相对套利的优化

特别是，如果P（dpdq）=P（dp）P（dq | P）与P（dp）=f（P）m（dp）绝对连续，并且满足支持条件，那么{P:f（P）>0}上的π（1）=π（2）m-几乎无处不在。下面定理5.4和定理5.5的证明见附录A。设P为强度度量。假设{PN}N≥1是一系列概率测度弱收敛到P。通过定义，这意味着LIMN→∞ZfdPN=ZfdPN适用于上的所有有界连续函数（n） ×（n） 。例如，一个人可以做一个样本。i、 d.观测值{（p（j），q（j））}Nj=1from p，取pnj=1δ（p（j），q（j）），其中δ（p（j），q（j））是（p（j），q（j）处的点质量。从统计推断的角度来看，pn的最优投资组合（bπ（N），bΦ（N））可以看作P的最优投资组合（π，Φ）的点估计。对于p施加的附加约束示例∈{p（1），…，p（N）}。这些参数可以是p.约束解释的函数≤ πi（p）≤ 投资组合权重的biBox约束≤πi（p）π≤ 重量比的MiBox约束（π（p）- p） ∑（π（p）- p） 给定协方差矩阵，跟踪误差的<ε约束下列结果表明估计量是一致的。参见[CS10，定理4]中对数凹密度估计的类似陈述。定理5.5。设（π，Φ）为P的问题（5.1）中的最优投资组合，其中P（dpdq）=P（dp）P（dq | P）与P（dp）=f（P）m（dp）是绝对连续的，在K×K上用K支撑 （n） 结构紧凑，满足支撑条件。设{PN}是K×K上离散或绝对连续的概率测度序列，使得PN→ P弱，假设（bπ（N），bΦ（N））对于测量PN，N是最优的≥ 1.然后bπ（N）→ πm-几乎处处在{p:f（p）>0}.5.3上。有限维约化。如果没有进一步的限制，（5.1）的最优投资组合权重可能非常不规则。

现在我们将其限制在特殊情况下，其中（5.5）P=NNXj=1δ（P（j），q（j））是一个离散测度，（P（j），q（j））∈ （n） ×（n） 对于j=1。。。，N.这不会造成很大的通用性损失，因为在实践中，市场权重具有有限的精度，我们可以选择对（p（j），q（j））来获取近似网格中的值（n） ×（n） 。此外，根据定理5.5，我们期望当N较大时，最优解近似于连续解。考虑改进的优化问题（5.6）最大化（π，Φ）∈FGZT（q | p）dp服从于（π（p（1））。。。，π（p（N）））∈ C、 其中C是（n） n.表2中给出了C的一些例子，其中每个约束是{π（p（j））形式的柱面集∈ Cj}与Cj的闭凸集（n） .\'可以对权重施加“全局”约束，示例见第6节。可以很容易地验证定理的证明。4在这些约束条件下没有变化，所以（5.6）有一个最优解。此外，如果π（1）和π（2）是最优解，那么π（1）（p（j））p（j），q（j）- p（j）=π（2）（p（j））p（j），q（j）- p（j）, j=1。。。，N.对于对数凹密度的最大似然估计，如[CSS10]所示，MLEbf的对数是多面体的，即，logbf是几个函数的逐点最小值（见[Roc97，第19节]）。特别是，存在对数BF分段有效的数据点的角度。我们表明，相对套利23的优化增长为12002美元2006年2010年4 6 8 10美国中国2002年2006年2010年40.2 0.3 0.4 0.5美国的市场权重图2。左边的图表显示了每个组别1美元的增长，右边的图表显示了我们的市场权重u（t）的时间序列。垂直虚线将数据集分别划分为训练和测试阶段。类似的说法适用于（5.6）。

