交易市场中习惯形成下的最优消费

根据富比尼-托内利定理，我们可以推导出ehztctztdti=zEhZTwtZtdti+EhZT~ct+ZtδseRts（δv-αv）dvcsdsZtdti=zEhZTwtZtdti+EhZT~ctZtdt+ZTδs~csZTseRts（δv）-αv）dvZtdtdsi=zEhZTwtZtdti+EhZTctZtdt+ZTδtctehzttrst（δv-αv）dvZsdsFtidti=ZEHZTWTZTDI+EhZTΓtdti。（6.17）根据（6.17）中的类似计算，我们还得到了ehztwtdti=EhZTΓwtΓtdti。最后，通过ΓT的定义观察到ZT=ΓT，因此E[q·ETZT]=E[q·ETΓT]，从而完成了证明。引理3.4的证明。对于任何（x，q，z）都足以证明这一点∈ RN+2，我们有一个（x，q，z）6=当且仅当（6.18）x+E[q·ETZT]- zEhZTeRt（δv）-αv）dvZtdti≥ 0代表所有Z∈ Zs。如果A（x，q，z）6=, 根据其定义，存在一个^c∈ L+这样对于任何Z∈ zs和任何Γ∈调频0≤ EhZTΓctΓtdti≤ 十、- zEhZTwtΓtdti+E[q·ETΓT]=x- zEhZTeRt（δv）-αv）dvZtdti+E[q·ETZT]，因此（6.18）的适用性很小。另一方面，如果（6.18）成立，选择ct就足够了≡ 0∈A（x，q，z），完成了证明。6.3. 第4节主要结果的证明。定理4.1的证明分为以下几个结果。对于向量p=（p，p，…，pN）∈ RN+1，我们表示Zs（p）的子集，使得∈ Zs（p），EhZTeRt（δv-αv）dvZtdti=p，E[EiTZT]=pi，1≤ 我≤ N.将集合P定义为L与超平面y的交点≡ 1.给定p∈ P、 我们还可以定义辅助集Fm（P），nΓ∈ L+：Γt=Zt+δtEhZTteRst（δv-αv）dvZsdsFti，T∈ [0，T]，Z∈ Zs（p）o。因此，EhRTΓwtΓtdti=pand E[EiTΓT]=pi，1≤ 我≤ N为所有人Γ∈fM（p）。引理6.4。在所有理论假设下。1.当且仅当ifp时，setfM（p）不为空∈ 尤其是，[P∈PfM（p）=fM。证据定义集合P′，{P∈ RN+1:fM（p）6=}. 有必要验证P=P′。根据[16]引理8的证明，很容易显示方向P P′。对于另一个方向，让p∈ P′（x，q，z）∈ clL和Γ∈fM（p）。

