交易市场中习惯形成下的最优消费

此外，通过（6.3），我们得到了ZτVτ+Pdi=1SiτViτ+Xmax，~Sτ≥ 0，P-a.s.对于所有[0，T]值的停止时间τ，其中ZT=dQdP。因此，Vt+Pdi=1SitVit+Xmax，仍然是一个真正的超鞅和er Q∈ M′S和d（6.5）是正确的。定义βT，VT+Pdi=1SiTViT+q·ET。因为VT+（q·ET，\'0）∈ L（^KT），我们得到hVT+（q·ET，\'\'0），ZTi≥ 0Z∈ Zs。因此，对于任何Q，它都是这样∈ Ms（~S），我们有βTZT≥ 0，P-a.s.式中ZT=dQdP。单调C收敛定理意味着对于任何Q∈ Ms（~S），以下holdsEQ[βT]=EP[βTZT]=limm→∞EP[βT{βT≤m} ZT]=limm→∞EQ[βT{βT≤m} ]。在L的范数拓扑中，M′（~S）在Ms（~S）中的密度性质保证了Qn序列的存在∈ 使（6.5）成立。接下来是thatlimm→∞EQ[βT{βT≤m} ]=limm→∞画→∞EQn[βT{βT≤m} ]≤ 画→∞EQn[βT]≤ hx，Zi+limn→∞EQn[q·ET]。很明显，对于任何m>0和每个1≤ 我≤ N、 我们有{EiT>m}≤NXi=1EiT{PNi=1EiT>m}，P- a、 s。。假设EiT≥ P项下0 a.s.意味着EiT≥ Q下0 a.s∈ Ms（~S），后面是（6.6）limm→∞supQ∈Ms（~S）EQ[EiT{EiT>m}]=0,1≤ 我≤ N.通过（6.6）以及摩尔-奥斯古德定理（见[12]第102页定理5）和单调收敛定理，我们推导出→∞EQn[EiT]=limn→∞林姆→∞EQn[EiT{EiT≤m} ]=limm→∞画→∞EQn[EiT{EiT≤m} ]=limm→∞EQ[EiT{EiT≤m} ]=等式[EiT]，1≤ 我≤ N、 哪个给了斯林→∞EQn[q·ET]=EQ[q·ET]。因此，（6.2）适用于任何Q∈ Ms（~S）。自从∈ Ssis武断（6.1）已验证，这完成了（2.5）的证明。固定一个常数^a>0并表示Vacpt0，^a是所有可接受的投资组合V的集合，初始值V=（0，\'0），对于每个^S，存在一个^Xmax，~S∈ X（^a，~S）与VT+（^Xmax，~ST，`0）∈ L（^KT）。下面的引理断言，Vacpt0中元素的总变化，^是有界的不概率。引理6.1。让我们假设一下。1等一下。

对于每一个^a>0，都存在一个概率测度Q~ 求一个常数C>0，使所有V∈ Vacpt0，^a，等式[kV-kT]≤ C^a.引理6.1的证明。对于固定的SCPS Z∈ Zs，存在一个S∈ SSZ∈ Zs（~S）。根据可接受投资组合的定义，我们可以找到一个常数^a>0和Xmax，~S∈ X（~S，^a）使得VT+（Xmax，~ST，`0）∈ L（^KT）和hVτ+（Xmax，~Sτ，`0），Zτi≥ 0 a.s.f或所有[0，T]值停止时间τ和所有Z∈ Zs（~S）。类似于[3]中的引理2.8，应用p部分公式的积分，我们得到hvt，Zti=ZtVudZu+ZtZu˙VcudkVcku+Xu≤子-△武则徐△+Vu，其中右侧s端的第一个积分是局部鞅，因为V是可预测的，因此是局部有界的，见[13]中的命题a.11。因此，存在一系列的稳定时间τnT，例如rτnvudzu是一个鞅。此外，由于V是局部有界的，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设th在| Vτn |≤ n、 带着期待，我们到达了目的地-ZτnZu˙VcudkVcku-徐≤τnZu-△似曾相识-徐<τnZu△+似曾相识= -E[hVτn，Zτni]。