未定权益的无差异定价：大偏差效应

我们密切关注[9，引理A.2]的证明，该证明考虑了布朗过滤的情况。让我们∈ Gt。根据（P，G；S）市场的完备性，对于某些极小值x，存在一个G-可预测（P，G；S）-可积策略 例如1A=x+RTtdSt=XT.更进一步，X是一个有界ed（Q，G）-鞅，其中有界性如下|XT|≤ 1.现在，作为Q∈ M和 是（P，F；S）-可积和X是有界的，它保持X是一个（Q，F）-局部鞅，因此是鞅[14，推论7.3.8]。因此，我们得到了q[A]=EQ十、T= x=Q[A]；A.∈ Gt，因此是dQ/dPGt=Zt，其结果为dQ/dP中兴通讯Rt燃气轮机.引理A.2。设RT是可测量的，严格正的，并且使得E[RT]=1。那么对于FTbydQdP=ZTRIT上定义的Qde，Q∈ M.证明。取G停止时间{τm}m的序列∈确保Sm·=Sτm∧·是一个有界（Q，G）鞅。为了你≤ 定义（P，H）-鞅Ru=ERT胡. 很明显，dQ/dPFu=ZuRu。现在，fix 0≤ s≤ T≤ T和let As∈ Gs，Bs∈ 嗯。因此我们有了它AsBsSτm∧tdQdP英尺= EAsBsSτm∧tZtRt= EAsSτm∧tZtE[1BsRt]；=EAsSτm∧sZsE[1BSR]=EAsBsSτm∧sdQdP财政司司长.因此，SMI是一个有界（Q，F）-鞅，证明了结果为{τm}m∈鼻孔也会停止。给定引理A.1和A.2，我们现在证明命题2.5和命题2.5。首先，考虑（P，G；S）市场中（2.4）中的最优投资问题：即当允许的交易策略是 它们是G-可预测的，（P，G；S）可积的，由此产生的财富过程X是一个（Q，G）-超鞅（用有限相对熵重新定义Qi是GT上唯一等价的局部鞅测度）。这里，在假设2.2下，当S是G局部有界时，从[19，推论2.1]，[20，命题3.2]可以看出，（2.5）对一些（P；G；S）-可积交易策略ψ成立，因此Xψisa（Q，G）-鞅。

因此，（A.5）∞ > HQP燃气轮机= EQh-aXψT- 日志Ehe-aXψTi我=-日志Ehe-aXψTi.这反过来意味着（A.6）EUXψT= -埃厄-aXψTi=-ae-HQP燃气轮机,因此，从关于最优投资问题的著名对偶结果来看，ψ是（P，G；S）-市场中的最优交易策略。我们现在表明，在（P，F；S）-市场中的更大类别的交易策略中，ψ是最优的。回想一下Qto FTin（A.1）的扩展。假设2。1，2.2和引理A.2暗示了Q∈ M、 对于任何问题∈ M、 使用引理A.1:E中的RdQdPlogdQdP= EZRT日志ZT+ 日志（RT）;= EZTlogZT+ E中兴通讯实时日志（RT）燃气轮机≥ EdQdPlogdQdP,其中第二个等式和第三个不等式来自引理A.1和条件Jensen不等式。因此，Qi是（P，F）-最小熵测度，正如（A.6）所示，一旦证明ψ是最优的交易策略∈ A：也就是说，对于所有Q，Xψ是A（Q，F）-超鞅∈~M.为此，我们首先证明Xψ处的th是任意Q的（Q，F）-局部鞅∈ 事实上，因为Xψ是（Q，G）-鞅，所以它是（Q，G）-特殊的s emi鞅，[26，命题4.23]暗示（回忆X=Xψ=0）Yt=sups≤t | Xψs |，t≤ T是（Q，G）局部可积的。因此，让{τn}n∈确保τn↑ ∞ 这样的情商小吃≤T∧τn | Xψs|< ∞. 现在，让Q∈ M.ByLemma A.1和{τn}n∈对于停止时间，我们对GTthatEQ“sups”进行了调节≤T∧τn | Xψs |#=E“ZTRTsups≤T∧τn | Xψs |#=EQ“sups”≤T∧τn|Xψs|#<∞.因此，（Xψ）-is（Q，G）（resp.（Q，F））-局部可积，并且假设S是（Q，F）-局部鞅，[14，推论7.3.8]得出Xψ是（Q，F）局部鞅。证明Xψ是（Q，F）-超马丁盖尔∈~M我们使用[29]的结果。为了与其中的符号对齐，setD=nZQ:Q∈Mo；TT={τ：F- 停止时间s.t.τ≤ T}；\'Zt=exp情商日志ZT英尺; T≤ T.（A.7）我们首先声明Xψ是A（Q，F）-鞅。

