未定权益的无差异定价：大偏差效应

事实上，假设存在一个子序列（仍然标记为n），这样lim supn↑∞（1/rn）λn(-（马恩）<∞. 那么对于足够小的γ-a（M）- γ） <M*画↑∞rn∧n(-（M）- γ） 阿恩）=supy∈R(-（M）- γ） 嗯- I（y））<∞.这与M的定义相矛盾*. 因此，林↑∞pn（qn）- dn=-∞, 如果M*> -∞. 如果M=-∞ 我们有所有的M>0 thatlim su pn↑∞pn（qn）- dn≤ -马苏比∈R(-也许- I（y））=infy∈Ry+I（y）Ma.上面的右手边以M为单位递减：取M↑ ∞ giveslim su pn↑∞pn（qn）- dn≤ 林姆↑∞英菲∈Ry+I（y）Ma.我们现在宣称↑∞英菲∈Ry+I（y）Ma= inf{y|I（y）<∞},如果这是真的，就完成了结果。首先，我很清楚≥ 0 thatlimM↑∞英菲∈Ry+I（y）Ma= 林姆↑∞英菲∈R、 I（y）<∞y+I（y）Ma≥ inf{y|I（y）<∞}.现在，让y成为这样，I（y）<∞. 像英菲一样∈R（y+I（y）/（Ma））≤ y+I（y）/（Ma）它紧随其后↑∞英菲∈R（y+I（y）/（Ma））≤ y、 带着y↓ inf{y|I（y）<∞} 给出结果。附录D.支持引理D.1。定义∧如（2.7）所示，并假设∧（λ）对所有λ都是有限的∈ R.然后（1）limλ↑∞（1/λ）∧（λ）=esssupP（Y）。（2） limλ↓-∞（1/λ）∧（λ）=essinfP（Y）。（3） 总而言之λ∈ R、 ˙∧（λ）=EYλY/EeλY∈ R.此外，∧（λ）是严格凸的，这意味着映射λ7→˙∧（λ）在λ中增加。证据显然，对于λ>0，我们有（1/λ）∧（λ）=（1/λ）对数以弗λYi≤ ESSUPP（Y）。现在，让m>0等于P[Y>m]>0。就像我一样≥ m1Y>m，我们就有λ∧（λ）≥ m+λ对数EP[1Y>m].取λ↑ ∞ 在lim infλ处给出th↑∞(1/λ)Λ(λ) ≥ m、 因此我选择了m↑ essupp（Y）λ↑∞（1/λ）∧（λ）=esssupP（Y）。类似的计算表明limλ↓-∞（1/λ）∧（λ）=essinfP（Y），证明了上述（1）和（2）。˙∧（λ）=EYλY/EeλY对于λ∈ R后面是假设2。6.支配收敛定理与不等式（D.1）|x | eλx≤ C（λ）e2λx+e-2λx; 十、∈ R、 对于某些常数C（λ）<∞. 现在，根据詹森的不等式，EeλY≥ E-|λ| E[|Y |]和假设2。6确保E[|Y |]<∞.

毛皮温度计，对于任何λ∈ R存在一些常数C（λ），因此（D.1）成立，它再次从假设2.6得出| EYλY| < ∞, 这是雅思（3）完成的证明。引理D.2。假设4.1和4.3成立。对于假设4.3中的δ和I，lim inf | y|↑∞I（y）/|y |≥δ.证据鉴于（4.5）d Varadhan的积分引理∈ (-δ、 δ）它认为Γ（）=limn↑∞rnlogEPn埃尔宁= supy∈R（y）- I（y））<∞.对于>0，这为y>0提供了I（y）/y≥  - Γ（）/y，从中得出的结果后面是takingy↑ ∞ ↑ δ. 对于<0，这给出了对于y<0，I（y）/(-y）≥ - - Γ()/(-y） ，从中得出结果，然后取y↓ -∞ ↓ -δ. 3.3引理。假设4.1和4.3成立。设δ如假设4.3所示。不管怎样∈ (-δ、 δ）集（D.2）l=infy:y∈ 阿格马克西∈R（y）- I（y））; u=supy:argmaxy∈R（y）- I（y））.然后是林↓0l=0=lim↓0u。证据这个引理在文献中应该是已知的，但鉴于我们无法找到一个精确的参考，我们提供了一个证明。当I（y）=0时<=> y=0我们有你≤ 0表示<0，0≤ l表示>0，l=u=0表示=0。此外，通过引理D.2，我们知道||<δ/2-K≤ l≤ u≤ K对于不依赖于的某些K>0。现在，让<0，→ 0，通过对比的方式假设l→ -对于某些l>0的情况，l<0。通过l的定义，这意味着存在一个序列y→ y<-l/2，使f或每个，y∈ 阿格马克西∈R（y）- I（y））。因此，我们有0≤ lim inf↓0（y- I（y）≤ -I（y），其中最后一个不等式后面是I的下半连续性。这就得到了I（y）≤ 0，假设4.3是不可能的-l/2和I（y）=0当且仅当y=0。因此，<0，的结果如下→ 正如我们已经知道的那样≤ 0.>0的类似论点，→ 0完成屋顶。引理D.4。假设4.1和4.3成立。设δ如假设4.3所示。

