关于摆动看跌期权的最优行使边界

和前面一样，我们设置s=Tδ-t简化符号并定义σε：=inf{u≥ 0:Xxu≤ K+ε}∧ Tδ。然后通过（3.10）和（3.11）我们得到v（2）（t，x）- G（t，x）=Ee-rτG（t+τ，Xxτ）- G（t，x）≤ - rKEZτe-ruf（t+u，Xxu）du+EZτe-鲁德库（Xx）≤ - rKEhI（τ<s）Zτe-联阵（t+u，Xxu）酒后驾车- rKEhI（τ=s）Zse-ruf（t+u，Xxu）dui+EhI（σε<τ）Zτσεe-鲁德库（Xx）i=- rKEhZse-ruf（t+u，Xxu）dui+rKEhI（τ<s）Zsτe-ruf（t+u，Xxu）dui+EhI（σε<τ）Zτσεe-rudLKu（Xx）我这里我们用了一个事实≤ σε当地时间LKu（Xx）为零。既然我们假设在K以上停下来永远都不是最优的，那么它一定是最优的τ<sσε<s. 显然我们也有σε< τσε<s和henceV（2）（t，x）- G（t，x）（3.27）≤ - rKEhZse-ruf（t+u，Xxu）dui+EhI（σε<s）rKZsτe-ruf（t+u，Xxu）du+Zsσεe-鲁德库（Xx）我≤ - rKEhZse-ruf（t+u，Xxu）dui+RKP（σε<s）+EI（σε<s）EZσε∨sσεe-鲁德库（Xx）Fσε挥杆选项13的最佳练习边界，我们使用了0≤ F≤ 1（参见（3.8））和I（σε<s是Fσε-可测的。引理3.7，其中σ=σε，τ=σε∨ s和（e）的鞅性质-rtXxt）t≥我们得到hzσε∨sσεe-鲁德库（Xx）Fσεi（3.28）≤2K+EE-r（σε）∨s） Xxσε∨sFσε- E-rσεXxσε+rKEI（σε<s）Zsσεe-rtdt≤ 3K。结合（3.27）和（3.28），我们最终得到v（2）（t，x）-G（t，x）≤ -rKEhZse-联阵（t+u，Xxu）酒后驾车+K+rKsP（σε<s）。（3.29）估算Pσε<s可以方便地设置α：=lnxK+ε, Yt:=σBt+（r）- σ/2）t和zt:=-σBt+ct，其中c:=r+σ/2。注意，Yt≥ -中兴通讯∈ [0，Tδ]和henceP（σε<s）=Pinf0≤U≤sXxu≤ K+ε= Pinf0≤U≤sYu≤ -α(3.30)≤Pinf0≤U≤s-祖≤ -α= Psup0≤U≤sZu≥ α≤ Psup0≤U≤s祖≥ α我们还记得x≥ K+2ε，因此α>0。现在我们使用马尔可夫不等式、Doob’sinequality和BDG不等式来估计（3.30）中的最后一个表达式，对于任何p>1P的情况，都是这样sup0≤U≤s祖≥ α≤αpE-sup0≤U≤s祖P≤P-1αpcsp+σpE sup0≤U≤s日分P≤ Csp+sp/2（3.31）合适的C=C（p，ε，x）>0。

收集（3.29）和（3.31）我们得到v（2）（t，x）-G（t，x）≤sC（sp+sp/2）+Csp公司-1+sp/2-1.-rKEhsZse-联阵（t+u，Xxu）酒后驾车（3.32）对于合适的C=C（p，ε，x）>和C=C（p，ε，x）>0。我们取p>2，在极限下观察为s↓ 我们得到-rKEhsZse-联阵（t+u，Xxu）酒后驾车+C（sp+sp/2）+Csp公司-1+sp/2-1.→ -rKf（Tδ，x）（3.33），因此（3.32）中的负项占主导地位，因为所有x的f（Tδ，x）>0∈ (0, ∞). 从（3.32）和（3.33）我们得到一个矛盾，通过ε的任意性，我们得出结论，对于任何x>k，t<tδ必须足够大，并且（t，x）∈ D（2）。