无限交易的多资产消费投资问题

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英文标题：
《Multi-asset consumption-investment problems with infinite transaction
  costs》
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作者：
David Hobson and Yeqi Zhu
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  The subject of this paper is an optimal consumption/optimal portfolio problem with transaction costs and with multiple risky assets.   In our model the transaction costs take a special form in that transaction costs on purchases of one of the risky assets (the endowed asset) are infinite, and transaction costs involving the other risky assets are zero. Effectively, the endowed asset can only be sold. In general, multi-asset optional consumption/optimal portfolio problems are very challenging, but the extra structure we introduce allows us to make significant progress towards an analytical solution.   For an agent with CRRA utility we completely characterise the different types of optimal behaviours. These include always selling the entire holdings of the endowed asset immediately, selling the endowed asset whenever the ratio of the value of the holdings of the endowed asset to other wealth gets above a critical ratio, and selling the endowed asset only when other wealth is zero. This characterisation is in terms of solutions of a boundary crossing problem for a first order ODE. The technical contribution is to show that the problem of solving the HJB equation, which is a second order, non-linear PDE subject to smooth fit at an unknown free boundary, can be reduced to this much simpler problem involving an explicit first order ODE. This technical contribution is at the heart of our analytical and numerical results, and allows us to prove monotonicity of the critical exercise threshold and the certainty equivalent value in the model parameters.
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中文摘要：
本文的主题是一个具有交易成本和多风险资产的最优消费/最优投资组合问题。在我们的模型中，交易成本有一种特殊形式，即购买其中一种风险资产（被赋予的资产）的交易成本是无限的，而涉及其他风险资产的交易成本为零。实际上，捐赠资产只能出售。一般来说，多资产可选消费/最优投资组合问题非常具有挑战性，但我们引入的额外结构允许我们在分析解决方案方面取得重大进展。对于具有CRRA效用的代理，我们完全描述了不同类型的最佳行为。这些措施包括始终立即出售全部捐赠资产，在捐赠资产与其他财富的价值之比超过临界比率时出售捐赠资产，以及仅在其他财富为零时出售捐赠资产。这种特征是一阶常微分方程边界交叉问题的解。技术贡献在于表明，求解HJB方程的问题可以简化为一个简单得多的问题，该方程是一个二阶非线性偏微分方程，在未知自由边界处进行平滑拟合。这项技术贡献是我们分析和数值结果的核心，它使我们能够证明临界运动阈值和模型参数中确定性等效值的单调性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Multi-asset_consumption-investment_problems_with_infinite_transaction_costs.pdf (744.63 KB)

2022-5-6 23:33:45 上传

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关键词：消费投资 Mathematical Contribution Quantitative Transaction

具有无穷交易成本的多资产消费投资问题。本文的主题是一个具有交易费用和多风险资产的最优消费/最优投资组合问题。在我们的模型中，交易成本有一种特殊形式，即购买一项风险资产（捐赠资产）的交易成本是有限的，而涉及其他风险集的交易成本为零。因此，捐赠资产只能出售。一般来说，多资产期权消费/最优投资组合问题非常具有挑战性，但我们引入的额外结构允许我们在分析解决方案方面取得重大进展。对于具有CRRA效用的代理，我们完全描述了不同类型的最佳行为。其中包括始终立即出售全部捐赠资产，在捐赠资产与其他财富的持有价值之比超过临界比率时出售捐赠资产，以及仅在其他财富为零时出售捐赠资产。这种特征是一阶常微分方程的边界交叉问题的解。技术贡献在于表明，求解HJB方程的问题可以简化为一个更简单的问题，涉及一阶显式ODE。HJB方程是一个在未知自由边界处光滑的二阶非线性PDE。

