相对套利的优化

根据（2.1），如果位移u（t+1）之间的内积- ut是市场的重量比。这意味着，平均而言，投资组合对表现良好的资产的权重高于其他市场。6 T.-K.L.Won在本文的第一部分，我们将研究由“契约支配”关系定义的投资组合层次结构。定义2.2（对契约的支配）。设π和τ为。我们说τ在紧集上支配π（写τ） π） 对于K的任一紧子集（n） 存在一个常数C=C（π，τ，K）≥ 0使得对于任何路径{u（t）}t≥0 K、 我们有（2.2）logVτ（t）Vπ（t）≥ -C、 t≥ 因此，如果τ π、 在多样性条件u（t）下，π的增长速度不能快于τ的增长速度∈ K、 对于任意紧致子集K，关系τ π定义投资组合图类中的偏序。我们在（2.2）中包含对数，因为当我们讨论函数生成的投资组合时，这个公式更方便。这种定义与[PW14]中引入的伪套利定义密切相关。下面给出的定义略微扩展，以允许任意基准投资组合。定义2.3（伪套利）。设π和τ为组合，K为子组合（n） ，不一定紧凑。如果下列性质成立，我们说τ是K上关于π的伪套利：（i）存在常数C=C（π，τ，K）≥ 0，使得（2.2）对任意序列{u（t）}t有效≥0 K.（ii）存在一个序列{u（t）}t≥0 K沿着哪个极限→∞对数V（t）=∞.我们请读者参考[PW14]了解更多关于定义的讨论。这里我们注意到要求{u（t）}t≥0 K在（i）中是一种多样性条件，是指特定的投资组合，以及（ii）指存在充分的波动性。以下是定义的简单结果。引理2.4。

设π和τ为。假设τ是相对于所有j的Kj上π的伪套利，其中{Kj}是（n） 。然后τ在紧集上支配π。定义2.5（最大投资组合）。让我们成为一个投资组合和π的家族∈ 我们说，如果S中没有投资组合，π在S中是最大的，除了π本身，它在紧集上支配π。请注意，在给定类别中，最大投资组合可能不存在，也可能不唯一。在第四节中，我们将研究最大投资组合，其中S是具有生成函数的投资组合类。根据引理2.4，如果π是最大的，则在所有有效的大紧子集上不存在关于π的伪套利投资组合（n） 。从这个意义上说，一个最大的投资组合是一个仅假设多样性和充分的波动性是不可能击败的投资组合。备注2.6。“紧集上的支配”关系指的是Portfolios的全局性质。即使π是最大的，对于固定子集K （n） 只要{u（t）}，就有可能找到一个在长期内超过π的投资组合τ（取决于K） K.例如，当n=2时，如果{u（t）}是有效的可变的并且保持在某个区间，则可以证明熵加权投资组合在长期内优于等加权投资组合,. 然而，这需要事先知道thatK。π的极大性要求在所有紧致集K上没有一个τ能打败π （n） 。相对套利优化72.2。功能生成的投资组合。功能生成的投资组合在[Fer99]中首次以一般形式引入。我们将遵循[PW14，第2节]中的内在处理，强调与凸分析的关系。在整篇论文中，我们将严重依赖凸分析的结果，标准参考文献为[Roc97]。定义2.7（功能生成的投资组合）。设π为投资组合，Φ：（n）→ (0, ∞) 这是一个凹函数。

我们说π是由Φif theinequality（2.3）1生成的+π（p）p，q- P≥Φ（q）Φ（p）适用于所有p，q∈ （n） 。我们称Φ为π的母函数。我们用fg表示所有函数生成的投资组合（π，Φ）的集合，其中π由凹函数Φ生成。众所周知（见[PW14，命题5]）生成函数在正乘法常数下是唯一的，因此在上述定义中使用“the”是合理的（在常数下）。另一方面，根据引理2.8（ii），非光滑凹函数Φ产生了多个投资组合，但它们仅在Φ不可微（即超差）的集合上有所不同 对数Φ（p）有多个元素），该集合有勒贝格度量零（相对于（n） 根据[Roc97，定理25.5]。请注意，这里的母函数定义为凹形，而在[Fer02]中，非凹形母函数是允许的。关于我们定义的合理性，请参见下面的定理2.10和命题3.3。设Φ为上的凹函数（n） 和p∈ （n） 。Φatp的超差是集合Φ（p）由（2.4）定义Φ（p）={ξ∈ T（n） ：Φ（p）+hξ，q- 圆周率≥ Φ（q）Q∈ （n） 哦。如果Φ是凹函数和正函数，则可以证明logΦ也是凹函数，和（2.5） 对数Φ（p）=Φ（p）Φ（p）=Φ（p）ξ：ξ∈ Φ（p）.引理2.8。[PW14，命题6]设Φ为上的正凹函数（n） 。（i） 设π为Φ生成的投资组合。然后是p∈ （n） ，切线向量v=（v，…，vn）由（2.6）vi=πi（p）pi定义-nnXj=1πj（p）pj，i=1。。。，n、 属于 对数Φ（p）。（ii）相反，如果v∈  对数Φ（p），然后向量π=（π，…，πn）由（2.7）πipi=vi+1定义-nXj=1Pvj，i=1。。。，n、 是一种（n） 。特别是，任何可测量的选择 对数Φ（a波雷尔可测图ξ：（n）→ T（n） 使得ξ（p）∈  所有p的对数Φ（p）∈ （n） ）通过（2.7）一个由公司产生的投资组合进行定义。