实际上，fix 0≤ s≤ T≤ T和let As∈ Gs，Bs∈ 嗯。我们有AsBsXψtZt= P[Bs]EAsXψtZt= P[Bs]EAsXψsZs= EBsAsXψsZs,其中，第一个和第三个等式后面是G和H的P独立性，第二个等式后面是Xψ是（Q，G）-鞅的事实。从（A.7）和（2.5）中我们可以看到那个日志“Zt= 情商日志ZT英尺= EQh-aXψT- 日志Ehe-aXψTiFti；=-aXψt- 日志Ehe-aXψTi; T≤ T.回想一下（[29，第4节]），我们说D对于F是“在串联下稳定的”，如果对于所有τ∈ 我们有那个ZQ，ZQ∈ D意味着Z=ZQI[0，τ）+（ZQτ/ZQτ）ZQ[τ，T]∈ D.很明显，EhZTlog~ZT我∞,~ZT>0，可选采样定理意味着eh~ZTi=1。最后，可选采样定理再次暗示，因为S是局部有界的（如[13，pp.109]中所述），所以Z∈~M。因此，~M在串联下是稳定的，[29，引理4.2]显示Q∈~M那么对数（`Zτ）∧（T）τ ∈TTis Q一致可积。因此，家庭Xψτ∧Tτ ∈tti是Q一致可积的，因此Xψ是Q一致可积的，（Q，F）鞅，Hences超鞅，因为它属于DL类。引理A.3。对于（2.10）中定义的^Q，如下所示：∈~M.证明。那^Q∈ M是引理A的中间结果。因此，有必要证明这一点^QP< ∞. 为此，利用Zand Y:H的独立性^QP= E中兴通讯-qaYE[e]-qaY]日志（ZT）- 凯- 日志EE-凯;= HQP燃气轮机- qaEY-e-凯E[E]-qaY]- 日志EE-凯< ∞,最后一个不等式如下所示：eλY< ∞ 总而言之λ∈ R引理A.4。对于交易策略^ = -Q+ ψ在哪里Dandψ的复制策略来自命题2.5，因此 ∈ A.证据。让Q∈M.回想假设2.1、2.2意味着 是G-（因此F-）可预测且（P，G；S），（P，F；S）可积和X在G和F下都一致（事实上，这适用于任何相当于FT上P的度量）。

我们必须证明（A.8）X^·=Z·^udSu=-qZ·()udSu+Z·ψudSu=-Q十、·- D+ Xψ·，是一个（Q，F）-超鞅。从命题2.5可以看出，Xψ是Q一致可积（Q，F）-鞅。因此，必须证明X是一个（Q，F）-鞅。现在，X是一个（Q，G）-鞅，遵循假设2.2和2.6。接下来，作为X是G-适应的，Q=Qon GTwe，使用X的cadlag性质（见备注2.3）、H–older不等式和Doob最大不等式：EQ“supt”≤T | Xt |#=EQ“supt”≤T | Xt |#=EQ“supt”≤T | EQD燃气轮机|#;≤ 情商监督≤T | EQD燃气轮机|!1+1+;≤1 + 情商|D | 1+1+< ∞.因此，[14，推论7.3.8]暗示X是一个（Q，F）-局部鞅。事实上，对于任何F-stoppingtimeτ和λ>0:EQh | XT∧τ| 1 | XT∧τ|≥λi≤ EQ“supt≤T | Xt | 1supt≥T | Xt|≥λ#，因此X属于（Q，F）D.L.类和hen ce a（Q，F）-鞅。命题2.8的证明。