相对套利的优化

然后可以证明τ π. 为了看到这一点，将L-散度（2.10）写成（3.8）Tπ（q | p）=对数Φ（p）+Dq的形式-pΦ（p）Φ（q），p，q∈ （n） 。ThenTτ（q | p）=对数（Φ（p）- 1） +Dq-pΦ（p）Φ（q）- 1.≥ Tπ（q | p）。对于Φ8，我们可以证明，从Φ8到Φ8的最大扩张（n） （根据[Roc97，定理10.3]存在）在所有顶点e（1）。。。，e（n）（因为我们可以从Φ中减去一个函数，使T变大）。然而，这个条件不足以使π在FG中最大。4.相对凹度和最大门叶4。1.两个资产案例。在本节中，我们研究了FG中的最大投资组合，并证明了定理1.1。为了说明所涉及的思想，我们首先证明了n=2的等权投资组合的最大性。这一结果是本文的出发点。提议4.1。对于n=2，等权投资组合π≡,由几何平均值Φ（p）生成=√在FG中PPD最大。14 T-K.L.WONGProof。Let（τ，ψ）∈ FGB应该是一个在契约上占主导地位（π，Φ）的投资组合。deneu（x）=Φ（x，1-x） =px（1）- x） 设v（x）=ψ（x，1-x） ，x∈ (0, 1). 那么u和v是（0，1）上的正余弦函数。根据定理3.4和引理3.6，τ的位移二次型支配π的位移二次型。使用（3.5），我们有不同的质量（4.1）-v（x）v（x）≥-u（x）u（x）=4（x（1- x） ），x∈ (0, 1).我们认为v也产生了等权投资组合，因此τ=π。我们将使用一个转换，该转换相当于使用y=logx1改变num’eraire-x、 有关此转换的动机和相关结果，请参见[PW13，第4节]中的二叉树模型。定义函数τ：（0,1）→ [0,1]乘以（4.2）τ（x）=x+x（1）- x） v（x）v（x）=x[1+（1- x） （日志v）（x）]。通过（1.1），这是由v生成的股票1的投资组合权重，τ取[0,1]中的值。设y=logx1-x、 所以x=ey1+ey。

定义q:R→ [0,1]byq（y）=τ（x）=ey1+ey+ey（1+ey）v（x）v（x），x=ey1+ey，y∈ R.对于等权投资组合，相应的投资组合权重函数相同。它由一个简单的计算得出：- q（y））- q（y）=-e2y（1+ey）v（x）v（x）。现在（4.1）可以改写为（4.3）q（y）（1）的形式- q（y））- q（y）≥, Y∈ R.然后通过以下基本结果完成证明。 引理4.2。假设q:R→ [0,1]是可区分的，q（1-q）-Q≥ 右上1/4，然后是q≡ 1/2.证据从0开始≤ q（y）≤ 1.我们有≤ 问题（1）- q）-≤-= 所以q是不增加的。如果q（y）=q<对于某些y，那么在y上∈ [y]，∞], q必须满足微分不等式q（y）≤ 问题（1）- q）-< 0，这与q（y）相矛盾≥ 类似地，如果q（y）=q>对于某些y，同样的不等式是满足的(-∞, y] 这又是一个矛盾。因此我们得到q（y）≡尽管如此∈ R 命题4.1证明的主要思想是，对于一个在紧集上支配等权组合π的投资组合，它必须比单纯形上处处π更具攻击性。这意味着以足够快的速度（4.3）购买越来越多的表现不佳的股票，但这不可能持续到单纯形的边界。虽然微分不等式（4.3）（见[PW14，定理9]）有一个多维模拟，但我们无法将相对套利的优化15扩展到多资产情况，因为市场和投资组合权重可以向多个方向移动。相反，我们将使用投资组合生成函数，并使用简单但强大的凸分析工具。4.2. 主要结果。在证明定理1.1之前，我们注意到积分条件（1.2）足以捕捉许多重要的例子。证明是初等微积分的练习，留给读者。引理4.3。

