交易市场中习惯形成下的最优消费

我们将把自己局限于有效域L，它被定义为集合内部的并集，这样A（x，q，z）就不是空的，边界{（x，q，z）∈ RN+2:（x，\'0，q）∈ K和z=0}:L，intn（x，q，z）∈ RN+2:（x，\'0，q）∈ K、 z>0使得A（x，q，z）6=o∪{（x，q，z）∈ RN+2:（x，\'0，q）∈ K和z=0}。从定义来看，“L”包括零初始习惯的特殊情况，即z=0。通过选择（x，q，z）∈L，我们现在可以通过（3.7）u（x，q，z），supc定义原始效用最大化问题的初步版本∈A（x，q，z）EhZTU（t，ct）- F（c）t）dti（x，q，z）∈L.重要的是对贴现因子α和δt施加以下附加条件，这对原始效用优化问题的适定性至关重要：假设3.2。非负可选过程（αt）t∈[0，T]和（δT）T∈假设[0，T]满足（i）对于任何非零向量（q，z）∈ RN+1，随机变量-zRTeRt（δv）-αv）dvdt+q·Etisno在SCPS下不可复制。（ii）我们有（3.8）个supZ∈ZsEhZTeRt（δv）-αv）dvZtdti<∞.（iii）存在一个常数“x>0，使得（3.9）EhZTU-（t，\'xe）-Rtαvdv）dti<∞.备注7。如果随机贴现过程（αt）t∈[0，T]和（δT）T∈假设[0，T]是有界的，则满足条件（3.8）和（3.9）。条件（3.8）是众所周知的随机变量R（δv）的超边缘性质-αv）原始市场上的dvdt。下面的引理给出了域“L.引理3.1”的明确特征。在假设2.1、2.2和条件（3.8）下，有效域“L”可以写成“L=n（x、q、z）∈ RN+2:z≥ 0和x+E[q·ETZT]>zEhZTeRt（δv-αv）dvZtdti，Z∈ Zso。3.2. 路径依赖减少。为了处理优化问题中的路径依赖结构，我们将遵循[32]中的技巧，并定义辅助过程ct=ct- F（c）t，t∈ [0，T]。

用（3.10）`A（x，q，z），{c）表示所有辅助过程的集合∈ L+(Ohm ×[0，T]）：~ct=ct- F（c）t，T∈ [0，T]，c∈ A（x，q，z）}。以下引理是其定义的结果。引理3.2。对于每个固定值（x、q、z）∈L，setsA（x，q，z）和a（x，q，z）之间有一对一的对应关系，对于所有的（x，q，z）∈\'L，我们有\'A（x，q，z）6=.对于每个SCPS Z∈ Zs，我们介绍了以下重要的辅助可选过程Γt，Zt+δtEhZTteRst（δv-αv）dvZsdsFti，T∈ [0，T]，并通过（3.11）fM，nΓ确定所有这些辅助过程的集合∈ L+(Ohm×[0，T]）：ΓT，Zt+δtEhZTteRst（δv-αv）dvZsdsFti，T∈ [0，T]，Z∈ Zso。由于一般假设随机贴现过程δ和α是无约束的，在条件（3.8）下，辅助对偶过程Γ定义良好，但它不一定是可积的。集合A（x，q，z）的下一个等价刻画对于减少路径依赖特征并将我们的问题嵌入p空间上的辅助抽象优化问题至关重要。引理3.3。对于（x，q，z）∈L，我们可以将A（x，q，z）重写为A（x，q，z）=n＠c∈ L+(Ohm ×[0，T]）：EhZTctΓtdti≤ 十、- zEhZTwtΓtdti+E[q·ETΓT]，Γ ∈fMo，其中wt，eRt(-αv）深静脉血栓∈ [0，T]。为了建立共轭对偶，我们需要将有效域L扩大到一个自然域，否则域上的约束将影响正确对偶问题的定义。首先，原始集A（x，q，z）需要扩大到以下抽象版本A（x，q，z），nc∈ L+(Ohm ×[0，T]）：EhZTctΓtdti≤ 十、- zEhZTwtΓtdti+E[q·ETΓT]，Γ ∈fMo，其中n为（x，q，z）∈ RN+2。第二，我们需要考虑扩大的域LL，int{（x，q，z）∈ RN+2:eA（x，q，z）6=}.下一个结果表明，在集合L处的th确实是有效域“L引理3.4”的扩大。

