无限交易的多资产消费投资问题

通过G（x，y，θ，t）=e定义候选价值函数-βtG（x，y，θ），其中（3.1）G（x，y，θ）=bbR-R（x+yθ）1-R1- R.候选的最佳策略是立即出售风险资产的所有单位。在证明定理之前，我们需要下面的引理。引理12。假设b≤ 0.考虑（3.1）中构造的候选值函数。然后MG=0，LG- βG≤ θ=0时等于0。证据给定（3.1）中的候选值函数的形式，MG=0紧随其后。另一方面，写z=yθ/x，LG- βG=x1-RRbbR1.-R（1+z）1-R“bbz1+z-Rbz1+z#≤ 0，z=0时相等，这就完成了证明。定理13。假设b≤ 值函数V由（3.2）V（x，y，θ，t）=e给出-βtbbR-R（x+yθ）1-R1- R=G（x，y，θ，t）。最优持有量Θ*对于被赋予的助理，最优消费过程是C*结果财富过程如下所示：(△Θ*)t=0=-θ、 C*t=bbRX*t、 π*t=λσRX*t、 （3.3）X*t=（x+yθ）expλR+R-bbR-λ2Rt+λRBt.具有无限交易成本的多资产消费投资问题14确定性等价价格由p（x，y，θ，t）=yθ给出。证据我们证明了t=0时的结果，即V（x，y，θ）=V（x，y，θ，0）=G（x，y，θ，0）=G（x，y，θ）；一般t的情况源自问题的时间同质性。请注意，在（3.3）中提出的策略中，最佳策略是立即出售整个捐赠的ASSE tholding，这将给出X*0+=x+yθ，并从liquidwealth为投资和消费提供资金。

因此，财富过程（X*t） t≥0演变为dX*t=（λσ∏*t+rX*T-C*t） dt+σ∏*tdBt。这给了X*t=（x+yθ）expnλR+R-bbR-λ2Rt+λRBto。（3.3）isE“^”中提出的战略下的价值函数∞E-βtC*t1-R1- Rdt#=bbR1.-R（x+yθ）1-R1- R^∞经验λ(1 - R） 2R+R（1）- R）-b（1）- R） bR- βTdt=bbR1.-R（x+yθ）1-R1- R^∞经验-bbRTdt=bbR-R（x+yθ）1-R1- R=G（x+yθ，y，0）。因此V（x，y，θ，0）≥ G（x，y，θ，0）。现在，考虑一般的可接受策略。假设r<1。定义过程M=（Mt）t≥0byMt=^te-βsC1-Rs1- Rds+e-βtG（Xt，Yt，Θt）。将广义It公式[12，第4.7节]应用于MTT- M=^te-βshC1-Rs1- R- CsGx+αYsGy+λ∑∏sGx+rXsGx+σ∏sGxx+ηYsGyy+σηρYs∏sGxy- βGids+^te-βs（Gθ）- YsGx）dΘs+X0<s≤te-βs[G（Xs，Ys，Θs）- G（Xs）-, Y-, Θs-) - Gx(△十） s- Gθ(△Θ）s]（3.4）+^te-βsσ∏sGxdBs+^te-βsηYsGydBs=Nt+Nt+Nt+Nt+Nt。注意，对于一般可容许策略，Θ和X不需要是连续的，因此这里G·的参数是（Xs）-, Ys，Θs-).引理12意味着LG- βG≤ 0和MG=0，这导致Nt≤ 0和Nt=0。用不真实的(十） s=-Y(Θ）沙书写θ=Θs-, x=Xs-, χ = -(Θ）具有无限交易成本的多资产消费-投资问题中的seach non-z ero跳跃15的形式如下(N） s=e-βs{G（x+yχ，y，θ）- χ) - G（x，y，θ）+χ[Gθ（x，y，θ）- yGx（x，y，θ）]}。给出（3.1）中候选值函数的形式，很容易看出G（x+yφ，y，θ- φ） φ为常数，其中yGx=Gθ和(N） =0。那么，由于R<1，我们有0≤ Mt≤ M+Nt+Nt和（N+N）t≥0是两个局部鞅的和，是一个局部鞅，从belowand开始有界，因此是一个超鞅。通过接受期望，我们发现E（Mt）≤ M=G（x，y，θ，0），它给出了sg（x，y，θ，0）≥ E^te-βsC1-Rs1- Rds+EE-βsG（Xt，Yt，Θt）≥ E^te-βsC1-Rs1- Rds，其中，自G（Xt，Yt，Θt）之后的最后一个不等式≥ 0代表R∈ (0, 1).

