长期收益率曲线建模中具有渐进效用的拉姆齐规则

然后，对于任意效用函数u，使得Z（ux（x））在x=0的邻域内是勒贝格可积的，本原u={u（t，x）=RxZt（ux（Z））dz，t≥ 0，x>0}是一个渐进的实用程序。注释（i）使用与确定性情况下相同的参数证明了SDE（u，σ）强整体解的存在性，当系数为统一的线性线性规划，且（随机）时间依赖于Lipschitz界时（Protter[32]，或更详尽的研究，见Kunita[15]）。常数Lipschitz界C对应于Lipschitz SDE的经典框架，其射程性质是众所周知的。（ii）“全局解”的概念表示解（Zt（z））存在于所有t≥ 0.在较弱的假设下，在爆炸之前，溶液可能仅定义为有限寿命ζ（z）。更多细节将在下一节中给出。（iii）可以展示一个IT^o的随机油田的局部特征（β，γ）成为渐进效用的充分条件：特别是，如果存在随机Lipschitzbounds和KitwithRTCitdt<+∞ andRT|Kit|dt<+∞ 对于任何T，例如P a.s.（|βx（T，x）≤ Ct | Ux（t，x）|，kγx（t，x）k≤ Kt | Ux（t，x）|βxx（t，x）|≤ Ct | Uxx（t，x）|，kγxx（t，x）k≤ Kt | Uxx（t，x）|（2.3）内禀SDE（u，σ）的系数均为Lipschitz，U为渐进效用。2.2凸共轭渐进效用的动力学对渐进效用U的凸共轭效用U的研究基于众所周知的实体（定义1.1）eU（t，y）=U（t，-eUy（t，y））+yeUy（t，y），并要求了解C-半鞅U（t，x）在这个过程中的动力学-尤伊（t，y）。计算基于It^o-Ventzel公式，这是经典It^o公式的扩展。我们参考Ventzel[38]和Kunita[15]（定理3.3.1）了解该公式的不同变体。命题2.2（I^o-Ventzel公式）。

考虑一个具有局部特征（φ，ψ）的C-It^o半鞅F，这样fx也是一个具有局部特征（φx，ψx）的It^o半鞅。对于任何连续的It^o半鞅X，F（，X.）是It^o半鞅，F（t，Xt）=F（0，X）+Ztφ（s，Xs）ds+Ztψ（s，Xs）。dWs（2.4）+ZtFx（s，Xs）dXs+ZtFxx（s，Xs）hdXsi+ZthdFx（s，x），dXsi | x=XsComment方程右侧的第一行对应于过程的动力学（F（t，x））t≥0taken on（Xt）t≥0，当在第二行时，2021 6月28日前的两个术语来自经典的It^o’s公式。最后一项表示dFx（t，x）和dXt之间的二次协变量，x=Xt，可以写成ψx（t，Xt）。σxtdt当X的扩散系数为向量σXt时。它-Ventzel公式和变量的单调变化将有助于我们建立随机场U的局部特征与定理2.3之间的关系。假设U是一个渐进效用，U是一个渐进凸共轭效用，U是具有局部特征（β，γ）和（～β，～γ）的C-It^o半鞅。我们还假设它们的边际效用Ux和Uy是具有局部特征的emi鞅（βx，γx）和（～βy，～γy）。（i） Eu的动力学由非线性二阶SPDE驱动，deU（t，y）=γ（t，-eUy（t，y））。dWt+β（t，-eUy（t，y））dt+eUyy（t，y）kγxT-尤伊（t，y）kdt。（2.5）（ii）假设（u，σ）（与Ux相关的SDE的随机系数）对于散度形式的伴随椭圆算子是公平规则的，定义良好，bLσ，ut，y（f）=y（kσ（t，y）kyf（t，y））- u（t，y）yf（t，y）。（2.6）那么边际共轭效用Eu是前向spdeduy（t，y）的单调解-y（eUy）（t，y）σ（t，y）。dWt+bLσ，ut，y（eUy）dt，eUy（0，y）=uy（y）。（2.7）观察到，局部特征（～β，～γ）的可导性要求存在一个三阶导数foreU，因此对于U。