我们可以用byL=intn（x，q，z）等价刻画集合L∈ RN+2:x+E[q·ETZT]- zEhZTeRt（δv）-αv）dvZtdti≥ 0, Z∈ Zso。基于抽象的原始集a（x，q，z），我们通过（3.12）~u（x，q，z），sup ~c来定义辅助原始效用最大化问题∈eA（x，q，z）EhZTU（t，~ct）dti（x，q，z）∈ L.从A（x，q，z）的定义（x，q，z）∈L安第斯山脉（x，q，z）代表（x，q，z）∈ 五十、 外稃3。1.安德烈玛3。4.暗示 L.如果我们限制（x，q，z）∈\'L 五十、 以下等价关系适用于A（x，q，z）=eA（x，q，z）。值函数之间的等价性如下，即u（x，q，z）=u（x，q，z）。此外*t） t∈[0，T]是u（x，q，z）的最优解当且仅当（~c）*t） t∈[0，T]=（c）*T-F（c）*)t） t∈[0，T]是≈u（x，q，z）的最优解。因此，我们将路径依赖效用最大化问题（3.7）转化为辅助抽象效用最大化问题（3.12），而不考虑hab信息，但考虑额外的影子随机禀赋w.4。双重问题和主要结果。与[16]和[32]类似，我们首先介绍了集RR，rin（y，r）∈ RN+2:xy+(-z、 q）·r≥ 0 f或全部（x、q、z）∈ 瞧，在哪里(-z、 q）·r，-zr+PNi=1qirifor r=（r，…，rN）∈ RN+1。对于任何（y，r）∈ R、 我们将对偶集（y，R）定义为辅助集（y，R），nΓ的适当扩展∈ L+(Ohm×[0，T]）：EhZTctΓtdti≤ xy+(-z、 q）·r代表所有c∈eA（x，q，z）和（x，q，z）∈ 瞧。（3.12）的辅助双重效用最大化问题现在可以表示为（4.1）~v（y，r），infΓ∈eY（y，r）EhZTV（t，Γt）dti（y，r）∈ 我们的主要结果是关于抽象优化问题最优解的存在性和两个值函数之间的共轭对偶定理。定理4.1。让我们假设一下。1,2.2,2.3,3.1和3.2保持。此外，设u（x，q，z）<∞ 对于某些（x，q，z）∈ L

然后我们有（i）函数u（x，q，z）是(-∞, ∞)-在L上取值，v（y，r）为(-∞, ∞)-在R上取值。值fu的共轭对偶性?u和?v成立：?u（x，q，z）=inf（y，R）∈R~v（y，r）+xy+(-z、 q）·r, （x，q，z）∈ 五十、 ~v（y，r）=sup（x，q，z）∈L~u（x，q，z）- xy- (-z、 q）·r, （y，r）∈ R.（ii）最优解Γ*问题（4.1）存在且对所有（y，r）而言都是唯一的∈ R.（iii）最优解c*问题（3.12）的（x，q，z）存在，并且对所有（x，q，z）都是唯一的∈ L.此外，在等价类中存在一个表示，即c*t（x，q，z）>0，t的P-a.s∈ [0，T]。（iv）u映射L到R的超差，即。， ~u（x，q，z） R表示（x，q，z）∈ L此外，如果（y，r）∈ ~u（x，q，z），~c*（x，q，z）和Γ*（y，r）由Γ关联*t（y，r）=U′（t，~c*t（x，q，z）），或*t（x，q，z）=I（t，Γ）*t（y，r）），t∈ [0，T]，EhZTc*t（x，q，z）Γ*t（y，r）dti=xy+(-z、 q）·r.（v）如果我们限制初始财富x、初始持有q和初始习惯形成z的选择，比如（x，q，z）∈\'L 五十、 最优解c*（x，q，z）到原始效用最大化问题（3.7）存在并且是唯一的。除此之外，我们对任何t∈ [0，T]，~c*t（x，q，z）=c*t（x，q，z）- F（c）*)t（x，q，z）或c*t（x，q，z）=c*t（x，q，z）+ZtδseRts（δv-αv）dv~c*s（x，q，z）ds+zeRt（δv-αv）dv。备注8。

