无限交易的多资产消费投资问题

这个参数是最难解释的：本质上，它是一个非线性因素，源于问题的多维结构。b=1的情况比较特殊，在一定程度上将被排除在我们的分析之外。（我们自然发现b=1的一个场景是如果λ=0=ρ。在这种情况下，持有金融资产既没有对冲动机，也没有投资动机。基本上，投资者可以忽略金融资产的存在，降低问题的维度。这是霍布森和朱[15]中考虑的问题。）.这篇论文使用了许多与本文相同的想法，尽管设置要简单得多，并且可以被视为这里考虑的更一般问题的“热身”问题。）我们的目标是求解V，从而求解确定的等价价格p。正如可能预期的那样，V解决了一个变分原理，并且可以用四个变量（x，y，θ，t）中的二阶非线性偏微分方程来描述，该方程在未知的自由边界上进行值匹配和平滑fit（一阶和二阶导数）。事实上，从公共关系问题的固有规模可以预期会有很多简化。尽管如此，本文所依据的一个显著事实是，交易成本为60 0.2 0.4 0.6 0.8 10.90.920.940.960.9811.021.041.061.081.1qm，n，l0.2 0.4 0.6 0.8 10.650.70.750.80.850.90.951qm，n，lm（q）n（q）l（q）m（q）n（q）l（q）q*图2.1。m（q），n（q）的程式化绘图，l（q） 对于R∈ (0, 1).

参数是这样的*∈ （0,1）（左图）和q*= 1（右图）。V的表达式和最优解的特征都来源于对一个一阶常微分方程的大量交叉问题的研究。如果R<1和b≤ 0那么价值函数V（x，t）对于默顿问题是有限的（在没有被赋予资产的情况下），更重要的是，非交易资产的正被赋予的价值函数也是有限的。在这种情况下，不可能确定确定性等价价格。如果r>1和b≤ 0，则对于初始禀赋为零的r isky资产，消费的预期贴现效用等于-∞, 同样，不可能为被赋予资产的单位确定相同的价格。为了排除这些情况，我们做了以下非简并假设：长期假设1。在本文中，我们假设b>0.2.2。主要结果。我们分析的关键是一阶或二阶微分方程（2.3）的重新解，其性质在命题1中陈述，其证明在附录a命题1中给出。问∈ [0,1]定义m（q）=（1-R） Rbq-b（1）-R） bq+1和l（q） =m（q）+1-Rbq（1）- q） +（b）-1） R（1）-R） bq[（1）-R） q+R]。设n=n（q）解（2.3）n′（q）n（q）=1- RR（1- q）-(1 - R） bRql（q）- n（q）+（1）- R） q2bR（1）- q） [（1）- R） q+R]ν（q，n（q））l（q）- n（q）受制于n（0）=1和n′（0）1-R<l′(0)1-R=（b）- b） /b，式中Γ（q，n）=а（q，n）- sgn（1）- R） p~n（q，n）+4R（1）- R） （b）- 1)(1 - q） ，和а（q，n）=bn+（1）- R） （b）- 2R）q+2R（1）- R）- B- bR（1）- R） 。假设如果n为零，那么0是n的吸收。对于R<1，让q*= inf{q>0:n（q）≤ m（q）}，见图2.1。对于R>1，让q*= inf{q>0:n（q）≥m（q）}，见图2.2。

对于j∈ {l, m、 n}设qj=inf{q>0:j（q）=0}∧ 1.交易成本无限的多资产消费投资问题70 0.2 0.4 0.6 0.8 10.9511.051.11.151.21.25qm，n，l 0.2 0.4 0.6 0.8 10.90.920.940.960.9811.021.041.061.081 qm，n，l m（q）n（q）l（q）m（q）n（q）l（q）q）q*图2.2。m（q），n（q）的程式化绘图，l（q） 对于R∈ (1, ∞). 参数是这样的*∈ （0,1）（左图）和q*= 1（右图）。如果R>1，则设置\'b=2R，\'b=min{2R，R+b1-R} 如果R<1。对于固定b，带R，存在一些临界值b3，crit（b，b，R），R<b3，crit≤\'b，并且（1）如果≤ 0，然后是q*= 0;（2） 如果0<b<b3，那么0<q*< 1.（3） 如果R>1和b≥ b3，crit（b，b，R）然后q*= 1.如果R<1和b3，则临界值（b，b，R）≤ b<b1-R+bR，然后是q*= 1.（4） 如果R<1，b=1，b=b1-R+R≥ 2R，然后qm=qn=ql= Q*= 1.如果R<1，b=1，b=b1-R+R<2R，那么qm<qn=ql= Q*= 1.如果R<1，b>1，b=b1-R+bR，然后qm<qn=ql= Q*= 1.如果R<1，b>b1-R+bR，然后qm<qn=ql< Q*= 1.备注2。条件b<2R等价于m′（1）>0。如果R<1，则条件b≤b1-R+bR等于l(1) ≥ 0.（注意l(1) ≥ 0是qn=1的必要条件。）然后，如果R<1，0<b<2R和b<b1-R+bR，我们有ql= qn=1。我们将在引理16中证明，n在q处有一个转折点*∈ （0,1）当且仅当n（q）*) = m（q）*). 特别是，如果m是单调的，那么q*= 1.备注3。假设b=1。然后l（1） =m（1）。Moreove r~n（q，m）=r（1）- R） （1）- q） 。如果R<1，那么如果n≥ 我们有φ（q，n）≥ ν（q，m）>0，且Γ（q，n）=0。相反，如果R>1，则如果n≤ m、 ν（q，n）≤ ν（q，m）<0和Γ（q，n）=0。因此，如果b=1，则（2.3）中n′的表达式非常简单，甚至可以简化为[15，等式n（3.6）]中相同名称的变量的等式。备注4。我们在引理17中展示了n（q），q*n（q）*) 在参数B，频带B或q中都是单调的≤ Q*. 特别是q*是b的递增函数。

