长期收益率曲线建模中具有渐进效用的拉姆齐规则

市场投入由投资组合和消费的向量空间描述，结合可行性和交易约束以及高流动性。鞅属性定义4.3解释了一种可接受的策略的存在，该策略将为投资者带来最大的满意度，并将在未来的任何时候都予以保留。另一方面，如果XC的战略未能达到最优，那么最好不要进行投资。最优策略可以被视为投资者使用累进效用U的基准。一旦确定了其一致的累进效用，投资者就可以在更大的金融市场中转向投资组合优化问题，或计算差异价格。在扩展[21、20、19]中介绍的一致动态效用的定义之前，在消费的框架中，我们首先定义了投资领域和一组测试过程，然后是Musiela和Zariphopoulo[29、27]。2021 6月28日12/384.1消费投资领域。我们考虑一个不完整的It^o市场，定义在过滤概率空间上(Ohm, 由n-标准布朗运动W驱动。与往常一样，市场的特点是短期利率（rt）和n维风险溢价向量（ηt）。代理人可以在这个金融市场上投资，并被允许以累进利率消费其部分财富≥ 0.简而言之，我们给出了可接受策略类（κt，ct）的数学定义，但没有具体说明风险资产。市场的不完全性通过限制风险投资组合κt约束在给定的累进向量空间（Rt）中来表示。为了避免技术问题，我们始终假设所有过程都满足必要的可测性和可积性条件，因此以下形式化操作和陈述是有意义的。定义4.1（测试过程）。

（i） 具有风险投资组合κ和消费率c的财富过程的自我融资动力学由dxκ给出，ct=Xκ，ct[rtdt+κt（dWt+ηtdt）]- ctdt，κt∈ Rt.（4.1）其中c是一个正适应过程，κ是一个渐进的n维向量，测量财富Xκ，c，s的波动向量，如RTCT+kκtkdt<∞, a、 s。。（ii）如果自我融资策略（κt，ct）随着投资者破产而停止（当财富过程达到0时），并且如果投资组合κ生活在向量s空间（Rt）A.s.的给定推进家族中，则自我融资策略（κt，ct）是可接受的。。（iii）具有可容许（κt，ct）的财富过程集，也称为测试过程，由Xc命名。当投资组合在时间t从x开始时，我们使用符号Xct（x）。以下简短符号将被广泛使用。设R是Rn的向量子空间。对于任何x∈ Rn，xRis向量x在R和x上的正交投影⊥是R上的正交投影吗⊥.风险溢价η的存在可能是缺乏任意性的一种表述。从（4.1）开始，风险溢价对财富动态的影响仅通过κt.ηt或κt来体现∈ Rt，存在一个“最小”风险溢价（ηRt），即ηt在空间Rt上的投影（κt.ηt=κt.ηRt），我们在这个问题中提到了它。此外，ηRis的存在不足以确保等价鞅测度的存在，因为通常我们不知道指数局部鞅ηRt=exp(-RtηRs.dWs-Rt | |ηRs | | ds）是一致可积鞅，是等价鞅测度的密度。在下面的定义中，我们感兴趣的是所谓的状态价格密度过程Yν（考虑折扣因素），它对渐进共轭效用的作用与对渐进效用的测试过程Xκ，Cf的作用相同。2021 6月28日13/38定义4.2（州价格密度过程）。

（i） 如果对于任何可容许的检验过程Xκc，（c≥ 0κ ∈ R） ，Yν。Xκ，c.+R.Yνscsds是一个局部鞅。因此，Yνsaties，dYνt=Yνt[-rtdt+（νt- ηRt）。dWt]，νt∈ R⊥t、 表示所有态密度过程的凸族，其中∈ R⊥并观察到Yν是Y（ν=0）与密度鞅Lνt=exp的乘积Rtνs.dWs-Rt||νs|ds.关于这些假设与市场计算值Nt=（Y）之间联系的有趣讨论-在D.Heath&E.Platen[5]和D.Filipov ic&E.Platen[6]的书中可以找到1t，也称为GOP（增长最优投资组合）。然而，为了限制论文的篇幅，我们报告了在我们的框架中使用数字的变化。4.2 Xc与消费一致的效用和投资组合优化由于我们对优化终端财富和消费率感兴趣，我们引入了两个渐进效用：第一个是U，用于终端财富，第二个是V，用于消费率。从动态的角度来看，U和V将扮演不同的角色，只有U需要成为一个It实用程序。为了表明适应性标准（U，V）很好地适应投资领域，我们引入以下条件：定义4.3。

