基于GARCH模型的自旋金融市场分析

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英文标题：
《Analysis of Spin Financial Market by GARCH Model》
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作者：
Tetsuya Takaishi
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  A spin model is used for simulations of financial markets. To determine return volatility in the spin financial market we use the GARCH model often used for volatility estimation in empirical finance. We apply the Bayesian inference performed by the Markov Chain Monte Carlo method to the parameter estimation of the GARCH model. It is found that volatility determined by the GARCH model exhibits \"volatility clustering\" also observed in the real financial markets. Using volatility determined by the GARCH model we examine the mixture-of-distribution hypothesis (MDH) suggested for the asset return dynamics. We find that the returns standardized by volatility are approximately standard normal random variables. Moreover we find that the absolute standardized returns show no significant autocorrelation. These findings are consistent with the view of the MDH for the return dynamics.
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中文摘要：
自旋模型用于模拟金融市场。为了确定自旋金融市场中的收益波动率，我们使用了实证金融中经常用于波动率估计的GARCH模型。我们将马尔可夫链蒙特卡罗方法进行的贝叶斯推断应用于GARCH模型的参数估计。研究发现，由GARCH模型确定的波动率在真实金融市场中也表现出“波动聚类”。利用GARCH模型确定的波动率，我们检验了资产收益动态的混合分布假设（MDH）。我们发现，由波动率标准化的收益率近似为标准正态随机变量。此外，我们发现绝对标准化收益率没有显著的自相关。这些发现与MDH对回归动态的看法一致。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Analysis_of_Spin_Financial_Market_by_GARCH_Model.pdf (454.65 KB)

2022-5-6 19:25:23 上传

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关键词：GARCH模型 ARCH模型 GARCH 金融市场 ARCH

GARCH ModelTetsuya Takaishihihi对自旋金融市场的分析广岛经济大学，731-0192，日本邮政：tt-taka@hue.ac.jpAbstract.自旋模型用于模拟金融市场。为了确定自旋金融市场的收益波动性，我们使用了GARCH模型，该模型通常用于实证金融中的波动性估计。我们将马尔科夫链蒙特卡罗方法进行的贝叶斯推断应用于GARCH模型的参数估计。研究发现，由GARCH模型确定的波动率在真实金融市场中也表现出“波动聚类”。利用GARCH模型确定的波动率，我们检验了资产收益动态的混合分布假设（MDH）。我们发现，按波动率标准化的回报率是近似标准的正态随机变量。此外，我们发现绝对标准化收益率没有显著的自相关。这些发现与MDH对回报动态的看法一致。1.简介资产价格回报的统计特性已被广泛研究，发现了一些已公布的特性，并将其归类为程式化事实[1]。多年来的一个典型事实是，收益率的概率分布呈现厚尾分布。这一证据表明，资产价格动态不是一个简单的高斯随机游走。一个可能的起源f或f的尾部分布已由混合分布假设（MDH）[2]解释，其中价格收益动态由具有时变波动性的高斯随机过程描述。设r（t）是时间t的返回值。然后在MDH下，返回值由r（t）=σtt来描述，其中σ是标准d偏差，是方差为1且均值为0的高斯随机数。金融风险也被称为“波动性”。

使用高频财务数据对MDH进行了检查，并找到了MDH的证据[3,4,5,6,7,8,9]。经验上，众所周知，波动性随时间而变化，并且表现出相同幅度的波动性的持续性。波动性的这一特征被称为“波动性聚集”，这也是一个典型的事实。为了预测未来的波动率，需要使用具有收益率和波动率特性的波动率模型。经验金融中最成功的模型是ARCH模型[10]及其广义版本GARCHmodel[11]。自ARCH和GARCH模型发明以来，许多扩展模型也被提出并应用于实证金融。这些模型的一些例子有EGARCH[12]、QGARCH[13,14]、GJR[15]、APARCH[16]和GARCH-RE[17]等。另请参见，例如[18]。在物理学中，为了理解金融市场动态，人们提出并研究了各种基于代理的模型[19,20,21,22,23,24,25,27,28,29,30,31,32,33]。研究发现，在一定程度上，这些模型能够捕捉到一些程式化的事实，例如收益的厚尾分布和绝对收益的长自相关时间。在本研究中，我们在三态自旋模型[32]中对金融市场进行了模拟，该模型是两态Bornholdt模型[27]的扩展版本，并确定了模型中模拟的回报率的波动性。在真实金融市场中，无法直接观察到波动本身。因此，为了推断潜在波动率，通常使用参数模型，如GARCH模型。在这里，我们也采用同样的方法，并使用GARCH模型来确定自旋市场的波动性。在确定波动性之后，我们进一步研究了MDH对金融自旋模型回报动态的看法。2.