还应注意（ii）描述了SDE的倒数。证据将其应用于正则随机场F（t，x）=U（t，x）-y x与半鞅Xt=-尤伊（t，y）。以下标识将用于ul、F（t、，-eUy（t，y））=eU（t，y），Uxx（t，-eUy（t，y））=-1/eUyy（t，y）。（i） a）观察Fx（t，-eUy（t，y））=Ux(-eUy（t，y））- Y≡ 0，因此术语inFx（s，Xs）dxsd出现在It^oVentzel公式中；然后，扩散随机场γof Eu是γ（t，y）=γ（t，-eUy（t，y））。其导数γy（t，y）=-γx（t，-假设eUy（t，y））eUyy（t，y）是eUy的扩散特征。因此，协变量项由hdfx（t，x）驱动，-deUy（t，y）i=-hγx（t，x），～γy（t，y）idt。b） 然后，将其简化为Deutzy-Ventzy公式- β（t，-eUy（t，y））dt- γ（t，-eUy（t，y））。dWt=UxxT-尤伊（t，y）hdeUy（t，y）i- hγx（t，-eUy（t，y））。γy（t，y）idt=Uxx（t，-eUy（t，y））kγy（t，y）kdt- Uxx（t，-eUy（t，y））kγy（t，y）kdtUxx-公式=-Uxx（t，-eUy（t，y））kγy（t，y）kdteUyy公式=eUyy（t，y）kγxT-尤伊（t，y）kdt。2021 6月28日7月38日（ii）通过对上一个方程中的项进行逐项微分，获得了（通过假设和定理3.1）Eyuy的动力学。系数σ（t，y）=γx的使用T-尤伊（t，y）和u（t，y）=βxT-尤伊（t，y）通过与UX相关的SDE，我们可以表达由操作员tbLσ，ut，y驱动的SPDE的解决方案=y（kσ（t，y）ky）- u（t，y）y、 平分球（t，y）=-eUyy（t，y）[u（t，y）dt+σ（t，y）.dWt]+y（eUyy（t，y）kσ（t，y）k）dt=-yeUy（t，y）σ（t，y）。dWt+bLσ，ut，y（eUy）dt证明成立。备注2.1。显然，我们也对与单调随机变量y相关的SDE（～u，～σ）的性质感兴趣，～u（t，z）=～βy（t，（eUy）-1（t，z））和∑（t，z）=γy（t，（eUy）-1（t，z））。

鉴于此（尤伊）-1（t，z）=-Ux（t，z），Uxx（t，z）~σ（t，z）=γx（t，-z） 和Uxx（t，-z） u（t，-z）=βx（t，z）-十、kγx（t，z）kUxx（t，z）.很明显，这些系数在全球范围内并不是Lipschitz。直接研究SDE（＠σ，＠u）的问题是可能的爆炸时间τ（x）的存在，如下一节3.1定理3.1所示。让我们首先介绍一下关于规则性问题的其他工具。3 It^o随机场和Spdes在本节中，我们关注It^o随机场局部特征的规律性，以证明流动特性的合理性，尤其是在导数、单调性等方面。。。。我还建立了SDE和SPD之间的联系，这将有助于从动态角度描述市场一致性渐进公用事业。3.1正则性问题我们将讨论半鞅随机场F（t，x）=F（0，x）+Rtφ（s，x）ds+Rtψ（s，x）的正则性。dWsin与其局部特征（φ，ψ）的规律性有关，反之亦然。我们也关心同样的关于SDesolutions的问题，其中空间参数是初始条件。在确定性的情况下，有必要引入一些非常类似于索波列夫规范的空间规范。范数和空间的定义让φ是一个连续的Rk值进行随机域，让m是一个非负整数，δ是（0，1）中的一个数。我们需要控制0和1中的渐近行为∞ φ，以及存在时其H"older导数的正则性。

