）和τ的性质*已经发现，函数g（k+1）可以确定，我们可以研究V（k+1）和τ*k+1。不幸的是，在我们的最终期限设定中，没有希望明确确定G（n）如何依赖于t和x。这使得问题（3.3）比标准的美式看跌期权问题（在最终期限或最终期限内）更加困难，需要新的解决方法。3.1. n=2的摆动选项分析为了遵循上面给出的通过迭代解决问题的思路，我们在本节中对n=2的问题（3.3）进行了彻底的分析。

稍后我们将把这些结果推广到任意n≥ 归纳法2。这里的主要目标是：i）根据时间的两个有界连续函数（即最佳边界）来描述最佳停止区域；ii）为值函数V（2）提供早期锻炼溢价（EEP）表示公式；iii）证明最佳边界的耦合是合适方程的唯一解。在第3.1.1节中，我们首先研究增益函数的精确规律性和值函数的连续性。然后在第3.1.2节中，我们证明了两个最优停止边界的存在性和唯一性（参见定理3.8和命题3.10）。我们在第3.1.3节中继续提供边界的连续性和平滑属性。最后是第3节的定理3.13。1.4我们提供了期权价值的EEP表示和最优边界的积分方程。3.1.1. 增益函数和值函数的初步研究为了简化符号，我们设置Tδ：=T-δ、 G:=G（2）和R:=R（2）（参见（3.1）和（3.2）），然后∈ [0，Tδ]和x>0我们有g（T，x）=（K-x） ++R（t，x）=（K）-x） ++e-rδEV（1）（t+δ，Xxδ）（3.4）和v（2）（t，x）=sup0≤τ≤Tδ-球座-rτG（t+τ，Xxτ）。（3.5）为了更好地理解G的性质，我们首先观察到R可能重写为asR（t，x）=V（1）（t，x）- rKg（t，x）表示（t，x）∈ [0，Tδ]×（0，∞) （3.6）带g（t，x）：=Zδe-rsPXxs≤ b（1）（t+s）ds（3.7），取（2.8）中的期望值，s=δ。我们还定义了f:[0，Tδ]×（0，∞) → (0, ∞) byf（t，x）：=e-rδPXxδ≤ b（1）（t+δ）. （3.8）摇摆选项的最佳运动边界8在下一个命题中，我们获得了R的重要性质，这些性质反映了对数正态密度函数的缓和效应。证据收集在附录中。提议3.2。函数R位于C1,2（（0，Tδ）×（0，∞)) 它解决了Rt+ILXR-rR（t，x）=-（t，x）的rKf（t，x）∈ （0，Tδ）×（0，∞).

（3.9）MoreoverH（t，x）：=（Gt+ILXG）-rG）（t，x）=-rKI（x<K）+f（t，x）（3.10）对于（t，x）∈ （0，Tδ）×（0，K）∪（K），∞)和T7→ 自t7以来，所有x>0的H（t，x）都在减小→ b（1）（t）在增加。应用It^o-Tanaka公式（3.10）和标准局部化参数去除鞅项，给出了（3.5）中期望的有用表示，即Ee-rτG（t+τ，Xxτ）=G（t，x）+EZτe-ruH（t+u，Xxu）du+EZτe-鲁德库（Xx）（3.11）代表（t，x）∈ [0，Tδ]×（0，∞) 以及任何停止时间τ∈ [0，Tδ-t] 。在这里LKu（Xx）U≥0是Xxat级别K的本地时间进程，我们使用了H（t+u，Xxu）I（Xxu6=K）=H（t+u，Xxu）P-a.s.来表示所有u∈ [0，Tδ- t] 。备注3.3。命题（3.2）和表示（3.11）是我们分析最优停止规则的起点。对于δ>0，函数f在整体状态空间中是严格负的。因此，H（t，x）<0表示所有（t，x）和（3.11）中的第一个积分可被视为期权持有人在任何时候因延迟行使期权而产生的支付成本。等待的唯一动机来自与当地时间相关的积分，随着过程X超过执行价格K，积分会增加。因此，我们可以在这一点上启发性地提出，如果基础价格与执行价格“太远”，期权持有人应该行使期权，尤其是即使支付的卖出部分超出了资金范围。我们注意到，对于δ>0，过程（e-rtR（t，Xt））t≥由于（3.9），0是一个严格的超级演算。对于δ=0，我们有f（t，x）=I（x≤ b（1）（t））以便（e）-rtR（t，Xt））t≥只要X保持在b（1）以上，0就表现为阿马丁格尔。这一观察结果与（3.10）和（3.11）相结合，意味着在没有折射时间的情况下，当价格高于行使价格K时，期权持有人不会产生等待成本，因此，如果期权的部分不在资金范围内，就没有行权的动机。

