关于摆动看跌期权的最优行使边界

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英文标题：
《On the optimal exercise boundaries of swing put options》
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作者：
Tiziano De Angelis and Yerkin Kitapbayev
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We use probabilistic methods to characterise time dependent optimal stopping boundaries in a problem of multiple optimal stopping on a finite time horizon. Motivated by financial applications we consider a payoff of immediate stopping of \"put\" type and the underlying dynamics follows a geometric Brownian motion. The optimal stopping region relative to each optimal stopping time is described in terms of two boundaries which are continuous, monotonic functions of time and uniquely solve a system of coupled integral equations of Volterra-type. Finally we provide a formula for the value function of the problem.
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中文摘要：
在有限时间范围内的多重最优停止问题中，我们使用概率方法来描述与时间相关的最优停止边界。受金融应用的启发，我们考虑了“看跌”型立即停止的回报，其基本动力学遵循几何布朗运动。与每个最优停止时间相关的最优停止区域用两个边界来描述，这两个边界是时间的连续单调函数，并且唯一地解Volterra型耦合积分方程组。最后给出了问题的值函数公式。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> On_the_optimal_exercise_boundaries_of_swing_put_options.pdf (6.67 MB)

2022-5-6 11:56:41 上传

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关键词：看跌期权 Applications Mathematical Quantitative Differential

关于摆把选项的最佳练习范围。德安吉利斯*和Y.Kitapbayev+2018年8月29日，我们使用概率方法来描述时间相关的最优停止边界，在一个有限时间范围内的多重最优停止问题中。出于金融应用的动机，我们考虑了“卖出”类型的即时停止效应，其基本动力学遵循年龄计量布朗运动。用两个边界描述了与每个最优停止时间相关的最优停止区域，这两个边界是连续的、单调的时间函数，并且唯一地解决了Volterra型耦合积分方程组。最后，我们给出了问题的值函数的公式。MSC2010分类：60G40、60J60、35R35、91G20。关键词：最优多重停车，自由边界问题，摆动期权，美式期权。1.引言在本文中，我们提供了有限时间范围内最优多次停止问题的最优停止边界的分析特征。对这类问题的研究最近受到了金融业日益流行的所谓摇摆期权的推动。这些是美式期权，在能源市场上最常用的是多个早期行使权（调查见[18]）。特别是在这里，我们考虑一个带有看跌期权的期权模型∈ N、 N≥ 2行使权利，执行价K>0，到期日T，折光期δ>0。参数δ表示持有者在两次连续练习之间必须等待的最短时间。

期权的价值由V（n）表示，并根据以下最佳倍数映射时间问题V（n）（t，x）给出：=supSnt，TEhnXi=1e-r（τi）-（t）K-Xt，xτi+i、 （t，x）∈ [0，T]×（0，∞) （1.1）其中r>0是无风险利率，Xt，xis是从时间t开始的几何布朗运动∈ [0，T）从x>0开始，并在形式snt，T:=（τn，τn）-1.τ） ：τn∈ [t，t]-（n）-1） δ]，τi∈ [τi+1+δ，T-（一）-1） δ]，i=n-1.1.. (1.2)*通讯作者。英国利兹LS2 9JT伍德豪斯巷利兹大学数学学院；Tdeangelis@leeds.ac.uk+美国马萨诸塞州波士顿联邦大道595号波士顿大学奎斯特罗姆商学院，邮编02215；yerkin@bu.eduOptimal摆动期权的行权边界2止损时间τkre的指数k表示剩余权利的数量和Snt的结构，提示期权持有人在到期前行权。为了理解问题（1.1）的财务意义，有必要观察以下情况：-r（τi）-（t）K-Xt，xτi+i=Ehe-r（τi）-（t）K∨Xt，xτi-Xt，xτi如果每个i=1，2。n该支付可用于模拟以下情况。在能源市场上，我们选择的卖方是当地的能源供应商（例如天然气供应商），而买方是在全球范围内进行交易的大型开采商/分销商；两人都喜欢一些储存设施。当地供应商在时间T之前需要n个单位的商品（例如家庭供应），并同意在期权持有人选择的日期以现货价格X和罢工之间的最大价格购买这些商品。持有人承诺通过T提供商品，但可以使用合同允许的灵活性最大化利润。因此，本合同的价值为（1.1），因为期权持有人以现货价格X销售商品，并收到X∨ K