以下投资组合满足（1.2）。（i） 等权投资组合π≡NN由几何平均数Φ（p）=（p···pn）n生成。（ii）熵权投资组合πi=-香农熵Φ（p）产生的（pilog-pi）/Φ（p）=-Pnj=1pjlog pj。定理1.1证明的主要内容是从[CDO07]和[CDOS09，引理2]中获得的以下巧妙观察（在这些参考文献中称为相对凸引理）。这可以通过直接差异来证明。引理4.4（相对凹度引理）。[CDO07]让我们-∞ < a<b≤ ∞ andc，C:[a，b]→ R必须是连续的。假设u，v[a，b]→ (0, ∞) 能满足微分方程su（x）+c（x）u（x）=0，x吗∈ [a，b），v（x）+C（x）v（x）=0，x∈ [a，b]定义F:[a，b]→ [0, ∞) byF（x）=Zxau（t）dt，x∈ [a，b）.设G是[0，`]上定义的F的逆，其中`=limx↑bF（x）。然后定义在[0，`）上的函数w（y）：=v（G（y））u（G（y））满足微分方程w（y）=-（C（x）- c（x））u（x）w（y），0≤ y<`，x=G（y）。特别是，如果C（x）≥ [a，b]上的c（x），那么w在[0，`]上是凹的。我们还需要函数生成的投资组合的一些凸分析性质。引理4.5.设π（1），π（2）∈ FG分别由Φ（1）和Φ（2）生成，λ∈ [0, 1]. 然后由加权平均π：=λπ（1）+（1）给出的投资组合- λ） π（2）属于FG。实际上，π是由几何平均数Φ生成的：=Φ(1)λΦ(2)1.-两个母函数的λ。16 T-K.L.WONGProof。对于C生成函数，该结果在[Fer02，第50页]中说明。在生成函数不是必需的情况下也是如此。为了证明这一点，我们需要检查π=λπ（1）+（1）- λ） π（2）满足定义不等式（2.3）。这是AM-GM不等式的一个简单结果，并且省略了证明。 引理4.6。L-散度和漂移二次型在Portfolio权重中是凹的，如下所示。

设（π（1），Φ（1）），（π（2），Φ（2））∈ 前景。对于λ∈ [0,1]，设π=λπ（1）+（1）-λ） π（2）和Φ=Φ(1)λΦ(2)1.-λ是π的生成函数。设T，T（1）和T（2）分别是（π，Φ），（π（1），Φ（1））和（π（2），Φ（2））的L-发散。然后（4.4）T（q | p）≥ λT（1）（q | p）+（1）- λ） T（2）（q | p），p，q∈ （n） 。如果Φ（1）和Φ（2）是C，那么Hπ≥ λHπ（1）+（1）- λ） Hπ（2）的意义是（4.5）Hπ（p）（v，v）≥ λHπ（1）（p）（v，v）+（1）- λ） 所有p的Hπ（2）（p）（v，v）∈ （n） 和v∈ T（n） 。证据为了证明（4.4），我们将函数生成投资组合（π，Φ）的L-散度T（q | p）写成形式T（q | p）=log1 +π（p）p，q- P- Iπ（γ），其中Iπ（γ）=Rγπpdp是沿从p到q的线段的重量比的线积分（见（2.8））。由于线积分在π中是线性的，对数是凹的，我们看到T（q | p）在π中是凹的。漂移二次型的表述来自泰勒近似（3.7）。 我们现在准备证明定理1.1。定理1.1的证明。设τ：（n）→ （n） 是一个在紧集上支配π的Cportfolio。我们想证明τ=π。根据定理3.4，τ由函数ψ生成：（n）→ (0, ∞). 因为τ是C，由[PW14，命题5（iii）]可知，ψ是C，所以τ∈ 前景。因此，我们可以重新表述定理1.1，称π为maximalin FG。设ψ为τ的母函数。通过缩放，我们可以假设ψ（e）=Φ（e）。我们将证明ψ等于Φ，所以ψ生成π，τ=π。我们把证据分为以下几个步骤。第一步（对称化）。设sn为{1，…，n}的置换集。对于σ∈ Sn，通过重新标记坐标来定义ψσ，即ψσ（p）=ψ（pσ（1）。。。，pσ（n））。自τ π、 通过引理3.6（并重新标记坐标），我们得到了Hψσ≥ Hσ表示所有σ∈ Sn。但是Φ是多样性的度量，所以Φσ=Φ的对称性，我们有Hψσ≥ HΦ表示所有σ∈ Sn。Leteψ=Yσ∈Sn（ψσ）n！相对套利的优化是ψ的对称化。