我们现在证明（t，x）∈ x>K的D（2）意味着（t，y）∈ D（2）对于任何y>x.Takey>x>K并假设（t，y）∈ C（2）。设置τ=τ*（t，y）对于（3.14）中定义的V（2）（t，y）是最优的，注意，根据命题3.6，水平段[t，tδ]×{x}属于D（2）。然后过程（t+s，Xys）s∈[0，Tδ-t] 如果不进入停止集，则无法命中水平段[t，tδ]×{K}。因此，通过（3.10）和（3.11），我们得到v（2）（t，y）=Ee-rτG（t+τ，Xyτ）=G（t，y）-rKEhZτe-rsf（t+s，Xys）dsi≤ G（t，y），即在（t，y）处立即停止是最优的，因此我们得到一个矛盾。然后我们得出结论，对于每个t∈ [0，Tδ）最多存在一个唯一的点c（2）（T）>K，因此挥杆选项14D（2）T的最佳运动边界∩ （K），∞) = [c（2）（t），∞) 按照惯例，如果c（2）（t）=+∞ 布景是空的。我们现在只证明了c（2）（t）<+∞ 对于t<tδ，适当大。c（2）的定义将在下面的命题3.10中提供。第三步。现在让我们考虑集合{（t，x）∈ [0，Tδ）×（0，K]}。从命题3.5可以看出，对于每个T∈ [0，Tδ）集合D（2）T∩ （0，K）不是空的。此外，通过使用上述第2步中的参数，我们可以证明，对于任何x<K，存在t<tδ，这样（t，x）∈ D（2）和x∈ D（2）t==> Y∈ D（2）t对于0<y≤ 十、≤ K

后者意味着∈ [0，Tδ）存在唯一点b（2）（T）∈ （0，K）使得D（2）t∩ （0，K）=（0，b（2）（t）]。上面的步骤1、2和3意味着C（2）t=b（2）（t），c（2）（t）尽管如此，t∈ [0，Tδ）和适用函数b（2），c（2）：[0，Tδ）→ (0, ∞]. 事实上，b（2）（t）≥ b（1）（t）是第3.5条建议的一个明显结果。另一方面，命题3.6意味着t 7→ b（2）（t）在第7位处增加→ c（2）（t）是递减的，所以它们的左极限总是存在的。自limt以来↑Tδc（2）（T）≥ 当x>K时，存在t<tδ和（t，x）∈ D（2）（见上文第2步），然后限制↑Tδc（2）（T）=K。从一个类似的参数和上面的第3步，我们也得到了limt↑Tδb（2）（T）=K.备注3.9。1.上边界的存在是Snt、Tin（1.2）结构施加的约束的一个关键结果（另见第2.2节开头的讨论），它很好地反映了期权早期行使特征的时间价值。实际上，即使Xt>K（即即时行权支付的看跌期权部分为零），持有人也可以找到使用第一权利的表格，以保持提前行使剩余看跌期权的机会，到期日为T（折射期后）。如果对于某些t<tδ的股票，其基础价格Xt太大，持有人不认为它会在tδ之前跌破K。在这种情况下，延迟行使第一项权利可能会产生全额卖出收益，同时降低后续提前行使权利的价值。另一方面，通过立即使用第一项权利，期权持有人将最大限度地利用至少提前行使第二项期权的机会。

这样一来，我们就可以直观地看到，尽管标准美式看跌期权的持有人只要X指数高于K，在等待过程中就没有什么损失，但对于我们的摇摆合约而言，情况有所不同：在未来权利的早期行使过程中，等待总是让持有人付出代价。因此，当投资的直接回报是太多的“钱外”时，最好是把它扔掉！2.我们观察到，在到期日TδsinceP（Xxt）之前严格行使摇摆期权的第一权利几乎肯定是最佳的∈ C（2）t对于所有t∈ [0，Tδ]）≤ P（XxTδ=K）=0.3。众所周知，r→ 0美式期权的提前行权溢价消失，这意味着b（1）≡ 0表示r=0。