更精确地说，让φ在Cm类中，δ（]0+∞[），即（m，δ）-对于任何t，x中连续可微的次数，对于任何子集K，a.s.（i）]0, +∞[，我们定义了随机（H"older）K-半范数族kφkm:k（t，ω）=supx∈Kkφ（t，x，ω）kx+P1≤J≤msupx∈Kkjxφ（t，x，ω）kkφkm，δ：K（t，ω）=Kφkm:K（t，ω）+supx，y∈Kkmxφ（t，x，ω）- mxφ（t，y，ω）k | x- y |δ。（3.1）2021 6月28日8/38案例（m=0，δ=1）对应于第1节中使用的Lipschitz案例的本地版本。当K是所有域]0时+∞[，我们简单地写k.km（t，ω），或k.km，δ（t，ω）。（ii）之前的半范数与空间参数有关。我们加上时间维度，作为这些半范数（或半范数的平方）的和，在时间上可积于[0，t]上的勒贝格测度。然后，正如在Lebesgue\'sTheorem中，我们可以区分、传递到极限、通勤极限和随机领域的积分。书法符号提醒我们，这些s emi规范是随机的。a） 对于任意一个这样的紧集，δk表示]0, +∞[，和任何T，RTkφkm，δ：K（T，ω）dt<∞, （分别为RTkψkm，δ：K（t，ω）dt<∞ ).b） 当这些不同的规范在整个空间中得到明确定义时]0+∞[，导数（高达某一阶）在空间参数中有界，在时间随机界中可积（分别为平方可积）。在这种情况下，我们使用符号Kmb、KmborKm、δb、Km、δb。随机场和SDE的正则性性质以下命题是Kunita[15]中技术结果的简短介绍。命题3.1（随机领域的差异规则）。

设F是具有局部特征（φ，ψ）的It^o半鞅随机域，F（t，x）=F（0，x）+Rtφ（s，x）ds+Rtψ（s，x）。dWs（i）如果F是Km，则某些m的δloc半鞅≥ 0, δ ∈ （0，1），其局部特征（φ，ψ）为Km类，εloc×Km，εloc对于任何ε<δ。（ii）相反地，如果局部特征（φ，ψ）是类Km，δloc×Km，δloc，那么F是任意ε<δ的aKm，εloc半鞅。（iii）在任何情况下≥ 1, δ ∈ （0,1），导数随机场FX是一个具有局部特征（φx，ψx）的It随机场。SDEs解决方案的特殊情况对于应用程序来说非常重要。陈述如下[21]。定理3.2（SDE的流动特性）。a） 强溶液考虑S DE（u，σ），具有均匀的Lipschitz系数（u，σ）∈ K0,1b×K0,1b。存在一个独特的强解X，使得dxt=u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）。dWt，X=X.（i）如果u∈ Km，δ带σ∈ Km，δb对于某些m≥ 1, δ ∈ （0，1），解X=（Xxt，X>0）是任意ε<δ的一个Km，ε半鞅。逆X-X的1也属于Cm类。