对于（x，q，z）∈\'L 五十、 如果最优解Γ*辅助对偶问题（4.1）的（y，r）在于（3.11）中定义的辅助对偶设置，即存在SCPS Z0，*（y，r）如（4.2）Γ*t（y，r）=Z0，*t（y，r）+δtEhZTteRst（δv-αv）dvZ0，*s（y，r）dsFti，T∈ [0，T]，最优消耗可以用这个SC-PS-Z显式表示*（y，r）∈ ZSTATC*t（x，q，z）=zeRt（δv-αv）dv+It、 Z0，*t（y，r）+δtEhZTteRst（δv-αv）dvZ0，*s（y，r）dsFti+ZtδseRts（δv-αv）dvIs、 Z0，*s（y，r）+δsehztserrls（δv-αv）dvZ0，*l（y，r）dlFsids，t∈ [0，T]。（4.3）交易成本对最佳消费流的影响隐含在（3.11）中双setfM的定义和SCPS Z0的选择中，*（y，r）的分解形式（4.2）。对于一般问题，我们不能得出最优消费在交易成本∧项下是单调的结论。此外，我们还可以观察到，最优消费与贴现因子α和δ密切相关。例如，如果δ增加，即消耗历史在F（c）中有更多的权重*), （4.3）右侧的第一项增加，但（4.3）右侧的第二项减少，不清楚（4.3）的第三项是否单调。一般来说，双优化器Γ*（y，r）可能不在s etfM中，因此Γ*（y，r）不一定具有（4.2）中SCPS Z0的分解形式，*（y，r）。然而，杜阿尔优化器可能有一个很好的分解形式。特别地，我们可以导出以下关于最优策略的显式性质的特殊例子。推论4.1。让我们考虑具有常数贴现因子δ和α以及对数效用函数u（t，x）=logx的市场模型。

对于双优化器Γ*（y，r），定义流程*t（y，r），Γ*t（y，r）- δtEhZTtΓ*s（y，r）eRst(-αv）DVDFti，T∈ [0，T]。如果过程（Yt）没有∈[0，T]是严格正鞅，我们有（4.4）Γ*t（y，r）=y*t（y，r）+δtEhZTteRst（δv-αv）dvY*s（y，r）dsFti，T∈ [0，T]，相应的最优消费策略由（4.5）c明确给出*t（x，q，z）=（ze（δ-α） t+δ-αY*t（y，r）（δe（δ-α） （T）-（t）-α） +Rtδ-αY*s（y，r）δe（δ-α） （t）-s） （δe（δ-α） （T）-（s）-α） ds，δ6=α，z+Y*t（y，r）1+δ（t-t） +RtY*s（y，r）δ1+δ（T）-s） ds，δ=α，对于t∈ [0，T]，其中（y，r）满足xy+(-z、 q）·r=T。相应的最佳生活习惯形成标准为（4.6）F（c）*（x，q，z））t=（ze（δ-α） t+Rtδ-αY*s（y，r）δe（δ-α） （t）-s） （δe（δ-α） （T）-（s）-α） ds，δ6=α，z+RtY*s（y，r）δ1+δ（T）-s） ds，δ=α。此外，我们还具有以下性质：（i）如果δ-α>0或δ=α>0，生活水平过程（F（c*)t） t∈[0，T]是时间T方面的一个递增过程。（ii）如果α=0且δ或T足够大，则最优消费策略渐进地类似于c*t（x，q，z）≈ zδt，t∈ [0，T]，因此它几乎满足了消费棘轮约束，即消费过程在时间T上增加。（iii）如果δ- α ≥ 0，过程（c）*t（x，q，z）Y0，*r（y，t）∈[0，T]是一个子鞅。如果*= 1，存在一个概率测度Q*~ 使最优消耗（c*t（x，q，z））t∈[0，T]是Q下的子鞅*wheredQ*dP=Y*T（y，r）。如果δ=α=0，则过程（c*t（x，q，z）Y0，*r（y，t）∈[0，T]是鞅。（iv）如果是*（y，r）=1，最佳初始消耗量由（4.7）c明确给出*（x，q，z）=（z+δ-αδe（δ-α） T-α、 δ6=α，z+1+δT，δ=α。备注9。同样，如果双优化器发生在setfM中，我们必须有Y*（y，r）=Z（y，r）对于某些SCP Z∈ 这也意味着*（y，r）=1。