类似地，对于r=0，在Tδ之前的任何时候，使用n=2的摇摆合同的第一权利都没有激励，因此b（2）≡ 0和C（2）≡ +∞. 这一事实将清楚地体现在下面定理3.13中V（2）的定价公式中。在定理3.8中，我们证明了c（2）（t）<∞ 对于所有小于但“非常接近”tδ的t。我们现在的目标是通过证明c（2）确实在[0，Tδ]上是有限的来加强这一说法。提案3.10。尽管如此，t∈ [0，Tδ]上边界c（2）是有限的，即supt∈[0，Tδ]c（2）（T）<+∞. （3.34）证据。证据分两步提供。挥杆选项的最佳练习范围15第1步。让我们假设（3.34）被违反，并表示t:=sup{t∈ [0，Tδ]：c（2）（T）=+∞}. 现在考虑一下t>0的情况，并注意到自从t7→ c（2）（t）按定理3递减。8然后c（2）（t）=+∞ 尽管如此，t∈ [0，t）。函数c（2）在（t，tδ）上是右连续的，实际上对于任何t∈ （t，tδ）我们取tn↓ t as n→ ∞ 以及序列（tn，c（2）（tn））∈ D（2）收敛到（t，c（2）（t+），其中c（2）（t+）：=lims↓tc（2）（s）。

因为D（2）是闭合的，所以它也必须是（t，c（2）（t））∈ D（2）和c（2）（t+）≥ c（2）（t）通过定理3.8，因此c（2）（t+）=c（2）（t）通过单调性。为了x∈ （K）+∞) 我们通过tc（x）：=sup定义c（2）的右连续逆T∈ [0，Tδ]：c（2）（T）>x观察tc（x）≥ t、 固定ε>0，使ε<δ∧ t、 然后存在sx=x（ε）>K，这样tc（x）- T≤ ε/2表示所有x≥ 我们表示θ=θ（x）：=infU≥ 0:Xxu≤ 十、∧Tδ。我们特别注意到，如果c（2）（t+）=c（2）（t）<+∞ 我们有tc（x）=t，对于所有的x>c（2）（t）。We fix t=t- ε/2，取x>x，设置τ=τ*（t，x）v（2）（t，x）（参见（3.14））的最佳停止时间。从（3.11）我们得到v（2）（t，x）- G（t，x）=Ee-rτG（t+τ，Xxτ）- G（t，x）≤嗯- rKZτe-rsf（t+s，Xxs）ds+Zτe-rsdLKs（Xx）i≤ - rKEhI（τ）≤ θ） Zτe-rsf（t+s，Xxs）dsi+EhI（τ>θ）Zτθe-rsdLKs（Xx）i这里我们用LKs（Xx）=0表示s≤ θ. 自c（2）（t）=+∞ 对于t∈ [t]- ε/2，t），并且边界在减小，那么它必须是{τ≤ θ}  {τ ≥ ε/2}. （因此，我们获得）- G（t，x）（3.35）≤ - rKEhZε/2e-rsf（t+s，Xxs）dsi+EhI（τ>θ）Zτθe-rsdLKs（Xx）+rKZε/2e-rsf（t+s，Xxs）ds我≤ - rKEhZε/2e-rsf（t+s，Xxs）dsi+EI（τ>θ）EhZτ∨θe-rsdLKs（Xx）Fθi+ rKεP（τ>θ），在上一个不等式中，我们也使用了0≤ F≤ [0，Tδ]×（0，∞). 我们现在分别估计（3.35）最后一个表达式中的两个正项。对于涉及当地时间的问题，我们如（3.28）所述，即我们使用引理3.7和折扣价格的鞅性质来得到Zτ∨θe-rsdLKs（Xx）Fθ≤ 3K。对于一个合适的常数C>0，与x无关，我们得到I（τ>θ）EZτ∨θe-rsdLKs（Xx）Fθ+ rKεP（τ>θ）≤ CP（τ>θ）。（3.36）现在注意τ > θ进程X在时间t=t时开始- x>x的ε/2必须在时间t+ε/2之前到达x，因此，对于c=r+σ/2，我们得到p（τ>θ）≤ Pinf0≤T≤εXxt<x≤ Pinf0≤T≤εBt<σlnxx+cε.