从命题2.5的（A.5）中我们可以看出QP燃气轮机= -日志Ehe-aXψTi= -日志(-au（0,0））。（A.9）如^ G是可预测的吗？X^是G适应的，因此是X^独立于H。此外，引理A.4表明^ ∈ A实际上是X^是所有Q的（Q，F）-鞅吗∈此外，鉴于（A.8），我们有-a（X^T+qB）=-aXψT+qaXT- qad- qaD- qaY=-aXψT- qad- 凯。因此-埃厄-a（X^T+qB）i=-ae-卡德赫-aXψT-qaYi=-ae-卡德赫-aXψ结E-凯;= u（0，0）e-卡德E-凯.（A.10）现在，确定FTvia上的概率度量^Q（2.10）。引理A.3表明Q∈~M.从（2.10）开始，我们有b+qalogZ^QT= D+Y+qalogZT- Y-qalogEeqaY;= 十、T+qalogZT-qalogEeqaY.当EhZ^QTi=1:E时Z^QTB+qalogZ^QT= E十、TZTe-qaYE[e]-qaY]+qaE日志（ZT）中兴通讯-qaYE[e]-qaY]-qalogEeqaY;= d+qaHQP燃气轮机-qalogEeqaY;= D-qalog(-au（0,0））-qalogEeqaY.在上面，第二个等式后面是Y和ZTX的独立性T、 事实上X是从d开始的（Q，G）m阿尔丁大风，以及ZT的定义。

最后一个等式来自（A.9）。后者和（A.10），给我们-ae-qaEhZ^QTB+qalogZ^QT我=-ae-qad+日志(-au（0,0））+log（E[eqaY]）=u（0,0）E-卡德E-凯;= -埃厄-a（X^因此，从指数效用的标准对偶结果来看，（2.8）成立 是最优策略，th at^Q是最优局部鞅测度。有了u（0，q）的这种识别，价格p（q）与（2.9）的差异是直接存在的。引理2.9的证明。L和Q∈ M.引理A.1得出，ZQT=ztrteRT燃气轮机=1.当D=X时塔尔克斯初始值为d的a（Q，G）-鞅，它遵循的是atEQ[B]=EhZTRT十、T+Yi=d+E兹蒂,其中第二个等式之后是GT的第一个条件。从上面可以看出，infq∈MEQ[B]≥ d+essinfP（Y）。至于相反的方向，用MTT表示严格正的、HT可测量的随机变量类RTE[RT]=1。对于任何RT∈ 兰玛山。2表明，通过dQ/dP=ZTRIT定义Q后，Q∈ 此外，利用G和H的独立性，可以得出等式[B]=d+E[RTY]，因此（A.11）infQ∈MEQ[B]≤ d+infRT∈MTE[RTY]。现在，设m等于P[Y<m]>0。设置Am={Y<m}∈ 对于0<δ<1 setRm，δT=（1- δ） 1Am+δ1Acm（1- δ） P[Am]+δP[Acm]。很明显，Rm，δT∈ 此外，信息∈MTE[RTY]≤ EhRm，δTYi=（1）- δ） E[y1y<m]+δE[y1y≥m] （1）- δ） P[Y<m]+δP[Y≥ m]≤m（1）- δ） P[Y<m]+δE[Y 1Y≥m] （1）- δ） P[Y<m]+δP[Y≥ m] 。假设2.6意味着E[|Y |]<∞ 尤其是Eh | Rm，δTY | i<∞. 因此，取δ↓ 0给首次∈MTE[RTY]≤ m、 拿m↓ essinfP（Y）给出了∈MTE[RTY]≤ essinfP（Y），考虑到（A.11）yieldsb=infQ∈MEQ[B]=d+essinfP（Y）。上界的类似计算表明，`b=d+esssupP（Y），从而完成了证明。命题2.10的证明。