让t→ ∞, 我们有g（x，y，θ，0）≥ E^∞E-βtC1-Rt1- Rdt！，在可容许策略上取上确界，得到G（x，y，θ，0）≥ V（x，y，θ，0）。附录C将考虑R>1的情况。3.2. 定理5病态情形的证明。在R<1和b的情况下≥b1-R+bR有必要给出一个消费预期效用有限的容许策略的示例。条件b≥b1-R+bR可以根据原始参数as（3.5）ζη（1）重写- R）-ηR（1）- R） +R（1）- R）- β ≥ 0.考虑以下消费、投资和销售策略（3.6）~Ct=ληXt，~πt=ησXt，dΘtΘt=-ζηXtYtΘtdt。首先请注意Θ是一个非递增过程。相应的财富过程X满足dXt=（ζη+r）~Xtdt+ηXtdBt，即Xt=xexpζη+r-ηt+ηBt.因此Xt≥ 0和（3.6）中定义的策略是可接受的。与消费、销售和投资策略（~C，~Θ，~π）相对应的消费~G的预期效用由~G=E（~C，~θ，~π）“^”给出∞E-βt~C1-Rt1- Rdt#=（ληx）1-R1- R^∞经验ζη(1 - R）-ηR（1）- R） +R（1）- R）- βTdt=∞,最后一个等式来自（3.5）。具有无限交易成本的多资产消费投资问题164。关于n和q的一些初步探讨*.回想一下魟和魟的定义：魟（q，n）=魟（q，n）- sgn（1）- R） pа（q，n）+E（q），а（q，n）=b（n- 1) + (1 - R） （b）- 2R）q+（2）- b） R（1）- R） )；其中E（q）=4R（1）- R） （b）- 1)(1 - q）≥ 0.附录A引理14证明了本节正文中未证明的结果。问∈ [0, 1], (1 - R） q+R>0，且φ（q，m（q））=R（1）- R）(1 - q）- （b）- 1)~n（q，l（q） ）=R（1- q）(1 - R） q+R-（b）- 1） R（1）- R） q+Rν（q，m（q））=-2R（1）- R） （b）- 1） Γ（q），l（q） )=-2R（1）- R） （1）- q） （b）- 1)(1 - R） q+R支持b>1。然后，对于R<1，Γ（q，n）<0，对于固定的q，Γ（q，n）是n的一个增加的凹函数。

对于R>1，则Γ（q，n）>0，对于固定q，则Γ（q，n）是n的一个递增凸函数。对于b=1，则Γ（q，n）=0。回想一下，n解决了（2.3）。这个表达式可以用几种方式书写。引理15。n′（q）=F（q，n（q）），其中F（q，n）=n1.- RR（1- q）-(1 - R） bRql（q）- n+（1）- R） q2bR（1）- q） [（1）- R） q+R]ν（q，n）l（q）- N(4.1)=(1 - R） nR（1）- q）-2(1 - R） qn/R2（1）- R） （1）- q） [（1）- R） q+R]- ν（q，n）- sgn（1）- R） p~n（q，n）+E（q）（4.2）=-(1 - R） n[2b[（1）- R） q+R]（n）- m（q））- q（Γ（q，n）- ν（q，m（q））]2R（1- q） （（1）- R） q+R）{S（q）- b（n）- m（q））}（4.3），其中S（q）=b(l（q）- m（q））=（1- R） 问题（1）- q） +（b）- 1） R（1）- R） q/（（1）- R） q+R）。引理16。（1） 对于R∈ （0,1），n′（0）是Φ（χ）=0的s m aller根，其中Φ（χ）=bRχ+R（1）- R） （b）- B-bR）χ- b（1）- R） ，代表R∈ (1, ∞), n′（0）是较大的根。