交易市场中习惯形成下的最优消费

对于任意停止时间τ，设X，Y为两个Fτ可测随机变量。我们表示XτY如果X- Y∈ L（^Kτ，Fτ）。这里我们定义了L（^Kτ，Fτ），简称L（^Kτ），即所有^Kτ值的Fτ可测随机变量的锥。根据前面的符号，很明显L（R1+d+） L（^KT）。给定R1+d中的一个锥^K，其正极锥由^K定义*, {w∈ R1+d:hv，wi≥ 0, 五、∈^K}。定义2.1。一个适应的R1+d+\\{0}值c`adl`ag过程Z=（Zt，Zt，…，Zdt）t∈z=1的[0，T]被称为交易成本∧的基于数值的一致价格系统，如果Zis amartingale，zi是i=1的局部鞅，d和Zt∈^K*助教。s、 因为我非常∈ [0，T]。此外，如果每[0，T]∪ {∞}-值停止时间τ，Zτ∈ int（^K）*τ） 关于{τ<∞} 对于每一个可预测的[0，T]∪ {∞}-值停止时间σ，Zσ-∈ int（^K）*σ-) a、 s.关于{σ<∞}. 所有基于数字的一致价格体系（严格一致价格体系）的集合将用Z（严格一致价格体系）表示。为简单起见，我们将CPS写为基于num’eraire（严格）一致的价格体系。在本文中，我们将做出长期假设：假设2.1。存在SCPS:Zs6=.备注1。等效地，每个SCP可以用一对（Q，~S）表示，其中Q等于P和（~St）t∈[0，T]=（~St，~Sdt）T∈[0，T]是Q下的d维局部鞅，参见[29]、[18]和[19]。（Q，~S）与Z有关∈ Zsby设置dqdp=zt和<<Sit=Zit/zt表示i=1，d和T∈ [0，T]。以下定义基于上述等效表述。定义2.2。表示Ss:={（Z/Z，…，Zd/Z）：（Z，Z，…，Zd）∈ Zs}。对于每个固定的∈ Ss，我们定义，nQ:dQdP=ZT，其中ZZ，ZdZ=~S，Z∈ Zso。同样，对于每个固定的∈ Ss，我们定义了Z（~S），nZ=（Z，Z，…，Zd）：Z∈ ZswhereZZ。

，ZdZ=所以。显然，索引为S∈ Ss，Zs（~S）可以被视为集合Zs的一个划分，而Ms（~S）={Q:dQdP=ZT，其中Z∈ Zs（▄S）}。我们还表示Ms，SS∈SsMs（~S），然后是Ms={Q:dQdP=ZT，其中Z∈ Zs}。从现在起，通过allowin g在时间t=0时交易N个欧洲未定权益，最终现金支付额=（EiT）1，市场扩大≤我≤N.我们表示q=（qi）1≤我≤Nas或有权益中的静态持有等。通过允许q取负值，而不丧失一般性，我们可以假设EiT≥ 0换1≤ 我≤ N.每个EIT都可能是u形的，但是，本文假设Pni=1对于所有SCP Z在以下情况下是一致可积的：假设2.2。（2.1）limm→∞苏普兹∈ZsE公司DNXi=1EiT{PNi=1EiT>m}，\', 中兴通讯= 0，其中“0”是d维零向量。备注2。条件（2.1）意味着SCP下随机终端的最终超级h封边价格，即supZ∈ZsE[h（PNi=1EiT，\'0），ZTi]=supQ∈MsEQ[PNi=1EiT]<∞. 如果我们需要∈ L∞, 假设2。2.微不足道。在最近的工作中，假设2.2保证了超级套期保值结果适用于所有Z∈ Zs。为了处理无界随机捐赠，具有常数下限的可接受投资组合集通常太小，需要对现金账户中具有一些随机阈值的可接受投资组合集进行扩展。为了将交易成本纳入框架，我们需要通过考虑所有SCP来修改可接受投资组合的定义（参见无价格市场中的[6]和[16]）。因为每个∈ Ssis是一个Q-局部马丁鞅，因此在物理概率测度P下，S是一个半鞅。

