未定权益的无差异定价：大偏差效应

为此，定义（2.2）M={Q~ FT上的P:S是a（Q，F）-局部鞅}。请注意，我们正在与Q合作~ P（不仅仅是Q<< P） ：我们可以根据下面的命题2.8来做这件事，它明确地表明对偶最优测度等价于P。对于指数效用，相对于P具有有限相对熵的M的子集起着重要作用。因此，定义（2.3）~M=Q∈ 男：嗯QP< ∞.正如附录A中的引理A.2所示，假设2.1和2.2确保M 6=. 众所周知，这个f行为与（P，f；S）-市场中缺乏套利密切相关，See[14，定理8.2.1]。现在，回想一下，交易策略由 =, ..., D, 哪里它表示投资于Siat时间t的美元。我们将用一组F-允许交易策略表示. 特别地， 如果它是F可预测的，（P，F；S）-可积的，并且如果由此产生的财富过程X是所有Q的（Q，F）-超鞅吗∈M.对于初始资本x和B中的头寸大小q，投资者的价值函数由（2.4）u（x，q）=sup给出∈AEU（X）T+qB）; 十、·= x+Z·乌德苏。在处理一般索赔额q的情况之前，我们首先确定了价值函数u（x，0）：即没有或有索赔。对于指数效用u（x，0）=e-axu（0，0）它必须考虑x=0。为此，我们提出了2.5号提案。假设2.1和2.2成立。然后存在一个最优ψ∈ 对于（2.4）中q=x=0的优化问题。实际上，ψ是G-可预测的，（P；G；S）-可积的，并且满足一阶条件（2.5）dQdPGT=e-aXψTEhe-aXψTi。最后，Xψ是所有Q的Q-一致可积（Q，F）-鞅∈~M.2.2。不同价格的识别。

对于指数效用U（x）=-（1/a）e-ax，很清楚，与（1.1）的差异不取决于初始资本，因此我们将p（q）作为价格，如上所述，考虑x=0到t(-qp（q），q）=eaqp（q）u（0，q），因此（1.1）意味着（2.6）p（q）=-aqlogu（0，q）u（0，0）.我们现在确定了价值函数u（0，q），以及最优交易策略和最优局部鞅测度。试探性地说，由于D可以用一些初始资本D复制，因此p（q）=D+p（q；Y），其中p（q；Y）是Y的q单位的差异价格。由于Y是S的独立变量，因此S d中的交易并不重要，因此p（q；Y）与Y的（平均）确定性等价物^p（q；Y）一致，定义为（0）=E[U（qY- q^p（q；Y））]，其形式为^p（q，Y）=-1/（质量保证）日志EE-凯. 为了使这一论点准确，我们必须克服这样一个事实，即即使S独立于Y，可接受的交易策略只需要是F-pr可预测的，因此不独立于Y。然而，正如我们将看到的，这基本上没有区别。通过（2.7）∧（λ）=log定义Y的累积量生成函数∧EheλYi; λ ∈ R.根据假设2.2和^p（q；Y）的公式，我们对D和Yasumption 2.6施加以下自然可积条件。对于某些>0，EQ|D | 1+< ∞. 总而言之λ∈ R、 ∧（λ）<∞.备注2.7。请注意，假设2.6不要求B有界，但需要一些可积性。特别地，假设不可边缘分量Y具有所有阶的指数动量，并且需要D所需的稍强的可积条件，而不是假设2.2中的可积条件，以确保（Q，G）-鞅对于任何Q也是（Q，F）-鞅∈~M.在假设2.6下，我们得到以下结果建议2.8。

让假设2.1、2.2、2.4和2.6保持不变。然后，对于每个q∈ R：（2.8）u（0，q）u（0，0）=e-卡德E-凯,其中d是复制d所需的初始资本。因此，差异价格p取形式p（q）=d-qalogEeqaY= D-qa∧(-质量保证）。（2.9）F-最优（实际上是G-可预测，（P，G；S）-可积）交易策略 ∈ A由^给出 =-Q+ ψ在哪里是命题2.5中D和ψi s的复制策略。结果二次过程X^是所有Q的（Q，F）-鞅吗∈~M.最后，最优局部鞅测度^Q∈~M的形式为（2.10）d^QdP=dQdPGTe-qaYE[e]-qaY].2.3。无套利价格。为了将限制差异价格与最佳购买量联系起来，有必要明确描述B的无套利价格，如表2.9所示。回想一下，f或y6=0，B的无套利价格由I给出=b、 “b”式中（2.11）b=infQ∈MEQ[B]；\'b=su pQ∈MEQ[B]。在当前设置中，b带可以明确识别，如下引理所示。引理2.9。假设2.1、2.2、2.4和2.6成立。然后（2.12）b=d+essinfP（Y）；\'b=d+esssupP（Y），其中d是复制d所需的初始资本。请注意，由于Y不一定是有界的，所以b带不一定是有限的。2.4. 最佳数量。让我们来看看∈ （b，\'b）。假设在时间为0时，投资者可以以单价p一次性购买任意数量的B。自然会问购买的最佳数量是多少。[24]通过解决问题SUPQ研究了这样一个问题∈汝(-qp，q）=supq∈Rea（qp-qp（q））u（0，0），其中最后一个等式后跟（2.6），如果存在，则取优化器^q。当u（0，0）<0时，我们对发现^q感兴趣∈ 阿格明克∈R（qp- qp（q））。使用（2.9），这相当于求解（2.13）infq∈Rq（~p）- d） +alog EE-凯= infq∈Rq（~p）- d） +a∧(-（质量保证）,确定最佳^q。

