未定权益的无差异定价：大偏差效应

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英文标题：
《Indifference pricing for Contingent Claims: Large Deviations Effects》
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作者：
Scott Robertson, Konstantinos Spiliopoulos
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We study utility indifference prices and optimal purchasing quantities for a non-traded contingent claim in an incomplete semi-martingale market with vanishing hedging errors. We make connections with the theory of large deviations. We concentrate on sequences of semi-complete markets where in the $n^{th}$ market, the claim $B_n$ admits the decomposition $B_n = D_n+Y_n$. Here, $D_n$ is replicable by trading in the underlying assets $S_n$, but $Y_n$ is independent of $S_n$. Under broad conditions, we may assume that $Y_n$ vanishes in accordance with a large deviations principle as $n$ grows. In this setting, for an exponential investor, we identify the limit of the average indifference price $p_n(q_n)$, for $q_n$ units of $B_n$, as $n\\rightarrow \\infty$. We show that if $|q_n|\\rightarrow\\infty$, the limiting price typically differs from the price obtained by assuming bounded positions $\\sup_n|q_n|<\\infty$, and the difference is explicitly identifiable using large deviations theory. Furthermore, we show that optimal purchase quantities occur at the large deviations scaling, and hence large positions arise endogenously in this setting.
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中文摘要：
研究了套期保值误差为零的不完全半鞅市场中非交易或有权益的效用无差异价格和最优购买量。我们与大偏差理论联系在一起。我们专注于半完全市场序列，其中在$n^{th}$市场中，索赔$B_n$允许分解$B_n=D_n+Y_n$。在这里，$D_n$可以通过交易标的资产$S_n$来复制，但$Y_n$独立于$S_n$。在广泛的条件下，我们可以假设$Y_n$随着$n$的增长而根据大偏差原则消失。在这种情况下，对于指数型投资者，我们将平均无差异价格$p_n（q_n）$的限制确定为$n\\rightarrow\\infty$。我们证明，如果$|q|n | \\rightarrow\\infty$，极限价格通常不同于通过假设有界位置$\\sup|n | q|n<\\infty$获得的价格，并且使用大偏差理论可以明确地识别这种差异。此外，我们还表明，最优采购量出现在大偏差缩放时，因此在这种情况下，大仓位是内生的。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Indifference_pricing_for_Contingent_Claims:_Large_Deviations_Effects.pdf (434.32 KB)

2022-5-6 23:51:42 上传

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关键词：差异定价 Indifference Konstantinos Connections composition

未定权益的无差异定价：大偏差效应斯科特·罗伯逊宾夕法尼亚州波士顿大学数学科学系卡内基·梅隆大学匹兹堡分校15213康斯坦蒂诺斯·斯皮利奥普洛斯数学与统计系马萨诸塞州波士顿大学025摘要。我们研究了套期保值误差为零的不完全半鞅市场中非交易连续索赔的效用差异价格和最优购买量。我们把大偏差理论联系起来。我们专注于半完全市场序列，其中在第n个市场中，索赔Bn允许分解Bn=Dn+Yn。在这里，通过交易标的资产Sn可以复制DNA，但YN独立于Sn。在宽泛的条件下，我们可以假设yn根据大偏差原理消失，如ngrows。在这种情况下，对于指数型投资者，我们将Bn的qnunits的平均偏差pn（qn）的极限确定为n→ ∞. 我们证明了如果| qn |→ ∞, 限制价格通常来自于通过假设有界头寸supn | qn |<∞, 使用大偏差理论可以明确地识别差异。此外，我们发现，在这种情况下，大量的内生偏差会出现。1.引言本文的目的是研究套期保值误差为零的不完全半鞅市场中基于效用的差异价格和最优仓位大小。特别是，我们在大偏差理论与最佳位置和差异之间建立了直接而新颖的联系。此外，由于启发法表明，大仓位是内生的，且误差会消失，因此本文h的另一个目标是理解此类仓位对差异的影响。

为此，我们的主要结果表明，在存在消失的hedging误差的情况下，大仓位不仅是通过最优购买内在产生的，而且它们还对有限仓位的限制性差异价格进行了非琐碎的、明确可识别的修正。电子邮件地址：scottrob@andrew.cmu.edu, kspiliop@math.bu.edu.Date：2018年8月13日。美国国家科学基金会DMS-1312419号拨款部分支持S.罗伯逊。K.Spiliopoulos获得了美国国家科学基金会的资助，资助号为DMS-1312124。作者要感谢两位裁判仔细阅读了手稿，并提出了许多有益的建议。在不完备的市场中研究大型投资者的财务动机来自于复杂金融工具（如衍生工具、抵押贷款支持证券，以及人寿保险和死亡合同）中观察到的未偿金额。例如，场外衍生品市场目前有超过700万亿的名义未偿债务（见[4]）。这些产品既不容易交易，也不可通过投资于基础市场进行复制，因此在不完全m市场的效用分析框架内对其进行研究是很自然的。使用效用函数为随机结果定价的想法有着悠久的历史，可以追溯到18世纪伯努利和克拉默的早期作品中（参见[17]了解基本的历史概述）。在现代经济学文献中，基于效用的未定权益定价至少可以追溯到[34]，并被广泛使用。