假设初始财富a>0，对于每个半鞅∈ 设X（~S，a）是~S-市场中非负财富过程的集合。也就是说，X（~S，a）={X≥ 0:Xt=a+（H·S）t，其中H是可预测的，且可S-可积的，t∈ [0，T]}。如果X（~S，A）中的财富过程的终值Xmax，~S不能被X（~S，A）中任何其他过程的终值Xmax，~S支配，则X（~S，A）中的财富过程被称为极大的，由Xmax，~S决定。引理2.1。在假设下2。2，存在一个常数a>0，对于每个∈ Ss，存在一个极大元素^Xmax，~S∈ X（~S，a）和pni=1EiT≤^Xmax，ST.定义2.3。假设2.1，R1+d值过程V=（Vt，Vt，…，Vdt）t∈[0，T]被称为交易成本为∧的自融资投资组合过程（见[3]），如果它满足以下属性：（1）V是可预测的，且P-a.e.V的路径对于每对停止时间0有有限的变化（2）≤ σ ≤ τ ≤ T，我们有（2.2）Vτ- Vσ∈ -^Kσ，τP- a、 其中^Kσ，τ（ω），conv[σ(ω)≤t<τ（ω）^Kt（ω）每个ω取R1+D的杆闭合∈ Ohm.备注3。正如R\'asonyi在[27]中的例子所指出的，由于买卖过程被假定为c\'adl\'ag，我们必须同时考虑投资组合过程（Vt）的左跳和右跳∈[0，T]。因此，可预测的过程是模型（Vt）t的自然选择∈[0，T]。如果停止时间τ可预测，则三个值Vτ-, Vτ和Vτ+可以不同。△Vτ=Vτ- Vτ-和△+Vτ=Vτ+- Vτ可以分别模拟时间τ之前的跳跃和时间τ处的跳跃。V的P-a.e.路径有有限变化的条件是为了数学上的方便。但其背后的财务直觉是，具有有限变量轨迹的投资组合过程将导致投资者支付巨大的交易成本。因此，我们只考虑定义2中给出的自我融资投资组合。3.定义2.4。

如果自我融资投资组合V额外满足（见[14]中的定义13），则称其为可接受（基于数量）。（3）存在阈值A>0，使得VT+（A，\'0）∈ L（^KT）和hVτ+（a，\'0），Zτi≥ 对于所有[0，T]值的停止时间τ和每个SCPS Z∈ Zs，其中0是d维零向量。相反，如果一个自我融资的投资组合V满足以下属性（3\'）存在一个常数a>0，那么它被称为可接受（基于数量）∈ Ss，存在一个极大元素xmax，~S∈ X（~S，a）带VT+（Xmax，~ST，`0）∈ L（^KT）和hVτ+（Xmax，~Sτ，`0），Zτi≥ 对于所有[0，T]值的停止时间τ和每个Z，均为0 P-a.s∈ Zs（~S）。用Vacptand和setVacptx表示所有可接受的动态投资组合过程集，{V∈ V=x=（x，x，…，xd）}，对于某些初始位置x∈ R1+d.备注4。很明显，每个可容许的投资组合过程都是可接受的，因为每个constanta>0是X（~S，a）中的一个最大元素。为了看到这一点，我们注意到∈ Ss，存在Q~ Psuch，即∧S是Q-局部鞅。因此，我们可以得出这样的结论：每一个S都是一个半鞅，对于局部有界的S，[5]中的定理7.2，对于非负的S，[21]中的定理1.3。此外，半鞅不满足风险条件为零的免费午餐，见[7]中的定理1.1。因此，X（~S，a）中没有表示常数a的最大元素。然而，上述定义总体上似乎是抽象的，因为它涉及所有S CP。在下一个示例中，我们将提供一些易于检查的条件，以确保自融资投资组合V是可接受的：示例2.1。如果存在带a的非负P-鞅W，supQ∈MsEQ[WT]<∞使VT+（WT，\'0）∈ L（^KT）和hVτ+（Wτ，\'0），Zτi≥ 每年0美元。

