长期收益率曲线建模中具有渐进效用的拉姆齐规则

使用这一定价规则意味着对这一价格存在共识，但投资者不确定2021 6月28日25/38是否有此价格的流动性。在后向情况下，边际效用价格，如最优状态价格密度，取决于视界。特别是，如果意外目标ζ在时间T<TH时交付，则ζT可以在时间T和thin之间投资于任何可接受的投资组合X.（T，ζT）（Y下的鞅）*) 如以下建议所述，通过终端支付ζTH=XTH（T，ζT）计算边际效用价格，得出相同的价格。需要时，我们使用符号Y*,H.和pu，H（x，ζT）强调了反向优化问题的时间范围依赖性。提案4.9。设（U，V）是与具有最优状态价格密度过程Y的消费一致性优化问题相关联的渐进效用*.（y） 。（i） 对于在时间TH交付的负未定权益ζTH上的任何n，边际效用价格（也称为戴维斯价格）通过双参数化yput（x，ζTH）=E给出ζ*TH（t，y）/y | Ft, y=Ux（t，x）。（4.25）（ii）在远期情况下，可针对任何到期日定义定价规则≤ 同样的方法。然后，定价规则是时间一致的，put（x，ζTH）=put（x，ζT（T，x）），其中ζT（T，x）=put（x*T（T，x），ζTH）。（iii）在后向情况下，边际效用差异价格仅针对地平线TH支付的现金流确定。当索赔ζ在TH之前的时间T交付时，ζT可被视为从ζTat T开始的任何可接受投资组合在T处的（差异）价格，终端财富XTH（T，ζT）=ζTH。ζT的边际效用价格，表示dpu，H（x，ζT）来回忆它在这里的依赖性，然后，pu，Ht（x，ζT）=pu，Ht（x，ζTH）=Eζ*,HTH（t，y）/y | Ft= EζTY*,HT（t，y）/y |英尺.

（4.26）（iv）反向边际效用定价是一个适定的定价规则，因为它不取决于ζT上可容许扩展的选择。此外，该规则也是有时一致的。证据根据Davis[4]，我们计算任意目标的边际差异，如下所示。用（X）表示*,q（z），c*,q（z））优化程序（4.22）的最优策略（索赔数量ζTH），即U（TH，X）*,qTH（x）+qζTH）+RTHtV（s，c*,qs（x））ds= Uζ（t，x，q）。形式上，我们可以在期望下推导关于q的导数，并在q=0时取导数的值（经济学中称为包络定理）qUζ（0，x，q）|q=0=EhUx（TH，X）*,qTH（x））(qX*,qTH（x）+ζTH）|q=0+RTHVc（s，c）*,qs（x））质量控制*,qs（x）| q=0dsi。（4.27）在正则性假设下，如[4]所示，最优过程（X*,qTH，c*,qs（x））对于满足limq的量q是连续可微的→0X*,qTH=X*2021 6月28日26/38和林克→0qX*,qTH=0，a.s。；林克→0c*,qs（x）=c*s（x）和limq→0质量控制*,qs（x）=0，a.s。。这意味着边际差异价格令人满意ζTHUx（TH，X*TH（x））= pu（x）Ux（0，x）。在向前和向后的情况下，最优财富在地平线TH，Ux（TH，X）处的边际效用*TH（x）），是最优状态价格密度Y*初始条件为Ux（0，x）的TH（y）。主要区别在于，在远期情况下，过程是*不依赖于对比度较低的反向设置。在正向情况下，pu（x）=Ux（0，x）EUx（TH，X）*TH（x））ζTH= Eζ*TH（y）/y.