因此，存在一个临界参数b3、Crit和q*< 1当且仅当b<b3，临界值。虽然我们可以得出结论，R<b3，crit≤ min{2R，b1-R+R}，我们没有b3的显式表达式，crit。具有无限交易成本的多资产消费投资问题8从问题的规模来看，一个关键变量显然是endowe dasset中的财富与流动财富的比率。（这里我们将流动财富定义为现金财富和投资于对冲资产的财富之和。）我们用Z表示这个比率，所以Zt=YtΘt/Xt∈ [0, ∞]. 在最优行为下，消费和投资率是液体财富和Z的函数。本文的主要贡献之一是确定优化问题的不同类型的解决方案，以及命题1中研究的第一个交叉问题的不同类别的解决方案。定理5。（1） 假设b≤ 0.那么，立即出售捐赠资产的全部股份始终是最佳选择，因此对于t，Θt=0≥ 问题的值函数是V（x，y，θ，t）=bbR-重新-βt（x+yθ）1-R/1- R以及资产p（x，y，θ，0）=yθ持有量的确定性等价值。（2） 假设0<b<b3，crit（b，b，R）。然后存在一个正且有限的临界比z*最优行为是出售足够数量的风险资产，以使风险资产中的财富与现金财富的比率低于临界比率。如果θ>0，那么p（x，y，θ，t）>yθ。（3） 假设b≥ b3，临界值（b，b，R）和b<b1-如果R<1，R+bR。然后是临界比z*是固定资产，最佳行为是首先消费流动性财富并投资于风险资产，然后当流动性财富耗尽时，通过出售捐赠资产为进一步消费和投资于风险资产提供资金。（4） 假设b≥b1-如果R<1，R+bR。

然后问题退化，假设θ为正，则值函数V=V（x，y，θ，t）是有限的。没有唯一的最优策略，也没有定义确定的等价值p。备注6。这一理论强调了参数b所起的作用，即“有效夏普比”，以区分不同情景。当bis为负值时，捐赠资产是不良投资，最好立即出售。对于较小且为正的b，存在一个确定的临界比率，非交易资产的出售会使非交易资产中持有的财富份额低于临界值。随着bbec变大，被赋予的资产更具价值，代理人等待时间更长，以便从被赋予的资产获得更好的回报。对于规模足够大的BSE，在ca sh财富耗尽之前，他不会出售任何既定资产。最后，如果R<1且bbec Ome过大，则valuefunction是有限的，并且捐赠的问题是不适定的。定理5最有趣的例子是中间的两个非退化情形，我们将在接下来的两个定理中更详细地研究这两个情形。回想一下，我们假设我们已经构造了（2.3）中微分方程的解n。定义N（q）=N（q）-R（1）- q） R-1，让W与N成反比。让h*= N（q）*).对于一个二次可微分函数，f定义为ψf（z）乘以（2.4）ψf（z）=（1- R） f（z）- （1+ηρRλ）zf′（z）-ηρλzf′（z）R（1）- R） f（z）- 2Rzf′（z）- zf′（z）。定理7。