[3]中的自我融资条件和引理2.8意味着左手边的过程是非负的。法图引理给出了-ZTZu˙VcudkVcku-徐≤子-△似曾相识-徐子△+似曾相识≤ -E[hVτn，Zτni]，N∈ N.对于右边，从Z的塔性质和d鞅性质可以清楚地看出- E[hVτn，Zτni]=-E[hVτn，ZTi]。对于固定的Z∈ Z（~S），~S∈ S和随机下界Xmax，在V的定义中，我们考虑了测度集esM′（~S），{Q∈ Ms（~S）：Xmax，是Q}下的UI鞅。M′（~S）在Ms（~S）中的密度性质意味着Qm序列的存在∈ M′（~S）使得qm在lweredqdp=ZT的范数拓扑中收敛到Q。让我们定义序列ZMBYZM，0t=EhdQmdPFti，Zm，it=Zit，i=1。

，d，t∈ [0，T]。As | Vτn |≤ n、 很明显- E[hVτn，ZTi]=- 林姆→∞E[hVτn，ZmTi]=- 林姆→∞E[hVτn，Zmτni]。遵循引理2的证明。2.我们得到了hV，Zmi是一个真正的超鞅，因为hV，Zmi是[3]中引理2.8给出的局部超鞅，并且它下面也有UI鞅（Xmax，S，\'\'0），Zmi的界。因此- 林姆→∞E[hVτn，Zmτni]≤ - 林姆→∞E[hVT，ZmTi]≤ 林姆→∞E[h（^Xmax，~ST，\'0），Zmi]=limm→∞把所有的部分放在一起，我们可以得出（6.7）E-ZTZu˙VcudkVcku-徐≤子-△似曾相识-徐子△+似曾相识≤ ^a.对于固定Z∈ Zs，让我们定义随机变量α（Z），（Z）inft∈[0，T]| Zt | 1+dwhere（6.8）（Z），esssupη ∈ L（R+，FT）：Zt∈ η-int^K*TT∈ [0，T]a.s。.[3]中的引理3.1指出P（（Z）>0）=1，并且∈[0，T]| Zt | 1+d>0 a.s。。不等式（6.7）意味着E[α（Z）kV kT]≤ ^a.类似于[3]中引理3.2的证明，对于固定Z∈ Zs，我们可以定义C，E[α（Z）]和dqdp，α（Z）C，结论成立。表示Ax={VT:V∈ Vacptx}初始位置x可获得的所有未定权益的集合∈ R1+d。我们将按照以下方式修改Fatou convergence下的贴近度，以适应我们的框架：定义6.1。如果任何固定的^a>0和每个^S，则设定轴称为相对Fatou闭合∈ 具有一个固定的最大元素^Xmax，~S∈ 存在一个序列vn∈ VacPtxSatizing VnT+（^Xmax，~ST，`0）∈ L（^KT）表示每一个∈ 几乎可以肯定的是，我们有一个可测量的随机变量VT∈ 阿克霍尔德。备注10。我们在这里选择的新术语来自以下事实：收敛序列（Vn）n∈Nhas满足下限条件VnT+（^Xmax，~ST，\'0）∈ L（^KT）相对固定的最大元素^Xmax，对于每个^S。相对Fatou闭的定义比Fatou闭的定义更具限制性。

如果一个集合是相对Fatou闭的，那么它显然是Fatou闭的，因为每个常数^a>0是集合X（^S，^a）中所有^S的一个最大元素∈ 党卫军。由于可接受投资组合的定义所造成的复杂性，我们需要在场景中呈现更强烈的条件。最后的相对Fatou封闭性将有助于我们使用一些显式对偶元素来推导集合轴的特征。引理6.2。在假设下2。1、设定轴相对Fatou闭合。引理6.2的证明。结论成立的当且仅当我们可以显示Ais相对封闭，因为很容易看到V∈ Vacptif且仅当V+x∈ Vacptx。在这之前，我们只会证明人工智能是相对封闭的。给定^a>0且对于每个^S∈ Ss，选择并fix一个最大元素^Xmax，~S∈ X（~S，^a）。