（4.28）在反向情况下，如果索赔的到期日为T≤ 然后将ζT投资于任何可接受的投资组合X.（T，ζT），使得（Xt（T，ζT）Y*,Ht（y））t≥通过计算ζTH=XTH（T，ζT），可以得出在任何情况下，pu，H（x，ζT）=pu，H（x，ζTH）=EE（XTH（T，ζT）Y*,HTH（y）/y |英尺）= EζTY*,HT（y）/y, y=Ux（0，x）（4.29），证明了反向边际效用定价是一个适定定价规则。在任何日期t，都可以使用相同的参数来确定边际效用价格，使用过滤Ft，put（z）=Ux（t，z）E的条件分布Ux（TH，X）*TH（z））ζTH英尺, z=X*t（x）=Eζ*TH（φt）/φt英尺, φ=Ux（t，X）*t（x））=Y*t（Ux（0，x））.5为产生曲线动态，为减少全球变暖的生态项目融资，为长寿问题或任何其他具有长期影响的投资，有必要精确地建模长期利率。答案无法在金融市场找到，因为对于更长期限（30年及以上）的债券市场，债券市场变得高度缺乏流动性，标准金融利率模型无法轻易扩展。5.1一般宏观经济学考虑一般来说，这些问题是在宏观经济层面上解决的，长期利率的含义不一定与金融市场相同。它们被称为社会效率或经济利率，因为它们只受经济结构特征的影响，而且对货币政策的敏感性较低。然而，对这些比率的正确估计对长期决策是有用的，了解它们的决定因素是重要的。2021 6月28日拉姆齐规则和均衡利率宏观经济学文献通常将经济均衡利率与时间偏好率和生产率增长平均率联系起来。

一个典型的例子是1928年拉姆齐[35]的开创性论文中提出的拉姆齐规则，其中经济利率与经济均衡时总消费的边际效用相联系。更准确地说，经济是由一个规避风险的代表性代理人的策略来表示的，其对t日消费率的效用函数是函数v（t，c）。从非平衡的角度来看，时间为0时的拉姆齐规则将平衡率形成率T与随机最优消费率（c）的边际效用vc（T，c）联系起来*t） 拜尔（t）=-TlnE[vc（T，c*T） ]vc（0，c）。（5.1）通常的设置是假设时间效用函数是可分离的，指数衰减率β>0，风险规避率α为常数（0<α<1），即v（t，c）=Ke-βtc1-α1-α. β是纯粹的时间偏好参数，即β量化了当前和未来的代理人偏好。然后将最优消费率外生建模为几何布朗运动，c*t=cexp（（g-σ） t+σWt）与g表示经济增长率。拉姆齐规则导致曲线（T）=β+αg-α(α + 1)σ. （5.2）拉姆齐规则仍然是参考方程，即使考虑的框架更现实，正如许多经济学家所讨论的那样，如戈利尔[9,13,8,12,11,7,10]和魏茨曼[39,40]。然后，利用最大值原理，通过拉姆齐法则计算时间0时的均衡收益率曲线，而不讨论这种方法的时间一致性。动态效用函数似乎非常适合于建模和研究长期收益率曲线及其动力学，因为它可以消除经典反向优化问题对成熟度的依赖，从而为最优选择提供时间一致性。

此外，由于动态效用函数考虑到投资者的偏好和风险规避可能会随时间而变化，因此它们也更准确。事实上，在存在广义长期不确定性的情况下，决策方案必须不断演变：经济学家们一致认为，有必要制定一个顺序决策方案，以便根据知识的演变修改最初的决策，并指导经验，见Lecocq和Hourcade[24]。此外，顺序决策允许我们应对有不同观点或预期的合作伙伴之间找到协议核心的情况，以便有时间解决他们的争议。5.2金融框架Cox Ingersoll-Ross[3]采用均衡方法，在金融市场存在的情况下，内生性地确定利率的期限结构。在他们的模型中，2021 6月28日28/38存在一种单一的消费品，生产过程遵循一种差异，其效率取决于某种程度上影响经济的外生随机因素。无风险利率是由内生性决定的，因此投资者在货币市场交易时不会表现得更好，也就是说，她在生产机会投资和无风险工具之间没有区别。现在提出的金融观点与前一种观点非常接近，但该机构可以在货币市场之外投资金融市场。我们考虑的是一种具有外生给定利率的套利方法，而不是一种内生决定它们的均衡-均衡方法（关于这两种方法之间的比较，请参见比约克[2]的课堂讲稿）。

