无限交易的多资产消费投资问题

（1） Ngiven by Nt=\'te-βsσ∏*sgxdbs是最优策略下的鞅。（2） Ngiven by Nt=\'te-βsηysgydbs是最优策略下的鞅。（3） 极限→∞E[E]-βtG（X*t、 Yt，Θ*t） ]=0。回到定理的证明上来，对M的两边都抱有期望*T- M、 我们有*t] =M，这导致（5.7）G（x，y，θ，0）=E^te-βs（C）*s） 一,-R1- 无线电数据系统+ EE-βtG（X*t、 Yt，Θ*（t）.然后利用引理26，应用单调收敛定理，我们得到了g（x，y，θ，0）=E^∞E-βsC*1.-Rs1- 无线电数据系统因此V≥ 现在我们考虑一般的可容许策略，并证明V≤ G.与（3.4）和定理13的证明完全一样- M=Nt+Nt+Nt+Nt+Nt。引理24意味着在一般可容许策略下，Nt≤ 新界北≤ 0.考虑跳跃项，Nt=X0<s≤te-βs[G（Xs，Ys，Θs）- G（Xs）-, Ys，Θs-) - Gx(十） s- Gθ(Θs]具有无限交易成本的多资产消费投资问题23使用以下事实：(十） s=-Y(Θ）含砂量θ=Θs-, y=Ys，x=Xs-, χ = -(Θ）形式的Nis中的seachnon零跳(N） s=e-βsnG（x+yχ，y，θ）- χ) - G（x，y，θ，s）+χ[Gθ（x，y，θ，s）- yGx（x，y，θ，s）]注意，引理23，G（x+yχ，y，θ- χ） 是χ中的单位，因此(N）≤ 0.对于R<1，证明的结果与Theo rem 13完全相同。R>1的情况将在附录C中证明。6.第二种非退化情形（情形3）中的验证引理，临界运动比不有限。在本节中，我们支持b≥ b3，临界值（b，b，R）和b<b1-如果R<1，R+bR。因此q*= 1和z*= ∞.回想一下（2.12）或（2.16）中γ的定义，设置h=γ-设g由g（z）=（Rb/b）Rh（ln z）给出。将候选值函数定义为G（x，y，θ）=e-βtG（x，y，θ），其中（6.1）G（x，y，θ）=x1-R1- Rgyθx, x>0，y>0，θ≥ 0.我们将定义扩展到yθ<x≤ 0 viag（x，y，θ）=（x+yθ）1-R1- RRbb注册护士（1）-R.定理9的证明。

首先考虑以下s-tochastic微分方程，其反射系数为kT=K+^t^∧（Ks）ds+^t^∑（Ks）dBs+^t^Γ（Ks）dBs+Lt，其中K=x/（yθ）。通过与命题25相同的论证，该方程有一个唯一解（K，L），这是一个自适应连续过程，K为非负，L=0，当K为零时，L仅增加。让我来*t=θe-中尉，X*t=YtΘ*tKt，C*t=X*t[g（1/Kt）-g′（1/Kt）Kt（1）-R） ]-1/兰特∏*t=λσX*tψg（1/Kt）。那么Θ*是递减的X*≥ 然后用dKt=^∧（Kt）dt+^∑（Kt）dBt+^Γ（Kt）dBt-dΘ*Θ*t、 使用ktdlt=0，因此使用KtdΘ*t也为0，dX*t=d（YtΘ*tKt）=Θ*tKtdYt+YtΘ*tdKt+Θ*td[Y，K]t=X*t（“α+^∧（Kt）Kt+η^Γ（Kt）Kt+η^∑（Kt）Kt#dt+^∑（Kt）KtdBt+η+^Γ（Kt）Kt！dBt）- 年初至今*t=（λσ∏*t+rX*T- C*t） dt+σ∏*tdBt- 年初至今*这里我们使用∧、和∑的定义来表示最终的等式。紧随其后的是X*是由消费和销售策略产生的财富过程（C*, Π*, Θ*), 因此X*我是允许的。考虑到候选最优策略的可容许性，其余的证明与定理7的证明完全相同，只是引理23、24和26被以下三个引理取代，它们的引理以相同的方式出现。具有无限交易成本的多资产消费投资问题24引理27。修正y，然后修正x≥ 0，G=G（x，θ）在x和θ中是凹的。特别地，如果ψ（χ）=G（x- χyφ，y，θ+χφ），则ψ在χ中是凹的。引理28。考虑（5.2）中构造的候选值函数。那么对于x≥ 0，LG- βG=0，MG≥ 在x=0时等于0。引理29。（1） Ngiven by Nt=\'te-βsσ∏*sgxdbs是最优策略下的鞅。（2） Ngiven by Nt=\'te-βsηysgydbs是最优策略下的鞅。（3） 极限→∞E[E]-βtG（X*t、 Yt，Θ*t） ]=0。7.比较静力学我们关于比较静力学结果的关键在于引理17和推论18。