这项技术贡献是我们分析和数值结果的核心，它使我们能够证明临界运动阈值和模型参数中的确定等效值的单调性。关键词和短语：最优消费/投资问题、交易成本、多重相关资产、奇异随机控制、反映差异、斯科罗霍德问题MSC 2010主题分类：主要93E20；中学35R35、49J15、49L20、60J55JEL分类：C61；D23；D52；G111。简介默顿[19]在他的一部开创性著作中，在一个由无风险债券和风险资产组成的连续时间随机模型中，考虑了接受代理面临的投资组合和消费问题。假设代理人的目标是最大限度地提高最终期限内的消费折扣预期效用。在一个模型中，单个风险资产遵循具有常数参数的n指数布朗运动，且代理人具有常数相对风险厌恶，默顿证明了最优行为是以与财富成正比的速度消费，并将财富的恒定比例投资于风险资产。Constantinides和Magill[7]是第一个将比例交易成本添加到模型中的公司。他们提出了最优战略的形式，即在一定的时间间隔内，将财富的一部分投资于风险资产是最优的。随后，Davis和Norman[8]给出了结果的精确陈述，并展示了如何用当地时间来表示解。最佳行为是以最小的方式进行交易，以使变量（现金财富、风险资产中的财富）保持不变：2022年2月28日。英国考文垂华威大学统计系，CV4 7AL。

DHobson@warwick.ac.ukYeqi。Zhu@warwick.ac.uk.MULTI-在平面上具有无限交易成本的资产消费-投资问题是一个楔形区域，这是通过以奇异随机控制的形式出售和购买风险资产来实现的。Davis和Norman[8]中的方法是写下Hamilton-Jacobi-B ellman方程，并将候选值函数描述为该方程的解。随后，Shreve andSoner[22]谴责了[8]使用粘性溶液的许多结果。这些方法是解决具有交易成本的投资组合优化问题的主要方法，尽管最近提出了基于s hadow价格的不同技术，参见Guasoni和Muhle Karbe[11]了解ausers指南。Davis a和Norman[8]中的结果仅限于单个风险资产，了解它们如何推广到多个风险资产非常有意义。卡德尼拉斯[3，第65页]在他关于消费/投资与交易成本问题的调查文章中说，“这项调查的大多数结果仅限于一种债券和一种股票的情况。然后，重要的是看看这些结果是否可以扩展到实际数量的stock\'上。尽管自那篇论文发表以来已经取得了一些进展，但陈和戴[4，第2页]最近的论文也表达了类似的观点：“大多数现有的最优策略理论特征都是针对单一风险的sset案例。相比之下，关于多重风险资产的文献相对有限，Guasoni and Muhle Karbe[11，pag e 194]：“与无摩擦模型形成鲜明对比的是，从一个风险转移到多个风险，与交易成本无关。多重资产带来了新奇的效果，这违背了“一维直觉”。

因此，综上所述，多资产情况下的理论和数值结果都非常重要，本文可被视为对该文献的贡献。在多资产的情况下，在计算方面，Muthuraman和Kumar[20]使用政策改进过程为价值函数和相关的非交易区域构造数值解，Collings和Hausman[5]通过马尔可夫链近似推导出数值解，并证明了其收敛性。在理论方面，Akian等人[1]表明值函数是HJB方程的唯一粘性解（并在两种资产情况下提供了一些数值结果），Chen和Dai[4]确定了两种资产情况下无交易区域的形状。一般问题的显式解决方案仍然非常罕见。当显式解是可能的时，一种情况是不相关的风险集和具有恒定绝对风险厌恶的代理的相当特殊的情况。在这种情况下，问题分解为一系列优化问题，每个风险资产对应一个优化问题，参见Liu[17]。另一个取得了一些进展的背景是交易成本小的问题，见Whalley和Willmott[25]，以及Soner和Touzi[23]最近的分析。Wha Alley和Willmott使用展开法提供了最优策略的渐近公式。在本文中，我们考虑了一种不同的极端情况，即交易成本要么为零，要么（对于特定风险资产的一个方向的交易而言）为有限。不同的表述是，假设其中一项therisky资产不可用于动态交易（无论是向整个市场，还是向效用最大化代理，可能是出于法律原因，或者仅仅因为个人难以积极交易特定股票）。

