长期收益率曲线建模中具有渐进效用的拉姆齐规则

考虑到定理3.5不是直接应用于U，而是应用于UX，其扩散特性γx的形式与随机场G的扩散特性相同，其中σy被σ所取代，因此，强对偶解的存在非常重要*t、 σXbyσ*t（x）=κ*t（x）。除了一致性，在这个HJB约束下，我们证明了这样的效用系统可以用封闭形式表示。为了接近定理3.5的符号，我们回顾了与原问题和对偶问题相关的最优SDE的所有系数，~σ*t（y）：=y（ν）*t（y）- ηRt），μ*t（y）：=-rty，σ*t（x）：=xκ*t（x）u*,ct（x）：=rtx+xκ*t（x）。ηRt- ζ*（t，x），bL（u）*,σ*,c） t，x：=x（kσ）*t（x）k十）- u*,ct（x）x、 L（~u）*,σ*)t、 x=kσ*t（x）kxx+~u*t（x）x（4.9）提案4.7。设U为K2，δloc正则（δ>0）累进效用U，其局部特征（β，γ）满足HJB约束（γx（t，x）：=-Uxx（t，x）xκ*t（x）+σ*t（Ux（t，x）），γ⊥x（t，-eUy（t，y））=yν*t（y）β（t，x）：=-Ux（t，x）xrt-eV（t，Ux（t，x））+Uxx（t，x）kxκ*t（x）k（4.10）（i）边际效用是SPDE（3.4）的递减解，其系数（u）*,c、 σ*) 和（√u）*, ~σ*)dUx（t，x）=σ*t（Ux（t，x））。dWt+~u*t（Ux（t，x））dt- xUx（t，x）σ*t（x）。dWt+~σ*y（t，Ux（t，x））dt）+bL*,ct，x（U）dt（4.11）（ii）表示SDE（u*,c、 σ*t） 和SDE(-rty，~σ*（t，y））承认单调解2021 06月28日19/38（X*t（x），Y*t（y））。然后，t时刻的边际远期效用是0时刻边际效用通过最优对偶过程Ux（t，x）=Y的非线性传输*t（ux（（X*（t）-1（x）证明。

首先，假设U是K2，δloc∩ C-正则，K1类的Uxis，δloc及其局部特征（βx，γx）为cinx类；然后向量σ*t（x）=-（γRx（t，x）+ηRtUx（t，x））/Uxx（t，x）和∑*t（y）=γ⊥x（t，-eUy（t，y））- yηr也属于C类，是定义的必要条件*,c、 通过推导正则累进效用U的局部特征，我们可以看到βx（t，x）=-x（Ux（t，x）xrt）- Uxx（t，x）eVy（t，Ux（t，x））+十、Uxx（t，x）kσ*t（x）k.观察到evy（t，Ux（t，x））=-（Vc）-1（t，Ux（t，x））=-ζ*（t，x），那么-x（Ux（t，x）xrt）- Uxx（t，x）eVy（t，Ux（t，x））=-x（Ux（t，x）xrt+Uxx（t，x）ζ*（t，x）=-xUx（t，x）u*,c（t，x）- rtUx（t，x）。它仍然需要对漂移特性进行一些细微的改变：βx（t，x）=-xUx（t，x）u*,c（t，x）- rtUx（t，x）+十、Uxx（t，x）kσ*t（x）k=bL*,ct，x（U）- rtUx（t，x）+xUx（t，x）σ*t（x）。ηRt=bL*,电流互感器，x（U）+u*t（Ux（t，x））+xUx（t，x）σ*t（x）。ηr让我们给出σ的另一种解释*t（x）。ηRt.自∑*（t，y）+ηRty属于向量空间R⊥t空间导数∑*y（t，y）+ηRtis也在R中⊥t、 屈服于标度积上的关系- σ*t（x）。ηRt=σ*t（x）。~σ*y（t，y）。那么，我认为dentity（4.11）是正确的。（ii）如果我们知道SDE（u）的单调解的存在性*,c、 σ*t） 和SDE(-rty，~σ*（t，y）），根据与Ux相关的SPDE的形式和定理3.5的断言（ii），我们很容易得到Ux（t，x）=y的表示*t（ux（（X*（t）-1（x）））。下一个定理给出了优化问题（单调）最优解存在的充分条件。定理4.8。