这些考虑因素将在Remark3中进一步扩展。9.一旦对问题进行了更严格的分析。问题（3.5）的连续集和停止集分别由C（2）给出：={（t，x）∈ [0，Tδ）×（0，∞) : V（2）（t，x）>G（t，x）}（3.12）D（2）：={（t，x）∈ [0，Tδ]×（0，∞) : V（2）（t，x）=G（t，x）}。（3.13）引理3.1提供了（3.5）asτ的最佳停止时间*= inf{0≤ s≤ Tδ-t:（t+s，Xxs）∈ D（2）}。（3.14）这也可以从标准参数中看出。实际上，让τ：=τ∧ （Tδ- t） τ可以是任意的，但停止时间是固定的。由于增益函数G在[0，Tδ]×（0）上是连续的，∞), 支配收敛定理很容易暗示（t，x）7→ Ee-由于（2.2），rτG（t+τ，Xxτ）也是连续的。那么V（2）必须至少是下半连续的，作为连续函数的上确界，并且是最佳停止的标准理论（参见[25，推论2.9，第2节]），证明（3.14）是（3.5）中最小的最佳停止时间。现在我们可以通过证明其连续性来开始分析值函数V（2）。摇摆期权的最佳行使边界9提案3.4。（3.5）的值函数V（2）在[0，Tδ]×（0，∞). Moreoverx 7→ V（2）（t，x）是凸的且Lipschitz连续的，常数L>0与t无关∈ [0，Tδ]。证据第一步。它来自于x7的凸性→ V（1）（t，x）和（3.4）表示映射为x7→ G（t，x）在（0，∞) 每一个t∈ [0，Tδ]固定。现在如果我们采取任何行动∈ [0，Tδ]、0<x<y和α∈ （0，1）我们有αV（2）（t，x）+（1）-α） V（2）（t，y）≥ sup0≤τ≤Tδ-球座-rταG（t+τ，Xxτ）+（1）-α） G（t+τ，Xyτ）≥ sup0≤τ≤Tδ-球座-rτGt+τ，XαX+（1-α） yτ= V（2）（t，αx+（1）-α） y）其中我们使用了G在x和αXxτ+（1）中的凸性-α） Xyτ=XαX+（1）-α） yτ。

因此函数X 7→ V（2）（t，x）在（0，∞) 也就是x7→ V（2）（t，x）在（0，∞)对于每个给定和固定的t∈ [0，Tδ]。注意→ G（t，x）也在减小，且Lipschitz连续，与t一致∈ [0，Tδ]。事实上，自从-1.≤ V（1）x≤ 0和x7→ （K）- x） +是利普希茨，我们获得堡垒∈ [0，Tδ]和0<x<x<∞0≤ G（t，x）- G（t，x）≤ |十、- x |+e-rδEXxδ- Xxδ(3.15)=十、- 十、1+Ee-rδXδ= 2.十、- 十、.然后根据（2.2），（3.15）和可选采样定理≤ V（2）（t，x）- V（2）（t，x）≤ sup0≤τ≤Tδ-球座-rτG（t+τ，Xxτ）- G（t+τ，Xxτ）≤ 2（x）- x） sup0≤τ≤Tδ-球座-rτXτ=2（X- x） 对于t∈ [0，Tδ]和0<x<x<∞. 因此x7→ V（2）（t，x）与康斯坦特是李普希茨连续的∈ （0，2），与时间一致。第2步，仍然需要证明t7→ 对于x，V（2）（t，x）在[0，tδ]上是连续的∈ (0, ∞). 我们首先注意到，对于固定x>0，映射t7→ G（t，x）从t7开始下降→ V（1）（t，x）是t7→ 通过简单的比较，V（2）（t，x）也在减小。拿0≤ t<t≤ Tδ和x∈ (0, ∞), 设τ=τ*（t，x）对于V（2）（t，x）是最优的，并且设置τ：=τ∧ （Tδ-t） 。然后使用（3.9），τ≥ τP-a.s.与不等式（K-十）+- （K）-y）+≤ （y）-x） +forx，y∈ IR，我们发现≤ V（2）（t，x）- V（2）（t，x）（3.16）≤ Ee-rτG（t+τ，Xxτ）- Ee-rτG（t+τ，Xxτ）≤ Ee-rτ（Xxτ）-Xxτ）+Ehe-rτr（t+τ，Xxτ）- E-rτr（t+τ，Xxτ）i≤ Ee-rτ（Xxτ）-Xxτ）+R（t，x）- R（t，x）- rKEZτe-rsf（t+s，Xxs）- f（t+s，Xxs）ds。现在开始-T→ 0一个是（3.16）中最后一个表达式的第一项变为零的旁观者参数（参见公式（25.2.12）-（25.2.14），第二个是通过V（1）和b（1）的连续性变为零，第三项是通过f的支配收敛性和连续性变为零。V（2）在[0，Tδ]×（0，∞) 下面结合上面的步骤1和步骤2。挥杆选项的最佳练习范围103.1.2。