我们声称存在c∈eA（x，q，z）使得P[~c>0]>0。然后得出0<EhZTctΓtdti≤ x+(-z、 q）·p.因为（x，q，z）是从clL中任意选择的，所以我们得到p∈ P.我们现在开始证明索赔成立。选择任意（x，q，z）∈ clL，表示随机变量Φ，-zRTeRt（δv）-αv）dvdt+q·ET.引理3。4导联tox+E[h（Φ，\'0），ZTi]≥ 0, Z∈ Zs，产生thatx+infZ∈ZsE[h（Φ，\'0），ZTi]≥ 0.通过定义ofeA（x，q，z）和引理3的证明。3，如果所有元素c∈eA（x，q，z）满足c≡ 0，我们可以推断出一个^Z的存在性∈ z使得x+E[h（Φ，\'0），^ZTi]=0。这意味着E[h（Φ，\'0），^ZTi]=在fZ中∈ZsE[h（Φ，\'0），ZTi]。然而，根据Theorem2的证据。[30]的第11部分和假设3.2的第（i）部分，我们可以推导出f或任何Z∈ ZsinfZ∈ZsE[h（Φ，\'0），ZTi]<E[h（Φ，\'0），ZTi]<supZ∈ZsE[h（Φ，\'0），ZTi]，这是一个矛盾。引理6.5。让p∈ P、 我们有FM（P）eY（1，p）。证据结果由引理3直接跟随。1和定义主任（p）。引理6.6。在定理4.1的所有假设下，对于任何（x，q，z）∈ 五十、 非负随机变量c∈ L+(Ohm ×[0，T]）属于a（x，q，z）当且仅当（6.19）EhZTΓctΓtdti≤ x+(-z、 q）·p，P∈ P和Γ∈fM（p）。证据如果c∈不等式（x.6）和引理（x.6）紧随其后。另一方面，对于任何c∈ L+(Ohm 所以（6.19）成立，我们有supΓ∈fMEhZTctΓtdt+zZTeRt(-αv）dvΓtdt- q·ETΓTi=支持∈PsupΓ∈fM（p）EhZTΓctΓtdt+zZTeRt(-αv）dvΓtdt- q·ETΓTi=支持∈PsupΓ∈fM（p）EhZTΓctΓtdti+（z，-q） ·p≤ x、 这是定义a（x，q，z）的结果，即∈eA（x，q，z）。提议6.1。在定理4.1的所有假设下，族（eA（x，q，z））（x，q，z）∈土地（y（y，r））（y，r）∈r具有以下性质：（1）对于任意（x，q，z）∈ 五十、 se teA（x，q，z）在L中包含一个严格正的随机变量+(Ohm ×[0，T]）。

非负随机变量c∈ L+(Ohm ×[0，T]）属于a（x，q，z）当且仅当（6.20）EhZT~ctΓtdti≤ xy+(-z、 q）·r，（y，r）∈ R和Γ∈eY（y，r）。（2） 对于任何（y，r）∈ R、 seteY（y，R）在L中包含一个严格正的随机变量+(Ohm ×[0，T]）。非负随机变量Γ∈ L+(Ohm ×[0，T]）属于y（y，r）当且仅当（6.21）EhZT~ctΓtdti≤ xy+(-z、 q）·r，（x，q，z）∈ L和c∈eA（x，q，z）。证据我们首先证明断言（1）成立。为此，我们选择（x，q，z）∈ L.因为L是一个开集，所以有一个常数λ>0，这样（x- λ、 q，z）∈ L.L et＠c∈eA（x）- λ、 q，z），因为wt=e-对于t，Rtαvdv>0∈ [0，T]，对于任何Γ∈fM，我们得到了≤ 十、- λ - zEhZTΓwtΓtdti+E[q·ETΓT]。根据假设3。2，让常数β，supZ∈ZsEhRTeRt（δv）-αv）dvZtdti<∞ 对于所有t，定义过程ρt，λβ~wt>0∈ [0，T]。无论如何∈fM，它遵循着ehztρtΓtdti≤ EhZT（~ct+ρt）Γtdti≤ 十、- λ - zEhZTΓwtΓtdti+E[q·ETΓT]+λβEhZTΓwtΓtdti≤ 十、- λ - zEhZTwtΓtdti+E[q·ETΓT]+λ≤ 十、- zEhZTΓwtΓtdti+E[q·ETΓT]。严格正随机变量ρ的存在性∈eA（x，q，z）是定义FEA（x，q，z）的结果。假设（6.20）在一定程度上保持不变∈ L+。作者：Lemm a6。5.我们有∈fM（p）eY（1，p）代表allp∈ 因此，（6.19）成立，通过艾玛6.6，我们得到∈eA（x，q，z）。相反地，让c∈eA（x，q，z），不等式（6.20）后面是y（y，r）、（y，r）的定义∈ R.对于断言（ii）的证明，作为键（y，R）=eY（ky，kr）f或所有k>0和（y，R）∈ R、 对于某些p，考虑（y，R）=（1，p）的情况是很有必要的∈ P.严格正解的存在性∈ Zs（p）意味着严格正Γ的存在∈fM（p）。

