关于摆动看跌期权的最优行使边界

然后，我们从Xxu的连续性，推出Xxu的强度量Xxu<b（2）（t+u）= PXxu+δ≤ b（1）（t+u+δ）傅我Xxu<b（2）（t+u）（3.64）=PXxu+δ≤ b（1）（t+u+δ），Xxu≤ b（2）（t+u）傅挥杆选项的最佳练习范围20图1。最佳运动边界t7的计算机绘制→ b（2）（t）和t 7→ c（2）（t）在K=1，r=0.05（年度），σ=0.2（年度），t=6个月，δ=1个月的情况下。类似地，我们有f（t+u，Xxu）IXxu>c（2）（t+u）= PXxu+δ≤ b（1）（t+u+δ），Xxu≥ c（2）（t+u）傅. （3.65）在（3.63）中，我们让s=Tδ- t、 取期望值E，使用（3.64）-（3.65）和M的可选抽样定理，然后在重新排列术语并注意到V（2）（tδ，x）=G（tδ，x）对于allx>0，我们得到（3.60）。将x=b（2）（t）和x=c（2）（t）代入（3.60）并使用（3.48）-（3.49）得到耦合积分方程组（3.61）-（3.62）。2.独特性。现在我们展示了系统（3.61）（3.62）的解对的唯一性。该证明分为五个步骤，其依据与[11]中使用的论点相似，最初来源于[23]。步骤2.1。设b:[0，Tδ]→ (0, ∞) c:[0，Tδ]→ (0, ∞) 是系统（3.61）-（3.62）的另一个解决方案对，这样b和c是连续的，b（t）≤ K≤ c（t）代表所有t∈ [0，Tδ]。我们将证明这些b和c必须分别等于最佳停止边界b（2）和c（2）。我们定义了一个连续函数Ub，c:[0，Tδ]×（0，∞) → IR byUb，c（t，x）：=e-r（Tδ）-t） EG（tδ，XxTδ）-（t）- EZTδ-te-ruH（t+u，Xxu）I（Xxu）≤ b（t+u）或Xxu≥ c（t+u））du。注意，因为b和c解系统（3.61）-（3.62），所以Ub，c（t，b（t））=G（t，b（t））和Ub，c（t，c（t））=G（t，c（t））∈ [0，Tδ]。

还要注意，X的Markov性质-rsUb，c（t+s，Xxs）-Zse-ruH（t+u，Xxu）I（Xxu）≤ b（t+u）或Xxu≥ c（t+u）du（3.66）=Ub，c（t，x）+NsP- a、 s.21世纪挥杆选项的最佳练习范围∈ [0，Tδ- t] 和（Ns）0≤s≤Tδ-ta P-鞅。第2.2步。现在我们证明了Ub，c（t，x）=G（t，x）代表x∈ （0，b（t）]∪ [c（t），∞) 和t∈ [0，Tδ]。为了x∈ （0，b（t）]∪ [c（t），∞) 和t∈ [0，Tδ]给定并固定，考虑停止时间σb，c=σb，c（T，x）=inf{0≤ s≤ Tδ-t:b（t+s）≤ Xxs≤ c（t+s）}。（3.67）使用Ub，c（t，b（t））=G（t，b（t））和Ub，c（t，c（t））=G（t，c（t））表示所有t∈ [0，Tδ）和Ub，c（Tδ，x）=G（Tδ，x）对于所有x>0，我们通过Ub，c的连续性得到Ub，c（T+σb，c，Xxσb，c）=G（T+σb，c，Xxσb，c）P-a.s。因此，使用可选的抽样定理，从（3.11）和（3.66）得到，并注意到对于u，LKu（Xx）=0≤ σb，cwe findub，c（t，x）=Ee-rσb，cUb，c（t+σb，c，Xxσb，c）- EZσb，ce-ruH（t+u，Xxu）I（Xxu）≤ b（t+u）或Xxu≥ c（t+u））du=Ee-rσb，cG（t+σb，c，Xxσb，c）- EZσb，ce-ruH（t+u，Xxu）du=G（t，x）因为Xxu∈ （0，b（t+u））∪ （c（t+u），∞) 为了所有的你∈ [0，σb，c）.步骤2.3.接下来我们证明Ub，c（t，x）≤ V（2）（t，x）代表所有（t，x）∈ [0，Tδ]×（0，∞). 为此，考虑停止时间τb，c=τb，c（t，x）=inf{0≤ s≤ Tδ-t:Xxs≤ b（t+s）或Xxs≥ c（t+s）}带（t，x）∈ [0，Tδ]×（0，∞) 给定且固定。同样，上述（3.67）中的参数表明Ub，c（t+τb，c，Xxτb，c）=G（t+τb，c，Xxτb，c）P-a.s。然后取s=τb，cin（3.66）并使用可选抽样定理，我们得到Ub，c（t，x）=Ee-rτb，cUb，c（t+τb，c，Xxτb，c）=Ee-rτb，cG（t+τb，c，Xxτb，c）≤ V（2）（t，x）。步骤2.4。为了比较（b，c）和（b（2），c（2）），我们首先证明了b（t）≥b（2）（t）和c（t）≤ c（2）（t）代表t∈ [0，Tδ]。