三态自旋模型我们在这里使用的模型是一个类似Potts的模型[32]，其中主体（或自旋Si）位于其中一个晶格位置，具有三种状态之一（1，-1, 0). 三个州（1，-1、0）分别分配给“买入”、“卖出”和“非活动”订单。该模型包括两种相互影响的交互作用。一种是最近邻相互作用，它导致铁磁记录器或大多数效应。换句话说，通过这种互动，代理倾向于模仿他们的邻居代理，因此属于多数群体。在真实的社会市场中，这种模仿对应于羊群行为。另一种相互作用是与磁化强度成比例的整体相互作用，它会导致反铁磁有序或少数效应。当磁化强度较大时，大多数自旋取1（或-1）。这种状态对应于真实金融市场中的“泡沫”状态。当泡沫状态出现时，特工们应该将他们的旋转转向少数群体。这样一来，当“泡沫”经济破裂时，代理商就能够避免未来可能出现的损失。这两种相互影响的相互作用导致了复杂的动力学。例如，我们没有观察到单一稳定相，而是反复发现铁磁和反铁磁相。我们再次来到下面这一点。基于Bornholdt[27]提出的热路径动力学，我们根据以下概率更新自旋。P（Si）→ （一）=exp（λ（h（i，S′i）- μSiS′i | M |）/C表示S′i=1，-1exp（λ（h（i，S′i）- u（i | M |- 2γK））/C表示S′i=0（1），其中h（i，S′i）=Xhi，jiδSj，S′i，（2）hi，ji代表由i=2δSi，0定义的站点i和iis的最早邻居j的总和- 1表示Si=0，取1-1表示Si6=0。C是标准化系数，确定后满足以下等式。Xk=1，-1,0P（Si）→ k） =1。

（3） M s代表由M=NNXi=1Si计算的磁化强度，（4），其中N是系统中的试剂数量，K是由K=NNXi=1δSi，0给出的不活动率。（5） 模型的哈密顿量可以写成asH=-JXih（i，Si）+XiLi（6）whereLi=u符号（Si）Si | M |表示Si=1，-1u（i|M|）- 2γK）表示Si=0（7），J=1表示铁磁耦合。配分函数Z（λ，H）由Z（λ，H）=XS，。。。，SNexp(-λH）。（8） 为了深入了解该模型，让我们考虑隐式的两态模型（伊辛型模型）。对于两态模型，哈密顿量可以写成asH=-JXih（i，Si）+Xiu符号（Si）Si | M |。（9） 对于重新定义的耦合J=2J′，最近邻相互作用项可以重写为asH=-J′Xi2（h（i，Si）- 2d）+Xiu符号（Si）Si | M |，（10），其中d是模型的尺寸，即在这种情况下d=2。方程（10）对应于通常的伊辛模型表示式asH=-JXhi，jiSjSi+Xiu符号（Si）Si | M |。（11） 让我们来理解一个包含俚语的术语-（JXhl，jiSj）- u符号（Sl）|M |）Sl.（12）使用我们获得的平均场φ=hSli=-（Jzφ- usign（Sl）|M |）Sl，（13），其中z=2d是代理Sl的相邻站点数。每个代理可能会与其他代理进行交互。在现实情况下，代理商可以从中获取市场信息的代理商数量应该是有限的。因此，平均场近似值适用的非常大的z可能不现实，而有限z肯定不现实。还存在一个警告，即平均场近似值不应用于代理模型[34]。由于我们已经知道，在d=2[27,31]和低维[30]上的模拟可以成功地产生与真实金融市场（如幂律回报分布）的一些相似性，因此我们采用二维晶格模拟。与原始伊辛模型相比，术语u符号（Sl）|M|表现不同，即。