（2） 问∈ （0，qn），（1）- R） n（q）≤ (1 - R）l（q） 。（3） 问∈ （0，qn），n′（q）<0当且仅当n（q）>m（q），n′（q）>0当且仅当n（q）<m（q），n′（q）=0当且仅当n（q）=m（q）。（4） 如果R>1，则qn=q*= 1或qn>q*. 如果R<1且l(1) ≥ 0那么qn=ql= 1.如果R<1且l（1） <0那么qn=ql< Q*.（5） 如果0≤ Q*< 1那么q*>B兰德（1）- R） m在（q）上增加*, 1).引理17。(1-R） n在b中单调递增，在b中单调递增，在b中单调递减，在q中单调递减∈ [0，q*]. 此外，q*作为b的函数递减，作为b的函数递减，作为b的函数递减，具有无限交易成本的多资产消费投资问题17作为b的函数递增-R） n（q）*)-Ris在b中减少，在b中带内减少，在b中带内增加。我们还没有建立n和值函数之间的联系，但是暂时接受（2.7），（2.8）和（2.13）中的关系。这个引理有以下重要的推论。推论18。在b引理19中，确定性等价值p=p（x，y，θ）在带内逐渐减小。（1） 假设b=1。

然后b3，crit（b，1，R）＝bwhere recall＝b＝min{2R，R+b1-R} 如果R<1，如果R>1，则b=2R。（2） 让b→ ∞. 然后四肢→∞b3，临界值（b，b，R）=R。因此R<b3，临界值≤“b.命题1的证明。假设R<1。（R>1的证明类似，只是最后一段不是必需的。）回想一下引理16中Φ的定义。注意Φ（m′（0））=（1- R） Rbb。如果b<0，我们有n′（0）<m′（0）和q*= 如果b=0，那么n′（0）=m′（0），需要更多的注意。自从b≤ 0，m在增加。对于[0,1]中的某些^x，支持n（^x）>m（^x）。设x=sup{x<^x:n（x）=m（x）}。非（x，^x）我们有n′（x）<0<m′（x）和m（^x）- n（^x）=m（x）- n（x）+^xx[m′（y）- n′（y）]dy>0，a矛盾。因此q*= 现在假设b>0。然后n′（0）>m′（0）并且至少最初n>m，和q*> 根据引理17，存在一个临界值b，即b3，crit，这样q*（b） <1如果b<b3、临界值和q*= 1福布≥ b3，爆击。注意，如果b≥b1-R+bR那么l(1) ≤ （4）中的结果现在来自引理16（4）。反之，如果b≥ 2R然后m减小，q减小*≥ qm。回想一下定义N（q）=N（q）-R（1）- q） R-而W与N相反。我们有h*= N（q）*).定义w（s）=（1）- R） 西南部。我们在结束这一部分时给出了一些关于W和W命题20的有用结果。（1） 当R<1时，N在[0，q]上增加*]. 此外，W在增加，因此0<W（v）<q*on（1，h）*). 当R>1时，N在[0，q]上递减*]. W减小到0<W（v）<q*on（h）*, 1).（2） 设w（s）=（1）- R） 西南部。