在关于问题公式的部分中，我们展示了原始参数如何仅通过四个关键参数b、b、b带影响解决方案。这里，b是被赋予资产的有效夏普比率，并测量超额预期回报，减去与市场资产相关的任何预期增长。考虑到市场上的投资机会，bis是一个有效的贴现参数。bis是指被赋予资产的特殊风险，只有通过价值函数的缩放才能影响解决方案——特殊风险也会进入其他参数bi。最后，bis是inte rpret的最硬参数，但它是衡量投资动机和享乐动机相互抵消程度的指标。在本讨论中，我们重点讨论临界比z*= Q*/(1 - Q*) 将捐赠财富转化为发生销售的流动财富，以及捐赠资产持有量的确定性等价值p=p（x，y，θ）。从引理17，我们得出结论，临界比在带内减少，在带内增加，从推论18，我们得出结论，确定性等价值在带内减少，在带内增加，在b。bis中的单亲性易于解释，并且具有明确的直觉。有效夏普比率越高，被赋予资产的持有价值越高，代理人在其投资组合中持有该资产单位的时间越长。对国际清算银行的依赖也正如预期的那样。有效贴现参数越大，提前购买的激励就越大，而提前购买需要通过出售风险资产进行融资——因此，捐赠资产出售得越早。那么，从捐赠资产的快速增长中获得收益的机会就会减少，从而降低其价值。

对bis的依赖不太容易解释，但引理及其推论表明，这个参数也存在单调性。在前面的几段中，我们已经从导出的参数方面讨论了比较静力学。为了理解与原始参数sr、β、u、σ、α、η和ρ有关的比较静力学，我们需要考虑辅助参数如何依赖于这些原始参数。参数β（贴现率）和α（捐赠资产的平均回报率）仅影响参数（bi）i=1,2,3中的一个，因此这些参数的比较静态是向前看的。特别是，降低β或增加α会增加捐赠财富与流动财富的临界比率z*并增加确定性等价值p=p（x，y，θ）。然而，参数sr、u、σ、η和ρ分别进入b带b的定义中。因此，关于这些参数的比较静态更为复杂，一般来说，具有无限交易成本比的关键多资产消费-投资问题25或这些参数的腐蚀当量值都不单调。例如，被赋予资产的波动率η的增加可能会增加或减少Borbde的值，具体取决于其他参数的值。因此，最终资产的波动性变化对临界比率或确定性等价物的影响通常是混合的。我们对消费和投资率的评论严格遵循以下关于临界比率和默顿线的观察结果。考虑一个投资者，他可以在零交易成本的情况下自由买卖Y单位。

然后用两个有风险的as集求解经典的Merton问题，我们发现代理人投资恒定分数（ζ）是最优的-λρ）Rη（1）-ρ） =风险资产中的总财富。相比之下，受约束的投资者选择将其总财富中投资于指定资产的部分保持在q以下*, i、 e.选择Θ以确保≤ Z*=Q*1.-Q*= Z*, 或相当于yytΘtXt+YtΘt≤ Q*. 但是，它遵循引理16，q*>b2R。因此，受约束投资者的“不出售”区域内部包含受约束投资者的“默顿线”投资组合头寸。附录A.n的性质：引理14的证明。在m（q）和l（q） 接下来是换人。如果b>1，则从定义来看（1- R） Γ（q，n）<0。要看到γ在n中增加，请注意υn=φn（1）-sgn（1）- R） ~np~n+E（q））>0，我们在这里使用它φ/n=b>0。终于明白了（1）- R） 在n中是凹的，注意sgn（1- R）υn=-bE（q）（ν+E（q））3/2<0。引理15的证明。