设置q=-λ/a，使（2.13）读数为λ∈R（λ∧）- λ（p）- d） ）。集合f（λ）=∧（λ）- λ（p）- d） 。λ的严格凸性意味着f（λ）是严格凸的。对于λ6=0，我们有f（λ）/λ=λ（λ）/λ-（~p）-d） 。引理2.9和下面引理D.1的第（1）、（2）部分给出了，作为p∈ （b，\'b），an>0的存在使得lim inf|λ|↑∞f（λ）/|λ|≥ . 因此，f是严格凸且强制的，因此R上f存在一个唯一的极小值∧。引理D.1的第（3）部分保证∧（λ）存在且对所有λ都是有限的∈ R、 因此，根据极小可微函数的标准结果，可以得出^λ必须满足（2.14）中给出的一阶条件。要看到这一点，请注意，对于所有λ∈ R我们有∧（λ）- Λ(^λ) ≥ (λ -^λ）（p- d） 。现在，假设λ>^λ。然后p- D≤ 1/(λ -^λ）Rλ^λ∧（τ）dτ。取λ↓^λ和d使用∧的平滑度，这由假设2.6p保证- D≤˙Λ(^λ). ^λ>λ的类似计算给出了相反的不等式，从而完成了证明。附录B引理3.4第3节的证明。第一次表明limN↑∞PNi=1E[Bi]存在，且大小有限。事实上，通过每个Γi的凸性，对于任何λ>0-（1/λ）Γi(-λ) ≤˙Γi（0）=E[Bi]≤（1/λ）Γi（λ）。这就给出了任意整数M>N-λMXi=N+1Γi(-λ) ≤MXi=N+1E[Bi]≤λMXi=N+1Γi（λ）。作为（1/λ）P∞i=1Γi（λ）和-（1/λ）P∞i=1Γi(-λ） 所有λ>0都存在且是有限的，任何>0都有一些N，所以如果M，N≥ 那么PMi=N+1E[Bi]≤ ，证明atPni=1E[Bi]是柯西的，因此极限存在且是有限的。我们现在宣称（B.1）∞Xi=1Var[Bi]<∞,其中，几乎确定的收敛结果遵循[38，定理1.4.2]，而L收敛结果遵循asP∞i=1E[Bi]存在。

但是，（B.1）通过应用不等式x而成立≤λeλx+e-λx; 十、∈ R、 λ>0，到x=PNi=1（Bi-E[Bi]），我们支持{Bi}i的独立性∈N、 假设3.3，Pni=1E[Bi]→P∞i=1E[Bi]as N↑ ∞. 引理3.6的证明。显然，G和H满足假设2.1，通过构造假设2.4所适用的B=D+Yso。由于选择σ作为∑的下三角平方根，假设2.2是满足的。事实上，前n个资产只取决于前n个布朗运动，因此S是G适应的。此外，根据马丁格尔表示定理，（P，G；S）-市场是完全的。这里，唯一的鞅测度qt形成了dqdpGT=dQdPGT=EnXi=1-θiWi·！T、 对于这个度量，HQP燃气轮机= （1/2）Pni=1θi<∞. 最后，假设3.2和3.3实现了假设2.6中关于D和Y的可积性假设。要看到这一点，假设mption 3.2毕< ∞ 对于每个i，它认为对于任何0<<1（回忆（A.2））：EQ|D | 1+= EZTnXi=1Bi1+≤ EZT1.-1.-EnXi=1Bi！1+;≤ eT1+1-Pni=1θinnXi=1E毕!1+< ∞.此外{Bi}i的独立性∈NgivesEheλYi=EheλP∞i=n+1Bii=eP∞i=n+1Γi（λ）<∞.通过验证假设2.1–2.6，命题2.8意味着在第n个市场中，每n个B的q单位的差异价格为p（q）=d- （1/（qa））日志EE-凯. 通过构造，在西格玛代数GT上，qagree与Q一致。因此，我们从假设2.2中的d和dnin（3.7）的定义中得出：d=EQ[d]=nXi=1EQ[Bi]=dn；日志EE-凯=∞Xi=n+1Γi(-质量保证）。（3.9）中的无套利价格范围直接遵循引理2.9和引理3.4（这说明了thatP∞i=1E[Bi]存在）和{Bi}i的独立性∈的确，这意味着P∞i=n+1Bi=P∞i=n+1essinfP（Bi）以及ESSUPPP∞i=n+1Bi=P∞i=n+1esssupP（Bi）。为了完整起见，让我们讨论一下essinfPP∞i=n+1Bi=P∞i=n+1essinfP（Bi）。