设VnT+中的一个序列为VnT+（^Xmax，~ST，`0）∈ 对于所有的∈ Ss，所以我们得到了Vn∈ Vacpt0，^a.假设VNTC将a.s.收敛到某个可测量的随机变量X∈ L（R1+d）。根据Lemma6。1和[3]中的命题3.4，存在一系列用VN表示的VN凸组合，其收敛到某个有限变量，可预测的过程V。Hencewe立即得到VT=X和VT+（^Xmax，~ST，\'0）∈ 对于所有的∈ 党卫军。很容易检查条件（2.2）是否成立，因此V是一个自我融资的投资组合过程。这足以证明这是一个可接受的投资组合过程。对于每个∈ Ss，我们考虑任何^Z∈ Zs（~S）和任何t的最大元素^Xmax，~S∈ [0，T]，我们有hvnt+（^Xmax，^St，\'0），^Zti=V0，nt+dXi=1SitVi，nt+^Xmax，~St^Zt和hVt+（^Xmax，St，0），^Zti=Vt+dXi=1SitVit+^Xmax，~St^Zt，这里我们有^Zt=Ehd^QdP和^Q∈ Ms（~S）。同样的∈ Ss，我们现在将每个可接受投资组合Vn定义中的最大元素Xmax，~S视为下界。

定义s etM′（~s，n），{Q∈ Ms（~S）：Xmax，~S，是Q}下的UI鞅。因此，存在一个Qm序列∈ M′（~S，n）收敛到作为M的^Q→ ∞ 在Lunder P.的范数拓扑中，如果必要，通过传递到下一个ce，我们推导出Z0，mt收敛到^ZtP-a.s∈ [0，T]式中，Z0，mt=E[dQmdP | Ft]。因此，对于任何t∈ [0，T]，以下观点成立：V0，nt+dXi=1SitVi，nt+^Xmax，~St^Zt=limm→∞V0，nt+dXi=1SitVi，nt+^Xmax，~St另一方面，对于每个固定的Q∈ M′（~S，n），类似于引理6的证明。1，我们得到（V0，nt+Pdi=1SitVi，nt）Z0，mt是一个真正的超鞅。此外，我们还有随机积分^Xmax，它是Qm下的一个上鞅，因此^Xmax，~SZ0，mis是另一个上鞅。因此，对于任何[0，T]值的停止时间τ，V0，nτ+dXi=1SiτVi，nτ+^Xmax，~SτZ0，mτ≥ 嗯V0，nT+dXi=1SiTVi，nT+^Xmax，~STZ0，mT我们知道VnT+（^Xmax，~ST，\'0）∈ L（^KT）产生（V0，nT+Pdi=1)SiTVi，nT+^Xmax，ST）Z0，mT≥ 0，P-a.s.，因此法图引理导致V0，nτ+dXi=1SiτVi，nτ+^Xmax，~Sτ^Zτ≥ 嗯V0，nT+dXi=1SiTVi，nT+^Xmax，~ST^ZTFτi.因为VnT也会逐点收敛到V，同样是通过VnT+（^Xmax，~ST，\'0）∈ L（^KT）和法图引理，我们得到了Vτ+dXi=1SiτViτ+^Xmax，~Sτ^Zτ≥ 嗯VT+dXi=1SiTViT+^Xmax，~ST^ZT因此，我们可以看到≥ 0，P-a.s.，相当于hVτ+（^Xmax，^sτ，\'0），^Zτi≥ 0，P-a.s.对于所有[0，T]值的停止时间τ和任何^Z∈ Zs（~S）。总之，证明了极限过程V是一个可接受的投资组合，其常数^a>0且^Xmax，~S∈ X（~S，^a）验证了Ais相对封闭的事实。引理6.3。对于每个固定的n∈ N、 让我们定义截断终端清算值SANx的集合，{Y:Y=VT{VT|≤n} ，VT∈ Ax}。此外，我们认为集合A∞x、 序号∈奶奶。