为此，假设存在t∈ [0，Tδ），使得c（T）>c（2）（T），取点x∈ [c（t），∞) 考虑停止时间σ=σ（t，x）=inf{0≤ s≤ Tδ-t:b（2）（t+s）≤ Xxs≤ c（2）（t+s）}。在（3.63）和（3.66）中设置s=σ，并使用可选采样定理，我们得到-rσV（2）（t+σ，Xxσ）=V（2）（t，x）+EZσe-鲁（t+u，Xxu）杜（3.68）Ee-rσUb，c（t+σ，Xxσ）=Ub，c（t，x）（3.69）+EZσe-ruH（t+u，Xxu）IXxu≤ b（t+u）或Xxu≥ c（t+u）杜。自从Ub，c≤ 对于x，V（2）和V（2）（t，x）=Ub，c（t，x）=G（t，x）∈ [c（t），∞), 然后从（3.68）中减去（3.69），即zσe-ruH（t+u，Xxu）Ib（t+u）≤ Xxu≤ c（t+u）杜≥ 0.（3.70）函数H总是严格负的，通过c（2）和c的连续性，它必须是p（σ（t，x）>0）=1，因此（3.70）导致了一个矛盾，我们可以得出c（t）≤ c（2）（t）所有t的摆动选项的最佳运动边界∈ [0，Tδ]。以类似的方式论证，我们也可以得出b（t）≥ b（2）（t）代表所有t∈ [0，Tδ]如所述。第2.5步。为了得出结论，我们证明了[0，Tδ]上的b=b（2）和c=c（2）。为此，我们假设存在t∈ [0，Tδ），使得b（T）>b（2）（T）或c（T）<c（2）（T）。选择任意点x∈ （b（2）（t），b（t））或∈ （c（t），c（2）（t））并考虑最佳停止时间τ*与（3.54）中的D（2）相同。取s=τ*在（3.63）和（3.66）中，使用可选抽样定理-rτ*G（t+τ）*, Xxτ*) = V（2）（t，x）（3.71）Ee-rτ*G（t+τ）*, Xxτ*) = Ub，c（t，x）（3.72）+EZτ*E-ruH（t+u，Xxu）IXxu≤ b（t+u）或Xxu≥ c（t+u）在这里我们使用V（2）（t+τ*, Xxτ*) = G（t+τ）*, Xxτ*) = Ub，c（t+τ）*, Xxτ*) P-a.s.在召回时B≥ b（2）和c≤ c（2）和Ub，c=G低于b或高于c（参见。

上述步骤2.2）或Tδ。自从Ub，c≤ V（2）然后从（3.72）中减去（3.71），我们得到Ezτ*E-ruH（t+u，Xxu）IXxu≤ b（t+u）或Xxu≥ c（t+u）杜≥ 我们再次回顾，H总是严格负的，通过b（2），c（2），b和c的连续性，我们有P（τ）*（t，x）>0）=1，过程（Xxu）u∈[0，Tδ-t] 如果从x开始，则在b（t+·）以下花费严格正的时间∈b（2）（t），b（t）或高于c（t+·），如果它从X开始∈c（t），c（2）（t）, 概率一。因此，除非b=b（2）和c=c（2），否则我们会得出一个矛盾。值得注意的是，定价公式（3.60）与swing合同结构背后的经济直觉一致，包括一个欧洲部分加上三个完整条款，以解释早期行使溢价。第一个术语类似于美国卖出价格公式中出现的术语，它代表卖出收益严格为正时，单一行使产生的价值。第二项和第三项与多重锻炼机会产生的额外价值有关。在折光期结束后，这些溢价与价格过程降至b（1）以下的贴现概率进行加权，它们分别考虑了行使第一权利低于或高于罢工的两种情况。请注意，如备注3.9所述，如果r=0，早期运动溢价将消失。在这种情况下，货币没有时间价值，swing合同相当于两个欧式期权的组合：一个在时间Tδ到期，另一个在时间Tδ到期。在图2中，我们展示了数值计算的一些r值的最佳边界，并观察到停止区域随着利率的增加而增加（即。