外稃6。5再次暗示Γ∈eY（1，p）代表p∈ P.第二部分直接来自于Ey（y，r）的定义。定理4.1的证明。一旦我们在命题6中得到抽象的两极结果。在假设2.1、2.2、2.3、3.1和3.2下，证明严格遵循了[32]中定理4.1和4.2的论点。推论4.1的证明。如果这个过程*t（y，r）=Γ*t（y，r）- δtEhZTtΓ*s（y，r）eRst(-αv）DVDfti是一个严格正鞅，利用Fubini定理和tower性质，可以很容易地证明Γ*t（y，r）=y*t（y，r）+δtEhZTteRst（δv-αv）dvY*s（y，r）dsFti，T∈ [0，T]。此外，由于δ和α都是常数，通过改变条件期望和积分的顺序，我们得到了Γ*t（y，r）=y*t（y，r）1+δZTte（δ-α） （s）-t） ds=Y*t（y，r）δδ-αe（δ）-α） （T）-（t）-αδ-α, δ6=α，Y*t（y，r）1+δ（T）- （t）, δ = α.对于对数效用函数U（t，x）=logx，我们有I（t，x）=x，因此是rem4的（v）部分。1意味着最优消费策略由（4.5）明确给出，相应的最佳习惯形成过程由（4.6）明确给出。理论第四部分。1也意味着ehztc*t（x，q，z）Γ*t（y，r）dti=EhZT1dti=t=xy+(-z、 q）·r.此外，推论4的断言（i）。1是显式公式（4.6）的直接结果。对于断言（ii），如果α=0，我们得到C*t（x，q，z）=zeδt+Y*t（y，r）eδ（t-t） +δeδ（t）-T）中兴通讯*s（y，r）ds。自从*（y，r）是严格正的，很明显，如果贴现因子δ或时间范围足够大，右侧的第二项和第三项将足够小，并且Zδ将是领先项。因此，c*t（x，q，z）≈ 就时间t而言，这是一个递增的过程。

同样，我们可以得出结论，最优消费过程满足棘轮约束。对于断言（iii），如果δ- α ≥ 0，很明显C*t（x，q，z）Y*t（y，r）=（ze（δ-α） 泰*t（y，r）+δ-α（δe（δ-α） （T）-（t）-α） +Rt（δ）-α） Y*t（y，r）y*s（y，r）δe（δ-α） （t）-s） （δe（δ-α） （T）-（s）-α） ds，δ>α，zY*t（y，r）+1+δ（t-t） +Y*t（y，r）RtY*s（y，r）δ1+δ（T）-s） ds，δ=α。就像我一样*t（y，r）是一个m-artin-gale，很容易得出乘积c*t（x，q，z）Yy，rti是一个子鞅。如果我们有*（y，r）=1，通过定义测量的等效概率q*dP=Y*T=Γ*T（y，r），最佳消耗过程c*（x，q，z）是测度q下的子鞅*. 在δ=α=0的特殊情况下，即习惯形成过程保持恒定的初始习惯z，过程C*（x，q，z）Y*（y，r）是鞅。再说一次，如果*（y，r）=1，在概率测度Q下，最优消费过程为amartingale*. 此外，根据显式公式（4.5），如果我们有*（y，r）=1，很明显，初始消耗量由（4.7）给出。因此，断言（iv）成立。6.4. 第5节主要结果的证明。命题的证明。1.如果过程δt- α是时间t的确定函数，（3.11）中给出的辅助对偶集Fm的定义可以显著简化为Fm=nΓ∈ L+：Γt=ZtGt，T∈ [0，T]，Z∈ Zso，其中工艺（Gt）t∈[0，T]在（5.2）中定义。等价地，外稃3。3可以根据SCPS Z重写∈ Zsby\'A（x，q，z）=nc∈ L+：EhZTctGtZtdti≤ 十、- zEhZTwtGtZtdti+E[q·ETGTZT]，Z∈ Zso。回想一下，ZST是基础资产（St）t的所有SCP的集合∈[0，T]的交易成本为∧，且A（x，q，z）是所有辅助过程（~ct）T的集合∈[0，T]我们定义了没有习惯形成的辅助效用最大化问题。