在一个可能对索赔进行部分对冲的潜在市场中，基于效用的定价的使用通常首先归功于[23]，近年来，它吸引了许多作者的注意。有关数学金融文献中基于效用的定价的全面回顾，请参见[8]。在本文中，对于给定的效用函数u，或有权益B的初始资本x和dq单位的（平均出价）差异p rice p（x，q）通过平衡方程（1.1）u（x）确定- q p（x，q，q）=u（x，0）。上面，对于任何x′，q′∈ R、 u（x′，q′）是具有效用函数u的投资者通过在基础市场交易，从初始资本x′和B的q′单位开始可以实现的最优效用。众所周知，p（x，q）通常不接受显式公式，因此需要一些近似。在这里，我们考虑当q较大，且与B相关的套期保值误差较小时的应用。仓位大小与套期保值误差密切相关，或者来源于一个简单的观察结果，即在一个完整的市场中，给定的索赔只有一个公平价格d，如果一个人能够以p 6=d的价格购买索赔，那么最好采取固定仓位。显然，完整的市场是现实的理想化，而对于实际的市场，人们不能采取固定的立场。然而，这个想法表明，对于小的对冲误差，大的头寸应该是内生的。事实上，这是[10,22,35]基础风险模型中差异价格评估的根本动机，其中交易资产和非交易资产密切相关。在标的可交易资产为S的一般不完全市场中，很难精确定义索赔B的“h边缘误差”。然而，这种定义对于半完整市场是可能的。

这里，B承认分解B=D+Y，其中D可通过S交易复制，但Y独立于S。因此，Y代表与B相关的对冲误差。半完整模型在[2]中引入，并已成功用于从止损合同的估值（[33]）到能源市场衍生品的定价（[3]）的各种设置中。为了考虑套期保值误差为零的情况，本文将半完全市场嵌入到一个半完全市场序列中，以n为指数，并研究其行为→ ∞ 假设不可识别的成分消失了。一个具有小误差的半完整市场的重要例子是大型金融市场，其中一系列风险资产理论上可用于交易，但出于实际目的，必须交易第一批资产。对于每一个n，市场都是不完整的，因为不确定性可能取决于所有不确定性的来源，但对冲能力随着n的增加而提高。[27]中引入了大市场的概念，此后，几篇论文研究了与渐近套利相关的理论问题，并扩展了资产定价的基本定理，参见[28,31,30]。在应用中，这些类型的模型经常出现在保险业中，参见[5,11,6,32,12]以及其他许多模型。因此，在第2节介绍了抽象半完全设置之后，在第3节中，我们详细介绍了保险业中使用的一个大型市场示例，其中资产是几何布朗运动（具有任意相关性），索赔是独立成分的总和。以这些例子和定义为出发点，在本文中，我们寻求指数投资者，在一系列具有消失的不可边缘化组件的半完整市场中确定限制性差异价格和最优购买量。

差异价格在（1.1）中定义，最佳购买量在[24,37]中定义，其中，对于给定的无套利价格p和初始资本x，最佳位置^q（x，p）是u（x）最大化的位置- qp，q）总体q。换句话说，假设投资者最初可以以固定单价p一次性购买任意数量的B，考虑到她的偏好和给定购买金额的q（将初始资本减少qp），她能够在基础市场交易这一事实，^q（x，p）是购买B的最佳数量。目前这项工作的新颖之处在于，我们认识到大偏差理论（经典手稿见[15,18]）与指数投资者的最优投资问题之间存在着自然而深刻的关系。然而，在许多情况下，需要大偏差文献中标准结果的非平凡部分。为了帮助激发我们的结果，我们现在简要地概述主要论点。首先，对于B=D+Y的固定半完全市场，下面的第2.8点证明了对于风险厌恶度a>0的指数投资者，差异价格p（x，q）独立于x，并且，将p（x，q）写成p（x，q），满足性p（q）=D+p（q）；^p（q），-qalogEPE-凯.在上文中，d是可对冲部分d的复制成本f，q^p（q）是不可对冲部分Y的q单元的确定等价。因此，在一系列半完全市场中，其中Bn=Dn+Yn，bnisn（qn）=Dn的qnunits的差异价格-qnalogEPnE-克纳恩.如果套期保值误差为零，则很自然地假设yn定律弱收敛于0的Diracmeasure。在这种情况下，如果忽略位置大小，那么，如果存在限制，则差异将转换为d=limn→∞dn。