首先我们证明了（4.1）和（4.2）的等价性。考虑者(l（q）- n） +~n（q，n）=R（1）- R） q- b（1）- R） q+b- bn+（1）- R） 问题（1）- q） +（b）- 1） R（1）- R） 问题（1）- R） q+R+bn- b+b（1）- R） q+R（1）- R）[-2q+2- b] =R（1）- R）(1 - q）- （b）- 1） +（b）- 1） 问题（1）- R） q+R+ (1 - R） 问题（1）- q） =（1）- R） （1）- q） [R（1- q） +q]-（b）- 1） R（1）- R） （1）- R） q+R（1）- q） 。然后，注意到（1）- R） q+R=R（1）- q） +q，b[（1）-R） q+R](l（q）-n） =（1）-R） （1）- q） [R（1-q） +q]-R（1）-R） （b）-1)(1-q）- ν（q，n）[R（1）-q） +q]，交易成本无限且乘以4（1）的多资产消费投资问题26- R） （1）- q） ，4b（1）- R） （1）- q） [（1）- R） q+R](l（q）- n） =4（1）- R） （1）- q） [R（1- q） +q]- 4~n（q，n）（1）- R） （1）- q） [R（1- q） +q]+~n（q，n）-{sgn（1）- R） }ν（q，n）+4R（1）- R） （b）- 1)(1 - q）= {2(1 - R） （1）- q） [R（1- q） +q]- ~n（q，n）}- {sgn（1）- R） }ν（q，n）+E（q）.将最后一个表达式写成两个正方形的差异，我们发现4b（1- R） （1）- q） [（1）- R） q+R](l（q）- n） 2（1）- R） （1）- q） [（1）- R） q+R]- ν（q，n）- s gn（1）- R） p~n（q，n）+E（q）=2（1）- R） （1）- q） [R（1- q） +q]- Γ（q，n）除以2bR（1），结果如下- q） [（1）- R） q+R](l（q）- n） /（（1）- R） q）。现在考虑一下（4.1）和（4.3）的等价性。我们有，从（4.1），（1）开始- R） nR（1）- q）1.-(1 - R） 问题（1）- q） b(l（q）- n） +q~n（q，n）2b[（1）- R） q+R](l（q）- n）=(1 - R） n{2b(l（q）- n） [（1）- R） q+R]- 2[(1 - R） q+R]（1）- R） 问题（1）- q） +qν（q，n）}2bR[（1）- R） q+R]（1- q）(l（q）- n） =（1）- R） nn2b[（1）- R） q+R]h(l（q）- m（q））- （n）- m（q））-(1-R） 问题（1）-q） bi+qγ（q，n）o2R（1）- q） [（1）- R） q+R]{S（q）- b（n）- m（q））}。结果如下2b[（1- R） q+R]l（q）- m（q）-(1 - R） 问题（1）- q） b= 2R（1）- R） （b）- 1） q=-q~n（q，m）。引理16的证明。（1） 根据表达式（2.3）和l\'H^opital规则，n′（0）=χ解χ=1- RR-(1 - R） bRl′(0) - χ+(1 - R） 2bR~n（0,1）l′(0) - χ、 这里我们有Γ（0，1）=2R（1）- R）- bR（1）- R）- sgn（1）- R） bR | 1- R |=2r（1）- R） （1）- b） ，及l′（0）=（b）- b） （1）- R） /b。