通过引理4.5，eψ生成对称化的组合τ（p）=n！Xσ∈Snτ（pσ（1）。。。，pσ（n）），p∈ （n） 。通过引理4.6，我们得到了（4.6）Heψ≥NXσ∈SnHψσ≥ HΦ。因此他ψ HΦ。Clearlyeψ是多样性的一种度量，通过对称性，它在e处达到最大值。步骤2（eψ≤ Φ). 我们声称eψ≤ Φon（n） 。让p∈ （n） 考虑一维凹函数su（t）=Φ（（1- t） e+tp）v（t）=eψ（（1）- t） e+tp）（4.7）定义于[0,1]。我们有u（0）=v（0）和u（0）=v（0）=0，因为Φ和ψ都在e处达到最大值≥ 我们有-v（t）v（t）≥-u（t）u（t），t∈ [0, 1].根据相对凹引理（引理4.4），（4.8）w（y）=v（G（y））u（G（y））是[0，`]上的一个正凹函数，其中`=Ru（t）dt，w（0）=1，w（0）=0（根据商规则）。注意`<∞ 因为Φ在线段[e，p]上是连续且正的 （n） 。此外，很容易看出，在这种情况下，相对凹度引理可以应用于[0，`]而不是[0，`）。这意味着w是不增加的，因此w（`）=eψ（p）/Φ（p）≤ 1.步骤3（eψ）≡ Φ). 设Z={p∈ （n） ：eψ（p）=Φ（p）}我们声称Z=（n） 。这里我们遵循[CDOS09，定理3]证明中的一个想法。将u和von[0,1]定义为（4.7），并将p替换为e（1）。那么（4.8）中定义的函数w在[0,2]上是正的和凹的，∞) 因为（1.2）中的积分（定义为`=Ru（t）dt）发散。同样，w满足w（0）=1，w（0）=0。但是，由于WI是在有限的时间间隔内定义的，如果某些y的w（y）<0，那么w必须达到零，因为WI不随凹度增加。这与w的积极性相矛盾，因此w在[0]上是一，∞). 在线段[e，e（1））上eψ=Φ。通过对称性，Z包含所有i的线段[e，e（i））。接下来我们证明集合Z是凸的∈ Z.我们再次考虑pairof函数su（t）=Φ（（1）- t） p+tq）v（t）=eψ（1- t） [0,1]上的p+tq）（4.9）。设ew（t）=v（t）u（t），t∈ [0, 1].

再次通过相对凹度引理，我们知道ew在重新参数化后是凹的。但是ew（t）≤ 1通过步骤2和eEquals在端点0和1处取一。根据凹度，ew在[0,1]上是相同的。18 T.-K.L.WONGHence如果Z包含p和q，它也包含线段[p，q]。现在Z是一个包含所有i的[e，e（i））的凸集。很容易看出，Z是单纯形（n） 。Henceeψ等于Φ。第4步（去对称化）。我们已经证明了eψ≡ Φ，所以他ψ=HΦ。通过（4.6），我们得到了hΦ=Heψ≥NXσ∈SnHψσ≥ HΦ。自从H≥ 每个σ的HΦ∈ Sn，所有σ都有Hψσ=HΦ。特别是，以σ为恒等式，我们有Hψ=HΦ。仍然需要证明ψ等于Φ（回想一下，我们假设ψ（e）=Φ（e））。修好我∈ {1，…，n}和consideru（t）=Φ（（1）- t） e+te（i））v（t）=ψ（（1）- t） e+te（i））代表t∈ [0，1）。根据步骤3中的参数，如果似曾相识(0) ≤ 0，积分条件（1.2）意味着v/u等于1。所以似曾相识(0) ≤ 0意味着似曾相识(0) = 0. 对于σ∈ Snletvσ（t）=ψ（（1）- t） e+te（σ（i）））。因为ψ=Φ，我们有σ∈锡vσ（t）u（t）n！=1.取两边的对数和微分，我们可以看到导数的平均值似曾相识（0）超过i等于0（回想一下Φ是对称的）。因为所有的导数通过上述参数都是非负的，事实上它们都是0，所以对于所有i，ψ=Φ-e跨越与之平行的平面（n） ，ψ和Φ的图形在e处有相同的切面。由于Φ在e处达到最大值，我们看到ψ也在e处达到最大值。现在我们可以应用第2步和第3步中的论点，得出ψ等于Φ的结论（n） 。因此τ=π，我们已经证明π在FG中是最大的。 推论1.2的证明。设τ是不等于π的Cportfolio。根据π的最大值，τ不是 π. 根据定理3.4，τ不满足与π相关的条件。