（根据[RW98，定理14.56]，总有一个可测量的选择 对数Φ）8 T.-K.L.WONGMoreover，操作π7→ v和v 7→ 由（2.6）和（2.7）定义的π彼此相反。从（2.7）可以看出，Fernholz的定义（见[Fer02，定理3.1.5]）与我们的定义一致。如果π由Φ生成，则权重比向量场π为π（n） 其势函数由生成函数Φ的对数给出。这里有一个精确的陈述，细节可以在[PW14，定理8]的证明中找到。让π成为一个投资组合。Ifγ：[0,1]→ （n） 是一条直线路径吗（n） 我们让（2.8）Iπ（γ）：=Zγπ≡ZnXi=1πi（γ（t））pi（γ（t））γi（t）dt是重量比沿γ的线积分。如果π是函数生成的，则重量比πpis是保守的，即每当γ闭合时，该线积分为零，即γ（0）=γ（1）。此外，对于任何p，q∈ （n） 我们有（2.9）对数Φ（q）- logΦ（p）=Iπ（γ），其中γ是从p到q的任何分段线性路径。在经典术语中，logΦ是权重比向量场的势函数。Fernholz的分解（见下面的引理3.1）表明，对数相对值logvπ（t）可以分解为对数Φ（u（t））增量和与市场波动性相关的非递减过程之和。生成函数的凹度将根据[PW14]中介绍的L收敛性进行测量。定义2.9（L-散度）。设π为凹函数Φ生成的投资组合：（n）→ (0, ∞). 这对（π，Φ）的L-散度泛函是函数T：（n） ×（n）→ [0, ∞) 定义为（2.10）T（q | p）=log1 +π（p）p，q- P- 对数Φ（q）Φ（p），p，q∈ （n） 。利用（2.3），可以证明T（q | p）≥ 0和T（q | p）=0，仅当Φ是包含p和q的线段的一部分时。

T（·|·）是信息几何中使用的伯格曼散度的对数版本（因此是“L”）（见[AC10]），应该被认为是Φ的凹度的度量。根据这些定义，[PW14]的主要结果可总结如下。定理2.10（相对于市场投资组合的伪套利）。[PW14，定理1，定理2]投资组合π是相对于凸子集K上的市场投资组合u的伪套利 （n） 当且仅当π由凹函数Φ生成：（n）→ (0, ∞) 在K上是有界的，T（·|·）在K×K上是不相同的。而且，这些组合对应于一个最优运输问题的解。在第4节中，我们将重点讨论带有Cgeneratingfunctions的功能生成投资组合。定义2.11。（i） 我们用fg表示生成函数为Cand凹的函数生成投资组合的集合。FGis的一个要素由相对套利优化9表1表示。功能生成的PortfolioName投资组合权重示例生成功能Marketπi（p）=piΦ（p）=1多样性加权（0<r<1）πi（p）=priPnj=1prjΦ（p）=Pnj=1prj次数加权πi（p）=nΦ（p）=（pp··pn）熵加权πi（p）=-pilog piPnj=1-pjlog pjΦ（p）=pj=1-pjlog pjeitherπ，Φ或（π，Φ），其中π由Φ生成。在这种情况下，π必须由（1.1）决定。（ii）正余弦函数Φ（n） 如果它是对称的，即Φ（p，…，pn）=Φ（pσ（1）。。。，pσ（n））对于所有p∈ （n） 以及{1，…，n}的任何置换σ。多样性度量由Fernholz在[Fer99，第4节]中提出。表1给出了一些示例，更多示例见[Fer02，第3.4节]。多样性测量给出了资本分布u（t）=（u（t）。。。，un（t））并生成投资组合。3.

