无限交易的多资产消费投资问题

很容易看出∞我在某个q*∈ （0,1）当且仅当（1）- R） m（1）>（1）- R） m（0）=（1）- R） 这等于0<b<R。否则，我们有q*= 1.初始状态源自q的单调性*关于b波段。20号提案的证据。（1） N N′（q）N（q）=2（1）- R） 问题（1）- q） [（1）- R） q+R]- (1 - R） q~nq、 （1）- q） 一,-注册护士（q）-R2b（1）- q） [（1）- R） q+R]nl（q）- (1 - q） 一,-注册护士（q）-RoSuppose R<1。我们有Γ（q，n）≤ 0（见引理14）和，对于q≤ Q*, n（q）=（1）- q） 一,-1/RN（q）-1/R≤l（q） 。因此N在增加。当R>1时，Γ（q，（1- q） 一,-1/RN（q））≥ 0和n（q）=（1-q） 一,-1/RN（q）-1/R≥l（q） 。因此，N是贬损。（2） 注意，如果s=N（q），那么W′（s）=1/N′（q），所以W′（s）=2b（1）- W（s））[（1）- R） W（s）+R]nl（女）- (1 - W（s））1-Rs-Rosn2（1）- R） W（s）（1）- W（s））[（1）- R） W（s）+R]- (1 - R） W（s）~nW（s），（1）- W（s））1-Rs-R具有无限交易成本的多资产消费投资问题30经过一段漫长的代数后，w\'的表达式如下。（3） 我们有n′（q）=F（q，n（q）），然后从表示式（4.2）和Nit的定义得出n′（q）n（q）=2（1）- R） 问题2（1）- R） （1）- q）q+R1-R- ~n（q，n（q））- sgn（1）- R） q~n（q，n（q））+E（q），其中n（q）=（1）- q） 一,-注册护士（q）-1/R.然后是W′iss（1）的另一种表示形式- R） W′（s）=2（1）- R） （1）- W（s））（（1）- R） W（s）+R）- ^φ - 秘书长（1）- R） ^~n+E（W（s））2（1）- R） W（s）。式中^~n=^W（s），（1）- W（s））1-卢比.我们想知道s是怎么做的∈ （1，h）*), 1.- R<w′（s）<1-Rw（s）（1）-R） 这相当于（A.3）（1）- R） （1）- W（s）s<（1）- R） W′（s）<1- 考虑第二个不等式。它可以重写为它们1-RN′（q）N（q）>1-qor（1-R） n′（q）n（q）<0，后者从（1）开始是直接的- R） n在（0，q）上递减*). 现在考虑一下（A.3）中的FirstinEquality。如果R>1，那么它是直接的，因为W正在下降。

只剩下证明n′/n>-1/(1 - q） 对于R<1。假设R<1，设k（q）解f（q，k）k=-1.-q、 （注意F（q，m（q））=0，F（q，l（q） ）=-∞在k中，φ（q，k）+pφ（q，k）+E（q）增加，因此从（4.2）开始，F（q，k）/k在k中减少。特别是，F（q，k）k=-1.-q在（m（q）中有唯一的解，l（q） ））那么k是k（0）=1和k（1）=1的直线l（1） 所以（A.4）k（q）=1+q（bR- b） （1）- R） b.为了验证这一点，请注意，如果k如（A.4）中所示，则（q，k（q））=R（1）- R） (二)- b） （1）- q） 和Γ（q，k（q））=-2 R（1）- R） （b）- 1)(1 - q） 。期望的结论F（q，k（q））=-k（q）/（1）- q） 经过一些冗长的代数之后。我们有Φ（k′（0））=R（1）-R） bnb-bR+b1-Ro/b.假设b<bR+b/（1）-R） （否则我们是在退化的情况下），然后Φ（k′（0））<0和n′（0）<k′（0），使得n<k在某个区间（0，q）上等于零。现在假设n（q）=k（q）对于某些q∈ （0，q）*). n′（q）=F（q，n（q））=-k（q）1- q=-1+qk′（q）1- q<k′（q）。设q是这样的点的最小值，那么q是n对k的交叉，这与n（q）<k（q）在（0，~q）上的事实相矛盾。因此，对于任何q，n（q）<k（q）∈ （0，q）*). 但是对于n≤ k（q），F（q，n）>-n1-q、 Thusn\'n>-1.-qand w′（s）>1- R附录B.引理26和引理29的值函数证明的鞅性质。