然而，考虑到位置qn，我们看到pn（qn）的极限行为取决于ds和^pn（qn）的极限。在各种条件下，我们可以假设Yn定律满足速率函数I（在0处唯一最小化）的大偏差原理（LDP）：有效条件见第5节。在这种情况下，pn（qn）的极限行为取决于位置qn如何与较大的偏差缩放rn。在p中，如果qn≈ 莱恩∈ R然后，一个非平凡的大偏差会影响到极限差异价格。实际上，Varadhan的积分引理（[15，第4.3节]）yieldslimn→∞pn（qn）=d-阿苏比(-艾莉- I（y））。因此，大量持仓会导致不可忽略的极限差异价格偏差。命题4.5使上述论点准确无误，但偏差的原因是明确的：随着享乐误差的消失和头寸规模的增加，投资者在决策策略失败时对罕见事件具有强烈的敏感性。对于指数型投资者来说，这种敏感性对不同价格的影响可以通过瓦拉丹的积分引理精确识别，前提是头寸大小符合大偏差标度，即qn≈ lrn。事实证明，大偏差理论还使我们能够确定最佳获得的位置大小何时符合大偏差比例。在命题4.8中，我们证明，对于所有合理的无套利价格（具体定义见命题4.8）~pn6=dn，最佳采购量^qn在“大偏差”范围内，其中| qn |≈莱恩∈ (0, ∞). 因此，大偏差制度在某种意义上是大型投资者的自然制度，他们以最佳方式购买。

上述结果的基本思想是，对于任何无套利价格^pn，最佳购买数量^qn=^qn（^pn）独立于初始资本x，并满足等式^pn- dn=EPn炔烃-^qnaYnEPn[e-^qnaYn]。在自民党的假设下，如果|^qn |≈ LRNcl∈ [0, ∞] 然后limn→∞（~pn）- dn）=p- D∈阿格马克西(-艾莉- （见[16，定理III.17]）。从这里，很容易看出，如果l=0，则必然| p=d。不存在这种情况| qn |/rn>l>0。那我=∞ 也不可能发生，需要更多的技术证明，但对于合理的价格仍然适用→ p.从金融角度来看，重要的一点是，对于本文所考虑的市场（例如大型金融市场），在不同的概念和最佳位置上都存在着非平凡的、明确可识别的影响，这些影响随着→ ∞, 并用大偏差理论进行了解释。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们详细介绍了固定市场的一般半完整框架。我们讨论了最优投资问题，给出了不同价格的公式，刻画了无套利价格的范围和最优购买量的表达式。在第3节中，我们专门介绍了大型金融市场的设置结果。在第4节中，我们将半完全设置嵌入一系列市场，并取n→ ∞, 假设自民党成立，与大偏差进行精确关联。然后，在第5节中，我们提供了LDP成立的一般条件，并讨论了具体的例子。最后，还有一个附录，其中给出了几个技术结果的证明。2.

固定模型的半完整框架我们现在给出固定模型的一般半完整框架，明确确定无套利价格的范围，以及指数投资者的差异价格和最佳购买量。本节中所有陈述的证明见附录A。如引言中所述，半完全模型是指或有claimB允许分解（2.1）B=D+Y的模型，其中D可通过在基础市场交易完全复制，Y是“完全不可对冲”的，因为Y独立于基础资产。为了精确定义半完全设置，我们在过滤概率空间、资产和债权上施加以下结构。为了便于说明，在本节中，我们展示了固定半完整市场的结果。然后，当考虑限制差异价格及其与大偏差的联系时，我们将半完整的设置嵌入到一系列市场中。让(Ohm, F、 P）表示完全概率空间。我们考虑一个有限的时间范围T。此外，还有一个过滤F，它允许分解假设2.1。F=G∨ H、 GT，HT在哪里 F是P独立的，其中G，H满足通常的条件，因此[21，定理1]F也是。假设利率为零，因此无风险资产的th等同于1。至于风险集合，假设2.2。对于G和P，S=（S，…，Sd）是一个d维的、自适应的、局部有界的半鞅。

此外，（P，G；S）-市场是完全的且无套利的，因为（1）存在唯一的概率测度Q，等价于P（Q）~ P） 在GT上，S是a（Q，G）-局部鞅和相对熵HQP燃气轮机=EQhlogdQ/dP燃气轮机最后。（2） 对于每个索赔ξ，其是可测量的，且等式[|ξ|]<∞, 存在一个唯一的x∈R和（P，G；S）-可积（因此（Q，G；S）-可积），交易策略 =, ..., D,哪里它表示我在Siat时间t中的美元，所以X·= x+R·Udsui是一个（Q，G）鞅，这样XT=ξ，P-a.s.备注2.3。由于过滤满足了通常的条件，因此对复制策略X进行了修改用cadlag路径。在续集中，假设X是卡德拉格。关于或有索赔B，我们假设2.4。B允许（2.1）中的分解，其中D是GT可测量的，Y是可测量的。2.1. 最优投资问题。为了正确地制定最优投资问题，我们现在陈述假设2.1和2.2的一些结果。首先，我们得到（P，G）鞅也是（P，F）-鞅，S是（P，F）-特殊半鞅。因此，它使s ense与（P，F；s）-可积，F-可预测的过程相结合。此外，假设2。1和[25，命题8]暗示G-可预测，（P，G；S）-可积过程也是可预测的，（P，F；S）-可积过程，并且随机积分·现在，考虑一个具有指数效用函数U（x）=-（1/a）e-斧头∈ R>0表示绝对风险规避。为了确定允许交易策略的类别，首先需要确定本地鞅测度的双重类别。