这就得到了χ=1- RR-b（1）- R） R[（b）- b） （1）- R）- 或者等价地，我们得到了χ解Φ（χ）=0。此外，Φ(l′(0)) = Φ（b）- b） （1）- R） b= -(1 - R） b<0。对于R<1，我们有n′（0）<l′假设n′（0）是Φ的较小根。对于R>1，我们有n′（0）>l′（0）根据假设，n′（0）是Φ的较大根。（2） 对于R<1，n′（0）<l′（0）s o最初n<l. 然后，从（4.3）开始，limn↑l（q） F（q，n）=-∞. 亨森（q）<l（q） ，至少直到q=1或l 打零。R>1的论点也类似。具有无限交易成本的多资产消费投资问题27（3）从（4.3）中可以清楚地看出F（q，m（q））=0。还有，对于q≤ qnso（1）- R）(l - n） 大于0时，签署（q，n（q））与系数D=D（q，m（q），n（q））的签署相反，其中D（q，m（q），n）=2b[（1- R） q+R]（n）- m（q））- qv（q，n）+qv（q，m（q））。但是φ/n=b，如此类推Dn=2b[（1）- R） q+R]- qb“1-sgn（1）- R） ~n（q，n）p~n（q，n）+E（q）#>2b[（1）- R） q+R]- 2qb=2R（1- q） b>0。因此，D在n中增加，D（q，m（q），n）>0当且仅当n（q）>m（q）。（4） 如果R>1，那么n（q）在[0，q]上增加*]. 尤其是qn>q*除非q*= 1其中qn=1=q*.如果R<1，则n（q）≤ l（q） 在（0，1）上。但从（4.1）中我们可以看出，n不能严格地在e之前达到零l. 结果如下l 是凹的，所以ql< 1当且仅当l(1) < 0.（5） 我们只能有q*< 1如果（1）- R） m′（1）>0。对于R<1，我们必须有n′（q*) = 0<m′（q*). 但是M在b/2R有一个最小值，所以q*> b/2R。对于R>1，我们必须有n′（q*) = 0>m′（q*). 但是m在b/2R有一个最大值，所以q*> b/2R。引理17的证明。我们考虑b中的单调性。

对于b带，m不依赖于b带，而b带对m带的依赖性可以通过坐标改变为^m（q）=b（m（q）来消除- 1） ，用类似的表达式表示^n和^l。对于固定b>0，b≥ 1和R，写入n（·）=n（·；b）。考虑φ（b）=n′（0；b）。关于bwe FIND的微分Φφb=（1）- R）1.-RR- φ2bφ+（1）- R）B- B-bR= -(1 - R） b1.-RR- φ1.-RR- φ+ B(1-R） （b）-b） b- φ.假设R<1。然后φ<0和φ<l′(0) = (1 - R） （b）- b） /b和（A.1）0>φb>-1.- Rb=m′（0）b、 现在假设R>1。然后φ>0和φ>l′(0) = (1 - R） （b）- b） /b和0<φ/b<（R- 1） /b=m′（0）/b、 关于bwe FIND的差异（4.2）bF（q，n；b）q=~q，n=~n=2（1- R） ~q ~nRD（~q，~n；b）bD（~q，n；b），其中D（q，n；b）=2（1）- R） （1）- q） [（1）- R） q+R]- ~n（q，n；b）- sgn（1）- R） p~n（q，n；b）+E（q；b）。然后bD（q，n；b）=-pа（q，n；b）+E（q）npа（q，n；b）+E（q）+sgn（1）- R） ~n（q，n；b）oφb、 自从φ/（b=）- R） 问：我们发现F/b | q=~q，n=~n是与1相反的符号- 现在假设b>带letn（q）=n（q；b）和n（q）=n（q；b）。比较零处的环导数，我们得出以下结论：- R） n<（1）- R） n.如果n（·）和n（·）在某点（~q，~n）与~q<q交叉*（b）∧Q*（b） 然后，根据我们对bF（q，n；b）那（1）-R） n′<（1）-R） n′。但在交易成本无限的多资产消费-投资问题上- R） n必须是CRO（1- R） 这是一个矛盾。因此（1）- R） n（·；b）在b中表示为q≤ Q*.单凭这一点还不足以得出关于q的结论*（b） 因为m也依赖于b。