为此，我们有以下命题命题2.10。假设2.1、2.2、2.4和2.6成立。让我们来看看∈ （b，\'b）其中b，\'b如（2.11）所示。然后存在一个独特的^q∈ R（2.13）。^q是满足一阶条件（2.14）~p的唯一实数- d=˙∧(-质量保证）。其中∧（·）是∧（·）的导数。“大市场”的例子leWe现在详细介绍了半完整市场的一个重要例子。事实上，下面的例子构造了一个半完全市场序列，激发了研究对冲误差渐近消失的半完全市场的愿望。附录B部分给出了本节中所有声明的Pro ofs。修正一个整数n。大型市场示例指的是一个市场，其中一系列风险集合在理论上可以交易，但在实践中，只有在第一批资产中交易才可行。然而，未定权益取决于所有不确定性的来源，因此对于每个人来说，市场都是不完整的。当一个人能够根据前n项资产或不确定性来源完全放弃索赔部分，但无法对冲剩余尾部部分时，就会出现半完整结构。正如引言中所述，这些类型的模型通常出现在保险业中，参见[5,11,6,32,12]。概率空间(Ohm, F、 P）是固定的，并且假设足够丰富，可以支持序列{Wj}j∈Nof独立布朗运动。用F表示过滤过程中产生的连续的、P-增强的过滤放大WjJ∈非[0，T]。对于给定的u={ui}i∈Nand∑={∑ij}i，j∈纳斯达克消费3.1。P∞i=1ui<∞.

∑是对称的，因为∑ij=i的∑ji，j∈ N、 u ni形式椭圆，存在一个λ>0的曲面，对于所有的ξ={ξi}i∈n带|ξ|=P∞i=1ξi<∞, 一个有ξ′∑ξ=P∞i、 j=1ξi∑ijξj≥ λ|ξ|.将σ设置为唯一的下三角矩阵，使σ′=。可以使用Cholesky因式分解中的递归公式（[7，第6.6章]）获得该σ。风险资产硅我∈根据（3.1）dSitSit=uidt+iXj=1σijdWjt；我∈ N、 因此，滥用符号dSt/St=udt+σdWt。然后，对于所有i，j，Sihas瞬时收益率等于ui，Si，sj，其瞬时收益协方差为∑ij。《金融时报》可计量非交易资产B采用表格（3.2）B=∞Xi=1Bi，其中Bi是相对于σ可测量的随机变量- 由智慧生成的代数，因此{Bi}i∈在P.For i.下独立∈ N定义Bi的累积量生成函数：（3.3）Γi（λ）=logEheλBii; λ ∈ R.为了明确B，以及验证第2节的假设，我们假设假设3.2。因为我∈ N和所有λ∈ R、 Γi（λ）<∞.假设3.3。总而言之λ∈ R、 限制（3.4）∞Xi=1Γi（λ）=limN↑∞NXi=1Γi（λ），存在且大小有限。注意，我们并没有假设P∞i=1|Γi（λ）|<∞; 尤其是limN↑∞PNi=1Γi（λ）可能取决于求和的顺序。假设3.2意味着毕< ∞ 对于所有的i，因此˙i（0）=E[Bi]。此外，假设3.2和3.3意味着（3.2）中的索赔B是明确的，如下引理所示。引理3.4。假设3.2和3.3成立。然后，pni=1BI几乎肯定地将P和inL（P）转化为一个随机变量B。特别是极限limN↑∞PNi=1E[Bi]和limN↑∞PNi=1Var[Bi]存在且不确定。备注3.5。（3.2）中B的形式也允许B=P∞i=1ζiBi，其中Bi是σ（WiT）可测量的和{ζi}i∈Nis是一系列标准化常数。

