相对套利的优化

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英文标题：
《Optimization of relative arbitrage》
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作者：
Ting-Kam Leonard Wong
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In stochastic portfolio theory, a relative arbitrage is an equity portfolio which is guaranteed to outperform a benchmark portfolio over a finite horizon. When the market is diverse and sufficiently volatile, and the benchmark is the market or a buy-and-hold portfolio, functionally generated portfolios introduced by Fernholz provide a systematic way of constructing relative arbitrages. In this paper we show that if the market portfolio is replaced by the equal or entropy weighted portfolio among many others, no relative arbitrages can be constructed under the same conditions using functionally generated portfolios. We also introduce and study a shaped-constrained optimization problem for functionally generated portfolios in the spirit of maximum likelihood estimation of a log-concave density.
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中文摘要：
在随机投资组合理论中，相对套利是一种股票投资组合，保证在有限的时间内表现优于基准投资组合。当市场多样化且波动性足够大，且基准是市场或买入并持有投资组合时，Fernholz引入的功能生成投资组合提供了构建相对套利的系统方法。在本文中，我们证明了如果市场投资组合被等权或熵权投资组合所取代，那么在相同条件下，利用函数生成的投资组合就不能构造相对套利。我们还引入并研究了一个基于对数凹密度极大似然估计的函数生成投资组合形状约束优化问题。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Optimization_of_relative_arbitrage.pdf (561.64 KB)

2022-5-6 12:42:30 上传

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关键词：Optimization Multivariate Quantitative Constructing mathematics

相对套利的优化——KAM LEONARD WONGAbstract。在随机投资组合理论中，相对套利是一种等额投资组合，它保证在有限的期限内表现优于基准投资组合。当市场多样且波动剧烈，且基准是市场或买入并持有投资组合时，Fernholz引入的功能生成投资组合提供了构建相对套利的系统方法。在本文中，我们证明了如果用等权或熵权投资组合代替市场投资组合，在相同的条件下，不能用函数生成的投资组合构造相对论。我们还引入并研究了一个基于对数凹密度极大似然估计的函数生成投资组合形状约束优化问题。1.简介随机投资组合理论的一个主要目的（见[Fer02]和[FK09]的简介）是在股票市场行为的最小和现实假设下发现相对套利机会。以一个没有股票的股票市场为例。时间t时股票i的市场权重ui（t）是股票i的市值除以市场总市值。向量u（t）=（u（t）。。。，un（t））的市场权重取开放单位单纯形中的值（n） 定义为（n） =（p=（p，…，pn）：pi>0，nXi=1pi=1）。对于每个t，投资组合经理在（n） ，在哪里（n） 是关闭（n） 。它的组成部分代表了当前归属于每只股票的资本金的比例。我们假设投资组合是自我融资的，且全部为多头，因此禁止卖空。市场投资组合是指t时投资组合权重为u（t）的投资组合。这是一个买入并持有的投资组合，因为分期付款后无需交易。

一般来说，交易需要维持targetportfolio权重。与地平线[0，t]上的市场投资组合相关的相对套利是一种投资组合，保证在时间t上表现优于市场投资组合。日期：2014年11月26日。关键词和短语。随机投资组合理论，相对套利，功能生成投资组合，形状约束优化，投资组合管理。作者要感谢Soumik Pal在论文准备过程中的不断指导和支持，Tatiana Toro对定理1.1的证明进行了有益的讨论，以及Jiashan Wang对数值优化的帮助。他还感谢匿名裁判，他发现了支持条件原始定义中的错误，并提出了当前定义。裁判的宝贵意见大大改进了论文的陈述。2 T.-K.L.WONGWe说，如果max1≤我≤nui（t）≤ 1.- 对于某些δ>0和所有t，或更一般地，如果u（t）∈ K表示所有t，其中K是（n） 。如果市场权重的累积波动性在适当的意义上增长到一致性，则市场将充分波动。假设市场多样且波动性很大，就市场投资组合而言，在有限（但可能很长）的期限内构建相对套利是可能的；例如参见[FK09]、[PW13]及其参考文献。事实上，可以构造相对套利，其投资组合权重是当前市场权重的确定函数。特别是，不需要预测预期收益和协方差矩阵。这些投资组合在[Fer99]中首次引入，据说是功能性生成的。

这与许多学者和从业者的观察结果一致（例如参见[FGH98]、[DGU09]和[BNPS12]），即简单的投资组合规则，如平等和多样性加权投资组合，往往在长期内击败市场。直观地说，这些投资组合的工作原理是捕捉市场波动，同时控制相对于市场投资组合的最大下降（主要观点将在第3.1节中进行审查）。在[PW14]中，我们证明了相反的情况：依赖于当前市场权重的相对套利投资组合（更准确地说是伪套利，见下文）必须是函数生成的。我们强调，相对套利投资组合应该在满足多样性和有效性的市场权重过程的所有可能实现中表现良好。[PW14]中利用了这一观察结果，以便在不假设市场权重过程的任何随机模型的情况下，采用几何、路径方法。现有的理论没有完全解决两个重要问题。首先，如果市场投资组合被另一个基准所取代，会发生什么？在[Str12]中，功能生成投资组合的概念和关键的“主方程”（见下面的引理3.1）被扩展到任意基准投资组合。然而，人们对在多样性和有效波动性等一般条件下是否存在相对套利知之甚少。