相反，假设该资产只能出售：（不允许再）购买。我们的代理人被赋予了一个初始数量的设定，她的策略包括随着时间的推移何时出售该（可完全分割）资产的单位。假设存在具有无限交易成本的多资产消费-投资问题，3购买固定资产的有限交易成本通过允许出售和购买其他风险资产并产生零交易成本的假设来实现。我们将一项资产确定为非交易资产的问题与实物期权文献（Miao and Wang[18]、Henderson[13]、Henderson and Hobson[14]）中的问题类似，在实物期权文献中，有权投资项目（或出售资产）的代理人选择最佳销售时间。与此不同的是，我们假设非交易资产在本质上是可分割的，而在实物期权文献中，它通常被认为是不可分割的。我们的模型由一个代理人组成，该代理人被赋予可完全分割的风险资产的单位，该风险资产可能是旧的，但不是新的，其机会集包括对无风险债券的投资，以及对适用零交易成本的其他风险资产的投资。风险资产遵循相关的指数布朗运动，代理人的目标是选择消费率和投资策略（包括捐赠资产的销售策略），以最大限度地提高消费的预期效用。本文是Hobson和Zhu[15]的一个推广，该文考虑了一个具有赠与资产但没有其他风险资产的s-相似问题。

[15]中的许多技术都适用于本文更广泛的背景，然而，由于在没有捐赠资产以外的投资时，参数较少，因此[15]中的问题明显更简单，更易于进行比较静态分析。相比之下，本文处理的是多资产问题，虽然在一个相当特殊的情况下，但很难对其进行全面的一般性分析。多资产环境带来了新的挑战，使分析变得复杂。对于我们的问题，写下汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）等式是很简单的。一般来说，价值函数是四个变量（流动资产、捐赠资产价格、捐赠资产持有量、时间）的函数，满足HJB方程，该方程为二阶非线性方程，在未知边界处进行价值匹配和平滑拟合。（平滑的曲线为二阶曲线。）在我们的特殊设置中，找到自由边界和值函数的问题被简化为研究一阶常微分方程（ODE）解的边界交叉问题。第一个交叉问题有四种解决方案（“在零处交叉”、“在（0，1）处交叉”、“在[0，1]处不交叉”和在交叉前达到零）。每种不同类型的解决方案都与优化问题的不同类型的解决方案相一致；例如，First类型的解决方案对应于立即出售所有捐赠资产单元的策略。识别导致不同类型解决方案的参数组合是相对简单的，即使无法获得三阶显式解决方案。然后将a-Agent路径的最优财富过程、消费策略、销售策略和投资策略与aSkorokho d型问题的解联系起来。2.模型和主要结果2。1.

问题表述。让(Ohm, F、 P，F=（Ft）t≥0）是一个经过过滤的概率空间，使得过滤满足通常条件，并由二维标准布朗运动生成英国电信⊥TT≥0.设置Bt=ρBt+ρ⊥B⊥t、 式中（ρ）⊥)= 1.- ρ.我们可以考虑n个布朗运动的情况，n- 1.金融资产和单一捐赠资产，但情况仅限于此处考虑的情况。特别是- 1） 金融资产减少为单一共同基金。具有无限交易成本的多资产消费投资问题4金融市场在此空间上由三个随机过程建模，一个债券支付恒定利率r，一个金融（或对冲）资产定价过程P=（Pt）t≥0和价格过程为Y=（Yt）t的未交易（或已转让）资产≥0.假设风险资产的价格过程satisfypt=pexpu -σt+σBt,式中，u和σ>0是金融资产的恒定平均回报率和有效性，pis是初始价格，Yt=yexpα -ηt+ηBt,式中，α和η>0是非交易资产的恒定平均收益率和波动率，i是初始价格。设λ=（u）- r） /σ，设ζ=（α- r） /η分别为套期保值和e资产的夏普比率。设C=（Ct）t≥0表示个人的消费率，设Θ=（Θt）t≥0表示投资者持有的被赋予资产的单位数，且∏=（t）t≥0表示投资于对冲资产P的现金金额。消费率要求是可逐步测量且非负的，过程Θ要求是可逐步测量的，具有左限的右连续且不增加，以反映非交易资产仅允许出售且∏要求是可逐步测量的事实。我们假设投资者最初持有的股份数为θ。