Xc一致的投资和消费累进公用事业系统是一对U型和V型累进公用事业系统Ohm × [0, +∞) 具有以下附加属性的X R+（i）与测试类的一致性：对于任何可容许的财富过程Xκ，c∈ Xc和任意两个日期t<t，EU（T，Xκ，cT）+ZTtV（s，cs）ds/Ft≤ U（t，Xκ，ct），也就是说，价值过程Gκ，ct=U（t，Xκ，ct）+RtV（s，cs）ds这是一个积极的超级电影。（ii）最优策略的存在性：对于任何初始值x>0的情况，都存在一个最优策略（κ*, C*) 这样，相关的非负财富过程X*= Xκ*,C*∈XC由x satis发布G*t=U（t，X*t） +RtV（南、中）*s） ds是一个局部鞅。Xc consistent It^oprogressive utilities和HJB constraint Thermory 2.1根据其局部特征（β，γ）以及Ux满足的内在SDE（2.2）的参数（u，σ）来描述It^oprogressive utilities。在2021 6月28日14/38节中，我们关注的是Xcconsistence属性对UB特性（β，γ）的约束。过程Gκ的超鞅/鞅性质，对于所有κ，C意味着这些过程的负漂移∈ R、 c≥ 0和0漂移（κ*, C*). 这一性质对U的漂移β（t，x）产生Hamilton-Jacobi-Bellman型约束。我们通过引入非标准Hamilton-JacobiBellman随机偏微分方程，一如既往地进行验证。观察消费优化仅对动态效用V定理4.4（效用SPDE）的芬切尔-勒让德随机场V有贡献。设（U，V）是一个效用系统，其中U是正则的，足以应用它的Ventzel公式。用ζ（t，x）=（Vc）定义单调随机场ζ（t，x）-1（t，Ux（t，x））=-~Vy（t，Ux（t，x）），d a“策略”随机字段x′κt（x）x′κt（x）=-Uxx（t，x）Ux（t，x）ηRt+γRx（t，x）.

（4.3）那么（U，V）的Xc-一致性属性由以下两个断言暗示：a）dri ftβ满足以下HJB约束β（t，x）=-Ux（t，x）xrt+Uxx（t，x）kx′κt（x）k-~V（t，Ux（t，x））。（4.4）b）SDE（‘uc，’σ），其中‘uct（x）：=rtx+x’κT（x）。ηRt-ζ（t，x）和σ（t，x）：=xκt（x）允许非负解≥ 此外，（x′κ（x），\'ct=\'ζ（t，\'Xt））是投资和消费的最佳策略（通常用a表示）(*)) 具有单调最优性*=“X.证明。（i） 根据-Ventzel公式（定理2.2），对于任何测试过程Xκ，c，dU（t，Xκ，ct）+V（t，ct）dt=Ux（t，Xκ，ct）Xκ，ctκt+γ（t，Xκ，ct）.dWt+β（t，Xκ，ct）+Ux（t，Xκ，ct）rtXκ，ct+Uxx（t，Xκ，ct）Q（t，Xκ，ct，κt）dt+V（t，ct）- Ux（t，Xκ，ct）ct其中Q（t，x，κ）=kxκk+2xκ。Ux（t，x）ηRt+γx（t，x）Uxx（t，x）.自从κ∈ R、 Q（t，x，κ）仅取决于γRx（t，x），即γx（t，x）在Rt上的正交投影*（t，x）=infκ∈二次型Q（t，x，κ）的RQ（t，x，κ）是在下列条件下得到的x′κt（x）=-Uxx（t，x）Ux（t，x）ηRt+γRx（t，x）Q*（t，x）=-Uxx（t，x）kUx（t，x）ηRt+γRx（t，x））k=-kx′κt（x）k.（4.5）（ii）根据芬切尔凸性不等式，第三条直线上的项以V（t，ct）为界- Ux（t，Xκ，ct）ct≤~V（t，-Ux（t，Xκ，ct））。对于第二行，因为Q（t，x，κt）≥ Q*（t，x）=-kx′κt（x）和Uxx≤ 0，该项可能以（β（t，Xκ，ct）+Ux（t，Xκ，ct）rtXκ，ct为界-Uxx（t，Xκ，ct）kXκ，ct？κt（Xκ，ct）k。2021 6月28日15/38，如果β满足HJB约束（4.4），则任何κ的漂移项都是非正的∈ R和c≥ 0，以及过程U（t，Xκ，ct）+RtV（s，cs）ds是一个超鞅。（iii）假设与（‘κ，’ζ）相关的财富SDE允许正解‘X。那么，前面等式中的非正漂移等于0，因此U（t，\'Xt）+RtV（s，\'ζ（s，\'Xs））ds是一个局部鞅。

