相对套利的优化

这里的技术性在于被积函数和测度都随N而变化，因此标准积分收敛定理不适用。其主要思想是利用引理A.2中的局部一致收敛性，用黎曼和逼近（A.7）中的积分。设ε>0。我们将构造两个分区{Ak}kk=0，{B`}`=1of K，点pk∈ Ak，q`∈ B`anda正整数nw具有以下性质：（i）Ak×B`是P-连续集，即P(（Ak×B`）=0。因此，根据Portmanteau定理（见[Bil09]），我们得到了Limn→∞PN（Ak×B`）=P（Ak×B`）。对于N来说也是如此≥ 在足够大的地方，我们有| PN（Ak×B`）- P（Ak×B`）|<εk`对于所有k，`。（ii）N的P（A×K）<ε和PN（A×K）<ε≥ N.（iii）代表N≥ N、 p∈ Ak，q∈ B`，1≤ K≤ kand 1≤ ` ≤ `, 我们有bT（N）（q | p）-bT（q`|pk）< ε,bT（q | p）-bT（q`|pk）< ε.（四）对数Φ（N）（p）- logbΦ（p）< ε表示p∈ K和N≥ N.（这是直接的bΦ（N）在K上一致收敛到bΦ，并且bΦ在K上为正。）假设这些对象已经被构造。然后是N≥ 我们可以用下面的公式来近似积分。通过（ii）和（iii），我们已经ZbT（q | p）dP-`X`=1kXk=1bT（q`|pk）P（Ak×B`）≤ZA×KbT（q | p）dP+`X`=1kXk=1ZAk×B`bT（q | p）-bT（q`|pk）数据处理≤ εmaxp，q∈KbT（q | p）+ε。（A.8）相对套利的优化同样，我们有ZbT（N）（q | p）dPN-`X`=1kXk=1bT（q`|pk）PN（Ak×B`）≤ εmaxp，q∈KbT（N）（q | p）+ε。（A.9）通过（A.4）和{bΦ（N）}在K上的一致收敛，我们可以限制maxp，q∈KbT（q | p）和maxp，q∈KbT（N）（q | p）乘以常数C。

使用（i）和（iii），我们得到Xk，`bT（q`|pk）PN（Ak×B`）-Xk，`bT（q`|pk）P（Ak×B`）≤Xk，`bT（q`|pk）|PN（Ak×B`）- P（Ak×B`）|≤ k`Cεk`=Cε。（A.10）结合（A.8）、（A.9）和（A.10），我们得到了估计值ZbT（N）（q | p）dPN-ZbT（q | p）dP≤ （3C+2）ε，N≥ N、 （A.7）也是如此。仍然需要构造集{Ak}、{B`}、点pk、q`和nsatising（i）-（iv）。在我们开始之前，我们注意到一个事实，即任何凸子集的边界（n） 有m-测度零[Lan86，定理1]。设ε>0。根据[Roc97，定理10.6]，族{bΦ，bΦ（1），bΦ（2），…]在K上是一致的Lipschitz。同样，不难验证是否存在常数L>0日志1 +xp，q- P- 日志1 +xp，q- P≤ L（kp）- pk+kq- qk）适用于所有x∈ （n） 和p，p，q，q∈ K.由此可知，L-分歧族{bT，bT（1），bT（2）…}是K×K上的一致Lipschitz，因此存在δ>0，如果p，p，q，q∈ （n） ，然后（A.11）bT（N）（q | p）-bT（N）（q | p）<ε和bT（q | p）-bT（q | p）< εkq- qk<δ，kp- pk<δ。设D是K中Φ可微的点集。然后K\\D hasm通过[Roc97，定理25.5]测量零。设ε>0为任意值。莱玛著。2，每p∈ D存在0<δ（p）≤ δ和一个正整数N（p），如bπN（q）- bπ（p）< ε表示所有N≥ N（p）和q∈ B（p，δ（p））。因为K是紧的，所以它是可分的，因此D是K的子集。集合{B（p，δ（p））}p∈D形成D的一个开放覆盖，因此存在一个可数次覆盖。根据测度的连续性，对于任何η>0的情况，都存在p。。。，pj∈ D suchthatm（A）<η，A:=K\\j[j=1B（pj，δ（pj）），32 T.-K.L.WONGSinceA. K∪SjB（pj，δ（pj）），（A×K）有m-测度零，henceA×K是P-连续集。由于P是绝对连续的，选择η>0足够小，我们得到P（A×K）<ε，通过弱收敛，我们得到N足够大的PN（A×K）<ε，所以（ii）成立。

设A=B（p，δ（p））∩K和定义Ak={pk}∪（B（pk，δ（pk））∩K） \\（A）∪··· ∪ Ak-1） ，j=2。。。，k、 如果N≥ max1≤K≤kN（pk），我们有（A.12）bπN（p）- bπ（pk）< ε、 p∈ Ak，k=1。。。，k、 接下来选择q。。。，q`∈ K以至于S``=1B（q`，δ）。定义B=B（q，δ）∩Kand B`={q`}∪ （B（q`，δ）∩ K） \\（B）∪ ··· ∪ B`-1） ，j=2，…，`。同样很明显（Ak×B`）具有m-测度零，是P-连续集。所以（i）的支持率非常高。最后，如果我们在（A.12）中选择足够小的ε>0，我们得到bT（N）（q | p）-bT（q | pk）<ε、 p∈ B（pk，δ），q∈ （n） 对于足够大的。这和（A.11）意味着（iii），定理5.5的证明已经完成。 参考文献[AC10]S.-I.Amari和A.Cichoki，《散度函数的信息几何》，波兰科学院公报：技术科学58（2010），第1期，第183-195页。[Bil09]帕特里克·比林斯利，《概率测度的收敛》，第493卷，约翰·威利父子出版社，2009年。[BNPS12]P.Bouchey、V.Nemtchinov、A.Paulsen和D.M.Stein，《波动性收获：多样化和再平衡为什么会创造投资组合增长？》？，《财富管理杂志》第15期（2012年），第2期，第26-35页。[CBL06]N.Cesa Bianchi和G.Lugosi，《预测、学习和游戏》，剑桥大学出版社，2006年。[CDO07]Martin Chuaqui，Peter Duren和Brad Osgood，Schwarzian分析与调和映射价的导数标准，剑桥哲学学会数学学报，第143卷，剑桥大学出版社，2007年，第473-486页。[CDOS09]Martin Chuaqui、Peter Duren、Brad Osgood和Dennis Stowe，《线性微分方程解的振动》，澳大利亚数学学会公报79（2009），第。

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