例如，我们能否在一个多样化且高度波动的市场中，通过功能生成的投资组合击败同等权重的投资组合，就像功能生成的投资组合击败市场投资组合一样？更一般地说，是否存在一个相对论的有限层次？如果只假设多样性和充分的波动性，是否存在一个无法击败的“最大投资组合”？第二，对于相对套利和功能性生成的投资组合，是否有一个合理且适用的优化理论？这一理论显然引起了人们的极大兴趣，费恩霍尔茨的专著[Fer02，Problems 3.1.7-8]中已经提出了这个问题。据我们所知，功能生成投资组合的优化进展有限。参见[PW13]了解twoasset案例中的尝试，参见[PW14]了解使用最佳传输的方法。在理论方面，如果给出市场模型，有时可以描述相对于市场或给定交易策略的高回报率，这可以在给定的时间范围内使用非积极投资规则实现。参见[FK10]了解马尔可夫市场的情况，参见[FK11]了解更一般的设置，该设置允许不确定性考虑漂移和扩散系数，以及[Ruf11]，该设置将马尔可夫交易策略的最佳相对套利表示为三角洲对冲。对于功能生成投资组合的优化，一个主要困难在于功能生成投资组合的类别是一个函数空间，优化必须是非参数的。理想情况下，给定历史数据或相对套利3市场权重过程优化的随机模型，我们希望选择一个在适当约束下的最优功能生成的投资组合对象。本文试图回答这两个问题。

在本文中，我们用[PW13]中的伪套利来解释相对套利。这是一个无模型的概念，具体定义将在第2节中说明。我们只考虑当前市场权重的确定函数的投资组合，因此投资组合由一个映射π表示：（n）→ （n） 。这意味着当当前市场权重为u（t）=p时，投资组合经理总是选择π（p）∈ （n） ，不论之前的价格变动。在[PW14]之后，本文中时间是离散的，市场由确定性序列{u（t）}表示∞t=0，带状态空间（n） 。不需要潜在的概率空间。关于相对套利的层次结构，我们首先定义了投资组合之间的偏序。如果π是一个投资组合，我们将Vπ（t）设为投资组合中1美元的增长与市场投资组合中1美元的增长之比，并称为相对价值过程。设π，τ：（n）→ （n） 做投资组合。我们说τ在紧集上支配π（写τ） π） 对于任何紧集K （n） 存在一个常数ε=ε（π，τ，K）>0，使得Vτ（t）/Vπ（t）≥ ε表示所有序列的市场权重{u（t）}∞t=0取K值。也就是说，τ相对于π的最大下降是一致有界的，与该区域的市场运动无关。由于紧集K是任意的，这是一个全局性质，定义了投资组合之间的偏序。如果S是一个投资组合族，我们说一个投资组合π∈ 如果不存在除π本身以外的投资组合，则S在S中是最大的，π本身在紧集上支配π，即τ∈ S和τ π意味着τ=π。在第2.1节中，我们将把这种偏序与伪套利联系起来。

在此，我们注意到，如果τ在所有不同且波动剧烈的市场中是相对于π的相对套利或伪套利，则τ在π的影响中占主导地位的情况必然存在。设π：（n）→ （n） 是一个投资组合，Φ是一个正凹函数（n） 。我们说π是用生成函数Φif为allp函数生成的∈ （n） ，坐标比π（p）/p的向量定义了p处凹函数对数Φ的超梯度（严格定义见下文定义2.7）。如果Φ是C（两次连续可微分），那么π必然由（1.1）πi（p）=pi给出1+De（一）-plogΦ（p）, i=1。。。，n、 p∈ （n） 。这里是德（一）-pis是e（i）方向上的方向导数-p、 其中e（i）是（n） 在第i个方向。例如，市场投资组合由常数函数Φ（p）生成≡ 1.我们说Φ是多样性的度量，如果它是C对称的（在坐标置换下不变）。删除=NN成为…的重心（n） 。对于连续可微的投资组合，以下定理给出了投资组合最大的充分条件。定理1.1。设π为多样性度量Φ生成的投资组合。如果（1.2）ZΦ（te（1）+（1- t） e）dt=∞,那么π在投资组合τ类中是最大的：（n）→ （n） 这些都是可以持续区分的。4 T.-K.L.Wong该有效条件由等熵加权投资组合（定义见第3节表1）和许多其他投资组合满足。对于市场投资组合，生成函数是常数，因此（1.2）中的积分收敛。在第3节中，我们将展示如果π是函数生成的，而τ在π的碰撞中占主导地位，那么τ必须是函数生成的。因此，我们可以重新表述理论1。1如果（1.2）成立，那么π在具有Cgenerating函数的函数生成投资组合族中是最大的。