这种形式包括B是组成部分索赔的可计量加权和，或一个合计索赔的情况，例如参见[5,11,35]。通过（3.5）θ=σ定义风险向量θ的市场价格-1u.注意∑ii≥ λ和σii=√∑ii，所以σ是可逆的。注意，因为σ是下三角形，所以σ-1也与σ成下三角形-1ii=1/σii。此外，假设3.1意味着θ可以由θ=u/σ和θi=（1/σii）迭代定义ui-圆周率-1j=1σijθj因为我≥ 2.事实上，一个长度归纳论点表明θ因此定义满足θ=σ-1u. 此外，假设3.1简化了P∞i=1θi=θ′θ=u′∑-1u ≤ (1/λ)u′u < ∞, 因此，我们可以定义度量Q~ Pon FTby（3.6）dQdP=E∞Xi=1-θiWi·！T、 其中E（·）是随机指数。所有符号均已到位，因此所描述的市场是半完整的，满足第2节的假设，如下文引理3.6所示。让假设3.1、3.2和3.3成立。然后，对于每个n，S=（S，…，Sn）表示可交易资产，D=Pni=1Bi，Y=P∞i=n+1除了注意索赔分解外，还注意到W。。。，Wn和H表示Wn+1，Wn+2。。。这就是假设。1、2.2、2.4和2.6暂停。因此，当（3.7）dn=nXi=1EQ[Bi]时，满足度（3.8）pn（Q）=dn的Q单位的差异价格pn（Q）-质量保证∞Xi=n+1Γi(-质量保证）；Q∈ R.引理2.9中的无套利价格范围的形式为（bn，`bn），其中bn=dn+∞Xi=n+1essinfP（Bi）；\'bn=dn+∞Xi=n+1esssupP（Bi）。（3.9）最后，对于任何∈ （bn，`bn）命题2.10中的最佳数量满足第一订单条件（3.10）~pn- dn=∞Xi=n+1˙Γi(-^qna）。考虑dnfrom（3.7）和d e FINE（3.11）d=limn↑∞dn。极限的存在是由引理3.4证明的↑∞PNi=1E[Bi]和limN↑∞PNi=1Var[Bi]既存在也不确定。

因此，对于任何正整数n≤ NdN- dn=NXi=n+1EQ[Bi]=NXi=n+1E[Bi]+NXi=n+1E~Q[Bi]- E[Bi],和NXi=n+1（EQ[Bi]- E[Bi]）=xi（Bi+qde）- E[Bi]）#≤ eTP∞i=1θiNXi=n+1Var[Bi]，其中不等式后面是H¨older不等式，Eh（d)Q/dP）i=eTθ′θ和{Bi}i的独立性∈N.因此，复制的初始资本Dn收敛到引理3.4中的唯一值d∈ L（P）和d=EQ[B]是n=∞ 可以交易所有基础资产的模式硅我∈N.在本节结束时，给出了可以明确确定最佳采购数量的示例。这些示例的目的是强调最佳仓位如何变大为N↑ ∞.例3.7。让BiP~ Nγi，δi假设3.2始终是确定的，假设3.3遵循ifP∞i=1|γi|<∞,P∞i=1δi<∞. 此外，我们还有bn=-∞和`bn=∞ 对于每个n.使用（3.3）的计算显示Γi（λ）=（1/2）λδi+λγi。因此（3.12）∞Xi=n+1˙Γi(-qa）=-质量保证∞Xi=n+1δi+∞Xi=n+1γi。因此，对于任何pn∈ R、 ^qnfrom（3.10）的形式为（3.13）^qn=dn- ■pn+P∞i=n+1γiaP∞i=n+1δn。因此，如果lim infn↑∞|~pn- d |>0然后| qn |→ ∞ 以与…成比例的速率P∞i=n+1δi-1.例3.8。让BiP~ Poi（βi）是每个i的泊松分布。假设3.2显然满足，假设3.3遵循ifP∞i=1βi<∞. 这里，bn=dn和\'bn=∞ 对于每个n，计算结果显示Γi（λ）=（eλ- 1） βi.因此（3.14）∞Xi=n+1˙Γi(-qa）=e-质量保证∞Xi=n+1βi.As dn↑ d、 为了得到所有n的pn>bn，我们取d≤ ~pn<∞. 因此，对于任何pn≥ d>dn，^qnfrom（3.10）必须满足^qn=-（1/a）日志（~pn）- dn）/（P∞i=n+1βi）. 在这里，如果lim infn↑∞（~pn）- d） >0然后^qn→ -∞ 以与…成比例的速率-日志P∞i=n+1βi.4.限制无差异价格、最优数量和大偏差我们现在将第2节中的半完全市场嵌入到一系列半完全市场中，让n↑ ∞.