这个等式证明了最优策略xκ和ζ的存在，并且x是一个最优过程。因此，我们没有理由区分具有-以及与*.不断进步的效用与消费的结合。设（U，V）是一对具有最优策略（κ）的随机Xc相容效用*, C*) 导致非负财富过程X*= Xκ*,C*. 凸分析表明，人们有兴趣研究凸共轭效用U和V。事实上，在温和的正则性假设下，我们得到了以下结果（Karatzas Shreve[17]，Rogers[36]）。（i） 对于任何容许的状态价格密度过程Yν∈ 带ν的Y∈ R⊥,eU（t，Yνt）+RteV（s，Yνs）ds是一个子鞅，且存在唯一的最优过程Y*:=Yν*用ν*∈ R⊥以至于欧盟（t，Y）*t） +RteV（s，Y）*s） ds是一个局部鞅。总结U（s，Y）=ess supY∈耶eU（t，Yνt）+RteV（α，Yνα）dα/财政司司长, a、 在正则性假设下，一阶条件意味着最优过程之间的一些联系，包括它们的初始条件，Y*t（y）=Ux（t，X*t（x））=Vc（t，c*t（c）），y=ux（x）=vc（c）。（4.6）使用偏微分方程方法，也可以直接从定理2.3计算具有消耗的一致共轭累进效用Eu的特性。考虑到漂移β与优化程序有关，很容易证明新变量中的HJB型关系也约束了β，凸共轭效用系统（eU，eV）与一系列状态价格密度过程（定义4.2）一致（在某种意义上要精确）。定理4.5。设（U，V）一个具有消费的一致渐进效用系统，使得U为K3，δloc正则（δ>0），局部特征（β，γ）满足第4.4条的假设。

然后（i）渐进凸共轭效用Eu及其边缘共轭效用Euyareit^o随机场分别具有局部特征（~β，~γ）和（~βy，~γy）。（ii）凸共轭Eeu的局部特征由下式给出：γ（t，y）：=γ（t，-eUy（t，y）），γy（t，y）：=-γx（t，-eUy（t，y））。eUyy（y）~β（t，y）=yeUy（t，y）rt+eUyy（t，y）k~σ*（t，y）k- σ*t(-eUy（t，y））。yηRt-eV（t，y）（4.7）（iii）对于任何容许的状态价格密度过程yν∈ 带ν的Y∈ R⊥,eU（t，Yνt）+RteV（s，Yνs）ds是一个子鞅，是任意解Y的局部鞅*（如果2021 6月28日16/38ists）方程式dY*t=Y*t[-rtdt+（ν）*（t，Y）*（t）-ηRt）。dWt]=μ*（t，Y）*t） dt-~σ*（t，Y）*t） 。dWt，带∑*（t，y）=y（ν）*t（y）- ηRt）和|u*（t，y）=-蒂蒂。证据在[21]中可以找到在没有消费的框架中的类似证明。从现在起，无论是符号σ*t（y）或σ*（t，y）将被使用。为了验证这一观点，我们现在给出了一致性幂函数的例子，我们证明了在没有任何额外正则性条件的情况下最优过程的存在性。4.3始终如一的电力设施具有持续的风险规避的电力设施在经济学中被广泛使用，特别是在下一节中建立的拉姆齐规则中。由于其简单性和对系数的容易解释，它也是正向实用程序框架中的一个有用示例。为了描述这些公用事业，我们从一个没有消费的问题开始。无需消耗的持续渐进式功率实用程序更多详细信息，请参见[20]f。（i） 让我们考虑一致的功率效用U（α）（t，x）=Z（α）tx1-α1-α其中α∈ （0，1）是风险规避系数，Z（α）是半鞅，允许满足一致性性质。然后，共轭函数eu（α）（t，y）满足eu（α）（t，y）=Z（α）ty1-αα-1.