延续集会随着时间的推移而缩小）。众所周知，对于δ=0，具有n个权利的摇摆合约的价值等于到期日为T的n个美国看跌期权组合的价值。在这种情况下，当XT低于b（1）时，最好同时行使所有权利。直觉上，我们认为这是δ→ 0和Tδ→ T，下边界b（2）趋向于美式推杆b（1）的边界，而上边界c（2）在接近成熟期时增加并变得更陡，最终收敛到垂直半线{T}×（K，∞) 在极限范围内（关于这一观察结果的数值说明，见图3）。备注3.14。我们通过数值求解积分方程（3.61）和（3.62）（另见下一节中的（3.82）和（3.83））来计算图1、2、3和4的最佳边界。swing选项23的最佳练习边界图2。计算机绘图显示了上最佳练习边界如何达到7→ c（2）（t）（左侧）和下最佳运动边界t7→ 年利率的变化为：1个月的年利率变化为：1个月的年利率变化为：1；r=0.075（细线）；r=0.1（虚线）。停止区域在r中增加。请注意，我们在垂直轴上使用了不同的比例。我们使用一种基于积分对时间离散化的向后方案。这是这类方程的标准方法，更详细的描述见[11]的备注4.2。注意，为了实现该算法，了解c（2）（Tδ）和b（2）（Tδ）的值至关重要。

具有任意多个权利的摆动期权的分析在本节中，我们通过处理n个容许停止时间的一般情况，完成了对多重最优停止问题（2.3）的研究。结果之后是归纳法，我们将仅概述其证明，因为它们是通过重复第3.1节中所述的逐步论证而获得的。让我们先介绍一些符号。为了n∈ N、 N≥ 2我们分别表示C（n）和D（n）值函数V（n）问题的连续区域和停止区域（参见（3.3））。同样地，我们用C（n）和D（n）来表示它们的t形截面，我们设置t（n）δ=t-nδ。从现在起，我们≥ 2并做出一些假设，以获得G（n+1）、V（n+1）和相对最优边界的性质。请注意，下面的每一个假设都适用于n=2。假设3.15。对于j∈ {2,3，…n}和t∈ [0，T（j）-1） δ]有D（j）t=（0，b（j）（t）]∪[c（j）（t），∞) 我在哪里→ b（j）（t）是连续的，有界的，并且随着b（j）的增加而增加T（j）-1)δ= K、 swing选项的最佳练习边界24图3。计算机绘图显示了最佳运动范围是如何达到T7的→ b（2）（t）和t 7→ c（2）（t）随着折射周期δ变为0而变化。参数组isK=1，σ=0.4（年），T=6个月，r=0.05（年），边界指折射期的以下值：δ=0.1（虚线）；δ=0.06（虚线）；δ=0.04（薄）；δ=0.03（虚线）。粗线代表美式Put7→ b（1）（t）。ii）t 7→ c（j）（t）是连续的，有界的，随c（j）递减T（j）-1)δ= K、 iii）b（j）-1） （t）≤ b（j）（t）<K<c（j）（t）≤ c（j）-1） （t）对于t∈ [0，T（j）-1） δ），与约定c（1）≡ +∞.现在是1≤ J≤ N- 1我们还定义了随机变量si（n）j（t，s）：=IXs∈ D（n）t+s，Xs+δ∈ D（n）-1） t+s+δ。(3.73). . .