基准测试功能生成的portfolioFix和凹函数Φ生成的投资组合π：（n）→ (0, ∞) 并称之为基准投资组合。表1给出了我们心目中的一些例子。所有这些投资组合都是通过多样性度量生成的。正如引言中提到的，可以证明，在多样性和有效波动性的假设下，许多功能生成的投资组合（包括上述三个非平凡的例子）在足够长的时间内表现优于市场。由于这些假设似乎在经验上成立，许多功能生成的投资组合在长期内表现优于市场。参见[Fer02，第6章]中使用美国股市数据的几个案例研究。由于这些Portfolio不包含专有的建模，表现合理且易于复制，因此它们也可以作为替代基准，如[FGH98]和[HCKL11]等从业者论文所述。人们很自然地会问，我们是否可以针对这些投资组合构造相对或伪套利。3.1. 费恩霍尔茨分解。功能生成投资组合的相对价值过程满足一个优雅的分解公式。这是（2.10）和（2.1）的直接结果，可以由第2.2节中讨论的向量场解释来驱动。引理3.1（费恩霍尔茨分解）。[Fer99，定理3.1][PW14，引理7]如果π是由凹函数Φ生成的，相对值过程Vπ有分解（3.1）logvπ（t）=logΦ（u（t））Φ（u（0））+a（t），10t.-K.L.WONGtlog Vπ（t）a（t）oscK（logΦ）图1。功能生成投资组合的假设绩效。如果市场重量u（t）保持在子集K内（n） ，相对值过程将保持在虚线曲线内，虚线曲线是漂移过程A（t）的垂直平移。

“香肠”的宽度由Osck（logΦ）=supp，q定义的K上对数Φ的振荡给出∈K |对数Φ（q）- 对数Φ（p）|。式中A（t）=Pt-1k=0T（u（k+1）|u（k））是非递减的。我们称A（t）为投资组合的漂移过程。分解的关键思想是，在对数Φ（u（t））和对数Φ（u（t））大致相等的任何时期[t，t]，投资组合的表现将超过市场相当于A（t）- A（t），参见图1中的说明。由于这个原因，漂移过程A（t）可以被认为是投资组合捕获的市场波动的累积量。充分挥发的条件要求A（t）作为t无限增长→ ∞. 实证研究（例如，参见[FK09，图11.2]）表明，根据投资组合和市场波动性，A以大致线性的速率增加。因此，只要对数Φ（u（t））的波动保持有界，长期来看，漂移过程将占主导地位，投资组合的表现将优于市场。对boundlogΦ（u（t））施加多样性假设。对于（比如）熵加权投资组合，logΦ（u（t））的有界长度为max1≤我≤nui（t）≤ 1.- 对于一些δ>0的情况，我们可以在定义2中取K。3和定理2.10是{p∈ （n） ：max1≤我≤npi≤ 1.- δ} （这是[Fer99]和[FK09]中对多样性的定义）。对于其他投资组合，如等权投资组合，这个条件是不够的，我们要求u（t）保持在（n） 。因此，集合K是特定于投资组合的。Fernholz的分解在作者编写的R包RelValAnalysis（可在CRAN上获得）中实现。3.2. 对契约的支配。在[PW14]中，关于市场投资组合的伪套利被描述为一种称为乘法循环单调性（MCM）的性质。

它是凸分析中循环单调性的一种变体（见[Roc97，第24节]），相当于特殊成本函数的非最佳运输中的c-循环单调性。直观地说，这种特性要求对相对套利进行再优化，即每当市场权重经过一个周期时，投资组合的表现都优于市场投资组合。很自然，我们可以将定义扩展如下。定义3.2（相对乘法循环单调性-RMCM）。设π和τ为。我们说τ满足与π相关的乘法循环单调性，如果在任何离散循环u（0），u（1）。。。，u（m），u（m+1）=u（0）英寸（n） ，我们有（3.2）Vτ（m+1）≥ Vπ（m+1）。在[PW14]中，我们证明了功能生成投资组合的特征是相对于市场投资组合的MCM属性。提议3.3。[PW14，命题4]相对于市场投资组合，投资组合满足MCM，当且仅当其由正凹函数生成时。对于任意函数生成的基准投资组合，我们可以将命题3.3概括如下。这个结果提供了partialorder的等价公式 更容易合作。该证明类似于[PW14]的命题4和定理1。定理3.4。设π为凹函数Φ生成的投资组合：（n）→(0, ∞), 让τ成为一个投资组合。以下陈述是等效的。（i） τ在紧集上支配π，即τ π.（ii）τ满足相对于π的MCM。（iii）τ由凹函数ψ生成，且（τ，ψ）的L-散度Tτ（·|·）支配（π，Φ）的Tπ（·|·），即（3.3）Tτ（q | p）≥ Tπ（q | p）对于所有p，q∈ （n） 。证据（一）=> （ii）：假设τ在紧集上支配π。如果τ相对于π不满足ymcm，我们可以找到一个离散循环{u（t）}m+1t=0，使得η：=Vτ（m+1）/Vπ（m+1）<1。