金融市场是一个不完整的It金融市场：符号如第4.1节所述，具有n标准布朗运动、a（外源）金融短期利率（rt）和n维风险溢价（ηrt）。经典优化问题（4.16）中的（后向）经典优化问题在第4.5小节中研究了给定视界TH的经典优化问题，终端财富和消费率的效用函数都是确定性的，然后用小字母u和v设计；它们的芬切尔结合物用（~u，~v）表示。由于我们主要关注拉姆齐法则和收益率曲线动力学，因此我们关注等价对偶公式（4.17）。最优消费率*,通过最优状态价格密度过程y，H（y）依赖于时间范围th*,H（4.18）（c）*,Ht（c）=-~vy（t，Y）*,Ht（y））即vc（t，c*,Ht（y））=y*,Ht（y），0≤ T≤ THc=-■vy（0，y）即vc（0，c）=yAs由于拉格朗日乘数y没有明显的财务解释，我们在经济文献中采用了初始消费c的参数化，基于一对一对应的vc（0，c）=y。方程（4.18）可以解释为路径拉姆齐规则，最优消费边际效用与最优状态价格密度过程：vc（t，c）*,Ht（c））vc（0，c）=Y*,Ht（y）y，0≤ T≤ 对于vc（0，c）=y.（5.3）动态问题，我们采用第4节的符号，用大写字母表示渐进式实用程序。路径关系（4.18）仍然适用于累进效用函数，使用最优消费的特征（见定理4.7），其中参数化通过初始财富x完成，或等效于自c=-~vy（ux（x））=-■vy（y），Vc（t，c*t（c））=Y*t（y），t≥ 0与vc（0，c）=y。

（5.4）前沿观点强调了在渐进效用的正则性条件下，Y相对于初始条件Y的单调性所起的关键规则（2021 06月28日29/38定理4.7）。然后作为y的函数，顺式递减，和c*t（c）是c的一个递增函数。这个单调的问题经常被避免，可能是因为对于幂函数（Litteration中经常使用的例子）Y*t（y）在y中是线性的*不依赖于y。最优状态价格密度过程y*总结了经典向后和动态向前方法之间的所有差异。特别是，渐进式效用可以消除对成熟度的依赖，从而为最佳选择提供时间一致性。注：这一次，拉姆齐规则（5.1）在经济环境中也存在不一致性。实际上，他们所考虑的优化问题通常是通过时间可分离的效用v（t，x）=e公式化的-βtv（x）具有一个有限视界，这相当于（预期）考虑效用v和一个随机视界τhexponentially分布参数β。在拉姆齐规则（5.1）中，最优消费过程*本质上依赖于β，这对应于四个经典向后公式对地平线的依赖。5.3均衡和金融收益率曲线动态正如之前观察到的，正向和反向优化问题导致最优消费和最优状态价格密度之间存在相同的纵向关系（5.4）。主要区别在于对后向情况下最优数量范围的依赖性。

因此，通常使用正向情况的符号，但使用附加符号H（Y）*,H、 c*,H、 X*,H） 要解决对瘦的依赖，需要解决经典的落后问题。（i） 由于路径关系式（5.4），拉姆齐规则y将均衡利率描述为最优状态价格密度过程y的函数*,Re（T）（y）=-Tln E[Y*T（y）/y]，这允许从债券零政变的角度给出财务解释。在时间上更加动态，Ret（T）（y）：=-T- tln EVc（T，c）*T（c）*))Vc（t，c）*t（c））英尺= -T- tln EY*T（y）y*t（y）英尺t<t.（5.5）由于流动特性，{Y*T（y）=y*T（Y）*t（y）），c*T（c）*) = C*T（c*t（c）*)), t<t}，初始条件为c时，从时间t开始的平衡屈服曲线*t（c）=-埃维（t，Y）*t（y））是吉文比Ret（T）（Y）*t（y）），t<t.（ii）将问题简化为从零息债券的价格、EhY的数量给出财务解释*T（y）y*t（y）Ftit<t。允许Bm（t，t），t≤ T, （m formarket），是指到期时支付一单位现金的零息债券在t时的价格。在金融方面，市场收益率曲线由Bm（t，t）=exp通过零息债券的价格确定(-Rmt（T）（T）- t） ）。我们使用第4.6小节关于未定权益定价的结果：零息债券Bm（t，t）的情况对应于ζt=1。如果τHis呈独立指数律分布，参数为β，E（R+∞E-βtv（ct）dt=E（RτHv（ct）dt）。2021 6月28日30/38边际效用收益率曲线（i）在完整市场中，或者如果零耦合债券是可对冲的，则Bm（t，t）由最小风险中性定价规则Bm（t，t）=E计算Yt，T英尺= 情商E-RTtrsds英尺.然后，对于可复制债券，均衡利率和市场利率重合。（ii）对于不可对冲的零息债券，我们可以应用边际差异定价（与消费）。