目标是计算极限差异价格和最佳仓位大小，同时与随机变量Yn的大偏差理论相联系，Yn是市场中索赔B的完全不可对冲部分。如图所示，假设{Yn}n为∈N（参见下面的定义4.2），当购买最优数量时，大量仓位是内生的，对于大量仓位，限制差异价格有N个微不足道的影响。为了记住一个具体的例子，请注意，对于第3节中的大型市场示例，嵌入对应于能够交易前n项资产。。。，Sn。为了使嵌入精度在一般情况下，我们假设假设4.1。每n∈ N存在一个完全过滤的概率空间(Ohmn、 Fn、Fn、Pn）以及附带的子过滤Gn、Hn、资产Sn、概率度量Qn和索赔BN，因此假设2.1、2.2、2.4和2.6成立。此时，为了方便读者，我们回顾了适用于我们的设置定义4.2的LDP定义。设我们是一个具有Borel-sigma代数B（S）的波兰空间。让(Ohmn、 Fn，Pn）是概率空间的序列。我们说一组随机变量（ξn）n∈NfromOhmnto是一个具有良好速率函数I:S的LDP→ [0, ∞] 和缩放rnif rn→ ∞ 和（i）每个≥ 0，集Φ（s）={s∈ S:I（S）≤ s} 是s的一个紧子集；特别是，我是半连续的。（ii）对于每个开放的G S、 林恩↑∞（1/rn）对数（Pn[ξn∈ G] )≥ -infs∈GI（s）。（iii）对于每个关闭的F S、 林恩↑∞（1/rn）对数（Pn[ξn∈ F]）≤ -infs∈FI（s）。本文取S=R和ξn=Yn。通过I的下半连续性，如果加上I（0）=0，当且仅当y=0，我们看到对于所有的>0，Pn[|Yn |≥ ] → 因此，Yn定律弱收敛于狄拉克质量。换句话说，有内涵的主张中不可边缘化的部分随着n的消失而消失↑ ∞.

为了说明为什么假设这一点是合理的，请参考第3节中的大型市场示例。这里，根据引理3.4，不可对冲成分Yn=P∞i=n+1在L（P）中为0，因此在概率上为0。从g–artner-Ellis定理（见第5节）来看，这种从概率1收敛到LDP的强度是很自然的，并且根据Varadhan的积分引理[15，第4.3节]，对于识别指数投资者的极限差异价格和最优购买量尤其有效，正如现在讨论的那样。根据假设4.1，对于n∈ N和qn∈ R、 第N个市场中，价格pn（qn）与位置2.8的差异形式为：pn（qn）=dn-qnalogEPnE-克纳恩,（4.1）式中dn=EQn[dn]。现在，假设{Yn}n∈Nsatis是定义4.2中的LDP，i（y）=0<=> y=0。由于DNA是索赔中可对冲部分的复制成本，而根据LDP，不可对冲部分正在消失，人们会天真地认为LIMN↑∞pn（qn）=limn↑∞dn=d。事实上，对于有界位置（即supn | qn |<∞)) 如下文第4.5条所示。然而，对于无界位置，在适当的可积性假设下，我们从（4.3）中看到，Varadhan的积分引理将limn简化↑∞qnrn→ l6=0==> 画↑∞（pn（qn）- dn）=-**的∈R(-放置- I（y））。如果，就像第3节的大市场例子一样，我们额外假设我是严格凸的，那么我们可以得到所有的L6=0-（1/（al））supy∈R(-放置- I（y））6=0，因此对极限差价存在非零大偏差影响。

现在，上述启发性论点引发了许多问题：（1）自民党什么时候执政？（2） 如果自民党真的成立，那么差别价格的限制是什么？如果qn/rn→ 0? 如果|qn |/rn怎么办→ ∞?（3） 什么时候是qn/rn→ 对于一些0<| l |<∞? 命题2.10的最佳质量与RN之间的关系是什么？为了解决这些问题，分析分为两部分。首先，在第4.1节中，{Yn}n的自民党∈他被认为持有。然后，命题4.5计算限制差异价格，显示价格如何随qn/rn的限制值变化。此外，在第4.2节，命题4。8将^qn与大偏差率rn进行比较，其中^qn是提案2.10中的最佳购买量。这里表明，如果一个人可以以P6=Dn的价格购买索赔的部分，那么对于所有合理的价格p（如下所述），0<lim infn↑∞|^qn |/rn≤ 林尚↑∞|^qn |/rn<∞. 因此，一个典型的例子是，在大偏差的情况下，会对限制差异产生非平凡的影响。最后，在第5节中，我们给出了保证{Yn}n的LDP的一般有效条件∈N、 明确证明自民党支持{Yn}N∈两个大市场的例子。4.1. 假设是自民党，进行大额索赔分析。用（4.2）∧n（λ）=log表示EPnheλYni; λ ∈ R、 所以（4.1）变成spn（qn）=dn-qna∧n(-qna）。（4.3）注意，假设4.1通过对每个n应用假设2.6，意味着∧n（λ）<∞ 总而言之λ∈ R.还要注意，通过Holder不等式（4.4）q 7→ pn（q）呈下降趋势。我们首先假设自民党支持{Yn}n∈消费4.3。