让你成为K2，δloc∩ C-正则（δ>0）累进效用U，其局部特征（β，γ）满足HJB约束4.10。主要结果假设存在两个适应界（K，K）∈ L（dt）使得正则随机场γ⊥xsatisfykγ⊥x（t，x）k≤ Kt | Ux（t，x）|，kγ⊥xx（t，x）k≤ Kt | Uxx（t，x）|，a.s.（4.13）（i）As yν*t（y）=γ⊥x（t，U）-1x（t，y）），和∑*t（y）：=y（ν）*t（y）- ηRt），SDE(-rty，~σ*（t，y））一致Lipschitz及其唯一强解y*t（y）i在增加，范围为[0，∞).（ii）此外，假设存在一个处理Vc（t，Kx）的适配界Ksuch≥Ux（t，x）a.s.对于任何x.使用符号σ*t（x）：=xκ*t（x）和u*,ct（x）：=rtx+xκ*t（x）。ηRt- ζ*（t，x），a）SDE（u*,c、 σ*) 是局部Lipschitz且允许最大正单调解X*这样Ux（，X*.（x） ）与溶液Y不同*.（ux（x））。b） 最佳财富过程中的最佳消费是2021 6月28日20/38摄氏度*t（x）=ζ*（t，X*t（x））=-eVy（t，Ux（t，X*t（x））=-埃维（t，Y）*t（ux（x））。用u表示的反向溶液*（t，x）=rtx+xκ*t（x）。ηrT一些没有消耗的Portfolio的漂移，通过ζ（t，x）一些增加的适应正随机场，以及通过u（t，x）=u*（t，x）- ζ（t，x）。假设存在（`X，Y*) 关于des的两个单调解（°u，σ）*) 和SDE（μ）*, ~σ*) 范围为（0，∞).a） 对于任何确定的效用函数（u，v），使得vc（ζ（0，x））=ux（x），ux（t，x）=Y*t（ux（\'X-1t（x）），Vc（t，c）=Ux（t，ζ）*,-1（t，c））b）此外，如果Y*t（u（x））x′Xt（x）在0的邻域内是勒贝格可积的，那么u（t，\'Xt（x））=ZxY*t（ux（z））x′Xt（z）dz，V（t，ζ）*（t，c））=ZcUx（t，z）dzζ*（t，z）（4.14）然后，在这些额外的可积性假设下，（Ux，Vc）是具有消费的一致效用系统的边际效用。证据

鉴于之前的结果，证明主要结果很容易。（i） 这一断言是对正交差异特征的假设的简单结果。（ii）a）我们首先用系数σ求解财富SDE*t（x）和u*,ct（x）。这些系数为局部Lipschitz，自ζ起呈线性增长*（t，x）=（Vc）-1（t，Ux（t，x））≤Ktx。然后是一个强解X*在爆炸时间τ（x）内存在。但是，通过SPDE的验证，Ux（t，X*t（x））=Y*[0，τ（x））上的t（ux）。自Y*t（ux）定义良好，τ（x）=+∞ a、 s。。由于我们必须考虑增量函数ζ，消耗的反向问题的公式更为复杂。断言a）由与之前使用定理3.5相同的论点证明。断言b）通过应用变量公式的变化，为正向效用本身的构造提供了一个直观的形式。4.5向后经典效用最大化问题的价值函数作为一致渐进效用本小节指出了一致渐进效用和向后经典价值函数之间的相似性和差异，以及它们相应的投资组合/消费优化问题。经典的投资组合/消费优化问题及其共轭问题经典的消费和终端财富优化问题是由一个固定的视界和两个确定的效用函数u（.）和v（t，.）直到这个地平线。使用与第4节相同的符号，经典优化问题被表述为以下最大化问题sup（κ，c）∈XcEu（Xκ，cTH）+ZTHv（t，ct）dt. （4.15）2021 6月28日21/38对于任何[0，TH]值F-停止τ和任何正随机变量Fτ-可测量ξτ，Xc（τ，ξτ）表示从时间τ开始的容许策略集，初始正财富ξτ，在财富过程达到0时停止。

相应的值系统（即由（τ，ξτ）索引的随机变量族）定义为，U（τ，ξτ）=ess sup（κ，c）∈Xc（τ，ξτ）Eu（Xκ，cTH（τ，ξτ））+ZTHτv（s，cs）ds | Fτ, a、 s.（4.16），终端条件U（TH，x）=U（x）。我们假设存在一个累进效用（仍然表示为U（t，x））聚集这些系统：这个结果或多或少隐含在文献中，并已被Englezos和Karatzas[30]在完全市场的情况下证明。不完全市场的证明将在未来的工作中完成。由于它在此类随机控制问题中是经典的（[18]），并由W.Schachermayerin[37]为无消耗问题所示，动态规划原理如下：对于任意对τ≤ [0，TH]的θ值停止时间u（τ，ξτ）=ess sup（X，c）∈Xc（τ，ξτ）EU（θ，Xθ（τ，ξτ）+Rθτv（s，cs）ds | Fτa、 在效用函数（u，v）的渐近弹性的温和假设下，[23]和[37]也证明了最优解（投资组合，消费）的任何初始财富的存在性。那么，（U（t，x），v（t，c））在定义4.3的意义上是一个Xc一致的动态效用系统，直到时间。Mania和Tevzadze[26]在价值函数U的强正则性假设下，利用反向SDPE证明了一个无消耗问题的相同性质。类似地，设（eU（t，y），~v（t，y））是（U（t，x），v（t，c））的凸共轭效用。eU（t，y）聚合了定义的等效后向对偶问题（KaratzasLehoczky-Shreve[16]）的动态版本，用于任何F-s顶部时间τ≤ 对于任何正态变量Fτ-可测ψτ，来自状态价格密度过程es{Yν，ν的族Yc（τ，ψτ）∈ R⊥} （见（4.2））动力学dYνt（y）=yνt（y）[-rtdt+（νt-ηRt）。dWt]，νt∈ R⊥t、 从时间τ的ψτ开始。