定义ζ（q；b）=n（q；b）-m（q；b），设m（q）=1+R（1）-R） q/b表示m（q；b）=m（q）-b（1）-R） q/b.然后dζ/dq=H（q，ζ；b），其中H（q，ζ；b）=-(1 - R） B（q，ζ（q；B）；b） b（q，ζ（q；b）；b） 2R（1）- q） [（1）- R） q+R]{S（q）- bζ}-2R（1）- R） qb+b（1）- R） b和b（q，ζ；b）=ζ+m（q）-b（1）- R） bqB（q，ζ；b）=2b[（1）- R） q+R]ζ- q~nq、 m（q）-b（1）- R） b+ζ+ q~nq、 m（q）-b（1）- R） b.假设R<1。固定q和ζ>-m（q）。然后，b中的Bis为正并减小，b中的Bis为正并减小，因为在n中，γ是凹的。因此，带H中的产物BB在b中减小，在（A.1）中，ζ′（0）=φ- m′（0）在b中增加，因此至少最初，ζ在b中增加。然后，由于H在b中增加，因此不同b的ζ′（q；b）=H（q，ζ；b）的溶液不能交叉，因此ζ（q；b）在b中增加。因此，q*（b） 当R>1时，类似的参数也适用。最后，考虑一下bn（q）*（b） ）在q*（b）∈ (0, 1). 我们有bn（q）*（b） )=NBQ*（b） +n′（q）*（b） )Q*b、 但是n′（q*) = 0，因此n（q*（b） 因为n（q；b）在b中递减，所以n（q；b）在b中递减。推论18的证明。在0<q的情况下*< 1将h的域扩展到(-∞, ∞) byh（u）=（1+eu）1-R（1+eu）*)1.-右*u>u*.然后g（z）=（bR/b）Rh（ln z）表示所有z∈ [0, ∞). p的单调性结果将遵循if（1- R） 在b中，他的带内衰减带内增加。对于R<1的情况，我们关注b中的单调性；R>1波段的单调性表现类似。固定带b>0，并假设b>（（1- R） b- bR）+，以确保我们的价值函数不是有限的。给定[0，q]上定义的n（q；b）*（b） ]通过设置n（q；b）=n（q），将定义域扩展到[0,1]*（b） )；b） 对于q>q*（b） 。设N（q；b）=（1）- q）-(1-R） n（q；b）-定义[0，1]并让W（·；b）对N（·；b）进行反演。然后，对于每个q∈ （0，1），n（q；b）在带中减少，n（q；b）在带中增加。

因此w（·；b）和w（·；b）在b中增加。我们知道limu↑∞E-(1-R） uh（u）=n（1）-R=n（q）*)-我们想论证的是，对于所有的u，H在b中都在减少。假设存在u∈ (-∞, ∞) 使h（u；b）=h（u；b），并让)u成为最大的u；设置h（~u；b）=h（~u；b）=~h。然后对所有u>~u设置h（u；b）<h（u；b），我们必须有具有无限交易成本的多资产消费投资问题29dhdu（~u；b）≤dhdu（~u；b）或相当于w（~h；b）≤ w（~h；b）。但是w在b中的作用正在减弱，这与b中h没有减少的假设相反。引理19的证明。如果b>0，m是单调的，那么我们必须有q*= 1.因此b3，crit≤ 2R。如果b>0，R<1l(1) ≤ 0然后q*= 因此R<1l(1) ≤ 我们必须有3，克里特≤ bR+b1-这些参数表明b3，crit（b，1，R）≤\'b.还有待证明，对于b=1和0<b<\'b，我们有q*= 1.如果b=1，那么l（1） =m（1），并提供b<\'b，l(1) > 0. 如果R<1，则R>1的情况更容易发生。如果b≤ R然后m（1）≥ m（0）=1，因为n在减少，所以我们必须有q*< 1.假设R<b<b，根据命题20（3）中的论点，我们有n（q）≤ k（q）=1+q（R）-b） （1）-R） b.还有（1）- q） F（q，m（1））=m（1）1.- RR-(1 - R） bRq（1）- q）l（q）- l(1)→ m（1）1- RR1 +(1 - R） bl′(1).但是l′(1)1-R=2R- B- 1=（R）- 1） +（R）- b）∈ (-1, 0). 因此limq↑1(1 - q） F（q，m（1））=κ∈ (-∞, 0).因为≥ m（1）在q=1之前，必须有n穿过高度m（1）处的水平线。然后是阿尔索克*< 1.（2）首先要注意这一点→∞l（q） b=R（1）- R） bq（1）- R） q+R，肢体→∞ν（q，n）b=-2R（1）- R） 。紧随其后的是l\'H^opital的规则，即（A.2）肢体→∞F（q，n）=n1.- RR（1- q） +（1）- R） q2bR（1）- q） [（1）- R） q+R]肢体→∞v（q，n）/bl（q） /b= 0.那么，如果n∞（q） =肢体↑∞n（q；b）我们有n′∞（q） =0，这意味着n（q）=n（0）=1。