因此，存在一个循环{u（t）}m+1t=0（其中u（0）=u（m+1）），在该循环上（4.10）Vτ（m+1）Vπ（m+1）<1。就像定理3.4的证明一样，考虑一次又一次经历这个循环的市场权重序列。显然{u（t）}t≥0在紧凑的有限集合K中生成值。从（4.10）可以清楚地看出，Vτ（t）/Vπ（t）→ 0作为t→ ∞.  相对套利的优化194.3。延长到连续时间。我们简要地讨论了定理1.1如何被推广到连续时间。在连续时间内，我们让市场权重过程{u（t）}t≥0是具有状态空间的连续半鞅（n） 。投资组合π的市场权重过程满足随机微分方程dvπ（t）Vπ（t）=nXi=1πi（u（t））dui（t）ui（t）。Let（π，Φ），（τ，ψ）∈ 前景。然后我们有分解logvτ（t）Vπ（t）=logψ（u（t））/ψ（u（0））Φ（u（t））/Φ（u（0））+A（t），其中漂移过程的形式为A（t）=Aτ（t）- Aπ（t），（4.11）Aτ（t）=ZtHτ（u（s））（du（s），du（s）），类似定义适用于Aπ。参见[Fer02，定理3.1.5]。在（4.11）中，我们使用[EM89]的内在符号表示{u（t）}相对于非负定义形式Hτ的二次变化。可以证明，对于所有连续半鞅{u（t）}当且仅当ifAτ，A（t）几乎肯定是非减量的≥ π。我们可以定义τ之间的关系 π（紧集上的支配）与定义2.2中的π（紧集上的支配）相同，但我们要求任何值为K的连续半鞅{u（t）}，（2.2）适用于所有t≥ 几乎可以肯定。利用所建立的结果，我们可以在连续时间内证明，如果π是由满足（1.2）的多样性度量生成的，那么它在fg中是最大的。此外，在连续时间内，[CDOS09，定理3]表明，当n=2时，积分条件（1.2）对于（π，Φ）在fg中最大也是必要的。Letu（x）=Φ（x，1- x） 。

这个想法是，如果积分收敛，我们可以解决初值问题v（x）+-u（x）u（x）+s（x）v（x）=0，x∈ （0,1），v= U, 五、= U= 对于一些适当选择的函数s（x），s（x）≥ 0，s（x）6≡ 0是对称的。Sturm的比较定理表明，解v（x）在（0，1）上是正的（凹的）。设ψ（p）=v（p），τ是由ψ生成的组合。那么相应的投资组合τ不等于π，并且在紧集上支配π，因此π在FG中不是最大的。问题4.7。刻画FG的最大投资组合。5.优化功能生成的portfolios5。1.形状约束优化问题。考虑功能生成的投资组合的相对价值过程。如果我们有一个市场权重过程的模型{u（t）}t≥0，一个自然优化问题是使漂移过程在一定范围内的预期增长率最大化。为此，假设我们得到了一个增量（u（t），u（t+1））的强度度量P，作为Borel概率度量对其进行建模（n） ×（n） 。我们假设P是离散的（具有可数质量）或绝对连续的，相对于被测物20 T.-K.L.WONGν：=m 我在（n） ×（n） ，其中m是（n） 在Rn中（这应该被认为是Lebesgue测度）（n） ）。我们可以简单地说P是绝对连续的。出于技术原因，我们假设p在K×K上受K的某些紧子集的支持（n） ×（n） 。给定强度测度P，我们考虑优化问题（5.1）max（π，Φ）∈FGZT（q | p）dP。首先，我们给出一些强度度量的例子。例5.1。假设{（u（t）}-1） ，u（t））}是K×K上的一个遍历马尔可夫链。我们可以取P为（u（t））的平稳分布-1） ，u（t））。