所以我们用Bu（t，t）（u代表效用）来表示，在到期日t支付一个现金单位的零息债券在t时的边际效用价格，也就是Bu（t，t）=但是（t，y）=EhY*T（y）y*t（y）Fti。根据最优状态价格密度和最优消费之间的联系，我们可以看到but（T，y）：=Bu（T，T）（y）=EhY*T（y）y*t（y）Fti=EhVc（T，c*T（c））Vc（T，c*t（c））Fti。（5.6）根据拉姆齐规则（5.5），均衡利率和边际效用利率是sam e。然而，最后一条曲线仅适用于小型交易。Y的鞅性质*对于在时间t到期的零息债券，t（y）But（t，y）收益率为以下动力学，波动向量Γt（t，y）dBut（t，y）But（t，y）=rtdt+Γt（t，y）。（dWt+（ηRt）- ν*t（y））dt）。（5.7）使用指数鞅的经典表示法，Et（θ）=expRtθs.dWs-Rtkθsk。ds,鞅Y*t（y）但是（t，y）可以写成具有波动性的指数鞅ν*.（y）- ηR.+Γ。（T，y）. 特别是，使用BuT（T，y）=1，y*T（y）=Bu（T，y）ETν*.（y）- ηR.+Γ。（T，y）= y-e-RTrsdsETν*.（y）- ηR。.取对数givesZTrsds=T Ru（T）-ZTΓt（t，y）。（dWt+（ηt- ν*t（y））dt）+kΓt（t，y）kdt。

（5.8）当f族Γt（t，y）被假定为与成熟度t不同时，我们恢复了经典的Heath-Jarrow-Morton框架[14]，其短期利率rt=f（t，y）的动态表示如下：-ZtTΓs（T，y）。（dWs+（ηs）- ν*s（y））ds）+tkΓs（t，y））kds（5.9），其中f（，y）为远期空头利率。o收益率曲线动力学和有限期限零息债券的边际效用价格的计算则直接使用（5.6）得出收益率曲线动力学（Rut（T，y）=-T-tln但是（T，y））Rut（T，y）=TT- tRu（T，y）-T- tZtrsds-ZtΓs（T，y）T- tdWs+Zt||Γs（T，y）|2（T）- t） ds+Zt<Γs（t，y）t- t、 ν*s- ηRs>ds。2021 6月28日31/38，沿着Dybvig【33】和El Karoui和alii的相同路线。[31]我们研究了有限成熟期收益率曲线的动力学行为，当成熟期变为有限（y）：=limT→+∞发情期（T，y）。（5.10）如果限制→+∞Γt（t，y）t-它不等于零 dP a.s.然后limT→+∞||Γt（t，y）|t-t=+∞ a、 沙子lt（y）是固定的。否则，lt=l+RtlimT→+∞||Γs（T，y）|2（T）-（s）ds-ltis常数iflimT→+∞||Γt（t，y）|t-t=0，如果limT→+∞||Γt（t，y）|t-t> 0。备注5.1。当对冲策略无法实施时，交易的名义金额成为一个重要的风险因素，边际效用价格不再准确，尤其是当市场高度缺乏流动性时。面对这个问题，基于效用的差异定价方法似乎更合适。效用差异价格是指投资者在以最佳管理的投资组合（初始财富x+p）中的价格bp出售或购买一定数量q的积极主张ζTH（在时间TH支付）或在没有主张ζTH的市场上投资其初始财富时，其现金量bp。如果q>0（分别为q<0）-p=：PBS是积极的购买（分别为。