由于我们允许在时间0进行初始交易，我们可能有Θ<θ。我们写9200-= θ. 这符合我们的惯例，即Θ是正确的。我们用X=（Xt）t表示≥0个人的财富过程，并假设初始财富为x。如果财富的变化发生在消费、投资或捐赠资产的出售中，则x根据Xt=πtdPtPt+（Xt）演化- πt）rdt- Ctdt- YtdΘt=σ∏tdBt+{（u- r） πt+rXt- Ct}dt- 年初至今，以X0为准-= x、 x=x+y（θ-Θ). 我们认为，如果组成部分满足上述要求，并且由此产生的现金财富过程X始终为非负，则消费/投资/销售策略三元组是可接受的。设A（x，y，θ）表示初始设置（X0）的容许策略集-= x、 Y=Y，Θ0-= θ).代理人的目标是在允许的策略下最大化有限期内消费的贴现预期效用，其中假定代理人的效用函数具有恒定的相对风险规避，参数为R∈ (0, ∞) \\ 1和贴现系数β。特别是，目标是找到V=V（x，y，θ），其中（2.1）V（x，y，θ）=sup（C，π，Θ）∈A（x，y，θ）E“^∞E-βtC1-Rt1- Rdt#。由于该机构具有马尔可夫结构，我们期望最优消费、最优投资和最优销售策略是反馈形式，是代理人当前财富和禀赋以及瑞斯基资产价格的函数。这些技术扩展到R=1和对数效用的情况，但我们这里不考虑这种情况。

然而，许多结果可以通过在各种公式中设置R=1来获得。交易费用为5的多资产消费投资问题设V（x，y，θ，t）为问题的前向起始值函数，使（2.2）V（x，y，θ，t）=sup（C，π，Θ）∈A（x，y，θ，t）E^∞te-βsC1-Rs1- 无线电数据系统Xt-= x、 Yt=y，Θt-= θ.这里容许策略A（x，y，θ，t）的空间是这样的，即C=（Cs）s≥这是一个非负的、逐步可测量的过程，即∏=（s）s≥这是逐步可测量的，Θ=（Θs）s≥这是一个正确的、持续的、不增加的、渐进的、可测量的过程和满意度- (Θ）t=θ，X=（Xs）s≥这是一个非负过程，由xs=x+^st（λ∑∏u+rXu）给出- Cu）du+^stσ∏udBu-显然V（x，y，θ，t）=e-βtV（x，y，θ，0）=e-βtV（x，y，θ）。定义V（x，t）=V（x，y，0，t）（注V不依赖于y，因为代理没有y的单位）和V（x）=V（x，y，0），并定义确定等价价格p=p（x，y，θ，t）作为V（x+p，t）=V（x，y，θ，t）的解。请注意，p=p（x，y，θ）不依赖于t，因为p所以V（x+p）=V（x，y，θ）。问题的参数是r，β，u，σ，α，η，ρ和r，我们假设它们都是常数。我们假设ρ∈ (-1，1）（极限情况ρ=±1可通过类似技术处理）。确定辅助参数（bi）1≤我≤4，b=η（1）- ρ)β - r（1）- R）-λ(1 - R） 2R, b=λ- 2Rηρλ+ηRηR（1- ρ） ，b=2（ζ）- λρ)η(1 - ρ） ，和b=η(1 - ρ)-1.注意B=1+1- ρληR- ρ≥ 1.结果表明，最优销售和投资问题取决于原始参数，仅通过这些辅助参数和风险规避R。我们将在后面的章节中看到，BPA发挥了“标准化贴现因子”的作用。参数B指被赋予资产的“每单位特殊波动率的有效夏普比率”。