连续集和停止集的几何学请注意，既然V（2）和G是连续的，那么C（2）是开集，D（2）是闭集（参见（3.12）和（3.13））。在下一个命题中，我们从集合D（1）的角度对集合D（2）的结构有了初步的了解（参见（2.7））。提案3.5。问题（2.5）的停止集D（1）对[0，Tδ]的限制包含在问题（3.5）的停止集D（2）中，即D（1）∩[0，Tδ]×（0，∞) D（2）。（3.17）证据。取任意点（t，x）∈ [0，Tδ]×（0，∞) 设τ=τ*（t，x）表示V（2）（t，x）的最佳停止时间，然后使用（3.4），（3.9）并回顾≥ 我们有v（2）（t，x）- V（1）（t，x）≤ Ee-rτG（t+τ，Xxτ）- Ee-rτ（K）-Xxτ）+=Ee-rτr（t+τ，Xxτ）=r（t，x）-rKEZτe-rsf（t+s，Xxs）ds≤ G（t，x）- （K）-x） +。然后，对于任何（t，x）∈ D（1）与t∈ [0，Tδ]，即V（1）（T，x）=（K-x） +，它必须是V（2）（t，x）=G（t，x），因此（t，x）∈ D（2）。我们现在用c（2）t:={x来定义问题（3.5）的连续集和停止集的t-部分∈ (0, ∞) : V（2）（t，x）>G（t，x）}（3.18）D（2）t:={x∈ (0, ∞) : 对于}（t）（x，t）=3∈ [0，Tδ]并证明以下命题3.6。对于任何0≤ t<t≤ Tδ1有C（2）T C（2）t（相当于D（2）t D（2）t），即{C（2）t，t族∈ [0，Tδ]}在T（相当于{D（2）T，T）族中减少∈ [0，Tδ]}在T中增加。证据修正0≤ t<t<tδ和x∈ (0, ∞), 设置τ=τ*（t，x）对于V（2）（t，x）是最优的。然后我们有v（2）（t，x）- V（2）（t，x）（3.20）≥ Ee-rτG（t+τ，Xxτ）- Ee-rτG（t+τ，Xxτ）=Ee-rτR（t+τ，Xxτ）- R（t+τ，Xxτ）= R（t，x）- R（t，x）- rKEZτe-rsf（t+s，Xxs）- f（t+s，Xxs）ds≥ R（t，x）- R（t，x）=G（t，x）- G（t，x），在上一个不等式中，我们使用了t7→ f（t，x）在[0，tδ]上通过[0，t]上b（1）的单调性增加。