那么，导数xxx和1/xxkm是Km-1，εloc半鞅。（ii）X，λX（t，X）=u（t，Xxt）和θX（t，X）=σ（t，Xxt）的局部特征仅具有局部性质，并且对于任何ε<δ，都属于Km，εloc×Km，εloc。b） 局部SDE仅假设系数（u，σ）的局部性质∈ K0,1loc×K0,1loc。（i） 然后，对于任何初始条件x，SDE具有唯一的最大m单调解2021 6月28日9/38（Xxt），直到爆炸时间τ（x），并且（Xxt）是全局解，当且仅当爆炸时间τ（x）等于∞ 对于所有x>0 a.s。。（ii）如果（u，σ）∈ Km，δloc×Km，δloc，m≥ 1, 0 < δ ≤ 1，Xt（.）属于Cm类，ε，ε<δon{τ（x）>t}。3.2通过SDEssion可解的SPD Es我们只关心SDEs的非爆炸性溶液，我们给这个特殊类别起了一个名字。Sm类，δ：具有（u，σ）的SDE（u，σ）∈ Km，δloc×Km，δloc，其局部解为非爆炸解的称为Sm，δ类。Smδ中SDE的典型例子是与边际共轭性相关的SDE，该边际共轭性被视为SDE（u，σ）解的逆解，如定理2.3所示，其中aSPDE在定理2.3中以一种非常自然的方式关联，前提是逆流-eUyof是一个半鞅。这似乎很明显，但一般来说，半鞅的逆不一定是半鞅。确定系数（u，σ）所需规律性的一种方法是将SPDEI正式转换为SDE，并将之前的结果应用于SDE。我们还指出，逆流比逆流本身更不规则。SPDE的观点更能有效地计算解或其逆的斯托克斯变换，并允许我们在SDE和SPDE之间建立精确的联系。最后一个观点非常适合本文中发展的渐进实用程序的研究。提议3.3。

设（X（t，X））为Sm，δ，m类SDE（u，σ）的单调解≥2, δ ∈]因此，作为随机场（X（t，X））及其局部特征（λ（t，X）=u（t，X（t，X））和（θ（t，X）=σ（t，X（t，X）））属于Km类，εloc和Lm类，εloc×Km，εloc对于任意0<ε<1。我们关心的是SDE（＠u，＠σ）dξt=-Xx（t，ξt）hλ（t，ξt）-十、kθkXx（t，ξt）dt+θ（t，ξt）。dWti，ξ=z，（3.2），其中∑（t，z）=-θ（t，z）Xx（t，z）和)u（t，z）=Xx（t，z）十、kθkXx（t，z）- λ（t，z）.（i） σSm的类是-ε（0<ε<δ）及其唯一单调解ξzis逆流X-因此，逆X-1of X是一个半鞅，属于类别KM-2，εloc∩ 厘米证据（i） 根据定理2.3，X可以被视为一个边际累进效用Ux，其初始变量的变化。从备注2.1中，如果其逆ξXis是“正则的”，则ξXis是具有Xx（t，z）～σ（t，z）=σx（t，x（t，z））和Xx（t，z）～u（t，z）的SDE（～u，～σ）的解=十、kσ（t，X（t，X））kXx（t，X）（t，z）- u（t，X（t，z））局部SDE的系数（~u，~σ）为Km级-2，εloc×Km-1，εloc。然后，SDE有一个唯一的最大解ξ（t，z）直到一个寿命τ（z）。有待证明的是，到2021 10月28日，It^o-Ventzel公式X（t，ξ（t，z））=z on[0，τ（z））。假设这一点已得到证明。那么连续（时间）过程X（t，ξzt）在[0，τ（z）]上是常数a.s。在时间t=τ（z）<∞,ξ（t，z）=∞ 和X（t，∞) = ∞. 另一方面，通过连续性，X（t，ξ（t，z））=z-ift=τ（z）<∞. 为了避免矛盾，必须τ（z）=∞, a、 s。。所以ξ是X的逆流ξXof X。X（t，ξ（t，z））=z的证明与下一个证明非常相似，所以我们在这里省略它。现在我们回到第2节EOREM 3.4中的SPDE观点。让我们考虑Sm类的SDE（u，σ），δ和m≥ 2, δ ∈ （0,1]及其伴随算子blσ，ut，z=z（kσ（t，z）kz）- u（t，z）Z