在不丧失一般性的情况下，我们可以假设E[Bi]=0，我们有p∞i=1E毕<∞. 因此，M∞=P∞i=n+1几乎可以肯定地定义得很好。很明显，埃辛福普P∞i=n+1Bi≥P∞i=n+1essinfP（Bi）对于任何c<P∞i=n+1essinfP（Bi）一个人有P[M]∞< c] =0。对于另一个方向，我们让Mm=Pm+ni=n+1Bi。那么M=（Mm）M=1,2，····是一个有界的Fm=σ（Bi，i=n+1，…，n+M）鞅。因此，我们可以写Mm=E[M]∞|它立即给出n+mXi=n+1essinfP（Bi）=essinfPn+mXi=n+1Bi！=essinfP（毫米）≥ essinfP（M）∞) = 埃辛夫∞Xi=n+1Bi！，对于m=1，2，·。S o，拿m↑ ∞ 给出结果。最后，（3.10）紧跟在（2.14）之后，因为（2.7）的∧形式为∧（λ）=P∞i=n+1Γi（λ）和下面的引理B.1表明导数可以通过有限和传递。引理B.1。假设3.1、3.2和3.3成立。因为我∈ N（3.3）中的定义。那么，尽管λ∈ R、 林恩↑∞PNi=1˙Γi（λ）存在，-∞ <P∞i=1˙Γi（λ）<∞ 和（d/dλ）（P∞i=1Γi（λ））=P∞i=1˙Γi（λ）。证据这个引理的简短证明是由论文的一位审稿人提出的。作为Γiisconvex，它遵循nxi=k（Γi（λ）- Γi（λ）- 1)) ≤nXi=k˙Γi（λ）≤nXi=k（Γi（λ+1）- Γi（λ）），根据假设3.3，这意味着p·i=0˙Γi（λ）是一个柯西级数，因此收敛到一个完整性。这就完成了引理的推导。附录C.命题4.5的证明命题4.5的证明。（制度1）对于假设4.3中的δ，假设>0使得a<δ。对于足够大的n，我们可以假设|qn |≤ rn。

从（4.4）可以看出-arn∧n(-arn）=pn（rn）- dn≤ pn（qn）- dn≤ pn(-rn）- dn=arn∧n（arn）。因此，Varadhan的积分引理y ieldslim infn↑∞pn（qn）- dn≥ -asupy∈R(-ay- I（y））；林苏平↑∞pn（qn）- dn≤asupy∈R（ay）- I（y））。鉴于下面的引理D.2，D.3，我们有足够小的↑∞pn（qn）- dn≥ Y-+aI（y）-) ≥ Y-;林苏平↑∞pn（qn）- dn≤ y+-aI（y+）≤ y+，对于一些y-∈ [l]-a，u-a]，y+∈ [la，ua]其中，l，u在下文（D.2）中定义。因此，由LemmaD。3我们有那个“y”→ 0 as↓ 0证明limn↑∞pn（qn）- dn=0。（制度2）。现在，假设limn↑∞|qn |/rn=l∈ (0, ∞). 首先，假设0<l<-对于足够大的金额，我们可以假设-γ） 注册护士≤ qn≤ （l+γ）Rn对于某些γ>0，使得M<-a（l+γ）<-a（l）- γ) < 0. （4.4）然后暗示pn（qn）- dn≤ pn（（l- γ） rn）- dn=-（l）- γ） arn∧n(-（l）- γ） arn）；pn（qn）- dn≥ pn（（l+γ）rn）- dn=-（l+γ）arn∧n（（l+γ）arn）。由Varadhan的积分lemmalim su pn↑∞pn（qn）- dn≤ -（l）- γ） 阿苏皮∈R(-（l）- γ） 嗯- I（y））=infy∈Ry+I（y）（l）- γ） a≤ 0;林恩芬↑∞pn（qn）- dn≥ -（l+γ）asupy∈R(-（l+γ）ay- I（y））=infy∈Ry+I（y）（l+γ）a> -∞.