长期收益率曲线建模中具有渐进效用的拉姆齐规则

p=：销售）差异价格。换句话说，考虑（4.22）中提到的两个反向最大化问题：Uζ（t，x+bpt，q）=U（t，x），对于所有t∈ [0，TH]。（5.11）定价规则现在是非线性的，提供了买卖价差。由于不可能在这里发展这一观点，我们建议感兴趣的读者阅读卡莫纳[34]编辑的《差异定价》一书。5.4具有消耗和收益曲线属性的电力公用事业为了能够给出更精确的边际效用收益曲线属性，我们研究进步和落后的电力公用事业作为经济学最重要的经典例子，由于一些计算的简化。消费一致性渐进式电力效用让我们考虑与这对电力渐进式电力效用相关的消费一致性渐进式电力效用（具有风险规避系数α）U（α）（t，x）=bZ（α）tx1-α1-α、 V（α）（t，x）=（^ψt）αU（α）（t，x）. 根据推论4.6，最优过程与其初始条件（即bX）是线性的*t（x）=xbX*t、 Y*t（y）=yY*t、 c*t（z）=zbψt>0。通过bz（α）t=Y确定最佳工艺的效率*t（bX*t） α。此外，dbX*t=bX*T（rt）-bψt）dt+κ*t、 （dWt+ηRt）还有迪迪*t=Y*T- rtdt+（ν）*T- ηRt）dWs只有Bx的动力学*受消费率bψt的影响。2021 6月28日32/38功率反向效用和收益率曲线（i）对于反向效用函数，时间范围TH起着至关重要的作用。

对于到期日为T<TH的零息票，在T时的支付按照时间T到时间TH的无风险利率进行资本重组，导致零息票的边际效用价格（如（4.29）所述）Bu，Ht（T，y）=EhY*,HT（y）y*,Ht（y）Fti。由于功率反向效用问题的值函数是一个一致的功率效用过程，在成熟度TH时具有确定性值，因此第4.3节中之前的系统（I）表示，我们正在寻找最优过程X*还有Y*以至于*TH=Y*TH（X）*TH）α是常数C。因此，与正向情况相比，对时间范围的依赖性在时间TH的最优财富和最优对偶过程之间具有确定性约束。这个约束等价于最优投资组合的价值泛函的鞅性质，等于鞅1-αY*德克萨斯州*t=1-αEtκ*- ηR+ν*.为了理解短期利率不确定性的影响，最好编写constraintasX*THYTH=K YTHY*谢谢*真实航向1/1-α因为两个过程都是X*雅迪*十、*具有已知波动率的指数鞅分别由κ*+ ηRandν*+ κ*- ηR，和Yt=exp(-Rtrsds），其中LTI是具有波动性的指数鞅-ηR.为了表征所有这些过程的参数，我们可以在考虑即期汇率R或风险溢价ηR的随机性后，使用分解的唯一性作为某个指数鞅的终值，以及*. 在任何情况下，这个条件意味着随机变量RTHRSD和波动率ν上的一些联系*T- ηRtandκ*tof最优过程Y*还有X*.