对于所有[0，T]值的停止时间τ和f或所有SCPS Z∈ Zs，我们可以得出结论，自我融资投资组合V是可以接受的。为了说明这一点，我们通过遵循引理2.1的相同论证，得到了每一个∈ Ss，存在一个极大元素Xmax，~S∈ X（~S，a）使WT≤ Xmax，~ST.此外，对于每个~S∈ Ss，我们也知道（Xmax，~St- Wt）t∈[0，T]是P下的上鞅，因为每个Xmax都是伪鞅。由此得出Xmax，~Sτ- Wτ≥ 所有[0，T]值的停止时间τ均为0 P-a.s。绕过不等式V和L（R1+d+）的事实 L（^KT），我们可以证明可接受投资组合的所有条件都满足。例2.2。设S为严格正半鞅，交易费用λij=λ∈（0，1）是所有0的固定常数≤ 我≤ d和1≤ J≤ d、 众所周知∈ Ss，我们有（1）- λ） 静坐<~静坐<（1+λ）静坐，P- a、 s.1≤ 我≤ d、 t∈ [0，T]。因此，对于任何固定常数k>0，我们得到了任何常数a>（1- λ） kPdi=1Siandall[0，T]-值停止时间τ，0<a+Zτ（1- λ） k‘1dSu<a+Zτk‘1dSu，其中‘1是d维单位向量，导致0<a+（1- λ） kdXi=1（Siτ）- Si）<a+Zτk'1d'Su。对于每个固定的∈ Ss，我们可以选择Xmax，~S∈ X（~S，a）使得Xmax，~ST≥ a+RTk¨1d¨Su。很容易看出（a+Rtk＠1d＠Su）t∈[0，T]是局部鞅，因此在所有Q下为上鞅∈ Ms（~S）。同时，根据[7]的定理5.7，对于任何Xmax，~S∈ 存在一些Q*∈ Ms（~S）是Q下的UI鞅*. 因此，Xmax，~Sτ≥ a+Rτk\'1dSuQ*-a、 s.forall[0，T]值的停止时间。自从Q*等价于P，我们推导出Xmax，~Sτ≥ a+Rτk¨1d¨Suholds P-a.s.让我们表示Bt，a+（1- λ） kPdi=1（Sit）- Si）对于t∈ [0，T]。

因此，对于每个∈ Ss，存在一个Xmax，~S∈ X（~S，a）使得bτ<Xmax，~Sτ，P- a、 s。。因此，在这个市场中，如果自我融资投资组合V满足以下条件：VT+（BT，\'0）∈L（^KT）和hVτ+（Bτ，\'0），Zτi≥ 对于所有[0，T]值的停止时间τ和所有SCPSZ，均为0 P-a.s∈ Zs，上述论点意味着V是一个可接受的投资组合过程。现在我们继续展示一类超套期保值定理，它适用于一些可行的或有索赔，使用可接受的投资组合。下一个假设需要排除一些民事案件。假设2.3。对于任何非零向量q∈ RN，随机变量q·ETI在SCP下的市场中不可复制。表示H（x，q）初始位置为x的可接受投资组合过程集∈ R1+D最终值决定了支付(-q·ET，\'0），即（2.3）H（x，q），{V:VT+（q·ET，\'0）∈ L（^KT），V∈ Vacptx}，（x，q）∈ K其中有效域K由（2.4）K，int{（x，q）定义∈ R1+d+N:H（x，q）6=}.2.2. 对一些可行的未定权益的超边缘化结果。让我们考虑抽象的setc（x，q），{g∈ L+（R1+d）：VT+（q·ET，\'0）- G∈ L（^KT），V∈ H（x，q）}，（x，q）∈ K.以下结果首先给出了使用所有SCP的C（x，q）中元素的特征。引理2.2。假设2。1,2.2，如果（x，q）∈ K、 对于任何g∈ C（x，q），我们有（2.5）E[hg，ZTi]≤ hx，Zi+E[h（q·ET，\'0），ZTi]，Z∈ Zs。备注5。在[16]中，在没有交易成本的情况下，作者只要求随机捐赠的超级对冲条件，即supQ∈我∞ 所有人1≤ 我≤ N由于随机积分的特殊性质，它们可以用所有等价局部鞅测度M的子集M′证明类似于（2.2）的不等式，它依赖于随机禀赋ET，参见[16]中的引理4和引理5。