（3.37）秋千选项的最佳运动边界16通过取W=-B、 然后从（3.37）和反射原理中我们发现（τ>θ）≤Psup0≤T≤εWt>-σlnxx+cε= 2PWε>-σlnxx+cε（3.38）=2h1- Φσ√εln（x/x）- cεi=2Φσ√εln（x/x）+cε带Φ（y）：=1/√2πRy-∞E-z/2dz代表y∈ IR和我们使用Φ（y）=1的位置-Φ(-y） ，y∈ IR。回到（3.35），我们的目标是估算最后一个表达式中的第一项。为此，我们利用马尔可夫性质得到ef（t+s，Xxs）=e-rδEPXxs+δ≤ b（1）（t+s+δ）财政司司长= E-rδPXxs+δ≤ b（1）（t+s+δ）（3.39）带s∈ [0, ε/2]. 对于所有x>x和s∈ [0，ε/2]表示α：=b（1）（t+δ），在（3.39）中的期望值从下到下是有界的，即b（1）正在增加，即ef（t+s，Xxs）≥E-rδP（Xxs+δ）≤ α) ≥ E-rδPBs+δ≤σln（α/x）-c（δ+ε/2）（3.40）=e-rΔΦσ√δ+sln（α/x）-c（δ+ε/2）≥E-rΔΦσ√δln（α/x）-c（δ+ε/2）=:^F（x），在上一个不等式中，我们使用了ln（α/x）<0，Φ增加。从（3.40）中，利用富比尼定理，我们得到Ehzε/2e-rsf（t+s，Xxs）dsi=Zε/2e-rsEf（t+s，Xxs）ds≥εe-对于x>x，rε/2^F（x）（3.41）。我们现在收集边界（3.35），（3.36），（3.38）和（3.41）来获得v（2）（t，x）- G（t，x）（3.42）≤2CΦσ√εln（x/x）+cε- CΦσ√δ自然对数α/x- c（δ+ε/2）其中C=C（ε）>0，与x无关。由于t，x，ε与δ>ε固定，我们取极限为x→ ∞ 而且不难用L\'H^opital的规则来验证→∞Φσ√εln（x/x）+cεΦσ√δ自然对数α/x- c（δ+ε/2）= Climx→∞φσ√εln（x/x）+cεφσ√δ自然对数α/x- c（δ+ε/2）=Climx→∞xβexpσ1/δ - 1/ε自然对数= 0对于合适的正常数β>0，用φ：=Φ表示标准正态密度函数。因此，（3.42）中的负项对x的大值起主导作用，我们得出了一个矛盾。这意味着c（2）（t）<+∞ 尽管如此，t∈ （0，Tδ）的任意性。第2步。它仍然可以证明c（2）（0）<+∞ 也

为此，我们回顾了Remark2。注意V（2）（0，x；Tδ）- G（0，x；Tδ）=V（2）（λ，x；Tδ+λ）- G（λ，x；Tδ+λ）表示λ>0。因此，如果c（2）（0）<+∞.摆动选项的最佳运动范围173.1.3。V（2）的自由边界问题和边界的连续性为了为V（2）的自由边界问题奠定基础，我们首先在下一个建议中说明，值函数V（2）在最佳边界b（2）和c（2）上都满足所谓的光滑条件。提案3.11。尽管如此，t∈ [0，Tδ）映射x7→ V（2）（t，x）是跨越最优边界的，即V（2）x（t，b（2）（t）+=Gx（t，b（2）（t））（3.43）V（2）x（t，c（2）（t）-) = Gx（t，c（2）（t））。（3.44）证据。我们只提供（3.44）的完整证明，因为（3.43）的完整证明可以以类似的方式获得。修正0≤ t<tδ，集x:=c（2）（t）。很明显，对于任意ε>0，它是hodsV（2）（t，x）- V（2）（t，x）-ε)ε≤G（t，x）- G（t，x）-ε） ε和hencelim supε→0V（2）（t，x）- V（2）（t，x）-ε)ε≤ Gx（t，x）。（3.45）为了证明逆不等式，我们表示τε=τ*（t，x-ε） 哪个是V（2）（t，x）的最佳停车时间- ε). 