但要概括地描述这种联系并不容易。在对数正态市场中，边际效用的例子产生了反向电力效用的曲线。我们假设一个对数正态市场：（i）ηR.是一个确定性过程（RTC包含确定性过程）（ii）（Rtrsds）0≤T≤这是一个高斯过程，具有确定性波动向量Γ。（t） 因此，Yi的对数是一个高斯过程，方程（5.8）可以写成-Ztrsds=Cst（t）+ZtΓs（t）。dWs，t∈ [0，TH]。（5.12）（iii）进一步假设*,他的决定论，最优财富Ln（X）的对数*,H） 最优状态价格密度ln（Y*,H） 是高斯过程。特别是在时间THln（Y*,HTH）=Cst-ZTHrtdt+ZTH（ν）*,Ht- ηRt）。dWtln（X）*,HTH）=Cst+ZTHrtdt+ZTHκ*tdWt，从Y开始*,HTH（X）*,HTH）α是一个常数，高斯变量（1- α） RTHΓt（TH）。dWt+RTH（ν）*,Ht- ηRt）dWt+RTHακ*,HTDWTHA的方差为0。因此，使用2021 6月28日33/38Γt（TH）分解为两个正交向量ΓRt（TH）和⊥t（TH），我们有*,Ht=-(1 - α)Γ⊥t（TH），ακ*,Ht+（1）- α） ΓRt（TH）=ηRt.（5.13）注意*,他总是与Γ成正比⊥（TH）和κ*,H仅通过ΓR（TH）到期。因此，关于确定性风险溢价ηR和最优确定性参数ν的知识*,Ht，κ*,Ht允许我们识别到期日为TH的边际效用零息票债券的波动性，即Γt（TH）=（ηRt- ν*,（1）- α)-α1 - ακ*,Ht（5.14）相反，考虑到到期日为TH的零息票债券的确定性波动率，以及风险规避系数α，我们可以很容易地从方程（5.13）中恢复最优波动率*,Htandκ*,嗯。短期利率动态的经典模型是Vasicek模型，其中短期利率由Ornstein-Uhlenbeck过程drt=A（b）给出- rt）dt- σdWt。

TRSDS的计算得出零息债券Γs（t）=（1）的波动率- E-a（t）-s） ）σa（参见示例[25]命题2.6.1.6了解这种经典高斯计算的细节）。经典框架由一个一维布朗运动驱动的完整市场构成。在一个不完全市场的框架中，噪声驱动即期汇率与驱动风险资产的噪声正交，则Γ⊥s（t）=（1）- E-a（t）-s） ）σa和ΓR=0。因此在这个例子中κ*,Ht=ηRtα不依赖于成熟度*,Ht=（α）- 1)(1 - E-a（第-t） ）σ依赖于到期时间（第- t） .o在后向情况下，无限期到期的收益率曲线*,Hdepends于到期日TH，即到期日lt=limT的收益率曲线→+∞车辙（T）不同于前车（5.10）中的车辙→+∞||Γt（t）|t-t> 0和α<。

当我们看到渐近线T时→ +∞ 和T≤ 我们设置TH=T→ +∞ （请注意，如果TH>T，类似的结果也成立。）→ +∞) andlt=l+ZtlimT→+∞||Γs（T）|2（T）- （s）- (1 - α)||Γ⊥s（T）| |（T）- （s）dslt=l+ZtlimT→+∞(2α - 1)||Γ⊥s（T）| | 2（T）- s） +| |ΓRs（T）| | 2（T）- （s）如果限制→+∞||Γt（t）|t-t> 0，LTI是风险规避α的非递减函数：如果α≥, LTI是一个非递减过程，如正向情况；如果α<1/2，根据limT的标志，LTT可能会降低或升高→+∞((2α-1)||Γ⊥s（T）| | 2（T）-s） +| |ΓRs（T）| | 2（T）-s） ）。特别是limT→+∞||Γt（t）|t-t> 0，α<和limT→+∞||ΓRt（T）|2（T）-t） =0意味着在对数正常市场的落后电力设施框架下，有限成熟度的收益率曲线下降。2021 6月28日34/38一个有效的单因素模型可以将以前的对数正态模型扩展到一个更随机的框架，同时产生易于处理的定价公式，请参见【22】。结论：在本文中，我们有意保持对经济环境的封闭，更精确地研究了幂效用函数，并使用边际效用指数（Davis price）对不可复制零息债券进行定价，这使我们能够在金融框架中解释拉姆齐规则。这些简化意味着避免了初始经济财富的影响：一方面，电力效用意味着最优过程相对于初始条件是线性的，另一方面，Davis price是一个线性定价规则，而对于不可复制的索赔，交易规模是必须考虑的重要风险源。这一重要问题涉及对初始财富的依赖及其对产量曲线的影响，将在未来的工作中讨论。参考文献[1]F。P.Berrier和M。R.Tehranchi。投资和消费的远期效用。预印本，2011年。[2] T.比约克。

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