此外，子集M′足以建立共轭对偶的双极性结果。在有交易成本的模型中，可接受投资组合的定义更为微妙。同样，我们可以使用给定的随机端点定义一个子集Ms（~S），使得每个^Xmax，~Sfoundin Lemma2。1是Q下的真鞅∈毫秒（秒）。然而，这个集合不再适用于我们的模型，因为每个可接受的投资组合都需要一些不同的下限Xmax，对于所有[0，T]-停止时间τ，Xmax不一定是Ms（~S）下的鞅。为了解决这个问题，我们需要避免[16]中的子集技巧，并证明整个集合Z的超级混合结果。为此，我们必须做出假设。2.这比supZ的常规超级对冲要求更强∈泽赫德PNi=1 | EiT |，\', 中兴∞.另一方面，下一个结果给出了一个标准来检查给定的过程是在setC（x，q）还是在NOT中。引理2.3。让我们假设一下。1等一下。设g为R1+d-值，FT-可测的随机向量，使得存在一个常数a>0，且对于每个S∈ Ss，存在一个极大的e-lementXmax，~S∈ X（~S，a）使得g+（Xmax，~ST，`0）∈ L（^KT）。If（2.6）E[hg，ZTi]≤ hx，Zi， Z∈ Zs，其中x∈ R1+d，存在V∈ v.真空，真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空- G∈ L（^KT）。备注6。外稃2。2和引理2.3一起提供了一个超级对冲定理，用于使用可接受的投资组合的一些可行或有权益。在没有中间消费的情况下，我们还可以研究具有无界随机禀赋的每项资产的终端财富的多变量效用最大化问题，类似于[1]。此外，使用可接受的投资组合，我们可以对少量随机捐赠进行基于边际效用的价格敏感性分析，类似于[24]，但在比例交易成本下。

这些方向的一些潜在扩展将作为未来的研究项目安排。3.具有消费和习惯形成的市场模式。3.1. 设置在本节中，我们采用了第2节中的金融市场模型，该模型具有比例交易成本和无限随机捐赠。此外，我们开始假设，在投资期内，代理人也可以从现金账户中选择中间消费。消费率过程用（ct）t表示∈[0，T]。为了简化符号，从t=0开始，我们假设投资者持有初始财富V=（x，\'\'0）和x∈ R、 也就是说，现金账户中的初始位置是x∈ R，每个风险资产账户的初始头寸为0。定义3.1。假设2。1,2.2和2.3，并设（x，\'0，q）∈ K、 消费过程（ct）t∈[0，T]被称为（x，q·E）-可融资的，如果存在自融资且可接受的投资组合∈ H（x，q），在（2.3）中定义，表示V=（x，\'0）和VT+(-RTctdt+q·ET，\'0）∈ L（^KT）。表示所有（x，q·ET）可融资消费流程的集合。提案3.1（消费预算约束）。让我们假设一下。1、2.2和2.3暂停。设（x，\'0，q）∈ K，定义见（2.4）。我们有一个过程c∈ Cx，q·ETif且仅当（3.1）EHZTCTDI≤ x+E[h（q·ET，\'0），ZTi]，Z∈ Zs。在本文中，我们对考虑消费行为路径依赖特征的时间不可分离消费偏好感兴趣。特别地，我们引入了消费习惯形成过程F（c）tG，该过程由代理的过去消费积分和初始habitF（c）t=ze的指数加权平均值驱动-Rtαvdv+Ztδse-Rtsαvdvcsds，t∈ [0，T]，其中常数z≥ 0被称为初始习惯。一般来说，贴现因子α和δ被假定为非负的可选过程，允许对其进行绑定。