因此，推论4的断言（iii）和（iv）。1.显然，情况是这样的*（y，r）=Z（y，r）。永远不要错过，双重优化器Γ*（y，r）对于某些鞅y可能具有分解形式（4.4）*（y，r）不是资产价格过程和交易成本∧5的SCP。具有交易费用模型中的市场同构。本节规定了以下关于非负可选贴现因子的假设。假设5.1。过程（δt）- αt）t∈[0，T]是时间T的确定函数。考虑交易成本为∧的相同资产价格过程S。下一个定理陈述了一个重要的观察结果，即习惯形成下的效用最大化等价于在数量和新随机禀赋变化的修正市场模型中，消费的标准时间可分离效用最大化。提议5.1。让我们假设一下。1等一下。考虑到最初的财富x>0和初始habitz≥ 0时，原始优化问题（3.7）等价于以下时间可分效用最大化问题：在数量变化下的消耗：（5.1）^u（x，q，z），sup^c∈^A（x，q，z）EhZTU（t，^ctGt）dti。这里，我们考虑相同的基础资产价格过程S和交易成本∧。

集合^A（x，q，z）是所有（x，NT）可融资消费过程的集合，具有新的随机禀赋NT，q·ET- 兹特(-αv）dvGtdt和外部辅助过程（5.2）Gt，1+δtZTteRst（δv-αv）DVD，t∈ [0，T]。特别是，最优消费c*（x，q，z）与问题（3.7）的习惯形成*t（x，q，z）=^c*t（x，q，z）Gt+ZtδseRts（δv-αv）dv^c*s（x，q，z）Gsds+zeRt（δv）-αv）dv，t∈ [0，T]，其中^c*（x，q，z）是效用最大化问题（5.1）中的最优消费，具有thenum’eraire GTNT和新的随机捐赠。在特殊情况下，num’eraire过程（Gt）t∈[0，T]可能不会影响命题5.1中的效用最大化问题，因此同构优化问题成为经典的最优消费问题。下面我们列出两个例子来说明isomorp问题的简单性。推论5.1。让我们考虑假设5下的对数效用函数U（t，x）=logx。1.具有习惯形成的原始效用最大化问题（3.7）与消费^u（x，q，z），sup^c上的同构效用最大化问题等价∈^A（x，q，z）EhZTU（t，^ct）dti- EhZTU（t，Gt）dti，其中^A（x，q，z）的定义与命题（5.1）中的定义相同。因此，考虑标准效用最大化问题（5.3）π（x，q，z）=sup^c就足够了∈^A（x，q，z）EhZTU（t，^ct）dti。此外，我们有*t（x，q，z）=^c*t（x，q，z）Gt+ZtδseRts（δv-αv）dv^c*s（x，q，z）Gsds+zeRt（δv）-αv）dv，t∈ [0，T]，其中^c*（x，q，z）是问题（5.3）在具有随机禀赋NT=q·ET的同构市场中的最优消费- 兹特(-αv）DVGTDT推论5.2。