在这种情况下，折射时间也可能是由于交付的物理限制。第2.2节提供了关于我们问题形成的更多细节。我们想强调的是，迄今为止，就我们所知，具有有限时间范围的多个停止问题的最佳边界仅在数值上进行了研究，主要是与摆动期权有关（参见[5]、[9]、[14]和[19]），而有限时间范围内的问题则在理论上由[9]和[8]进行了研究。这些研究强调了递归类型的非常复杂的联系：特别是具有n个容许停止时间的多个停止问题的值和最佳边界取决于k=1，2，N-1.允许的停车时间。因此，在解决前一个问题之前，必须先解决后一个问题。由于我们的工作似乎是第一个解决多个停车问题的时间相关最佳停车边界的完整理论描述，因此对特定问题（1.1）的数学兴趣找到了自然动机。事实上，由于所涉及方法的复杂性，通常必须在个案基础上对具有单一停止时间的有限视界问题的停止边界进行分析。在这方面，美国put可能是此类例子中研究得最充分（也是最流行的），其最佳边界的性质一直是一长串论文的研究对象（例如[7]、[15]和[23]）。因此，问题（1.1）是分析与最优多重停止相关的自由边界问题的理想起点。在这项工作中，我们使用概率参数来证明存在一个序列（τ*i） i=n，。。。1.∈对于（1.1），我们证明了每个τ*i、 i=n。

2为过程（t，Xt）从集合C（i）中的首次退出时间。后者在（t，x）平面上由两条连续单调曲线b（i）和c（i）从上到下限定，这两条曲线是时间的函数（fori=1，c（1）=+∞ b（1）是美式看跌期权（最优边界）。我们的主要结果是这些最优边界的存在性和正则性，对于n=2的情况，定理3.8、命题3.10和定理3.12给出了这些最优边界，而它们推广到了任意n≥ 2可在第3.2节中找到。最后，对于每个i=n。2.我们将此类边界描述为Volterra型耦合非线性积分方程组的唯一解，在一些示例中，我们也对其进行了数值求解（见图1、图2和图3）。根据问题（1.1）的财务解释，我们证明期权的价格是一个欧式部分和一个取决于最优停止边界的早期行使溢价的总和（n=2的情况见定理3.13，一般情况见定理3.18）。在（1.1）中讨论自由边界分析的关键困难很重要，因为这些问题反映了在研究最优多重停止问题时必须考虑的更一般的理论问题。众所周知，（1.1）可以通过一个递归参数简化为一个单停时间问题（见下面的引理3.1），其目标是最大化摆动选项3Ee的最佳运动边界的函数-rτG（n）（t+τ，Xt，xτ）与合适的G（n）。每n≥ 2函数G（n）取决于函数V（n）的值-1） 用n代替n的问题（1.1）-它不能明确地表示为t和x的函数（见下面引理3.1的讨论）。

例如，在n=2的情况下，函数G（2）将是美式put值的函数，在这里表示为V（1），它的最显式形式将以美式put最优边界b（1）的复杂函数形式给出（见下面的表达式（3.4）和（3.6））。后者具有一些单调性和正则性，但它们对G（2）的影响不容易确定，文献中也没有关于b（1）的明确公式。与停止问题相关的自由边界的一般概率分析，其中增益函数没有根据状态变量显式给出，在许多情况下，可以在特殊假设下进行处理。在（1.1）中，增益函数由美式看跌期权的结构决定，我们必须通过对其规律性和相关的偏微分方程问题（见命题3.2）的深入研究来弥补G（2）的透明度不足。完成后，我们可以将这些结果与几何布朗运动的局部时间的精确估计结合起来，得出最优边界的存在性和其他性质。由于我们工作的环境不同寻常，我们对G（n）的初步研究和我们主要结果的证明（特别是定理3.8和命题3.10的证明）包含几个技术点，这些技术点扩展了最优停止理论中自由边界分析的现有方法，我们相信这些技术点可以用来构建一个更系统的方法来研究最优多重停止边界。最后，从财务角度来看，我们发现合同的上最优行使边界是一个有趣的结果，与美式看跌期权问题中观察到的单一边界形成对比。

乍一看，这一事实可能看起来有点违反直觉，但事实证明，这是货币的时间价值与停车时间Snt，T（另见备注3.9）上施加的约束之间相互作用的结果。在这里，我们还展示了停止集的大小随着[9]中推测的权利数量的增加而增加（见下面的备注3.20）。本文其余部分将更详细地讨论此功能和其他功能。本文的组织结构如下。在第2.1节中，我们简要概述了关于最优多重停止问题的现有文献，以及它们在模拟摆动合约中的应用。然后在第2.2节中，我们详细介绍了上述问题（1.1）的设置。我们问题的完整解决方案在第3节中给出，该节分为两个主要小节。第三节。第1章详细分析了具有两种行使权的摇摆期权。相反，我们使用第3.2节将第3.1节的结果扩展到具有任意多个灯光的swing选项的情况。论文以技术附录的形式完成。2.问题的表述和背景材料我们在这里提供了一些关于摆动选项和最佳多次停车的基本参考，然后我们详细地表述了问题（1.1）。在本节的最后一部分，我们回顾了一些关于美国put的背景材料，我们将在整篇论文中使用这些材料。2.1. 关于摆动期权和最优多次停止的概述摆动合同的早期数学模型可以追溯到80年代（除其他外，请参见[16，第1节和第2节]以及其中的参考文献），到目前为止，许多作者对其发展做出了贡献（例如，请参见调查[18]）。[16]和[14]中给出了在每个行权日具有交易量限制和交易数量有限的摆动期权的数值研究。