然而，出于可积性的考虑，我们假设RT（δu- αu）du<∞ a、 每个t的s∈ [0，T]。本文感兴趣的是传统的情况，即从某种意义上说，消费习惯是上瘾的≥ F（c）t，T∈ [0，T]，即投资者当前的消费率不得低于生活水平。投资者的偏好由效用函数U[0，T]×（0，∞) → R、 这样，对于每一个x>0，U（·，x）在[0，T]上是连续的，并且对于每一个T∈ [0，T]，函数U（T，·）是严格凹的，严格递增的，连续可微的，并且满足INDA条件：（3.2）U′（T，0），limx→0U′（t，x）=∞, U′（t，∞) , 利克斯→∞U′（t，x）=0，其中U′（t，x），徐（t，x）。每个t∈ [0，T]，我们通过U（T，x）=-∞ 对于所有x<0的情况，这相当于成瘾性习惯形成约束≥ 效用函数的凸共轭由v（t，y），supx>0{U（t，x）定义- xy}，y>0。在[32]之后，我们假设U在x=0和x=∞.假设3.1。效用函数U满足合理的交感弹性（RAE）条件，atx=∞ x=0，即（3.3）AE∞[U]=lim supx→∞监督∈[0，T]xU′（T，x）U（T，x）< 1和（3.4）AE[U]=lim supx→0监督∈[0，T]xU′（T，x）|U（T，x）|< ∞.此外，为了在时间t上一致地得到一些不等式，我们假设（3.5）limx→∞输入∈[0，T]U（T，x）> 0和（3.6）limx→0监督∈[0，T]U（T，x）< 0.RAE条件（3.3）和（3.4）没有限制性。例如，众所周知的discountedlog效用函数U（t，x）=e-βtlog x和贴现功率效用函数U（t，x）=e-βtxpp（p<1，p6=0）满足条件（3.3）和（3.4）。

实际上，如果效用函数具有有限的下界条件inft∈[0，T]U（T，0）>-∞, 条件（3.4）得到验证。另一方面，也很容易检查效用函数U（t，x）=-Ex不满足条件（3.4），效用函数U（t，x）=xlog xd不满足条件（3.3）。此外，额外条件（3.5）和（3.6）也没有限制性。实际上，效用函数满足RAE条件（3.3）和（3.4），当且仅当其有效变换a+bU（t，x）满足任意常数a，b>0的RAE条件（3.3）和（3.4）。如[32]中所述，我们将O表示为相对于过滤（Ft）t的可选集的σ-代数∈[0，T]，且设d¨P=dt×dP为产品空间上的度量(Ohm ×[0，T]，O）定义为“P[A]=EPhZTA（T，ω）dti，用于A∈ O.我们用L表示(Ohm ×[0，T]，O，\'P）（L）(Ohm ×[0，T]）（简称）乘积空间上关于可选σ-代数O的所有随机变量的集合，赋予了测度P中收敛的拓扑结构。从现在开始，我们将识别可选随机过程（Yt）T∈[0，T]与随机变量Y∈ L(Ohm ×[0，T]）。我们还定义了正正态的L+(Ohm ×[0，T]，O，\'P）（L）+(Ohm 作为Y=Y（T，ω）的集合∈ 真是太好了≥ 0，P- a、 s。。此时，f或任何（x，\'0，q）∈ K和任意z≥ 0，我们可以通过a（x，q，z），nc，将所有（x，q·ET）-具有习惯形成约束的金融消费过程集定义为产品空间上的一组随机变量∈ L+(Ohm ×[0，T]）：ct≥ F（c）t，T∈ [0，T]和c∈ Cx，q·ETo=nc∈ L+(Ohm ×[0，T]）：ct≥ F（c）t，T∈ [0，T]和ehztctztdi≤ x+E[q·ETZT]，Z∈ Zso。但是，对于某些值（x，\'0，q），集合A（x，q，z）可能为空∈ K和z≥ 0的约束条件。