然后利用布朗运动的零重对数定律和t7→ c（2）（t）是递减的，我们得到τε→ 0为ε→ 应用中值定理得到εV（2）（t，x）- V（2）（t，x）-ε)≥εEhe-rτεG（t+τε，Xxτε）- G（t+τε，Xx）-ετε)我≥εEhe-rτεGx（t+τε，ξ）Xxτε- Xx-ετεi=Ehe-rτεGx（t+τε，ξ）Xτεi和ξ（ω）∈ [Xx]-ετε（ω），Xxτε（ω）]∈ Ohm. 因此回顾Gxis有界（参见（3.15））和Xτε→ 1 P-a.s.作为ε→ 0，利用支配收敛定理得到了lim-infε→0V（2）（t，x）- V（2）（t，x）-ε)ε≥ Gx（t，x）。

（3.46）最后结合（3.45）和（3.46），并使用V（t，·）是凸的（见命题3.4）得到（3.44）。基于V（2）的强马尔可夫性质和连续性的标准参数（见[25，第7节]，第131页）暗示V（2）∈ C1，2在延拓集C（2）中，它解决了以下自由边界问题V（2）t+ILXV（2）-rV（2）=0 in C（2）（3.47）V（2）（t，b（2）（t））=G（t，b（2）（t））表示t∈ [0，Tδ]（3.48）V（2）（T，c（2）（T））=G（T，c（2）（T））表示T∈ [0，Tδ]（3.49）V（2）x（T，b（2）（T）+=Gx（T，b（2）（T））对于T∈ [0，Tδ）（3.50）V（2）x（T，c（2）（T）-) = Gx（t，c（2）（t））表示t∈ [0，Tδ）（3.51）V（2）（T，x）≥ G（t，x）表示（t，x）∈ [0，Tδ]×（0，∞). （3.52）摆动选项18的最佳运动边界由于我们上一节的结果，连续集C（2）和停止集D（2）由C（2）={（t，x）给出∈ [0，Tδ）×（0，∞) : b（2）（t）<x<c（2）（t）}（3.53）D（2）={（t，x）∈ [0，Tδ]×（0，∞) : 十、≤ b（2）（t）或x≥ c（2）（t）}。（3.54）注意，（3.48）-（3.52）后面是b（2）和c（2）的定义，以及命题3.11。对于不熟悉的读者，我们在附录中给出了（3.47）的标准证明。现在我们继续证明边界b（2）和c（2）确实是时间的连续函数，并遵循[10]中提出的方法。定理3.12。最优边界b（2）和c（2）在[0，Tδ]上是连续的。证据证据分三步提供。第一步。通过b（2）和c（2）的单调性和有界性，我们获得了它们的右连续性（见命题3.10证明中步骤1的第一段）。第二步。现在我们证明了b（2）也是左连续的。假设存在t∈ （0，Tδ）使得b（2）（T-) < b（2）（t）其中b（2）（t）-) 表示t处b（2）的左极限。

假设x<x等于b（2）（t）-) < x<x<b（2）（t）和h>0，使t>h，然后定义域：=（t-h、 t）×（x，x）并用PD是由水平段[t]形成的抛物线边界-h、 t]×{xi}，i=1，2，由垂直的{t}×（x，x）决定。回想一下，bothG和V（2）都属于C1，2（D），从（3.10），（3.47）和（3.48）可以得出u:=V（2）- 使美国∈ C1,2（D）∩C（D），它解决了边值问题ut+ILXu- ru=-H在D上，u=0在D上警察局。（3.55）用C表示∞c（a，b）连续函数的集合，其在（a，b）上具有连续导数和紧支撑，可在有限的时间内多次微分。拿∈ C∞c（x，x）使得≥ 0andRxxа（x）dx=1。将（3.55）乘以φ，再乘以我们得到的部分zxxφ（x）ut（t，x）dx=-Zxxu（t，x）（IL）*X~n（X）- r~n（x））dx-ZxxH（t，x）~n（x）dx（3.56）代表t∈ （t）-h、 t）和IL*Xdenoting ILX的形式伴随。