对偶后向优化问题的值函数为theneU（τ，ψτ）=ess infYν∈Yc（τ，ψτ）E~u（YνTH）+ZTHτv（s，Yνs）ds | Fτ, a、 s.（4.17）优化过程Yt（y）与ν=0相关联的变量在y中是线性的，为了简单起见，表示为Yt（y）=yYt（1）=yYt。我们还经常使用缩写符号Ys，t=Yt/Ys，s<t.（i）在完整市场中，yYt是唯一的状态价格密度过程，值函数由eu（τ，ψτ）=E给出~u（ψτYτ，TH）+RTHτv（s，ψτYτ，s）ds | Fτ, 然后最优状态价格密度Y*不依赖于效用函数u和v，以及在地平线TH上的最优过程的差异（X*, C*).2021 6月28日22/38（ii）在不完全市场中，我们参考[23]以确保存在最优状态价格密度Yν*,t使标准（4.17）最小化（注意，这可以在比远期情况更弱的假设下实现）。现在，最佳选择取决于视界，显然取决于效用函数（u，v）。由于我们本质上对地平线深度感兴趣，我们不记得效用标准的影响。为了避免过于繁琐的公式，Yν*,这通常表示Y*,H.由于（eU，~v）是一个渐进共轭效用系统，定理4.7的结果（在上述工作中通过最大值原理直接获得），我们知道Ux（t，X）*,Ht（x）），Y*,Ht（y）和最佳消耗率c*.Ht（c）由它们的初始条件连接：Ux（0，x）=y=vc（0，c）（c）*,Ht（c）=-~vy（t，Y）*,Ht（y））即。

vc（t，c）*,Ht（y））=y*,Ht（y），Ux（t，X）*,Ht（x））=Y*,Ht（Ux（0，x））=vc（t，c）*,Ht(-~vy（0，y）））Ux（0，x）=y=vc（0，c）（4.18），但经典优化问题的提出方式与渐进效用问题完全不同：U的初始值是通过后向分析计算的，从其给定的终值开始，而渐进效用的初始值是给定的。此外，最优财富仅从其终端价值X来表征*,嗯。为了计算它在任何时间t的价值，我们必须使用基于（X）的定价技术*香港电台+香港电台*sds）是一项可复制资产，其在t时的市场价值≤ 这是byX给的*,Ht（x）=EY*,HTH（y）X*,HTH+ZTtY*,Hs（y）c*,Hs（c）ds |英尺. （4.19）另一个主要区别是，从落后的角度来看，没有注意到最优策略的单调性。与渐进效用框架相比，经典环境下的最优解高度依赖于地平线TH，这导致了跨时性问题。为了说明这种时间不一致性，让我们考虑一个介于0和之间的中间地平线T，以及以下两种情况。- 在第一种情况下，投资者计算其对地平线T和效用函数（u，v）的最优策略，然后在时间T对其财富X进行再投资*实现最佳战略政策（X*,HTH（T，X）*T） ，c*,Ht（T，X）*T） ，对于效用函数（uH，v）的问题，在日期（T，TH）之间是最优的。- 在第二种情况下，投资者直接计算其最优策略，表示为（^XTH，^cHt），用于地平线和效用函数（呃，v）。由于偏好的唯一性（通常由投资者隐式假设），两种情况的最终价值必须一致，即X*TH（T，X）*T） =^XTHa。s对于任何T和（T<TH）。一般来说，这是不可能的。