然后w满足w（h*) = (1 - R） h*W（h）*) = (1 - R） h*Q*求（w（s）w′（s））+（bs-1.- Rw（s）R-1R- [b+bR（1- R） [s+（b+2R）- 2） w（s））w（s）w′（s）+[（2R]- 1） （b）- 1） +R（1）- b） [w（s）+[（1）- 2R）b+bR（1）- R）- R（1）- R） b]sw（s）+bR（1）- R） h+b[（2R）- 1） 女(s)- R（1）- R） s]s-1.- Rw（s）R-1R=0。（3） 对于R<1和1<s<h*, 对于R>1和h*< s<1我们有1个- R<w′（s）<1- Rw（s）/（1）- R） s）带w′（h）*) = 1.- Rw（h）*)/((1 - R） h*).具有无限交易成本的多资产消费投资问题185。在第一个非退化情形下，具有有限临界锻炼率的验证引理反对0<b<b3，crit（b，b，R），因此0<q*< 1.假设我们在[0，q]上构造了n和n*] [1，h]上的W和W*]. 设定z*= Q*/(1 - Q*) 你呢*= 简单*. 通过h（u）定义h*) = H*为了-∞ < u<u*setdhdu=w（h）。然后als-odhdu=w′（h）w（h）。然后h解（2.6）。通过（2.7）定义g。引理21。让z*g如定理7的等式2.5和2.7所示。那么，g（z），g′（z），g′（z）在z=z时是连续的*.证据这些结果来源于g的定义。对于一阶和二阶的平滑曲线，很容易注意到dh/du=w（h），然后是z<z*,zg′（z）=bbR-Rh′（ln z）=bbR-Rw（h）zg′（z）=bbR-R（h′）- h′）=bbR-R（w′（h）- 1） w（h）（5.1）现在的结果来自w（h）的表达式*) 和w′（h*) 在20号提案中给出。22号提案。假设g解（2.7）。对于R<1，g是一个增加的凹函数，因此g（0）=bbR-R.否则，对于R>1，g是一个递减凸函数，使得g（z）≥ 0.进一步，对于z≤ Z*我们有0个≥ Rg′（z）≥ (1 - R） g（z）g′（z）在z=z处相等*.证据考虑第一个R<1。因为声明在z区域是直接的≥ Z*, 因为这里有二阶光滑t z*如果h(-∞) = 1，h在增加，使用（5.1）的第二部分，w（h）w′（h）- w（h）≤ 0

最后两个属性遵循fr om命题20，因为w（h）≥ 0和w′（h）<1。看到这个(-∞) = 1注意w（h）=（1- R） hW（h）从m零开始有界，因为h从1开始有界。然后，由于W′（1）是非零值，我们得出结论：h(-∞) = 1.对于R>1和z≥ Z*, 声明立即生效。为了z≤ Z*, 命题20意味着他的递减和w（h）≤ 0，w′（h）>1。与（5.1）一起，我们得到了g是一个递减凸泛函和g（z）≥ 考虑到h∈ [0，1]。用（5.2）G（x，y，θ）=x1定义t=0时的候选值函数-R1- Rgyθx.引理23。固定y，那么G=G（x，θ）在x和θ上是凹的。特别地，如果ψ（χ）=G（x- χyφ，y，θ+χφ），则ψ在χ中是凹的。证据为了显示候选值函数的凹性，有必要显示由hg=GxxGxθGxθGθ给出的hessian矩阵！。有一个正行列式，其中一个对角线项是非正的。具有无限交易成本的多资产消费投资问题19直接计算导致toGxx（x，y，θ）=x-R-1.-Rg（z）+2R1- Rzg′（z）+1- Rzg′（z）,Gxθ（x，y，θ）=-十、-R-1y1- R[Rg′（z）+zg′（z）]，Gθ（x，y，θ，t）=x-R-1y1- Rg′（z），Hessian矩阵的行列式为（5.3）GxxGθ- （Gxθ）=-十、-2Rθ-2R1- Rg（z）zg′（z）+R1- R（zg′（z））.如果z≥ Z*根据命题22，（5.3）右边的表达式为零。为了z≤ Z*,命题20收益率（5.4）（1）- R） g（z）zg′（z）+R（zg′（z））=（1）- R） h[w（h）w′（h）- w（h）]+Rw（h）≤ 0在h=h时相等*在光滑的条件下。此外，由于g是凹的，我们得到了gθ≤ 为了显示ψ在χ中的凹度，检查ψdχ的符号是等价的。但dψdχ=φyGxx+Gθ- 2yGxθ= φ（y，1）det（HG）（y，1）T≤ 0引理24。考虑（5.2）中构造的候选函数。