如果num’eraire进程（Gt）没有∈[0，T]是在假设5下G=1的鞅。1.具有习惯形成的原始效用最大化问题（3.7）等价于消费（5.4）u（x，q，z）=supc的标准同构效用最大化问题∈\'A（x，q，z）EhZTU（t，~ct）dti，其中（3.10）中定义的\'A（x，q，z）是在同质市场中所有（x，RT）可融资消费过程与资产价格过程（St）t的集合∈[0，T]和交易成本∧，其中RT，q·ET- 兹特(-αv）dvdt。此外，我们有*t（x，q，z）=c*t（x，q，z）+ZtδseRts（δv-αv）dv~c*s（x，q，z）ds+zeRt（δv-αv）dv，t∈ [0，T]，其中c*（x，q，z）是问题（5.4）在具有随机禀赋RT的同构市场中的最优消费。市场同构显著降低了路径依赖的复杂性，因为在没有习惯形成约束的新市场模型中，无法找到最优消费。值得注意的是，如果资产价格过程和交易成本∧存在影子价格过程，则市场同构可以在无摩擦影子价格市场中进行，其基础价格过程甚至可以允许一些具有习惯形成和转移成本的封闭形式反馈消费策略。6.主要结果的证明。6.1. 第二节主要结果的证明。引理2的证明。1.对于每个∈ Ss，假设2.2小点在于a，supQ∈Ms（~S）EQhNXi=1EiTi<∞.根据股票价格为S的无摩擦市场中终端财富和等价局部鞅测度之间的一般对偶结果，见[23]，可以得出如下结论：存在一个负财富过程（Xt）t∈[0，T]=（a+（H·S）T）T∈[0，T]∈ X（~S，a）使XT≥PNi=1EiT。如果X本身是X（~S，a）中的一个极大元，则结论显然成立。

否则，由于X不是最大元素，因此存在一些组合^H，使得XT≤^XT=a+（^H·S）T。在不损失一般性的情况下，我们可以假设^X是X（~S，a）中的最大元素，结论仍然成立。引理2.2的证明。通过定义集合C（x，q），f或任何g∈ C（x，q），存在一个V∈X（X，q）在VT+（q·ET，\'\'0）处这样的th- G∈ L（^KT），因此足以证明（6.1）E[hVT+（q·ET，\'0），ZTi]≤ hx，Zi+E[h（q·ET，\'0），ZTi]，Z∈ Zs。通过Remark1，它相当于证明对于每个固定的∈ Ss，（6.2）EQhVT+dXi=1SiTViT+q·ETi≤ hx，Zi+EQ[q·ET]，Q∈ Ms（~S）。可接受投资组合的定义意味着每个固定投资组合都存在a>0和∈ Ss，存在一个极大元素Xmax，~S∈ X（~S，a）使得（6.3）hVτ+（Xmax，~Sτ，`0），Zτi≥ 0，P- a、 s。，Z∈ 所有[0，T]值的停止时间τ的Zs（~S）。对于Xmax的这个选项，我们可以重写EQhVT+dXi=1SiTViT+q·ETi=EQhVT+dXi=1SiTViT+Xmax，~ST- Xmax，~ST+q·ETi=EQhVT+dXi=1 ~SiTViT+Xmax，~STi- EQ[Xmax，~ST]+EQ[q·ET]。[6]中的定理5.2（6.4）指出，对于每个固定半鞅∈ Ss，setM′S，{Q∈ Ms（~S）：Xmax，Q}下的UI鞅在Ms（~S）中相对于L的范数拓扑是非空且稠密的(Ohm, F、 P）。因此，我们可以首先证明所有Q的不等式（6.2）∈ M′（~S）而不是Q∈ Ms（~S）。根据（6.4）和f的作用，x max是Q下的UI鞅∈ M′（~S），有充分的证据表明（6.5）EQhVT+dXi=1SiTViT+Xmax，~STi≤ hx，Zi+a，Q∈ M′（~S）。然而，由于V是一个自我融资的投资组合，所以[3]imp中的引理2.8认为hV，Zi是所有Z的局部超级鞅∈ Zs，因此Vt+Pdi=1SitVitis是allQ下的一个局部上乘∈ M′（~S）。再一次，自Xmax以来，它是Q下的UI鞅∈ M′（~S），我们得到Vt+Pdi=1~SitVit+Xmax，在Q下也是一个局部上鞅∈ M′（~S）。