不难看出，（5.1）中的非最优投资组合使渐近增长率极限最大化→∞tlog Vπ（t）的相对值（tlogΦ（u（t））Φ（u（0））项随t消失→ ∞). 在功能生成的投资组合中，该投资组合可视为（相对于市场投资组合）增长最优的投资组合。例5.2。我们建立了{u（t）}t模型≥作为一个随机过程。设K是（n） 含有u（0）。设τ为K的首次退出时间，即τ=inf{t≥ 0:u（t）/∈ K} 。考虑由G（A）：=E“τ定义的K×K上的度量G-1Xt=1{（u（t-1） ，u（t））∈A} #，A K×K可测量。如果过程{（u（t- 1） ，u（t））}是马尔可夫的，G是在时间τ时被杀死的进程的绿色内核。假设G（K×K）=E（τ）- 1) < ∞, i、 例如，退出时间具有明确的预期。然后p（·）：=G（K×K）G（·）是K×K上的一个概率度量。这个强度度量将在第6节的示例中使用。请注意，示例5.1涉及有限期，而示例5.2涉及有限期（但随机）。优化问题（5.1）是形状约束的，因为生成函数定义为凹函数。我们将首先研究这个抽象（无约束）优化问题的一些理论性质，然后关注一个离散的特殊情况，其中数值解是可能的，并施加进一步的约束。与经典的投资组合选择理论（投资组合权重逐期优化）不同，在（5.1）中，我们在一个区域内同时优化投资组合权重。在整个开发过程中，记住（5.1）和对数凹密度的最大似然估计之间的类比是有帮助的。在这种情况下，我们得到一个随机样本X。。。，xN从原木凹面密度角（即原木凹面）。

对数凹最大似然估计（MLE）bf是（5.2）maxfNXj=1log f（Xj）的解，优化相对套利，其中f在Rd上的所有对数凹密度范围内。可以证明MLE几乎肯定存在（当N≥ d+1和fhas全尺寸的支持），并且是独一无二的；有关这些结果的精确说明，请参见[CSS10]。我们注意到（5.1）比（5.2）更复杂，因为投资组合权重对应于超差的选择 对数Φ，wheras（5.2）仅涉及密度值。5.2. 理论性质。很容易检查（5.1）是一个凸优化问题，因为L-散度在投资组合权重中是凹的（Lemma4.6）。首先，我们证明（5.1）有一个最优解，并研究该解在什么意义上是唯一的。给定一个强度度量P，它可以分解为（5.3）P（dpdq）=P（dp）P（dq | P），其中Pis是P的第一个边缘，Pis是给定P的第二个变量的条件分布。我们需要一个允许在所有方向上跳跃的P的技术条件。定义5.3（支撑条件）。设P是一个绝对连续的概率测度（n） ×（n） 随着分解（5.3）。WriteP（dp）=f（p）m（dp），其中f（·）是p相对于m的密度。我们说p满足支持条件，如果对于m-几乎所有p，f（p）>0，对于所有v∈ T（n） 存在λ>0，使得p+λv属于p（·p）的支撑。我们得到了与[CSS10，定理1]类似的结果。定理5.4。考虑优化问题（5.1），其中P是一个离散或绝对连续的Borel概率测度（n） ×（n） 在K×K上支撑 （n） 紧凑型。（i） 这个问题有一个最优解。（ii）如果π（1）和π（2）是最优解，那么（5.4）π（1）（p）p，q- P=π（2）（p）p，q- P对于P-几乎所有（P，q）。