设D={p（j），q（j）：j=1，…，N}为数据点集。定理5.6。设（π，Φ）为问题（5.6）的最优投资组合，其中p=NPNj=1δ（p（j），q（j））。让我们：（n）→ (0, ∞) 是最小的正凹函数（n） 这样Φ（p）≥ Φ（p）适用于所有x∈ 那么Φ是一个多面体正凹函数（n） 满意Φ≤ Φ和Φ（p）=所有p的Φ（p）∈ D.此外，Φ生成一个投资组合π，使得π（p（j））=π（p（j））对于所有j。特别是，（π，Φ）对于问题（5.6）也是最优的。证据凸分析中的一个标准结果是，完全生成了定义的Φ（参见[Roc97，第19节]）。根据[Roc97，推论19.1.2]，Φ是一个多面体凹函数。通过定义Φ和Φ的凹度，我们得到Φ（p）=Φ（p）对于所有x∈ D代表所有j和Φ≤ Φ. 这意味着 对数Φ（p（j））  对数Φ（p（j））对于所有j.通过引理2.8（ii），Φ生成一个与{p（1），…，p（N）}上的π一致的投资组合π。因此（使用明显的符号）T（q（j）| p（j））=T（q（j）| p（j））对于所有j，因此（π，Φ）对于（5.6）是最优的。 定理5.6将（5.6）简化为一个有限维问题。在下一节中，我们将介绍n=2情况的基本实现（类似于单变量密度估计），并通过acase研究说明其在投资组合管理中的应用。6.实证例子6。1.案例研究。在全球投资组合管理中，一个重要的主题是确定各国的总投资组合权重。在这个例子中，我们考虑两个国家：美国和中国。我们分别用标准普尔USBMI指数（资产1）和标准普尔中国BMI指数（资产2）表示。24号T-K.L.WONG0。10 0.15 0.20 0.250.10 0.15 0.20 0.25 0.30密度目标图3。根据美国的市场重量对PNon K×K的密度估计。”“市场”由这两种资产组成。我们使用彭博社收集2001年1月至2014年6月的月度数据。

基准投资组合被视为自2001年1月起以权重（0.5,0.5）开始的买入并持有投资组合。这里的初始市场权重（0.5,0.5）是任意选择的。2001年1月至2010年12月的数据将被用作优化投资组合的培训数据，该投资组合将在随后的时期进行回溯测试。2011年1月的市场权重为（0.1819,0.8191）。数据如图2所示。让K （2） 是由（6.1）K={p=（p，p）定义的紧集∈ (2): 0.1 ≤ P≤ 0.3}.我们的目标是优化功能生成的投资组合，只要市场权重保持在K以内。如果我们的市场权重接近这些边界点（被视为政权更迭），将选择一个新的投资组合，因此0.1和0.3可以被视为触发点。6.2. 强度度量和约束。假设t=0对应于2011年1月。我们建立了{u（t）}t模型≥0作为一个离散时间随机过程（时间为每月一次），其中u（0）为常数。设P为例5.2中的测量值，其中τ是（6.1）中给出的K的首次退出时间。如果给出了一个随机模型，我们可以通过模拟退出K时{u（t）}的路径来近似P。由此产生的经验度量n=NNXj=1δ（P（j），q（j））然后被作为优化问题的强度度量（5.6）。由于我们主要关注的是优化问题（5.6）的实现，因此不会尝试对{u（t）}进行复杂建模，我们将使用simplemethod来模拟{u（t）}的路径。也就是说，从u（0）=（0.1819,0.8191）开始，我们模拟{u（t）}τ的路径-1t=0通过自举两项资产的过去收益优化相对套利250.10 0.15 0.20 0.25 0.300.10 0.15 0.20 0.25 0.30美国投资组合市场的投资组合权重。10 0.15 0.20 0.25 0.301.00 1.02 1.04 1.06生成函数图4。