（i） 作为证明的第一步，我们知道∑∏*Gx/G是有界的。具有无限交易价值的投资组合问题*（x，y，θ）Gx（x，y，θ）G（x，y，θ）=λ(1 - R）-zg′（z）g（z）-(1 - R） g（z）+1+Rηρλzg′（z）+ηρλzg′（z）-R（1）- R） g（z）+2Rzg′（z）+zg′（z）=(1 - R） R1.-w（h）（1）- R） hλ -ηρ -λRw（h）[w′（h）- (1 - R） [（1）- R） h-2.-Rw（h）-Rw（h）w′（h）=(1 - R） R（1）- W（h））λ-ηρ -λRW（h）[W′（h）- (1 - R） ]1-2.-RW（h）-1.-RRW（h）-1.-RRhW（h）W′（h）！现在使用以下事实：-R） <w′（h）<1-RW（h）得出结论0<w′（h）-(1- R） <R（1）-W（h））和h（1- R） W′（h）<1- W（h）得出结论1-2.-RW（h）-1.- RRW（h）-1.- RRhW（h）W′（h）≥ 1.-2.-RW（h）-1.- RRW（h）-RW（h）（1）- W（h））=1- 2W（h）+W（h）。然后（B.1）σΠ*GxG≤|1.- R | R（1）- W（h））|λ|+|ηρR- λ| W（h）1- W（h）≤|1.- R | R（|λ|+|ηρR）- λ|）=：Kπ。注意，这个界同时适用于引理26和引理26的证明。现在我们想证明局部鞅=^te-βsηYsGy（X*s、 Ys，Θ*s） 这是一个鞅。例如，如果（B.2）E^te-2βs（YsGy（X*s、 Ys，Θ*s） ）ds<∞每t>0。从值函数（5.2）的形式来看，我们有（B.3）e-βsyGy（x，y，θ）=e-βsx1-R1- Rzg′（z）=e-βsG（x，y，θ，t）zg′（z）g（z）≤ (1 - R） e-βsG（x，y，θ），其中我们使用thatzg′（z）g（z）=w（h）h=（1- R） W（h）和0≤ W（h）≤ 1.定义流程（Dt）t≥0by Dt=ln G（X*t、 Yt，Θ*t、 t）=lng（X）*t、 Yt，Θ*（t）- βt。

然后D解决了SDT- D=-^t1- RGGR-1Rxds+^tGσ∏*sGxdBs+^tGηYsGydBs-^tGhσ∏*sGx+ηYsGy+2σηρYs∏*sGxGyids。因此，沿最优轨迹的候选值函数具有（B.4）G（X）的表示形式*t、 Yt，Θ*t、 t）=G（X*, y、 Θ*, 0）经验-^t1- RGGR-1RxdsH具有无限交易成本的多资产消费投资问题32其中H=（Ht）t≥0是指数鞅ht=EσΠ*GxGo B+ηYsGyGo Bt、 其中E（A）o B） t=e\'tAsdBs-塔斯兹。注意，（B.3）表示0≤GηyGy≤ η|1 - R |和（B.1）意味着|Gσ∏*Gx|≤ Kπ，所以H确实是一个鞅，而不仅仅是一个loc-al鞅。从（B.3）和（B.4）中，我们得到（yGy）=G（X，y，Θ，0）zg′（z）G（z）！经验-2^t1- RGGR-1RxdsHt≤ G（X，y，Θ，0）（1）- R） 嗯。但是从（B.1）和（B.3）Ht=EGσ∏*Gxo B+GηYsGyo B特克斯^tGσ(Π*s） Gx+ηYsGy+2σηρYs∏*sGxGyds≤ EGσ∏*Gxo B+GηYsGyo B特克斯[η(1 - R） +Kπ+2η|ρ1- R） |Kπ]t因此E[Ht]≤ 经验[η(1 - R） +Kπ+2η|ρ（1）- R） |Kπ]t因此（B.2）对每个t都成立，因此局部鞅Nt=\'tηyvydbss是最优策略下的鞅。（ii）同样的推理也适用于证明马丁加湾=^te-βsσ∏*sGx（X）*s、 Ys，Θ*s） 这是一个鞅。我们有|σ∏*Gx/G|≤ Kπ和by（B.4）（σ∏*Gx（x，y，θ，t））≤ G（X，y，Θ，0）KπHt。（iii）考虑出口-1.-RGGR-我也是。到目前为止，我们只是认为这个函数在t中递减。现在我们想说它以指数形式迅速递减到零。到（5.2），我们有1- RGGR-1Rx=g（z）g（z）-1.- Rzg′（z）R-1R=hH-1.- Rw（h）R-1R=h-1/R（1）- W（h））1-1/R=N（q）-1/R（1）- q） 一,-1/R=n（q）。既然n在（0，q）上有界*) （如果R>1，则按1；如果R>1，则按n（q*) 如果R<1），我们对上述方程中的所有表达式都有一个下界。因此，从（B.4）我们有0≤ (1 - R） G（X）*t、 Yt，Θ*t、 （t）≤ (1 - R） G（x，y，θ，0）e- min{n（q）*),1} tHt→ 然后是G→ 必须在Las中输入0。附录C。