，Xs+（j-1)δ∈ D（n）-（j）-1） ）t+s+（j-1） δ，Xs+jδ<b（n-j） （t+s+jδ）I（n）（t，s）：=IXs<b（n）（t+s）（3.74）其期望值由p（n）j（t，x，s）表示：=ExI（n）j（t，s）p（n）（t，x，s）：=ExI（n）（t，s）. （3.75）在假设3.15下，一个搭扣（n）j（t，x，s）- p（n）-1） j（t，x，s）≥ t为0（3.76）∈ [0，T（n-1） δ]，（x，s）∈ (0, ∞) ×[0，T（n-1)δ-t] j=0，N- 2自D（1）起 D（2） . . . D（n）。让我们回顾一下NexTasus。它容纳G（n）∈ C1,2in（0，T（n-1） δ）×[（0，K）∪ （K），∞)] 具有G（n）t+ILXG（n）-rG（n）（t，x）=-rKI（x<K）+n-2Xj=0e-r（j+1）δp（n）-1） j（t，x，δ）（3.77）25吨秋千选项的最佳运动边界∈ （0，T（n）-1） δ）和x∈ （0，K）∪（K），∞). 而且V（n）在[0，T（n）上是连续的-1)δ] ×(0, ∞),V（n）∈ C1，2in-C（n），它解sv（n）t+ILXV（n）- rV（n）=0英寸C（n）。（3.78）最后，对于s∈ [0，T（n-1)δ- t] 还有x∈ (0, ∞) 它持有Px-a.s.e-rsV（n）（t+s，Xs）=V（n）（t，x）-rKn-1Xj=0Zse-r（u+jδ）ExI（n）j（t，u）傅du+M（n）t+s（3.79），其中（M（n）t）是鞅。注意，对于n=2（3.77）等于（3.10），而（3.79）等于（3.63）。提案3.17。在假设3.15和3.16下，方程（3.77）也成立，n替换为n+1。证据SinceG（n+1）（t，x）=（K）-x） ++R（n+1）（t，x）与R（n+1）（t，x）=Ee-rδV（n）（t+δ，Xxδ），则证明ys:=e是有效的-rsR（n+1）（t+s，Xs）+rKn-1Xj=0Zse-r（u+（j+1）δ）p（n）j（t+u，Xu，δ）du是连续鞅。

然后我们可以在命题3.2的证明中证明R（n+1）是C1，2和R（n+1）t+ILXR（n+1）- rR（n+1）（t，x）=-rKn-1Xj=0e-r（j+1）δp（n）j（t，x，δ）。s7的连续性→ YS源于V（n）和p（n）jj的连续性和有界性，适用于所有j的马尔可夫性质和（3.79）（详情参见命题3.2的证明）giveExe-rsR（n+1）（t+s，Xs）=R（n+1）（t，x）- rKn-1Xj=0ExZse-r（u+（j+1）δ）I（n）j（t，u+δ）du=r（n+1）（t，x）- rKn-1Xj=0ExZse-r（u+（j+1）δ）EXuI（n）j（t+u，δ）du=R（n+1）（t，x）- rKn-1Xj=0ExZse-r（u+（j+1）δ）p（n）j（t+u，Xu，δ）du其中我们使用了I（n）j（t，u+δ）= ExEXuI（n）j（t+u，δ）= Exp（n）j（t+u，Xu，δ）乘以（3.73）。我们现在定义（n）（t，x）：=G（n）t+ILXG（n）- rG（n）（t，x）代表t∈ （0，T（n）δ），x∈ （0，K）∪（K），∞) （3.80）并观察假设3.15下的映射t7→ 当x>0时，H（n）（t，x）都在减小。（3.10）中的H也是如此，这是证明第3.1节中大多数结果所需的关键属性。我们现在准备提供V（n）forn>2的EEP表示公式，并描述相应的停止集D（n）。swing选项的最佳练习边界26图4。上最优运动边界t7的结构→ c（n）（t）表示n=2,3,4（左侧）和较低的最佳运动边界t7→ b（n）（t）表示n=1,2,3,4（右侧），在K=1的情况下，r=0.05（年度），σ=0.2（年度），t=6个月，δ=1个月。请注意，垂直轴上的刻度是不同的。定理3.18。固定的≥ 2让假设3.15和3.16成立。然后，对于n+1和t，相同的假设成立∈ [0，T（n）δ]和x∈ (0, ∞), （3.3）的值函数V（n+1）具有以下表示V（n+1）（t，x）=e-r（T（n）δ-t） J（n+1）（t，x）+rKnXj=0ZT（n）δ-te-r（u+jδ）p（n+1）j（t，x，u）du（3.81）与j（n+1）（t，x）：=ExhG（n+1）T（n）δ，XT（n）δ-Ti、 证据。