组合权重和优化组合的生成函数。并计算相应的市场权重序列。考虑到我们可能获得的回报，在模拟之前，我们对过去的回报进行了重新居中调整，以便它们在培训期间的平均值为零。（本质上，只有回报率的差异才影响市场权重的演变。）我们模拟了50个这样的路径，在K×K中获得了N=3115对（p（j），q（j））。图3中绘制了Pn的密度估计值（以我们的市场权重表示）。为了减少变量的数量，市场权重四舍五入到小数点后3位，因此我们的市场权重取集合D={0.100,0.101，…，0.299,0.300}中的值。接下来我们指定{π（p）：=π（p，1）的约束- p） ：p∈ D} 。（由于中国的市场权重由美国决定，因此这种符号不应引起混淆。）首先，我们要求π（p）在p中不递减，即π（0.100）≤ π(0.101) ≤ ··· ≤ π(0.300).这对投资组合权重施加了形状约束，从而确保投资组合权重始终沿着市场运动的方向移动。为了控制投资组合的集中度，我们还要求我们的权重比达到0.5≤π（p）p≤ 2代表p∈ D（因为只有两种资产，这意味着中国有一个合适的比率）。这些约束决定了我们将要解决的优化问题（5.6）中的凸集C。6.3. 优化程序。根据定理5.6，可以优化在数据点上分段线性的生成函数。首先我们介绍一些简化的符号。将网格点集写为D={x<x<····<xm}，并将x=0，xm+1=1作为区间的端点。让决策变量bezj:=π（xj，1- xj），j=1。。。，m、 φj:=Φ（xj，1- xj），j=0。。。，m+1。通过缩放，我们可以假设φ=1。

{~nj}上的约束为（6.2）~nj≥ 0，j=0。。。，m+1，ν=1，（非负性）26 T.-K.L.WONG2011 2012 20140.000 0.005 0.010 0.015 0.020费恩霍尔茨分解对数相对值生成函数漂移过程图5。在测试期间，Fernholz对优化组合的分解。对数相对值为对数Vπ（t）。生成函数项为对数Φ（u（t））-对数Φ（u（0）），漂移过程为A（t）。（6.3）s≥ s≥ ··· ≥ sm，sj:=аj+1- ~njxj+1- xj。（凹度）我们要求π由Φ生成。通过（4.2）和引理2.8，可以看出zj满足了不等式（6.4）xj+xj（1）-xj）sj~nj≤ zj≤ xj+xj（1）-xj）sj-1~nj，j=1。。。，m、 （（π，Φ）∈ FG）我们要求zjis在j:（6.5）z中不递减≤ Z≤ ··· ≤ zm。（单调性）最后，我们要求权重比在0.5和2之间有界：（6.6）0.5≤zjxj≤ 2，j=1。。。，m、 在约束条件（6.2）-（6.6）下，我们在{zj}和{~nj}上使t（q | p）dPN=NNXj=1T（q（j）| p（j））最大化。这是一个标准的非线性但光滑的约束优化问题（由于Φ现在是分段线性的，所以凸性丧失）。我们使用MATLAB中的fmincon函数来实现这个优化问题。最优投资组合权重和生成函数如图4所示。结果表明，最优投资组合的权重接近于常数（权重为0.2331,0.7669）。请注意，对权重比的约束限制了π（p）与市场权重p的偏差。如果不施加权重比约束（同时保持单调性约束），则最优投资组合将是等权重投资组合π≡ （0.5,0.5），其原因可以从引理4.2的证明中看出。相对套利的优化276.4。对投资组合进行回溯测试。最后，我们计算了优化投资组合在2011年1月至2014年6月测试期间的表现。