对R>1的扩展仍需将验证引理的证明扩展到R>1的情况。特别是我们需要知道，候选值函数是值函数的上界。主要思想来自戴维斯和诺曼[8]。具有无限交易成本的多资产消费投资问题33支持G（x，y，θ，t）=e-βtG（x，y，θ）是候选值函数。考虑ε>0，（C.1）eVε（x，y，θ，t）=eV（x，y，θ，t）=G（x+ε，y，θ，t），假设fMt=fMt（C，Θ）由fMt=^te给出-βsC1-Rs1- Rds+eV（Xt，Yt，Θt，t）。然后，fMt-fM=^-βsU（Cs）- CseVx+αYseVy+eVs+λ∑∏seVx+rXseVx+σ∏seVxx+ηYseVyy+σηρYs∏seVxyids+^t（eVθ- YseVx）dΘs+X0<s≤theV（Xs，Ys，Θs，s）-eV（Xs）-, Y-, Θs-, s-) -eVx(△十） s-eVθ(△Θ）si+^tσ∏seVxdBs+^tηYseVydBs=Nt+Nt+Nt+Nt+Nt。引理12（在b的情况下）≤ 0，否则引理24或引理28）隐含≤ 0安登特≤ 0.ev（x+yχ，y，θ）的凹度- χ） 在χ中（如果b≤ 0，或者使用引理23和引理27）意味着(恩）≤ 0.现在确定停止时间τn=infnt≥ 0:\'tσ∏seVxds≥ noandτn=infnt≥ 0:tηYseVyds≥ 不，设τn=minτn，τnτ是一个停止时间。根据（B.1）和（B.3）可知∏Tevx和yVyarebounded，因此τn→ ∞, τn→ ∞ 因此τn→ ∞.

然后是局部鞅（eNt）∧τn+eNt∧τn）t≥0是一个鞅，以我们对E的期望为例fMt∧τn≤fM和henceE^t∧τne-βsC1-Rs1- Rds+eV（Xt）∧τn，Yt∧τn，θt∧τn，t∧ τn）≤eV（x，y，θ，0）。在案例b中≤ 0，（3.1）和（C.1）implyeV（Xt∧τn，Yt∧τn，θt∧τn，t∧ τn）=e-β（t∧τn）（Xt∧τn+ε）1-R1- R1+Yt∧τnθt∧τnXt∧τn+ε1.-RbbR-R≥ E-β（t∧τn）（Xt∧τn+ε）1-R1- RbbR-R≥ε1-R1- RbbR-R.ThuseV是有界的，limn→∞EeV（Xt）∧τn，Yt∧τn，θt∧τn，t∧ τn）=EheV（Xt，Yt，θt，t）i，andeV（x，y，θ，0）≥ E^te-βsC1-Rs1- 无线电数据系统+ EheV（Xt，Yt，Θt，t）i.类似地，eV（x，y，θ，t）≥ E-βtε1-R1- RbbR-R、 具有无限交易成本的多资产消费投资问题34，因此EheV（Xt，Yt，Θt，t）i→ 0.然后让t→ ∞ 应用单调收敛定理，我们得到eVε（x，y，θ，0）=eVε（x，y，θ，0）≥ E^∞E-βsC1-Rs1- 无线电数据系统.最后是le tε→ 0.然后V≤ limε→0eV=G。因此，我们有V≤ G.这两种非退化情况非常相似，除了（5.2）或（6.1）和（C.1）中的eV（x，y，θ）=（x+ε）1-R1- Rgyθx+ε≥ε1-R1- RbbR-R、 当R>1时，g随g（0）减小=bbR-R> 0。亨切夫是有界的，争论仍在继续。参考文献[1]M.Akian，J.L.Menaldi，A.Sulem。具有交易费用的多资产组合选择问题。《模拟中的数学与计算机》，38（1-3）：163-172，1995年。[2] C.阿特金森，S.莫哈维萨。具有交易成本的多资产组合优化。《应用数学金融》，11（2）：95-123，2004年。[3] A.卡德尼拉斯。具有交易成本的消费投资问题：调查和开放性问题。运筹学的数学方法，51:43-682000。[4] 陈世福，戴先生。具有交易成本的多资产投资和消费的最优策略特征。《暹罗金融数学杂志》，4（1）：857-883，2013年。[5] P·柯林斯，U·G·豪斯曼。

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