既然给出了风险规避系数，如果没有必要，我们就不记得了。（ii）由于一致性性质，存在一个最优财富过程X*（x） 比如U（α）（t，x*t（x））=1-αZt十、*t（x）1.-α是鞅，因此U（α）x（t，x*t（x））=Y*t（x）-α） 是一个初始条件为x的状态价格密度过程-α.（iii）尤其是使用直观的因子分解Zt=ZRt。Z⊥这里是⊥这是一个指数鞅Et（δ⊥.W）带δ⊥∈ R⊥,我们看到ZRt（X*t（x））-α=x-αYt，其中yti是最小状态价格密度。最优财富X*t（x）与最优对偶过程Y*t（y）=yY*皮重与初始条件呈线性关系。所以，（我）Zt=Z⊥tYt（X）*t） α，~Zt=X*TY*TαX*t（x）=xX*t、 Y*t（y）=yY*t=yZ⊥tYtU（α）（t，x）=Y*德克萨斯州*t1- αxX*T1.-α、 eU（α）（t，y）=y*德克萨斯州*tα- 1.yY*T1.-α，因为电力设施的特性U（α）（t，x）=Ztx1-α1-α=Ztu（α）（x）仅依赖于Z的特征（βZ，γZ），γ（α）（t，x）=γZtu（α）（x），β（α）（t，x）=βZtu（α）（x），其中dZt=βZtdt+γZt。dWt。定理4.4的方程式（4.3）和（4.4）很容易通过公式Zt=Y进行验证（V=~V=0）*X（t）*t） α的不同特征是γZt=Zt（ακ*t+（ν）*T- ηRt）和βZt=（1- α） Zt(-rt+αkκ*tk）。2021 6月28日17/38当问题还包括优化消费过程时，我们必须精确确定当U（α）t（x）=bZtu（α）（x）是一个功率累进效用，bz是一个具有局部特征的半鞅（γ，β）时，我们必须为消费选择什么随机效用来满足效用系统（U（α），V）的一致性。一个有用的工具是方程组（4.10），因为描述过程γx（t，x）=bγtu（α）x（x）的方程并不明确依赖于v。为了区分这两个问题，我们引入符号^。

与消费问题相关的数量。（i） 方程式（4.3）将这两个ide除以u（α）x（x）后，得到tobγt=bZtαx-1bσ*t（x）+（bν*t（Ux（t，x））- ηRt）。由于bγtdoes不依赖于x，这个等式意味着与x相同-1bσ*t（x）=bκ*t（x）和bν*t（Ux（t，x））不依赖于x，因此在没有消耗bγt=bZt（αbκ）的情况下*t+（bν）*T- ηRt）。（ii）漂移方程（4.4）变为bβt=bZt(-(1 - α） rt+α（1）- α） kbκ*（tk）-eV（t，bZtu（α）x（x））/u（α）（x）。因此，通过与前面相同的论证，渐进共轭效用ev（t，y）必须是这样的，即ev（t，bZtu（α）x（x））=αbψtbZtu（α）（x），其中bψ是具有良好可积性的正适应过程。因此，eV（t，y）=bψt（bZt）1/αu（α）（y）。因此，eV是电力公司V（t，x）=（bψt）αbZtu（α）（x）=（bψt）αU（α）（t，x）的芬切尔变换。（iii）然后，过程bz是随机微分方程dbzt=bZt的解（αbκ*t+（bν）*T- ηRt）。dWt+- (1 - α） rt+α（1）- α） kbκ*tk- αbψtdt其中最优策略与无消耗情况下相同（bκ*≡κ*, bν*≡ ν*),bZt=Zte-αRtbψsds。过程bψt在这个公式中显示了对财富而非国家价格密度的利率的附加利差的作用。最优消费c的封闭形式证明了这种解释*t（x）=-在c进行了一些繁琐的计算之后，给出了eVy（t，bZtu（α）x（x））*t（z）=zbψt.推论4.6。

一个消耗一致的渐进式电力公用事业系统需要一对具有相同风险规避系数α的电力公用事业，使得u（α）（t，x）=bZtx1-α1-α=bZtu（α）（x）和V（α）（t，x）=（^ψt）αU（α）（t，x）。（i） 它们的初始条件是线性的*t（x）=xbX*t、 Y*t（y）=yY*t、 d c*t（z）=zbψt.（ii）系数zt由最优过程通过bzt=Y确定*t（bX*t） α，而系数ψ仅假定为正。（iii）最优过程（初始条件为1）由系统c驱动*t=bψtandbx*t=bX*T（rt）-bψt）dt+κ*t、 （dWt+ηRt）, dY*t=Y*T- rtdt+（ν）*T- ηRt）dWs（4.8）2021 6月28日18/38在一致渐进效用的一般情况下，需要额外的正则性条件，但仍然可以根据初始条件和最优过程给出正向效用的闭合形式。4.4通过优化过程存在一致渐进效用和封闭形式特征的规律性问题。在第4.2小节中，为了建立HJB约束，我们假设了一致的渐进效用，以有效地应用其Ventzel公式；然后，我们展示了与非最优投资组合相关的SDE的局部特征和系数之间的联系，但没有证明其存在。对共轭U进行了同样的假设，以与原问题相同的方式暗示了双重HJB约束。但众所周知，在所有一般情况下，这些假设都是不满足的。假设存在满足HJB约束的正则渐进效用，我们证明（U，V）是一个Xc一致的随机效用系统，与正则最优对偶SDE（~u）相关联*, ~σ*) 其系数仅基于U的扩散特性γ，而不取决于消耗过程V的效用。