结果（使用RelValAnalysis软件包的函数FernholzDecomp绘制）如图5所示。在测试期间，投资组合在对数规模上超过市场近2%，其表现一直稳定。从分解来看，大约一半的表现优势归因于生成函数的增加（请注意，当生成函数达到最大值时，US的市场权重变得更接近0.2331），其余部分来自漂移过程。最优投资组合接近常数加权可能不是很有趣，但这是数据和我们选择的约束的结果，并不明显。我们的优化框架允许许多其他可能性，尤其是当存在多个资产时。其他有用的约束条件和有效算法是进一步研究的自然主题。附录A.定理5.4和定理5.5的证明首先，我们将陈述并证明凸分析中的一些引理。引理A.1。让p∈ （n） 固定并让Cbe集合上的正凹函数Φ（n） 满足Φ（p）=1。那么Chas中的任何序列都是局部一致收敛于（n） C.证明中的一个函数。根据[Roc97，定理10.9]，有必要证明Chas是一个统一的上界（下界是直接的，因为Care函数是非负的）。我们首先推导了一维情况下的上界。设f是实区间[a，b]上的非负函数。让x∈ 假设f（x）=1。让x∈ [a，x]并写入x=λx+（1- λ） 对于某些λ∈ [0, 1]. 按凹度，1=f（x）≥ λf（x）+（1）- λ） f（b）≥ λf（x）。Thusf（x）≤λ=b- xb- 十、≤B- ab- x、 x∈ [a，x]。案例x∈ [x，b]可以类似地处理，我们得到（A.1）f（x）≤B- 阿明{| x- a |，|x- b |}，x∈ [a，b]。现在让我来∈ C

将（A.1）应用于Φ对直线段的限制（n） 包含p，我们得到Φ（p）≤直径（n）距离P（n）, P∈ （n） ，diam在哪里(（n） ）是直径（n） 和dist（p，（n） ）是从PTO到边界的距离（n） 。这就完成了引理的证明。 引理A.2。设（π，Φ），（π（k），Φ（k））∈ 前景，k≥ 1.假设Φ（k）局部一致收敛于（n） 对我来说。让p∈ （n） 是Φ可微分的点。给定ε>0，存在δ>0和一个正整数k，如kπ（k）（q）-π（p）k<ε≥ 坎德q∈ B（p，δ）。特别地，π（k）几乎在任何地方收敛到π为k→ ∞.28 T-K.L.WONGProof。显然，对数Φ（k）也局部一致收敛于对数Φ。对于凹函数的超微分，我们将使用一个众所周知的收敛结果，参见[HUL96，定理6.2.7]。事实上，[HUL96，定理6.2.7]的证明暗示了一个比定理更强的说法。也就是说，对于任何p∈ （n） 任何ε>0，都存在一个正整数kδ>0，使得 对数Φ（k）（q）  对数Φ（p）+B（0，ε），k≥ k、 q∈ B（p，δ）， 对数Φ（q）  对数Φ（p）+B（0，ε），q∈ B（p，δ）。（A.2）假设Φ在p是可微的，那么 logΦ（p）是一个单态。根据引理2.8，有可测的选择ξ（k）和ξ 对数Φ（k）和 对数Φ分别为π（k）i（q）=qiξ（k）i（q）+1-nXj=1qjξ（k）j（q）,πi（q）=qiξi（q）+1-nXj=1qjξj（q）,尽管如此，q∈ （n） ，i=1。。。，n、 和k≥ 1.对于每个i=1。。。，n、 考虑由（q，ξ）定义的地图∈ （n） ×T（n） 七,→ 气ξi+1-nXj=1qjξj.图G=（G，…，Gn）显然是联合连续的。我们有π（q）=G（q，ξ（q））和π（k）（q）=G（q，ξ（k）（q））。由（A.2）可知，对于任意ε>0，存在kδ>0，使得（A.3）kξ（k）（q）- ξ（p）k<ε，kξ（q）- ξ（p）k<ε≥ 坎德q∈ B（p，δ）。权利要求（A.2）源于（A.3）和G在（q，ξ（q））的连续性。