然后（a）对于0<x≤ yθ/z*, MG=0和LG- βG≤ 0 .（b） 为了x≥ yθ/z*, LG- βG=0和MG≥ 0.请注意，G的导数在x=0时定义良好且连续，因此（a）的结果在x=0时保持不变。证据（a） 为了z≥ Z*, MG=0是从G的定义开始的。对于LG- βG我们有它（x，y，θ）=bbR-Rn（q）*)-Rx1-R1-R（1+z）1-兰德·塞尔格- βG=x1-R1- RRbbR1.-Rn（q）*)-R（1+z）1-Rm（q）*) - Mz1+z,这里我们假设n（q*) = m（q）*). 所需的不等式来自引理16和m在（q）上增加的事实*, 1).具有无限交易成本的多资产消费投资问题20（b）为了证明LG- 我们计算βG=0- βG=x1-R1- R（zg′（z））+“bRG-1.- Rzg′（z）R-1R- [b+bR（1- R） [g+（b+2R）zg′（z）#zg′（z）+bR[2Rzg′（z）- R（1）- R） g]G-1.- Rzg′（z）R-1R- [2Rb+R（1- R） b]gzg′（z）+2Rb- Rb+R（zg′（z））+bR（1）- R） g）=x1-R1- RbbR-2R（（w（h）w′（h））+bH-1.- Rw（h）R-1R- [b+bR（1- R） ]h+（b+2R- 2） w（h）！w（h）w′（h）+（2R）- 1） （b）- 1） +R（1）- b）w（h）+[（1）- 2R）b+bR（1）- R）- R（1）- R） b]hw（h）+bR（1）- R） h+b[（2R）- 1） w（h）- R（1）- R） h]H-1.- Rw（h）R-1R）=0，其中最后一个等式来自命题20（2）。注意，G和LG定义良好且连续，tθ=0。现在考虑MG。我们有mg=x-雷（1+z）1- Rg′（z）- g（z）.因此，有必要证明ψ（z）≥ 0开（0，z）*] 式中ψ（z）=1+z1- R-g（z）g′（z），它遵循fr-om值匹配和平滑函数ψ（z*) = 因此，有必要证明ψ在减小。但ψ′（z）=R1- R+g（z）g′（z）g′（z）=R1- R+hhw（h）w′（h）- w（h）iw（h）≤ 0其中最后一个不等式来自命题20的最后部分。25号提案。让X*, Θ*, C*和∏*如定理7所定义。然后它们对应于一个允许的财富过程。此外，Z*t=YtΘ*/十、*tsatis Fies 0≤ Z*T≤ Z*.证据

注意如果yθ/x>z*然后，最优策略包括出售被赋予的资产，出售的效果是转移到新的状态变量（X*, y、 Θ*, 0）使用thatZ属性*= yΘ*/十、*= Z*. 因此，我们可以假设Z=yΘ*/十、*≤ Z*.考虑（5.5）^Jt=^J方程的无限交易成本多资产消费投资问题21-^t∧（Js）ds-^t∑（Js）dBs-^tΓ（Js）dBs+^Lt，受制于^J=（z）*- z） +。该方程与一个带有反射的随机微分方程（Revuz和Yor[21，p385]）相关联，并且有一个唯一的解（J，L），该解（J，L）适用于（J，L），J≥ 0，L是不断增加且连续的，L=0，L只在J为零时增加。让（J，L）成为（5.5）的解。