它根据俚语而改变符号| M |随时间而变化。这些特性会导致更复杂的行为。设置温度T(~ 1/λ）低于临界温度t且u=0时，该模型的系统处于有序相。此外，假设| M |是一个常数，参考文献[33]认为相图是|M |的一个函数，并发现系统在某个临界|M | c处向无序相转变。在无序相中，M的流动强烈，从而产生更大的波动。另一方面，在有序阶段，M的波动很小，这导致表现出很小的波动性。当我们让| M |变化时，系统可以在模拟中反复切换到另一个相位。阶段的持续时间与波动性集群的出现相一致。在（1）中引入γ使模型更加灵活。通过改变γ，除了幂律分布外，还可以观察到指数回报分布[32]。根据经验，在印度市场也观察到了指数回报分布[35]。由于γ可以改变参与买卖交易的代理数量，因此γ可能与调整交易数量或交易量有关。3.GARCH模型Bollerslev[11]的GARCH（p，q）模型由yt=σtt，（14）σt=ω+qXi=1αiyt给出-i+pXi=1βiσt-i、 （15）其中，GARCH参数被限制为ω>0、αi>0和βi>0，以确保正进化性。这是一个独立的正常误差~ N（0，1）和返回由yt给出。我们关注的是GARCH（1,1）模型，其中波动过程由σt=ω+αyt给出-1+βσt-1.（16）尽管GARCH（1,1）模型是最简单的，但在实证研究中，通过比较AIC等信息标准，GARCH（1,1）模型通常被选为最佳模型[36]。

在本研究中，GARCH（1,1）模型被简单地表示为GARCH模型。无条件波动率σ可以通过替换σt=σt来找到-1=σ和E[yt-1] =σt（16）。对于（α+β）<1，我们得到‘σ=ω1- (α + β). （17） 收敛到无条件波动率的速度可以用α+β来衡量。当α+β接近1时，波动性会持续很长时间。根据经验，α+β的值通常被推断为接近1。GARCH模型包括三个模型参数：α、β和ω。确定这些参数是为了使模型与观测到的时间序列数据相匹配。为了确定模型参数，我们采用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法进行贝叶斯推理。我们在这里使用的MCMC方法是Metropolis-Hastings方法，具有自适应多维学生t分布，这对于GARCH模型的贝叶斯推断非常有效[37,38,39,40]。三态自旋模型的模拟我们使用一个100×100方形晶格，带有周期边界条件，并在一个随机配置上开始模拟。旋转会以随机顺序一个接一个地更新。我们将“一次扫描”定义为100次更新，并使用一次扫描作为单位时间。我们丢弃前3×10次扫描作为热化，然后累积10次扫描用于分析。我们对两个参数集（a）：（λ，u，γ）=（4.0，10.0，1.0）和（b）：（λ，u，γ）=（4.0，10.0，0.05）进行了模拟，即λ和u是固定的，γ是变化的。发现γ=1.0时得到幂律回报分布，γ=0.05时得到指数回报分布[32]。0 2000 40008000 10000t-0.10.10 2000 40008000 10000t-0.1-0.050.10.15图1。在γ=1.0（左）和γ=0.05（右）下模拟的磁化强度M（t）。0 2000 40008000 10000t-0.02-0.010.010.020.030 2000 40008000 10000t-0.03-0.02-0.010.010.02图2。