事实上，在（T，TH）之间，投资者使用相同的效用函数（呃，v），应用于T，X时不同的初始财富*2021 6月28日，第一个战略为38/23，以及*T对于第二种策略，因为^XTH（T，^XT）=^XTHa。s、 特别是，如果^X对于初始财富是单调的，则当且仅当^XT=X时，才能实现最终时间一致性*T、 P- a、 s。。如果我们在任何时间T寻找相同的财产，财富过程^X和X*都一样。另一方面，动态规划原理意味着，对于地平线为T，但效用为随机效用（Ux（T，x），v）的类问题，^x是最优财富。在任何情况下，最优策略都不尽相同。因此，渐进效用过程是经典效用函数的一种替代方法，它给出了时间一致性属性，并激励人们根据跨期一致性重新考虑经典效用框架提出的问题。第5节重点介绍长期贴现率和收益率曲线的例子。但在此之前，作为效用最大化的一个应用，我们回顾了一些关于金融定价的结果。4.6风险中性定价和边际效用（含消费）差异定价从后向角度来看，我们通过所谓的定价规则（4.19）找到了最优财富的市场价值。这个问题与一个更一般的财务问题有关，该问题包括在T，T日支付的有界或有权ζT的定价≤ 第。可对冲收益的风险中性定价（i）在4.5中对最优状态价格密度的研究中，我们看到了所谓的最小密度过程Yt（y）=yYt发挥的“普遍”规则。特别是，由于RTI是一个向量空间，货币市场策略（κ≡ 0）是可容许的，且Lt=eRtrsdsYtis是局部鞅。

我们现在假设书信电报是[0，TH]上的一致可积鞅，它允许我们引入一个极小值，也称为风险中性鞅测度，dQ=LTH。σ场FTH上的dP。更一般地说，对于任何可容许的ν∈ R⊥t、 Lνt（y）=eRtrsdsYνt（y）：=LtL⊥,νt（y）也是局部鞅，鞅与正交局部鞅的乘积⊥,ν.（y） 。所以，我⊥,ν.（y） 是一个Q-局部鞅，Q-期望s比y.WhenE小LνTH（y）= y、 那么LνTH（y）/y是概率测度Qν相对于P的密度，L⊥,νTH（y）/y是在完全市场中，或更一般地在没有套利机会的不完全市场中，相对于Q.（ii）的Qν的密度，可由可容许的自融资投资组合复制的任何有界偶然目标ζTpaid在T日的市场价格pm（ζT）（在不含糊的情况下为pm）在任何可容许的状态价格密度，尤其是对于yy和Y，都是一个局部鞅*t（y）。因为Lis是真鞅，ζ有界，Ytpmt也是由其终值的条件期望给出的真鞅；2021 6月28日24/38此观察结果与经典定价公式（在完整市场中）一致，作为t和t之间贴现索赔的最小风险中性条件期望，pmt=EYT（y）YT（y）ζT英尺= 情商E-RTtrsdsζT英尺. （4.20）此外，对于任何可接受的过程∈ R⊥,L⊥,νt（y）e-RTtrsdspmt也是一个正的EQ局部鞅，然后是一个Q-超鞅，下面的不等式（如果⊥,ν是Q-鞅）成立YνT（Y）YνT（Y）ζT英尺= 情商L⊥,νT（y）L⊥,νt（y）e-RTtrsdsζT英尺≤ pmt，P- a、 s.（4.21）相同的定价公式可用于定价有界可套期支付。

最小风险中性定价规则给出了有界可对冲或有权益的最大卖方价格。（iii）从远期观点来看，我们知道，从规律性假设来看，最优状态价格Y*允许以下分解*t（y）=yYtL⊥,*t（y），其中⊥,*t（y）是Q-一致可积鞅。然后，所有之前的不等式都是等式，尤其是对于可对冲的支付fζT，EYT（y）YT（y）ζT英尺= 情商E-RTtrsdsζT英尺= pmt。P- a、 在后向案件中，同样的财产适用，前提是⊥,*,Ht（y）是Q-一致可积鞅。边际效用差异定价当收益ζ在不完全市场上不可复制时，有不同的方法来评估来自不可对冲部分的风险，从而产生买卖价差。一种方法是按差异定价。当投资者意识到他们对不可规避的风险的敏感性时，他们可以尝试在风险合约中仅以少量金额进行交易。在这种情况下，买方希望以买方的“公平价格”（也称为戴维斯价格或边际效用价格[4]）进行交易，该价格对应于零边际替代率看跌期权。换句话说，考虑以下两个反向最大化问题（有和没有权利要求ζTH）：Uζ（t，x，q）：=sup（κ，c）∈Xc（t，x）E[U（TH，xκTH+qζTH）+RTHtV（s，cs）ds | Ft]，（4.22）U（t，x）：=sup（κ，c）∈Xc（t，x）E[U（TH，xκTH）+RTHtV（s，cs）ds | Ft]，t≤ TH（4.23）边际效用差异价格是指投资者不参与或有权益投资的价格：这是金融时报调整的过程（看跌期权（x））t∈[0，TH]由非线性关系在任意时间t确定qUζ（t，x，q）|q=0=qU（t，x+qput（x）| q=0，f或全部t∈ [0，TH]。（4.24）边际效用价格是一个线性定价规则。