命题3。1，即消费预算约束表征，意味着过程（~ctGt）t∈[0，T]是同构市场中具有相同非衍生资产（St）T的可融资消费过程∈[0，T]和交易成本∧以及初始财富x和ran dom捐赠NT=-zRTwtGtdt+q·ETGT。根据（Gt）t的定义∈[0，T]，我们注意到GT=1，因此，可以将NT简化为NT=-表示所有同构消费过程的集合∈ [0，T]，其中c∈\'A（x，q，z），辅助时间可分离效用最大化问题等价于^u（x，q，z）=sup^c∈^A（x，q，z）EhZTU（t，^ctGt）dti，其中外部过程（Gt）t∈[0，T]可以被视为一个贴现过程或一个数值过程，并且证明是完整的。推论5.1的证明。让我们考虑对数效用函数U（t，x）=logx。显然，效用最大化问题（5.1）在^c上∈^A（x，q，z）相当于^u（x，q，z）=sup^c∈^A（x，q，z）EhZTlog（^ct）dti- EhZTlog（Gt）dti。它进一步等价于随机禀赋NTπ（x，q，z）=sup^c的同质市场模型中消费的标准效用最大化问题∈^A（x，q，z）EhZTlog（^ct）dti。推论5.2的证明。支持外部过程（Gt）t∈[0，T]是G=1，引理为3的鞅。3导致A（x，q，z）=nc∈ L+：EhZTctGtZtdti≤ 十、- zEhZTwtGtZtdti+E[q·ETGTZT]，Z∈ Zso=nc∈ L+：EhZTctZtdtGTi≤ 十、- zEhZTwtZtdtGTi+E[q·ETZTGT]，Z∈ Zso=nc∈ L+：E^PhZTctZtdti≤ 十、- zE^PhZTwtZtdti+E^P[q·ETZT]，Z∈ Zso，其中d^PP=GT。

然而，我们从定义中知道，GT=1和之前的^P=P给出了所有辅助过程（6.22）\'A（x，q，z）=n~c的模拟特征∈ L+：EhZTctZtdti≤ 十、- zEhZTwtZtdti+E[q·ETZT]，Z∈ Zso。值得注意的是，num’eraire流程（Gt）∈[0，T]在对原始集合A（x，q，z）的定义中消失。让我们考虑股票价格（St）t的同构市场模型∈[0，T]和交易成本∧和随机捐赠RT=-zRTwtdt+q·ET.命题3。1意味着每个（~ct）t∈[0，T]是（x，RT）-可融资的消费过程。因此，辅助问题变成了一个标准的效用最大化的消费与你的习惯形成，我们有相等的u（x，q，z）=sup＠c∈\'A（x，q，z）EhZTU（t，ct）dti，其中\'A（x，q，z）是市场上所有（x，RT）可融资消费流程的集合，具有相同的资产流程（St）t∈[0，T]和交易成本∧，这就完成了证明。感谢：作者感谢副主编和匿名推荐人对本文的介绍所做的批评性评论和有用的建议。参考资料。[1] G.Benedetti和L.Campi。具有比例交易成本和随机捐赠的多元效用最大化。暹罗J.控制优化。，50(3):1283–1308, 2012.[2] J·Y·坎贝尔和J·H·科克伦。习惯的力量：基于消费的股市行为解释。《政治经济学》，107:205–251，1999年。[3] L.Campi和W.Schachermayer。卡巴诺夫交易成本模型中的一个辅助复制定理。财务部。斯托克。，10:579–596, 2006.[4] G·M·康斯坦丁尼德斯。习惯形成：解决股权溢价之谜。工作文件系列。芝加哥大学商学院证券价格研究中心，1988年。[5] F.德尔班和W.沙切迈耶。资产定价基本定理的一般版本。

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