为了∈ (-δ、 δ）denepn=EPn伊恩·奥尔宁EPn[ernYn]。然后0=lim inf→0lim infn↑∞pn=lim sup→0lim su pn↑∞pn.证明。回忆一下函数∧n（λ）=logEPneλYn, λ ∈ R来自（4.2）。根据假设4.1，∧n（λ）与∧n（λ）=EPn严格凸YneλYn/EPneλYn. 现在，定义函数∧（λ）=supy∈R（λy）- I（y））。注：通过构造，∧（λ）是凸的。此外，（4.8）表示（1/rn）∧n（rn）→ ∧（）as n↑ ∞ 为了∈ (-δ, δ).根据命题2.10，映射λ7→ -λpn+λn（λ）在λ=rn处唯一最小化。这给了所有人∈ R那（D.3）- rnpn+λn（rn）≤ -γpn+λn（γ）。取γ为（+λ），其中λ>0表示+λ<δ-rnpn+λn（rn）≤ -（+λ）rnpn+λn（（+λ）rn）。取消-pentrems，除以λr，然后重新排列得到spn≤λrn∧n（（+λ）rn）-rn∧n（rn）.拿n↑ ∞ 给予↑∞潘≤ 林尚↑∞潘≤λ(Λ( + λ) - Λ()) .取λ↓ 0.信息↑∞潘≤ 林尚↑∞潘≤˙∧+（），其中∧+（）是∧在处的右导数。同样，回到（D.3），取γ=（）-λ） 其中λ>0表示-δ < - - 因此-林尚↑∞潘≤ -林恩芬↑∞潘≤˙Λ-().式中∧-（）是∧在处的左导数。因此，通过[36，定理23.2]可以得出：↑∞pn，lim infn↑∞pn=Λ(). 现在让我来∈ Λ(). 声称是lim→0 | l|=0。为了了解这一点，首先通过矛盾的方式假设存在一些τ>0，使得lk≥ 某些序列k的τ→ 0.取0<λ<δ，使得λ>kf对于所有足够大的k。通过定义次微分，可以得出∧（λ）≥ ∧（k）+lk（λ）- k）≥ ∧（k）+τ（λ）- k）。对于足够小的λ（仍然大于k），引理D.2意味着存在一些yλ∈ 阿格马克西∈R（λy）-使∧（λ）=λyλ- I（yλ）。这意味着λyλ-I（yλ）≥ ∧（k）+τ（λ）- k）。因为∧是凸的，所以(-δ、 δ）和∧（0）=0，它后面是∧in的连续性(-δ、 δ）那个takingk↑ ∞ 产生λyλ-I（yλ）≥ τλ或yλ≥ τ+I（yλ）/λ≥ τ.

取λ↓ 0，使用引理D.3给出≥ τ、 矛盾。同样地，通过矛盾的方式假设存在一些τ>0，使得lk≤ -某些序列k的τ→ 0.拿-δ<λ<0，使得λ<k。通过定义次微分，得出∧（λ）≥ ∧（k）+lk（λ）- k）≥ ∧（k）- τ(λ - k）。对于足够小的λ（仍然小于k），引理D.2意味着存在一些λ∈ 阿格马克西∈R（λy）- 使∧（λ）=λyλ- I（yλ）。这意味着λyλ-I（yλ）≥ ∧（k）- τ(λ - k）。如上所述↑ ∞ 获得-yλ≥ τ+I（yλ）/(-λ) ≥ τ. 取λ↓ 0和使用LemmaD。3等于0≥ τ，矛盾。因此，可以得出| l|→ 0 as→ 0代表所有l∈ ∧（），因此结果如下。参考文献[1]J.Am endinger，D.Becherer和M.Sch weizer，《金融斯托克港投资组合优化初始信息的货币价值》。，7（2003），第29-46页。[2] D.B echerer，在恒定绝对风险规避下的综合风险的理性对冲和估值，保险数学。经济。，33（2003），第1-28页。[3] G.Benedetti和L.Campi，《电力衍生品非平稳支付的效用独立估值》，应用数学与优化，（2015），第1-41页。[4] 国际清算银行，2014年12月底场外衍生品统计，国际清算银行（BIS），2014年。http://www.bis.org/about/index.htm.[5] B.Bouchard，R.Elie和L.Moreau，《基于效用的定价和渐进风险分散的说明》，数学和金融经济学，6（2012），第59-74页。[6] M.J.Brennan和E.S.S.chwartz，《有资产价值担保的股权相关寿险保单发行人的替代投资策略》，商业期刊，52（1979），第63-93页。[7] R.Burden和J.Faires，数值分析，数学系列第五卷，布鲁克斯/科尔出版社，1997年。[8] R。

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