考虑在这个循环中反复出现的市场权重序列，即对于所有t，u（t）=u（t+（m+1））。对于所有k，则Vτ（k（m+1））Vπ（k（m+1））=ηkF≥ 当k为0时，比值趋于0→ ∞. 这与假设τ相矛盾 π. 因此，如果τ在紧集上支配π，那么τ满足相对于π的MCM。（二）=> （iii）：假设τ满足相对于π的MCM。自Vu（·）≡ 1和π满足相对于市场组合的MCM（根据命题3.3），τ满足相对于市场组合的MCM。根据命题3.3，τ有一个母函数ψ。为了证明（3.3），让p，q∈ （n） 设{q=u（1），…，u（m），u（m+1）=p}是线段[q，p]的一个分区。如果u（0）=p，{u（k）}m+1k=0是一个循环，它从p开始，跳到q，然后沿着分区返回p。然后，12 T-K.L.WONGRMCM不等式（3.2）意味着1 +τ（p）p，q- PmYk=11 +τ（u（k））u（k），u（k+1）- u（k）≥1 +π（p）p，q- PmYk=11 +π（u（k））u（k），u（k+1）- u（k）.（3.4）两边都有圆木，我们有圆木1 +τ（p）p，q- P+mXk=1log1 +τ（u（k））u（k），u（k+1）- u（k）≥ 日志1 +π（p）p，q- P+mXk=1log1 +π（u（k））u（k），u（k+1）- u（k）.根据凹函数微积分的基本定理和泰勒近似，我们可以选择一个网格大小为零的分区序列，沿着这个序列，k=1log1 +π（u（k））u（k），u（k+1）- u（k）→Zγπudu=logΦ（p）Φ（q），mXk=1log1 +τ（u（k））u（k），u（k+1）- u（k）→Zγτudu=对数ψ（p）ψ（q），其中γ是从q到p的线段。取（3.4）中的相应极限，我们得到所需的不等式（3.3）。（三）=> （i） ：设{u（t）}t≥0可以是任何市场权重序列。通过引理3.1我们可以写出gvτ（t）Vπ（t）=logψ（u（t））/ψ（u（0））Φ（u（t））/Φ（u（0））+（Aτ（t）- Aπ（t）），其中Aτ和Aπ分别是τ和π的漂移过程。通过（iii），Aτ（t）-π（t）在t中是不递减的。

由于logψ（u（t））/ψ（u（0））Φ（u（t））/Φ（u（0））是有界的，只要u（t）保持在（n） ，τ在紧集上支配π。 定理3.4减少了对偏序τ的研究 π比较母函数的相对凹度，其中凹度是用散度来衡量的。在本文中，我们主要研究两次连续可微的母函数。然后（3.3）的极小版本会导致二阶微分不等式。定义3.5（漂移二次型）。Let（π，Φ）∈ 前景。其漂移二次型由Hπ和HΦ表示，由Hπ（p）（v，v）定义：=-12Φ（p）赫斯Φ（p）（v，v），p∈ （n） ，v∈ T（n） 。这里的HessΦ是Φ的Hessian，被认为是二次型。定义为（3.5）赫斯Φ（p）（v，v）=滴滴涕Φ（p+tv）t=0。相对套利的优化13引理3.6。Let（π，Φ），（τ，ψ）∈ 设Tπ和Tτ为它们相应的发散量。Ifτ π，因此Tτ（q | p）≥ Tπ（q | p）对于所有p，q∈ （n） ，然后是hτ≥ Hπ的意义是（3.6）Hτ（p）（v，v）≥ 所有p的Hπ（p）（v，v）∈ （n） 和v∈ T（n） 。证据引理直接来自泰勒近似（3.7）Tπ（p+tv | p）=-12Φ（p）赫斯Φ（p）（电视，电视）+oT.p在哪里∈ （n） ，v是切向量，t∈ R很小。 作为引理3.6的结果，为了证明投资组合π∈ FG在FG中是最大的，这足以表明它的漂移二次型Hπ不受其他投资组合的支配（在（3.6）的意义上）。这是我们在第4节中用来证明定理1.1的方法。然而，简单的例子表明，Hτ≥ Hπ并不意味着Tτ≥ Tπ。例3.7（多样性加权投资组合）。对于0<r<1，本节开头引入的多样性加权投资组合π由函数Φ（p）生成=nXj=1prjr、 很容易证明Φ小于1。设τ是由ψ：=Φ生成的投资组合- 1.