我们有以下特征（6.9）A∞x=nY∈ L∞r（R1+d，FT）：E[hY，ηi]≤ 苏普特∈A.∞xE[hVT，ηi]，η ∈ L（^K）*T） 哦，我在哪里∞r（R1+d，FT）是所有R1+d值和FT可测随机向量Y的集合∈ L∞因此，e xi sts a>0，并且对于每个▄S，存在一个Xmax，▄S∈ X（~S，a）带Y+（X最大，~ST，`0）∈L（^KT）。证据对于任何常数κ>0和每ξ∈ {ξ：kξk∞≤ κ} ，我们总是可以找到常数a=κ+1，并且对于每个∈ Ss，我们可以选择Xmax，~St≡ A.∈ X（~S，a）代表所有t∈ [0，T]所以ξ+（Xmax，~ST，\'0） L（R1+d+） L（^KT）。此外，对于任何VT∈ ax和相应的xmax，我们声称VT{|VT|≤n} +（x最大，~ST，\'0）∈ L（^KT）。为了看到这一点，我们注意到|≤n} +（x最大，~ST，\'0）≥ VT{| VT|≤n} +（Xmax，ST，0）1{VT|≤n}=VT+（x最大值，ST，0）{| VT|≤n}∈ L（^KT）。（6.10）因此，收敛于a.s.的有界序列也是相对法头收敛的。外稃6。2表示轴相对Fatou闭合，因此可以直接导出∞带球{ξ：kξk∞≤ κ} 每个κ>0的概率都是闭合的。根据经典结果，见[20]中的命题5.5.1，A∞xis弱*闭合（即，闭合在σ（L）中∞, 五十） ）。根据[20]中的T heorem 5.5.3，我们得出（6.9）成立。引理2.3的证明。已经证明Axis是相对封闭的，我们现在继续验证∞xis在Ax中的密度相对较低。为此，让我们考虑一下∈ 常数^a>0且^Xmax，~S时的ax∈ X（~S，^a）表示每个~S∈ 党卫军。我们需要证明序列VnT的存在∈ A.∞使VnT+满意（^Xmax、~ST、\'0）∈ 对于所有的∈ Ssas以及VNT→ VTa。s修正VT，类似于[3]的定理4.1，我们考虑由vnt=VT{|VT定义的vntd序列|≤n} 。很明显，VnT∈ 安克斯 A.∞x、 按照（6.10）中的相同论点，也很容易看到vnt+（^Xmax，^ST，\'0）∈ 对于所有的∈ SSN∈ N

此外，VT- L∞ A.∞x、 尽管如此∈ A.∞x、 作为一个∞xis在Ax中的密度相对较低，我们可以尝试使用（6.9）来描述Ax中的元素。对任何人来说∈ Ax，我们可以找到一个常数a>0，并且对于每个S，存在一个Xmax，S∈ X（~S，a）使得Y+（Xmax，~ST，`0）∈ L（^KT）。因此，存在一个序列Yn∈ A.∞xsuch thatYn+（x最大值，ST，0）∈ L（^KT）和yn收敛到Y a.s。。因此，法图引理导致（6.11）E[hY+（Xmax，~ST，\'0），ηi]≤ 苏普特∈A.∞xE[hVT，ηi]+E[h（Xmax，ST，0），ηi]，η ∈ L（^K）*T） 。右侧ide的第二个期望值是自Xmax以来定义得很好的≥ 上午0点。。另一方面，假设Y+（Xmax，ST，0）∈ L（^KT），我们可以构造Yn=y1{Y|≤ n}∈ L∞这样的话，相对而言，Y和Y会汇合在一起。此外，通过（6.11），我们可以推断出每个Ynsatis fie[hYn，ηi]≤ 苏普特∈A.∞所有η的xE[hVT，ηi]∈ L（^K）*T、 （英国《金融时报》）。所以呢∈ A.∞十、 斧头。Axis Fatou相对封闭的事实产生了这样的结果∈ 斧头。根据上述论点，集合ax可以在ax=nY时重写∈ L（R1+d，FT）：存在一个大于0的值，并且对于每个S∈ 存在一个最大值，~S∈ X（~S，a）带Y+（X最大，~ST，`0）∈ L（^KT）和E[hY+（Xmax，ST，0），ηi]≤ su pVT∈A.∞xE[hVT，ηi]+E[h（Xmax，ST，0），ηi]，η ∈ L（^K）*T） o.（6.12）选择X/∈ 斧头。