假设R<1，假设0<b<b3，crit（b，b，R），那么0<q*< 1.然后N:[0，q*] 7.→ [1，h*] 并且W:[1，h]*] 7.→ [0，q*] 定义明确且不断增加。n（q）*)-R=h*(1 - Q*)1.-R.让z*由（2.5）z给出*= (1 - Q*)-1.- 1=q*1.- Q*∈ (0, ∞).具有无限交易成本的多资产消费投资问题91 1.5 2 2.5 3-0.200.20.40.60.811.21.41.61.8b2b3 1.5 2.5 300.511.522.533.5b2b3 b3=b2R+b1/（1）- R） b3=b3，临界值（b1，b2，R）b3=0 b3=b2R+b1/（1）- R） b3=b3，临界值（b1，b2，R）b3=0q*=1q*=0V=∞V=∞q*=10<q*<1q*=00<q*<1图2.3。（b，b）空间中对应于溶液不同特征的区域图，对于固定b>0和R<1。在左图中，参数areb=1，R=0.5。在右图中，参数是b=0.2和R=0.5，因此b<R（1- R） 实线和虚线相交的值严格高于1.1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.8 3-1.-0.500.511.522.533.54b2b3 b3=b3，临界值（b1，b2，R）b3=0q*=1q*=00<q*<1图2.4。（b，b）空间中对应于溶液不同特征的区域图，对于固定b>0和R>1。请注意，当R>1时，没有一个区域的值函数是有限的（前提是b>0）。分隔q的线b3，crit=b3，crit（b，b，R）*< 1来自q*= 1在b=1时具有极限值2R，在b=∞.该图是在b=1和R=2的情况下绘制的。具有无限交易成本的多资产消费投资问题*= 简单*. 关于[1，h]*] 设h为（2.6）u的解*- u=^h*h（1- R） f W（f）df。因此h(-∞) := 利木↓-∞h（u）=1。设g由（2.7）g（z）给出=bbR-Rn（q）*)-R（1+z）1-RbbR-Rh（ln z）z∈ （z）*, ∞);Z∈ [0，z*].然后，值函数V由（2.8）V（x，y，θ，t）=e给出-βtx1-R1- Rgyθx.

x>0，y>0，θ≥ 0通过连续性ex趋向于x=0，通过v（0，y，θ，t）=e-β-ty1-Rθ1-R1- RbbR-Rn（q）*)-R.Let（J，L）=（Jt，Lt）t≥0是唯一的一对，使得（1）J是正的，（2）L是递增的，连续的，L=0，并且由集合{t:Jt=0}，（3）J solvesJt=（z）携带*- z）+-^t∧（Js）ds-^t∑（Js）dBs^tΓ（Js）dBs+Lt，其中∧（j）=∧（z）*- j） ，√∑（j）=∑（z）*- j） Γ（j）=Γ（z）*- j） ，其中反过来∧（z）=zg（z）-1.- Rzg′（z）-1/R- λ（λ+ηρ）zψg（z）+λzψg（z）+ζηz，Γ（z）=ηz和∑（z）=-σzψg（z）。对于这样的一对≤ Jt≤ Z*.设z=yθ/x，如果z≤ Z*然后开始*= θ和X*= 十、否则z>z*对于最优策略，有一个正数量θ的销售- Θ时间0的单位数，使得Θ*= θz*（1+z）*)（1+z）z≤ θ和X*= x+y（θ）- Θ).然后，最优持有量Θ*Θ给出了捐赠资产及其产生的财富过程*t=exp-Z*（1+z）*)书信电报;十、*t=YtΘ*t（z）*- Jt）；具有无限交易成本的多资产消费投资问题11及最优消费过程C*t=C（X）*t、 Yt，Θ*t） ，最优投资组合过程∏*t=π（X）*t、 Yt，Θ*t） ，并以反馈形式给出确定性等价值p（x，y，θ）=xGyθx-1.- Ryθxg′yθx-R（2.9）∏（x，y，θ）=λσxψgyθx（2.10）p（x，y，θ）=xGyθxg（0）1.-R- x、 （2.11）现在假设R>1，0<b<b3，crit（b，b，R）使得0<q*< 1.让所有数量都像以前一样确定。然后N:[0，x*] 7.→ [h]*, 1] 是递减的，W：（h）*, 1) 7→ [0，q*] 定义明确且不断减少。On（h）*, 1） h定义为viau*- u=^hh*（R）- 1） f W（f）df。价值函数V，最优持有量Θ*, 最优消费过程*, 最佳门静脉流程∏*, 由此产生的财富过程*确定性等价值p与之前相同。备注8。