定理1.1的结果如下。推论1.2。在定理1.1的设置下，假设τ是π的一个Cportfolio notequal。然后是一个紧凑的集合K （n） 以及市场权重序列{u（t）}t≥0取K值，使得τ相对于π的投资组合值趋于零，因为t趋于完整。我们可以这样解释推论1.2：如果π是最大的，τ6=π，那么从长远来看，就有可能找到一个多样且高度波动的市场，其中π超过τ。从这个意义上说，对于一个满足π（1.2）的投资组合，不可能在所有多样且高度波动的市场中找到一个相对于π的（确定性）投资组合。定理1.1将通过比较投资组合生成函数的相对凹度来证明。关于函数生成投资组合的优化，我们根据对数凹密度的最大似然估计的精神，提出了一个形状约束优化问题。关于统计理论，我们请读者参考[DR09]、[CSS10]、[CS10]、[KM10]和[SW10]。[PW14]之后，我们将定义的L-散度函数T（·|·）与每个功能生成的投资组合相关联（n） ×（n） （见定义2.9）。直观地说，T（q | p）衡量的是当市场权重从p跃升到q时，从波动性中获得的潜在收益（n） 。设P为跳跃（P，q）上的强度度量，可根据数据或agiven模型定义（第5节将给出示例）。我们在所有有约束或无约束的功能生成投资组合上最大化EZT（q | p）DPT。这个优化问题是形状约束的，因为函数生成的投资组合的母函数是凹的。我们证明了优化问题是适定的，当被解释为一个统计图像问题时，在适当的意义上是一致的。

在本文中，我们针对两种资产（类似于单变量密度估计）的情况实现了这种优化，并且一种通用算法将是未来研究的主题。我们用一个案例来说明港口组合管理中的一个典型应用。论文的结构如下。在第2节中，我们建立了符号，并称之为伪套利和功能生成投资组合的定义。第3节我们将[PW14]的框架扩展到功能生成的基准投资组合。利用[CDO07]中给出的相对凹引理，我们证明了第4节中的定理1.1和推论1.2。第5节研究了功能生成投资组合的优化，第6节给出了一个实证案例研究。附录a中收集了一些更具技术性的证据。相对套利优化52。伪套利和功能生成的投资组合2。1.投资组合和伪套利。我们在[PW14]的离散时间确定性设置下工作，我们在此简要回顾。让n≥ 2是市场上股票或资产的数量。我们授予开放单元单纯形（n） 欧几里德度量。空位球（n） 以p为中心，半径δ用B（p，δ）表示。向量的切向量（n） 是向量v=（v，…，vn）∈ RnsatisfyingPni=1vi=0。我们表示向量的切向量的向量空间（n） 作者：T（n） 。对于i=1。。。，n、 我们假设e（i）=（0，…，0，1，0，…，0）是（n） 在第i方向。如果a和b是Rn中的向量，我们让ha，bi是欧氏内积。欧几里德范数用k·k表示。如果b有非零项，a/b是分量比率ai/bi的向量。在本文中，时间是离散的（t=0，1，2，…）。连续时间的延长将在第4.3节简要讨论。假设Xi（t）>0是时间t时股票i的市值。

市场的总资本为x（t）+··+Xn（t）。股票i的市场权重由ui（t）=Xi（t）X（t）+···+Xn（t），i=1。。。，n、 向量u（t）=（u（t）。。。，un（t））取（n） 代表企业的相对规模。随着股票价格的波动，市场权重也随之变化。如[PW14]中所述，股票市场被建模为一个确定性序列{u（t）}t≥0将价值带入（n） ，因此不需要潜在的概率空间。我们的方法类似于通用预测（例如参见[CBL06]），其中不假设数据由随机模型生成。只有多样性和充分的波动性等结构性特征才会施加在序列上。我们考虑这个市场上的一个小投资者，他关心他或她的投资组合相对于整个市场的价值。我们将自己局限于Portfolios，这是当前市场权重的确定函数。不允许卖空，我们假设没有交易成本。定义2.1（投资组合和相对价值过程）。投资组合是Borel可测图π：（n）→ （n） 。市场组合u是身份图P7→ p我们没有将其与市场权重过程{u（t）}区分开来。给定的{t}tπ过程≥0由Vπ（0）=1和（2.1）Vπ（t+1）Vπ（t）=1定义+π（u（t））u（t），u（t+1）- u（t）, T≥ 0.投资组合在p∈ （n） 是向量π（p）p=π（p）p。。。，πn（p）pn.相对值Vπ（t）可以解释为投资组合中1美元的增长与投资市场组合中1美元的增长之比。如果Vπ（t）>Vπ（t），投资组合在（离散）时间区间[t，t]内的表现优于市场投资组合。如[PW14]所述，考虑重量比Op 7是有帮助的→π（p）pas向量场（n） 。