自从ut≤ 在命题3.6的证明中，（3.56）的左边是负数。然后采取限制措施→ 然后利用支配收敛定理，我们发现≥ -Zxxu（t，x）（IL）*X~n（X）- r~n（x））dx-ZxxH（t，x）~n（x）dx（3.57）=-ZxxH（t，x）~n（x）dx，其中u（t，x）=0表示x∈ （x，x）乘（3.55）。我们现在观察到H（t，x）<-` 为了x∈ （x，x）和一个合适的`>0乘（3.10），因此（3.57）导致一个矛盾，它必须是b（2）（t）-) = b（2）（t）。第三步。为了证明c（2）是左连续的，我们可以使用与上面第2步中相同的参数，因此为了简洁起见，我们省略了它们。挥杆选项的最佳练习范围193.1.4。期权价值的EEP表示和边界方程最后，我们能够找到问题（3.5）的V（2）的早期行使溢价（EEP）表示，以及自由边界b（2）和c（2）的耦合积分方程组。

下一个定理需要以下函数：J（t，x）：=ExG（tδ，XTδ-t） ，（3.58）K（b（1）、b（2）、c（2）；x、 t，s）：=Px（Xs）≤ b（2）（t+s））（3.59）+e-rδPxXs≤ b（2）（t+s），Xs+δ≤ b（1）（t+s+δ）+E-rδPxXs≥ c（2）（t+s），Xs+δ≤ b（1）（t+s+δ）.定理3.13。（3.5）的值函数V（2）具有以下表示V（2）（t，x）=e-r（Tδ）-t） J（t，x）+rKZTδ-te-rsK（b（1）、b（2）、c（2）；x、 t，s）ds（3.60）代表t∈ [0，Tδ]和x∈ (0, ∞). （3.53）和（3.54）的最优停止边界b（2）和c（2）是求解耦合非线性积分方程组SG（t，b（2）（t））=e的唯一连续函数偶-r（Tδ）-t） J（t，b（2）（t））+rKZTδ-te-rsK（b（1）、b（2）、c（2）；b（2）（t），t，s）ds（3.61）G（t，c（2）（t））=e-r（Tδ）-t） J（t，c（2）（t））+rKZTδ-te-rsK（b（1）、b（2）、c（2）；c（2）（t），t，s）ds（3.62），其中b（2）（tδ）=c（2）（tδ）=K和b（2）（t）≤ K≤ c（2）（t）代表t∈ [0，Tδ]。证据第一步——存在。这里我们证明了b（2）和c（2）解（3.61）-（3.62）。我们首先假设以下条件成立：（i）V（2）在C（2）和D（2）中分别是C1,2，V（2）t+ILXV（2）-rV（2）在C（2）上局部有界∪ D（2）（参见（3.47）-（3.52）和（3.10））；（ii）由于单调性，b（2）和c（2）是有界变化的；（iii）x7→ V（2）（t，x）是凸的（命题3.4的再证明）；（iv）t 7→ V（2）x（t，b（2）（t）±）和t7→ V（2）x（t，c（2）（t）±）是连续的∈ [0，Tδ）乘以（3.50）和（3.51）。因此对于任何（T，x）∈ [0，Tδ]×（0，∞) 和s∈ [0，Tδ-t] 我们可以在[24]的曲线上应用局部时空公式来计算-rsV（2）（t+s，Xxs）（3.63）=V（2）（t，x）+Mu+Zse-ru（V（2）t+ILXV（2）-rV（2））（t+u，Xxu）IXxu6={b（2）（t+u），c（2）（t+u）}du=V（2）（t，x）+Mu+Zse-鲁（t+u，Xxu）嗨Xxu<b（2）（t+u）+我Xxu>c（2）（t+u）idu=V（2）（t，x）+Mu- rKZse-俄罗斯1+f（t+u，Xxu）我Xxu<b（2）（t+u）杜- rKZse-联阵（t+u，Xxu）IXxu>c（2）（t+u）du，其中我们使用（3.10）、（3.47）和平滑条件（3.50）-（3.51），其中M=（Mu）u≥0是一个真正的鞅。