给定n和第一个交叉点q*N，W，h，g以及V和pis的构造是直接的。进一步，给定价格过程P和Y的实现（或布朗运动B带（或B带）的等价路径）⊥) 然后，J和L由一个Skorokhodproplem[21，引理VI.2.1]的路径解产生。最佳捐赠资产持有量Θ*然后是最优现金财富过程X*根据斯科罗霍德问题的解明确给出；然后以反馈形式给出了最优消费和投资，作为这些基本量的函数。定理9。假设R<1，假设b3，crit（b，b，R）≤ b<b1-R+bR。让n在[0,1]上求解（2.3）。对于给定的参数组合，我们有q*= 1.然后N增加，W定义明确。定义γ：（1，∞) 7.→ R乘以（2.12）γ（v）=ln v1- R+R1- Rln（1）-1.- R^∞v（1）- 西南副翼西南副翼。设h与γ成反比，g（z）=（bR/b）Rh（ln z）。然后，值函数V由（2.13）V（x，y，θ，t）=e给出-βtx1-R1- Rgyθx, x>0，y>0，θ≥ 0和V（0，y，θ，t）=e-β-ty1-Rθ1-R1-注册护士（1）-R.假设θ>0。设K=x/（yθ）∈ [0, ∞).

设（K，L）=（Kt，Lt）t≥0是唯一的一对，使得（1）K是正的，（2）L是递增的，连续的，L=0，由集合{t:Kt=0}携带的数据，（3）K solvesKt=K+^t^∧（Ks）ds+^t^∑（Ks）dBs+^t^Γ（Ks）dBs+Lt，具有无限交易成本的多资产消费投资问题，其中∧（K）=（η- ζ） ηk+λ（λ）- ηρ）kψg（1/k）- Kg（1/k）-g′（1/k）k（1）- R）-1/R，^∑（k）=λkψg（1/k）和^Γ（k）=-ηk.那么，最优持有量Θ*对于捐赠资产，最优财富过程由Θ给出*t=θexp{-Lt}，（2.14）X*t=YtΘ*tKt（2.15）最优消耗过程C*t=C（X）*t、 Yt，Θ*t） ，最优投资组合过程∏*t=π（X）*t、 Yt，Θ*t） ，以及特定的ty当量值p=p（X*t、 Yt，Θ*t） 由（2.9）、（2.10）和（2.11）中的表达式以反馈形式给出。现在假设R>1和b≥ b3，爆击。然后N在减少。定义（2.16）γ（v）=-在虚拟现实中- 1.-RR- 1ln（1）-R- 1^v（1）- 西南副翼西南副翼。设h与γ成反比，定义g和R<1时的值函数。然后，最优持有量、最优消费、金融资产的最优投资、最优财富过程和持有量的确定性等价值都如R<1的情况所示。备注10。根据定理7和定理9的结果，我们可以证明（推论18），在b带中，被赋予资产持有的确定等价物的价值在增加，在b带中减少。因此，例如，确定等价物的价值在被赋予资产的夏普比率ζ中增加，在贴现系数β中减少。备注11。这是定理9的一个结果，可能令人惊讶，它适用于b>1。确定停止时间τ=inf{t；X*t=0}。然后，对于定理9中研究的参数组合，在最优行为下，风险y asse t的投资为∏*τ=∏τ（0，Yτ，Θ）*τ) 6= 0.

这意味着，即使流动财富为零，对金融资产投资为零也不是最佳选择。金融资产价格的不利变动对流动性财富有负面影响，必须通过出售捐赠资产进行融资。相反，金融资产价格的良性变动将为代理人创造正的流动财富。特别是X*= 0不是正在吸收状态。相比之下，对于b=1和定理9适用的参数组合，在流动性财富耗尽之前，不会出售捐赠资产，但一旦流动性财富为零，就不会对金融资产进行投资，现金财富保持在零，消费通过出售捐赠资产持续进行。具有无限交易成本的多资产消费投资问题133。证明和验证论点：H=H（x，y，θ）的退化情形：[0，∞) × (0, ∞) × [0, ∞) 7.→ 带H的R w∈ C2,2,1并使Hx>0微分算子lh=sup（c>0，π）c1-R1- R- cHx+αyHy+λσπHx+rxHx+σπHxx+ηyHyy+σηρyπHxy= H1-1/RxR1- R+rxHx+αyHy+ηyHyy-（ηρyHxy+λHx）2Hxx，MH=Hθ- yHx。左侧定义为（0，∞) × (0, ∞) × [0, ∞). 然而，我们可以将L的定义范围扩展到[0，∞) × (0, ∞) × [0, ∞) 通过将H的定义扩展到该地区-yθ<x≤ 这样H的导数在x=0时是连续的。MH定义于（0，∞) × (0, ∞) × (0, ∞). 注意，在θ=0时，我们不需要MH，但我们可以使用H到x的相同延伸，将M的定义域扩展到x=0≤ 0.3.1. 折旧资产的验证引理。假设b≤ 我们的目标是证明定理5（1）的结论成立。从命题1我们知道q*= 0