由（3.20）可知（t，x）∈ C（2）意味着（t，x）∈ C（2）证明是完整的。到目前为止，对摇摆期权的分析得出的结果在某种程度上与标准美式看跌期权问题类似。在接下来的内容中，我们将证明，由于两个最佳运动边界的共存，C（2）的结构与C（1）的结构截然不同（参见（2.6））。在本文的其余部分，我们将要求下一个简单的结果，其证明被省略，因为它可以通过应用it^oTanaka公式、可选采样定理和观察过程X具有独立增量来获得。挥杆选项的最佳练习边界11引理3.7。对于任何σ≤ [0，Tδ]one hasEhZτσe中的τ停止时间-rtdLKt（Xx）Fσi（3.21）=Ehe-rτXxτ- KFσi- E-rσXxσ- K- rKEhZτσe-rtsign（Xxt）- K） dtFσi.现在我们描述连续区域C（2）的结构。定理3.8。存在两个函数b（2），c（2）：[0，Tδ]→ (0, ∞] 使得0<b（2）（t）<K<c（2）（t）≤ ∞ 对于所有t，C（2）t=（b（2）（t），C（2）（t））∈ [0，Tδ]。b（2）（t）≥ b（1）（t）代表所有∈ [0，Tδ]，t7→ b（2）（t）在增加，t7在增加→ c（2）（t）在[0，tδ]上以limt递减↑Tδb（2）（T）=limt↑Tδc（2）（T）=K（3.22）证明。存在的证明分三步提供。第一步。首先，我们表明，在x=K处停止不是最佳的。为了实现这一点，我们使用了[26]中启发的论点。固定ε>0，设置τε=inf{u≥ 0:XKu/∈ （K）-ε、 K+ε）}，取t∈ [0，Tδ]并表示s=Tδ-然后通过（3.10）和（3.11）我们得到了v（2）（t，K）- G（t，K）（3.23）≥ Ee-rτε∧sG（t+τε）∧ s、 XKτε∧（s）- G（t，K）=EZτε∧东南方-鲁德库（XK）- rKEZτε∧东南方-俄罗斯I（XKu）≤ K） +f（t+u，XKu）杜≥EZτε∧东南方-鲁德库（XK）- CE（τε）∧ s） 对于某些常数C>0。

涉及当地时间的积分可以使用以下公式估计∧东南方-鲁德库（XK）（3.24）=Ee-r（τε）∧s） |XKτε∧s- K|-rK EZτε∧东南方-rusign（XKu）- K） 杜≥ Ee-r（τε）∧s） |XKτε∧s- K|-CE（τε）∧ s） C=rK。自| XKτε∧s- K|≤ ε不难看出，对于任何0<p<1，我们都有-r（τε）∧s） |XKτε∧s- K|≥ E-rp（τε）∧s） |XKτε∧s- K | pεpe-r（τε）∧s） |XKτε∧s- K |然后通过取期望值并使用（2.1）的积分版本，我们得到-r（τε）∧s） |XKτε∧s- K|≥εpEE-rτε∧s（XKτε）∧s- （K）1+p=εpErKZτε∧东南方-rudu+σZτε∧东南方-鲁克斯库德布我们现在使用标准不等式|a+b |p+1≥p+1 | a | p+1-|b | p+1对于任何a，b∈ IR（参见示例5in[20，第8章，第50节，第83页]）和Burkholder-Davis-Gundy（BDG）不等式（参见示例[25，第63页]）获得挥杆选项12的最佳练习边界-rτε∧s | XKτε∧s- K|≥εpp+1EσZτε∧东南方-鲁克斯库德布1+p-εpErKZτε∧东南方-如都1+p（3.25）≥ 总工程师σZτε∧东南方-2ru（XKu）du（1+p）/2- CE（τε）∧ s） 1+p≥ CCE（τε）∧ s） （1+p）/2- CE（τε）∧ s） 1+p对于某些常数C=C（ε，p），C=C（ε，p），C=C（ε.p）>0。因为我们对极限Tδ感兴趣- T→ 0我们取s<1，结合（3.23），（3.24）和（3.25）我们得到v（2）（t，K）-G（t，K）≥ CCE（τε）∧ s） （1+p）/2- （C+C+C）E（τε）∧ s） （3.26）对于任何t∈ [0，Tδ）使得s=Tδ- t<1。因为p+1<2，所以通过出租从（3.26）开始↓ 0表示存在t*< Tδ使得所有T的V（2）（T，K）>G（T，K）∈ （t）*, Tδ）。因此（t，K）∈ C（2）t对于所有t∈ （t）*, Tδ）和自t7以来→ C（2）这意味着（t，K）∈ C（2）t对于所有t∈ [0，Tδ），也就是说，当基础价格等于走向K时，停止永远不是最优的。第2步。现在我们研究走向K上方的D（2）部分，并证明它不是空的。为此，我们通过矛盾论证，并假设K上方的停止区域中没有点。取ε>0，x≥ K+2ε和t∈ [0，Tδ），我们表示τ=τ*（t，x）V（2）（t，x）的最佳停止时间。