在γ=1.0（左）和γ=0.05（右）时模拟的返回时间序列。图1显示了磁化强度m（t）随时间（扫描）的变化。[31]之后，我们通过磁化asr（t）=M（t+1）确定返回r（t）- M（t），（18），其中M（t）是（4）给出的磁化强度。图2显示了收益r（t）w的时间序列，我们观察到收益的间歇性。如第2节所述，这种间歇性行为预计是由相变引起的。即| M |及其波动较小的有序阶段对应于低波动阶段。相反地，无序阶段对应于高波动阶段。这些公共关系也可以通过比较图1和图2来证实。由于波动率的值不是直接从收益中获得的，因此我们使用GARCH模型对其进行估计，该模型用于经验金融中的波动率估计。0 2000 40008000 10000t2e-054e-056e-058e-050 2000 4000 6000 10000t5e-050.0001图3。GARCH模型得出的波动性时间序列：γ=1.0（左）和γ=0.05（右）-0.01-0.0050.0050.01退货-4-2标准化退货0。10.20.30.40.5图4。在γ=1.0时模拟的回报分布（左）和标准化回报分布（右）。红线表示标准正态分布。5.GARCH模型的波动性我们将GARCH模型应用于从金融自旋模型获得的收益数据，并估计每个收益对应的波动性。GARCH模型的贝叶斯推断由Metrop-olis-Hastings算法执行，该算法具有自适应多维学生st分布[37,38,39,40]。我们总共制作了4×10万个GARCH参数的Carlo u更新。第一次1.1×10更新作为热化被丢弃，第二次2.9×10更新用于分析。在每次更新时，我们还存储波动率的值，最后我们对最终产出的波动率值进行平均。

表1列出了由贝叶斯推断确定的GARCH参数。对于这两个模拟参数，发现α+β的值非常接近1，这意味着从这些模拟中获得的收益时间序列具有很强的波动持续性。图3显示了通过GARCH模型获得的波动性时间序列。可以看出，存在高波动期和低波动期。这种波动性行为对应于在真实金融市场中经常观察到的“波动性聚集”-0.02-0.01 0 0.01 0.02返回-4-2 0 2 4标准化返回0。10.20.30.40.5图5。在γ=0.05时模拟的回报分布（左）和s标准化回报分布（右）。红线表示标准正态分布。表1。GARCH参数的结果。SD和SE分别代表标准差和统计误差。统计误差用刀切法估计。τint是由τint=1+2P定义的自相关时间∞i=1ACF（t），其中ACF（t）代表自动相关函数。α β ωγ = 1.0 0.0495 0.9508 2.1 × 10-9SD 0.0037 0.0013 6×10-10SE 0.00003 0.00003 4×10-12τint1。8 ± 0.4 1.8 ± 0.3 1.8 ± 0.4γ = 0.05 0.0836 0.9100 8.6 × 10-8SD 0.0055 0.0057 1.4×10-8SE 0.00003 0.00003 8×10-11τint1。41±0.05 1.40±0.04 1.42±0.05接下来，我们检查MDH的视图，以获取来自金融自旋模型的返回数据。在MDH中，假设收益率r（t）由r（t）=σtt给出，其中σt为波动率和t是一个均值为0、方差为1的独立高斯随机变量。在此假设下，由σt标准化的收益率，即r（t）/σt应为标准正态随机变量。使用GARC H模型确定的波动率作为真实波动率的代理，我们得到了标准化收益率r（t）。图4和图5比较了非标准化和标准化返回的分布。

非标准回报分布与标准正态分布（方差1和均值0）非常不同。另一方面，标准化收益率分布接近红色显示的标准正常分布。通过检验方差和峰度，可以进一步确认标准化收益的正态性。表2列出了非标准化收益和标准化收益的方差和方差。非标准化回复的方差和峰度不同于标准正态随机变量的预期值，即方差=1和峰度=3。另一方面，值得注意的是，在γ=1.0和0.05时，两种模拟的标准化收益的方差与1一致。标准化收益的峰度值也接近3，尽管它们的值略高于3。这个小小的分歧可以用表2来理解。非标准化和标准化收益的方差和峰度。γ=1.0γ=0.05方差峰度方差峰度不标准2。7 × 10-6± 9 × 10-721 ± 9 1.3 × 10-5± 2 × 10-66.6±0.8标准化0。997±0.022 3.54±0.09 0.999±0.025 3.49±0.10我们在这里使用的GARCH模型，即具有正态误差的GARCH（1,1）模型，仍然不能完全捕捉自旋金融模型返回数据的特性。在真实金融市场中已经观察到了这种波动[6]。我们通过计算自相关函数进一步检验了MDH。作为资产收益的一种典型行为，我们知道绝对收益时间序列具有很长的相关性。然而，在MDH下，标准化收益预期为高斯随机变量。因此，如果MDH保持不变，我们预计绝对标准化收益之间的自相关性将消失。