函数τ7→ 英菲∈τ>0的R（y+τI（y））是凹的，因此在其有效域的内部是连续的。因此，采用γ↓ 上述收益率为0（4.12）。现在，假设M*> -∞ d l>-M*/a、 从（4.9）我们得到了l>-M/a，因此我们可以找到一个γ>0的o，对于足够大的qn≥ （l）-γ） 而且我-γ > -M*/A.≥ -与之前一样，（4.4）意味着（C.1）pn（qn）- dn≤ pn（（l- γ） rn）- dn=-（l）- γ） arn∧n(-（l）- γ） 阿恩）。根据Mwe的定义，我们知道lim supn↑∞（1/rn）λn(-（l）- γ） arn）=∞. 然而，事实上limn↑∞（1/rn）λn(-（l）-γ） arn）=∞. 事实上，假设存在一个子序列（仍然标记为n），这样lim supn↑∞（1/rn）λn(-（l）-γ） arn）<∞.

Varadhan的积分引理应用于子序列（LDP仍然适用）则意味着对于γ小enoughlimn↑∞rn∧n(-（l）- 2γ）arn=supy∈R(-（l）- 2）是的- I（y））<∞.因此，对于足够小的γ-2γ > -M*/a我们对M的定义存在矛盾*.因此，我们有fr om（C.1）limn↑∞pn（qn）- dn=-∞.qn/rn的结果→ l<0与l>0非常相似。事实上，首先假设-\'M/a<l<0。对于足够大的n，我们可以假设（l-γ） 注册护士≤ qn≤ （l+γ）Rn对于某些γ>0，而0<-a（l+γ）<-a（l）- γ） <M.（4.4）意味着pn（qn）- dn≤ pn（（l- γ） rn）- dn=-（l）- γ） arn∧n(-（l）- γ） arn）；pn（qn）- dn≥ pn（（l+γ）rn）- dn=-（l+γ）arn∧n(-（l+γ）arn）。Varadhan积分引理↑∞pn（qn）- dn≤ -（l）- γ） 阿苏皮∈R(-（l）- γ） 嗯- I（y））=supy∈Ry+I（y）（l）- γ） a< ∞;林恩芬↑∞pn（qn）- dn≥ -（l+γ）asupy∈R(-（l+γ）ay- I（y））=supy∈Ry+I（y）（l+γ）a≥ 0.函数τ7→ supy∈τ<0的R（y+τI（y））是凸的，因此在其有效域上是连续的。因此，采用γ↓ 上述收益率为0（4.13）。接下来，假设M*< ∞ 而l<-M*/a、 从（4.9）我们得到了-μM/a，因此我们可以发现γ>0，从而使f或n足够大≤ （l+γ）R并且使l+γ<-M*/A.≤ -与之前一样，（4.4）意味着pn（qn）- dn≥ pn（（l+γ）rn）- dn=-（l+γ）rn∧n(-（l+γ）arn）。根据M的定义，我们知道lim supn↑∞（1/rn）λn(-（l+γ）arn=∞, 但与上述类似的论证表明，事实上，limn↑∞（1/rn）λn(-（l+γ）arn=∞, 因此limn↑∞pn（qn）-dn=∞.（制度3）制度3的证明与制度2的证明几乎相同，因此只有qn/rn的论证→ ∞ 已给出。对于任何M>0，我们可以定义足够大的n，以便qn≥ 先生。（4.4）然后暗示pn（qn）- dn≤ pn（Mrn）- dn=-Mrna∧n(-马恩）。现在，如果我*> -∞ 然后（4.9）意味着M>-∞ 因此对于足够大的M来说-aM<M*<我们有林苏普吗↑∞（1/rn）λn(-马恩）∞, 事实上，我们一定有limn↑∞（1/rn）λn(-（马恩）=∞.