通过命题3.17，我们得出（3.77）成立，n被n+1取代，H（n+1）定义良好（参见（3.80））。现在我们一步一步地（通过明显的修改）重复第3.1节中的论证，以获得命题3.4、3.5、3.6、3.10和定理3的概括。对于n>2的情况，分别为8和3.12。我们观察到，由于c（2）和D（n+1）t的不确定性，一些证明简化为3.5（使用（3.76））的推广立即意味着c（n+1）的不确定性∩ （K），∞) 6=  对于t∈ [0，T（n）δ]。然后，对于具有n+1行使权的摆动期权问题，存在两个最优停止边界b（n+1）和c（n+1），这两个边界用n+1而不是n（注意定理3.12的证明与光滑性无关）来满足假设3.15。还有待证明V（n+1）的EEP表示公式成立。根据命题3.11证明中的相同论点，可以证明V（n+1）x（t，·）在所有t的b（n+1）（t）和c（n+1）（t）上是连续的∈ （0，T（n）δ）。然后V（n+1）解一个类似于（3.47）-（3.52）的自由边界问题，但V（2）、G（2）、b（2）、c（2）和Tδ分别被V（n+1）、G（n+1）、b（n+1）、c（n+1）和T（n）δ所取代。现在V（n+1）、b（n+1）和c（n+1）满足了应用[24]的局部时空公式所需的所有条件（参见上文273.13摆动选项理论最佳运动边界的证明），因此I（n）j（t+u，δ）我（徐）∈ D（n+1）t+u）=ExI（n+1）j+1（t，u）傅我（许）我（许）∈ D（n+1）t+u）=I（Xu<b（n+1）（t+u））我们得到-rsV（n+1）（t+s，Xxs）=V（n+1）（t，x）+Zse-鲁（n+1）（t+u，Xxu）I（Xxu）∈ D（n+1）t+u）du+M（n+1）t+s=V（n+1）（t，x）-rKnXj=0Zse-r（u+jδ）ExI（n+1）j（t，u）傅du+M（n+1）t+swith M（n+1）a鞅。因此V（n+1）满足（3.79），取s=T（n）δ-t和rearrangingterms我们得到了具有n+1行使权的摆动期权价值的EEP表示。推论3.19。

对任何人来说≥ 2假设3.15和3.16成立，V（n）具有代表性（3.81）（用n代替n+1）。证据从定理3.18我们了解到，如果假设3.15和3.16适用于V（n）、G（n）、b（n）和c（n），那么它们也适用于V（n+1）、G（n+1）、b（n+1）和c（n+1）。由于我们从第3.1节的分析中得知，假设3.15和3.16在n=2的情况下肯定成立，因此通过归纳法完成了假设。备注3.20。值得注意的是，在上述推论中，我们已经证明了b（j）-1)≤ b（j）和c（j）-1)≥ c（j）代表所有j≥ 2，从而正面回答了[9，第6.4.3节]中提出的一个理论问题。现在，将b（n）（t）和c（n）（t）代入（3.81）中，以找到表征最佳边界的积分方程已成为惯例。类似于定理3.13证明第2步中使用的参数，我们可以证明b（n）和c（n）唯一地解这些方程。为了完整性，我们提供了定理，但忽略了它的证明。需要以下表达式j（n）（t，x）：=ExhG（n）n（T）-1） δ，XT（n）-1)δ-T土地（n） t:=t（n）-1)δ- t、 定理3.21。为了所有人∈ N、 N≥ 2，定理3的最优停止边界b（n）和c（n）。18是求解耦合非线性积分方程组sg（n）（t，b（n）（t））=e的唯一连续函数偶-R（n） tJ（n）（t，b（n）（t））+rKn-1Xj=0Z（n） te-r（u+jδ）p（n）j（t，b（n）（t），u）du（3.82）G（n）（t，c（n）（t））=e-R（n） tJ（n）（t，c（n）（t））+rKn-1Xj=0Z（n） te公司-r（u+jδ）p（n）j（t，c（n）（t），u）du（3.83）与b（n）（t（n-1） δ）=c（n）（T（n）-1） δ）=K和b（n）（t）≤ K≤ c（n）（t）代表t∈ [0，T（n-1)δ].挥杆选项28A的最佳练习边界。附录3.2命题的证明。首先我们证明了processYs:=e-rsR（t+s，Xs）-rKZse-联阵（t+u，徐）杜，u∈ [0，Tδ- t] （A-1）是连续鞅。