根据（6.12），对于任何a>0和Xmax，~S∈ 存在η∈ L（^K）*T） 使得（6.13）E[hX+（Xmax，ST，0），ηi]>supVT∈A.∞xE[hVT，ηi]+E[h（Xmax，ST，0），ηi]。特别是，我们可以考虑Xmax，~St≡ a代表t∈ [0，T]。因此，（6.13）简化为（6.14）E[hX，ηi]>supVT∈A.∞xE[hVT，ηi]。因此，我们可以定义过程Zt=e[η| Ft]，t∈ [0，t]并通过定义获得E[hX，ZTi]>hX，Zi。根据[3]中定理4.1的相同证明，很容易验证ZT是CPS。让Z成为一个SCP，对于0≤ β<1非常小，过程Zβt=βZst+zt是一个SCP S。我们将有E[hX，ZβTi]>hX，Zi。根据（2.6），g∈ 斧头。

因此存在aV∈ v.真空，真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空VT.真空- G∈ L（^KT）。6.2。第3节主要结果的证明。命题的证明。1.如果c∈ Cx，q·ET，存在一个可接受的投资组合V∈ H（x，q）这样ZTctdt，\', 中兴通讯≤ hVT+（q·ET，\'0），ZTi，Z∈ Zs。而且，对于每个Z∈ Zs，我们有EhDRTctdt，\', ZTEi=EhRTctdtZTi。通过部件积分和选择定位序列，我们推导出EHDZTctdt，\', ZTEi=EhZTctZtdti。遵循引理2的证明。2，我们得到了[hVT+（q·ET，\'0），ZTi]≤ x+E[h（q·ET，\'0），ZTi]，Z∈ Zs和hnce（3.1）h olds。另一方面，对于过程c≥ 0满足（3.1），让我们定义g（RTctdt-q·ET，\'0）。根据引理2.1，存在一个常数^a>0，并且对于每个^S，存在一个^Xmax，^S∈ X（~S，^a）这样的q·ET≤ ζPNi=1 | EiT |≤^Xmax，^ST。它遵循g+（^Xmax，^ST，^0）∈ L（^KT）。此外，通过（3.1），我们得到了[hg，ZTi]≤ x=h（x，\'0），Zi。外稃2。3表示存在V=（x，\'0）的可接受投资组合，使得- g=VT+(-RTctdt+q·ET，\'0）∈ L（^KT）。因此，结论认为c∈ Cx，q·ET.引理3.1的证明。我们的研究表明，对于所有人（x、\'0、q）∈ K和z>0，（6.15）x+E[q·ETZT]≥ zEhZTeRt（δv）-αv）dvZtdti，Z∈ Zsif且仅当A（x，q，z）6=.一方面，对于固定的（x，`0，q）∈ K和z>0，这样在A（x，q，z）6=, 存在c∈ L+带ct≥ F（c）t∈ [0，T]和HZTCTZTDI≤ x+E[q·ETZT]，Z∈ Zs。我们声称这个选择≥ \'\'CTT∈ [0，T]何时开始≡ F（`c）是一个持续存在的消费过程，它一直等于它的习惯形成过程。

为了了解这一点，通过定义F（c）和约束ct≥ F（c）t，它跟在df（c）t后面≥ （δtF（c）t- αtF（c）t）dt，F（c）=z。而且，我们总是有‘ct=（δt‘ct）- αt\'ct）dt，\'c=z，由此可解出\'ct=zeRt（δv-αv）深静脉血栓∈ [0，T]。通过subtr作用，它遵循thatter（δv-αv）dv（F（c）t- \'\'ct）≥ 0，t∈ [0，T]。因此，ct≥ \'ct=zeRt（δv-αv）深静脉血栓∈ [0，T]和引理3。1.Werriveat（6.15）。考虑（x，\'0，q）∈ K和z>0，使（6.15）保持不变。我们总是可以建造ct≡ \'ct=zeRt（δv-αv）DVCT≡ F（c）tholds。A（x，q，z）和引理3的定义。