注意∧（z*) = ∧（0）=0=Γ（z）*) =∑（z）*) 因此J的上边界是z*.现在让Z*t=z*- Jt和Θ*t=Θ*经验{-Lt/（z）*（1+z）*))}, 注意，只要L增加，（相当于Θ减少），我们就有Z=Z*. 因此，Z的动力学由dz控制*t=∧（Z）*t） dt+∑（Z）*t） dBt+Γ（Z）*t） dBt+Z*t（1+Z）*t） dΘ*Θ*t、 现在设定X*t=YtΘ*t/Z*t、 C*t=X*t[g（Z）*（t）- Z*tg′（Z）*t） /（1）- R） ]-1/兰特∏*t=λσX*tψg（Z）*t） 。然后X*C*积极、适应、过度*t=YtΘ*tZ*t“dΘ*Θ*t+dYtYt-dZ*tZ*t+dZ*tZ*T-dYtYtdZ*tZ*t#=Xtα -∧（Z）*t） Z*t+σ（Z）*t） （Z）*t） +Γ（Z）*t） （Z）*t） +2ρΓ（Z）*t） ∑（Z）*t） （Z）*（t）- ηρ∑（Z）*t） Z*T- ηΓ（Z）*t） Z*Tdt+η -Γ（Z）*t） Z*TdBt-∑（Z）*t） Z*tdBt- Z*tdΘ*Θ*T= (λσΠ*t+rX*T- C*t） dt+σ∏*tdBt- 年初至今*t、 其中，我们使用∧、∑、Γ和ψg的定义作为最终等式。紧随其后的是X*是由消费、投资组合和销售策略产生的财富过程（C*, Π*, Θ*). 定理7的证明。首先，我们证明了存在这样一种策略，即候选值函数是附加的，因此V≥ G.首先观察如果z=yθ/x>z*那么θ- Θ*= θ1.-Z*1+z*1+zz安德斯*= x+y（θ）- Θ*) = x（1+z）（1+z）*)因此，yΘ*/十、*= Z*.

然后，由于g（z）*)/g（z）=（1+z）*)1.-R/（1+z）1-R、 对于z>z*我们有g（X）*, y、 Θ*, 0）=（X*)1.-R1- Rg（z）*) =x1-R1- Rg（z）=G（x，y，θ）。因此，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设z≤ Z*如果z>z*代理从（x，y，θ）到（x）*, y、 Θ*) 在时间零点，值函数不变。对于一般可接受的策略，定义过程M=（Mt）t≥0by（5.6）Mt=^te-βsC1-Rs1- Rds+e-βtG（Xt，Yt，Θt）。具有无限交易成本的多资产消费投资问题*在所提出的最优策略下进行相应的过程。然后我*= G（X）*, y、 Θ*) =G（x，y，θ），所以M没有跳跃*t=0时。此外，尽管最优策略可能包括在时间零点出售正数量的风险资产，但从命题25可以看出，在这个过程之后Θ*c是连续的，因此Z*t=YtΘ*t/X*T≤ Z*.从（2.7）中给出的候选值函数形式和g的定义，我们知道Gis C2,2,1。然后利用X的连续性，将其公式应用于Mt*Θ*对于t>0，将G·写成G·（X）的简写形式*s、 Ys，Θ*s） 我们有*T- M=^te-βsh（C）*s） 一,-R1- R- C*sGx+αYsGy+λ∑∏*sGx+rX*sGx+σ∏*sGxx+ηYsGyy+σηρYs∏*斯格西- βGids+^te-βs（Gθ）- YsGx）dΘ*s+^te-βsσ∏*sGxdBs+^te-βsηYsGydBs=Nt+Nt+Nt+Nt。自从Z*T≤ Z*, 自从C*t=G-1/RX和LG- βG=0表示z≤ Z*我们有Nt=0。此外，dΘs6=0当且仅当Z*t=z*然后MG=0，所以Nt=0。为了完成定理的证明，我们需要在附录B引理26中证明以下引理。