用X表示其唯一解。（i） 逆流X-1=ξXof X是Km类的严格单调解-2，δloc∩ Cmof SPDE（bLσ，u，-σz） 初始条件ξ（z）=z，dξ（t，z）=-ξz（t，z）σ（t，z）。dWt+bLσ，ut，z（ξ）dt。（3.3）（ii）相反≥ 2） 设ξ为K1，δloc∩ C-SPDE的正规溶液（bLσ，u，-σz） （3.3）。那么，ξ（t，X（t，X））≡ x和ξ是严格单调的逆流x-1:=ξXof X。此外，SPDE（bLσ，u，-σz） 在K1类中，δloc∩C-正则解。证据（i） 我们从K1类的单调解ξ开始，δloc∩ SPDE的Cof:dξ（t，z）=-ξz（t，z）σ（t，z）。dWt+bLσ，ut，z（ξ）dt。（ii）根据定理3.1，ξ足够规则，可以使用它的-Ventzel公式和SDE（u，σ）的解x（t，x）=Xxtof来计算H（t，x）=ξ（t，x（t，x））的动力学。在下一个等式中，我们不记得参数x.dHt=- ξz（t，Xt）σ（t，Xt）- ξz（t，Xt）σ（t，Xt）.dWt+bLσ，u（ξ）+ξzzkσk+uξz+z(-ξzσ）。σ（t，Xt）dt=ξzzkσk+ξz(zkσk）- z（ξz）kσk-ξz(zkσk）（t，Xt）dt=0随机场H（t，x）=ξ（t，x（t，x））在时间上是恒定的，并且等于其初始条件x。这就证明了x是ξ的逆流。Sm，δ-SDE（u，σ）只有一个解X。那么，SPDE的任何“正则”解ξ都是X的倒数，并且是唯一的。下一个结果对应用程序很有用，是前一个结果的略微扩展。它在更一般的二阶SPDE和两个SDE之间建立了联系。这是基于观察到的，如果ξ是SDE（uX，σX）的单调解X的逆，如果φ∈ 在正则单调函数中，过程X（，φ（X））满足相同的条件（uX，σX），因此其逆φ-1（ξ（z））满足与ξ相同的SPDE。扩展描述了与复合过程Y（t，ξ（t，z））相关的SPDE，确定为唯一的解决方案。2021 6月28日，38年11月定理3.5。

设X是SDE（uX，σX）和ξa K1，δloc的解∩ SPDE（bLX，-σXz） ，wherebLXt，z=z（kσX（t，z）kz）- uX（t，z）z、 （i）设Y是K1类的解，δloc∩ cofsde（uY，σY）和φC中的任何函数。然后，随机场Y（t，φ（ξ（t，z））=G（t，z）演变为dG（t，z）=σY（t，G（t，z））。dWt+uY（t，G（t，z））dt- zG（t，z）σX（t，z）dWt+σYy（t，G（t，z））dt]+bLXt，z（G）（t，z））dt（3.4），初始条件为G（0，z）=φ（z）。（ii）可解的SPDE：相反，设G是K1类的解，δloc∩ SPDE（3.4）；然后，初始条件为φ（z）：=G（0，z）的过程G（t，Xt（z））是de（uY，σY）的解。如果这个方程的唯一性成立，那么G（t，z）=Yt（t，φ（ξ（t，z）），而SPDE（3.4）的唯一性也成立。注意这个定理的断言中假设（可能是等价的）的不同性质。在（i）中，我们假设系数具有足够的正则性，使得Y满足It^o-Ventzel假设，并且X的逆ξ是It^o半鞅，而在（ii）中，我们只假设X的存在（没有正则性），但作为回报，我们假设存在SPDE（3.4）的平滑解决方案G。4投资和消费的市场一致性渐进效用渐进效用渐进效用的概念非常普遍，应该加以具体说明，以便更真实地反映给定金融市场中投资者个人偏好的动态演变。与统计学习一样，效用准则也会根据市场过去的信息进行动态调整，以达到最佳效果。因此，市场投入可以被视为一个校准宇宙，并给出了一个测试类的过程，在这个过程中，效用是可以提供最佳满意度的。