1.y.C∈ A（x，q，z），因此A（x，q，z）6=.到目前为止，已经证明intn（x，q，z）∈ RN+2:（x，\'0，q）∈ K、 z>0使得A（x，q，z）6=o=n（x，q，z）∈ RN+2:z>0和x+E[q·ETZT]>zEhZTeRt（δv-αv）dvZtdti，Z∈ Zso。（6.16）只要证明z=0的等价性clB=B=B就足够了，其中我们定义了n（x，q）∈ RN+1：（x，\'0，q）∈ Ko，B，n（x，q）∈ RN+1:H（（x，\'0），q）6=o、 B，n（x，q）∈ RN+1:x+E[q·ETZT]≥ 0, Z∈ Zso。对于第一个等式，B clB。只需验证clB B.选择（x，q）∈ clBand let（xn，qn）n≥b中收敛到（x，q）的序列。如果我们证明H（（x，\'\'0），q）6=. 修复Vn∈ H（（xn，\'0），qn），n≥ 1，由旅鼠制作。2，我们有[hVnT+（qn·ET，\'0），ZTi]≤ xn+E[h（qn·ET，\'0），ZTi]，Z∈ Zs。自（xn）n≥1收敛到x和（qn）n≥1在q附近，存在常数M>0和M>0，使得f或n足够大，我们有xn<M和qn<M。因此，当n较大时，我们有Vn∈ 真空与qn·ET≤ MPNi=1 | EiT |。外稃2。1断言存在一个常数^a>0，并且对于每个^S，存在一个^Xmax，^S∈ X（~S，^a）使得VnT+（^Xmax，~ST，`0）∈ L（^KT）表示足够大的n。

然后，我们可以应用L emma 6.1和[3]中的命题3.4，必要时将其传递到凸组合，并假设Vn收敛到一个有限的变量，可预测的过程点。特别地，我们得到了VT+（q·ET，\'0）∈ L（^KT）式中q，limn→∞qn。自从≤ ζPNi=1 | EiT |式中ζ=max1≤我≤N | qi |，由Lemma2创作。1同样，存在一个常数a>0，并且对于每个S∈ Ss，存在一个Xmax，~S∈ X（~S，a）使得VT+（Xmax，~ST，`0）∈ L（^KT）。此外，法图引理给出了e[hVT+（q·ET，\'0），ZTi]≤ 画→∞E[hVnT+（qn·ET，\'0），ZTi]≤ 画→∞xn+E[h（qn·ET，\'0），ZTi]= x+E[h（q·ET，\'0），ZTi]，对于所有Z∈ Zs。接下来就是e[hVT，ZTi]≤ x=h（x，\'0），Zi，Z∈ Zs。通过外稃2。3.存在一个可接受的投资组合^V=（x，\'0）和^VT-及物动词∈ L（^KT），因此是^V∈ H（（x，\'0），q）。给B看 B、 对于固定的（x，q）∈ B、 存在一个V∈ H（（x，\'0），q），然后是引理2。2领先于0≤ E[hVT+q·ET，ZTi]≤ x+E[h（q·ET，\'0），ZTi]，Z∈ Zs，这就完成了证明。If（x，q）∈ B、 定义FT随机变量g，-q·ET≥ -ζPNi=1 | EiT |，此处wζ=max1≤我≤N|qi |。根据假设2.2，引理2.1，存在一个常数a>0，对于每一个S，存在一个（g+Xmax，S，\'0）∈ L（^KT）。此外，我们还有E[gZT]=E[-q·ETZT]≤ x=h（x，\'0），Zi，Z∈ Zs。外稃2。3保证存在可接受的投资组合^V=（x，\'0）和^VT- （g，\'0）∈L（^KT）。因此，我们有^VT+（q·ET，\'0）∈ L（^KT）和V∈ H（（x，\'0，q）），这验证了 引理3.3的证明。设置)ct=ct- F（c）并由此得出Ct=zeRt（δv-αv）dv+~ct+ZtδseRts（δv-αv）dvcsds。表示wt，eRt（δvαv）dv。