最近，这些工作已被[2]、[3]、[13]、[27]等扩展，以包括期权的基础和复杂结构的更一般动力学（例如跳跃动力学摆动期权4的最佳行使边界和制度转换机会）。据我们所知，在[9]中给出了对支撑摆动合约的最佳停止理论的第一个理论分析，它基于鞅方法和斯内伦斜率。后来，在c`adl`ag正过程的假设下，在[21]中对多停时问题的鞅方法进行了系统研究。在一维线性微分的情况下，[8]给出了相关值函数的过度函数特征，而[22]、[1]和[4]等研究了对偶方法。在马尔可夫环境下，变分方法和BSDEs技术得到了广泛应用。例如，在[5]中，从理论和数值两方面分析了具有体积约束的摆动期权的HJB方程。例如[19]在股票期权评估（略有不同）的背景下研究了最优多重停止问题的变分不等式[17]，并将[9]的结果推广到一维跳跃微分。与挥杆选项相关的带跳跃的BSDE研究可在[6]中找到。问题的表述在以下情况下，参考价值函数（1.1）和swing Option价格或价值将很方便。关于完全概率空间(Ohm, F、 P）我们考虑标的资产动态的Black and Scholes模型，X=rXsds+σXsdBs，X=X>0（2.1），其中B是标准布朗运动，r>0是无风险利率，σ>0是波动系数。

我们用（Fs）s表示≥0（Bs）产生的自然过滤≥0用P-null集和（Xxs）s完成≥0（2.1）的唯一强解。众所周知，对于任何x>0，它都保持sxxs=xeσBs+（r-σ） 稳定部队≥ 0（2.2），与X相关的最小生成器由ilxf（X）给出：=rxf（X）+σxf（X）表示f∈ C（IR）。为了方便读者，我们在这里回忆（1.1）：V（n）（t，x）：=supSnt，TEhnXi=1e-r（τi）-（t）K-Xt，xτi+i、 （t，x）∈ [0，T]×（0，∞) （2.3）如果上确界接管了一组停止时间Xt，xof the formSnt，T：=（τn，τn）-1.τ） ：τn∈ [t，t]-（n）-1） δ]，τi∈ [τi+1+δ，T-（一）-1） δ]，i=n-1.1..函数V（n）表示带看跌期权（K）的摆动期权的价格-x） +、罢工K>0、到期T>0、n行使权利和折射期δ>0。由于δ>0是期权持有人在连续两次行使期权之间的最小等待时间，因此自然考虑T、n和δ，使T≥ （n）-1)δ.注意，在（2.3）中，我们用Xt表示，（2.1）的解从时间t>0开始，初始条件为Xt=x。然而，在接下来的过程中，我们将经常使用Xxs=Xt，Xt+sin定律来表示任何s≥ 此外，由于我们在马尔可夫框架中，对于任何Borel可测实函数F，我们通常会替换EF（t+s，Xxs）由前任F（t+s，Xs）还有EF（t+s，Xxt+s）英尺基于Ex的挥杆选项5B的最佳练习边界F（t+s，Xt+s）英尺= EXxtF（t+s，Xs）其中Exis是在measurePx（·）=P（·| X=X）下的期望。（2.3）的特殊性嵌入在可容许停止时间Snt类别的定义中，它设置了以下约束：期权持有人必须行使所有权利。换句话说，如果在T之前没有严格使用第k个右键-（k）-1） δ所有后续权利只能在到期时行使，即持有人持有k- 1欧洲期权到期时间δ，2δ。（k）-1)δ.

另一方面，在提前行使第k项权利的情况下，持有人可立即获得报酬（k-十） +并保留一个带有k的swing选项-1在等待折射期δ>0后，行使最早可使用的权利。包括持有人使用最低数量权利的义务在内的摇摆合同在能源市场上进行交易，并且自早期文件[14，第3节]和[16，第2.3.1节]以及许多其他文件以来就已经进行了分析。我们的公式考虑了一种限制性情况，在这种情况下，所有权利都必须行使，并且可以由期权卖方对基础商品的实际需求来激励，如引言中所述。从纯数学的角度来看，这个公式很有趣，因为它与[9]中所考虑的公式相反，在[9]中，持有人没有义务使用最少数量的权利。[9]中对无限到期期权的数值研究表明，与每一个可容许停止时间相关的最佳停止区域完全位于连续集下方，并且在走向K下方有一个单一的行使边界。相反，我们将看到Snt上的约束，t即使资产价格X大于履约价格K（即看跌期权支付等于零），也可以诱导期权持有人使用其中一项权利，以维持未来的提前行权权（更多详细信息，请参见备注3.9）。我们的例子和[9]中的例子都是实现全面解决的必要中间步骤，一般情况下，摇摆合同的最低行使日期数受到限制。最后，我们注意到，由于[9]中的选项允许持有者更灵活，它的值为（2.3）中的V（n）提供了一个上限。