最后一句话是在最后一天发表的（n） 几乎所有地方都是可微的m-的[Roc97，定理25.5]。 定理5.4的证明。（i） 最优解的存在性将由紧性论证来证明。假设（π（k），Φ（k））是（5.1）的最大化序列。通过缩放，我们可以假设Φ（k）（p）=1，其中p∈ （n） 这是固定的。通过引理A.1，我们可以用Φ（k）局部一致收敛于（n） 一个正凹函数Φ（n） 。通过引理2.8（ii），Φ生成了一对π。案例1。P是绝对连续的。通过引理A.2，π（k）几乎在任何地方收敛到π。设T（k）和T分别是（π（k），Φ（k））和（π，Φ）的L-发散。回想一下，P在K×K上受支持，其中K （n） 它很紧凑。为了x∈ （n） p，q∈ K、 我们有（A.4）1+xp，q- P=nXi=1xiqipi≤nXi=1xipi≤明普∈K、 一,≤我≤npi。还包括Φ（k）→ Φ在K上一致。因此，L-发散{T，T（1），T（2），…}在K×K上一致有界。根据Lebesgue的支配收敛定理，相对套利的优化29we havelimk→∞ZT（k）（q | p）dP=ZT（q | p）dP。因此（π，Φ）是最优的。案例2。P是离散的，质量为（P（j），q（j））。自从（n） 是紧致的，通过对角参数我们可以提取进一步的子序列（仍然用{（π（k），Φ（k））}表示），使得limk→∞π（k）（p（j））对于每个j都存在。现在我们可以重新定义{p（1），p（2），…}使得π（p（j））=limk→∞π（k）（p（j））对于每个j.由于我们只在可数个点上修改π，π仍然是Borel可测的。现在我们可以应用勒贝格的支配收敛定理，得出（π，Φ）等时收敛的结论。（ii）假设（π（1），Φ（1））和（π（2），Φ（2））是最优解。定义π=π（1）+π（2），由几何平均数Φ生成=√Φ（1）Φ（2）（引理4.5）。也让T，T（1）和T（2）分别是（π，Φ），（π（1），Φ（2））和（π（2），Φ（2））的L-发散。

通过L-散度的凹性（引理4.6），我们得到了（A.5）ZT（q | p）dP≥ZT（1）（q|p）dP+ZT（2）（q|p）dP.因此（π，Φ）也是最优的。根据（A.5）和对数的严格凹度π（1）（p）p，q- P=π（2）（p）p，q- P对于P-几乎所有（P，q）。如果P是绝对连续且满足支撑条件，那么对于f（P）>0的大多数P，我们有π（1）（p）p，v=π（2）（p）p，v对于所有切向量，这和π（1）（p），π（2）（p）∈ （n） 意味着{p:f（p）>0}上的π（1）（p）=π（2）（p）m-几乎无处不在。 定理5.5的证明。通过缩放，我们可以假设bΦ（N）（p）=Φ（p）=1表示所有N≥ 1.通过引理A.1，{bΦ（N）}的任何子序列都有一个子序列，该子序列局部一致收敛于正凹函数bΦ（n） 。用这样一个收敛的子序列替换{bΦ（N）}，我们可以假设bΦ（N）→b.完全一致的（n） 。设bπ是由bΦ生成的任何投资组合（由引理2.8（ii）存在）。我们认为（bπ，bΦ）是最优的，因此bπ=πm-几乎处处在{p:f（p）>0}上。LetbT（N），bT和T分别是（bπ（N），bΦ（N）），（bπ，bΦ）和（π，Φ）的L-发散。通过测度PN的（π（N），Φ（N））的最优性，我们得到了（A.6）ZbT（N）（q | p）dPN≥ZT（q | p）dPN，N≥ 1.我们想让N→ ∞ 在（A.6）中。L-散度T（q | p）在K×K上显然是连续的（注意K是紧的）。通过弱收敛的定义，我们得到了→∞ZT（q | p）dPN=ZT（q | p）dP。30 T-K.L.WONGSuppose我们可以证明（A.7）limN→∞ZbT（N）（q | p）dPN=ZbT（q | p）dP。然后让N→ ∞ 在（A.6）中，我们有zbt（q | p）dP≥ZT（q | p）dP，so（bπ，bΦ）对于测度p是最优的。由于p通过假设满足支持条件，根据定理5.4（ii），bπ和π在{p:f（p）>0}上几乎处处相等。因此，我们只需要证明（A.7）。