未定权益的无差异定价：大偏差效应

随机变量{Yn}n∈n用标度{rn}n满足LD P∈具有良好速率函数I（y）的Nand。此外，I（y）=0<=> y=0，有一个常数δ>0，使得对于=±δ（4.5）lim su pn↑∞rnlogEPn埃尔宁= 林尚↑∞rn∧n（rn）<∞.界（4.5）是为了保证Varadhan的积分引理对一个函数的有效性而施加的矩条件，并且有必要知道仍然产生（4.5）的m最大界。因此，定义M=sup（M:lim-supn↑∞rn∧n（Mrn）<∞); M=inf（M:lim supn）↑∞rn∧n（Mrn）<∞).（4.6）假设4.3意味着“M”≥ δ和M≤ -δ. 接下来是定义*= sup（男：苏比）∈R（我的- I（y））<∞); M*= inf（M:supy）∈R（我的- I（y））<∞).（4.7）在假设4.3下，对于M<M<M，Varadhan的积分引理暗示（4.8）limn↑∞rn∧n（Mrn）=supy∈R（我的-I（y））<∞.因此，我们看到（4.9）- ∞ ≤ M*≤ M≤ -δ < 0 < δ ≤\'M≤ M*≤ ∞.让假设4.3保持不变。对于任意序列{qn}n∈确保|qn |→ ∞, 在振荡之前，有三种不同的制度来研究极限差异价格pn（qn）（4.10）limn→∞|qn | rn= 0制度1∈ (0, ∞) 制度2=∞ 制度3。注意，我们不一定假设速率函数I（y）的凸性。注意Varadhan引理中的力矩条件lim supn↑∞（1/rn）∧n（γMrn）<∞, γ>1，对于任何^M，γ=^M/M>1时保持不变∈ （米，米）。有很多例子表明*< 曼德M*>男：见[15，第4.3章]。下面的4.5号提案详细描述了限制差异价格。由于价格的形成有多种形式，取决于M*, M、 “M和M*, 为了便于展示，我们首先在-∞ = Mand\'M=∞. 请注意，这个f强制-∞ = M*, M*= ∞.然后给出了一般结果。此处，在qn/rn的情况下确定了限制差异价格→ 我为所有我∈ [-∞, ∞] 除了我∈ [-并购，-M*/a] 或者我∈ [-M*/A.-“并购”。提案4.4。假设4.1和4.3成立。

此外，假设-∞ = M、 \'M=∞式中M，`M在（4.6）中。然后（1）（制度1）如果limn↑∞|qn |/rn=0然后limn↑∞（pn（qn）- dn）=0。特别是，这适用于ifsupn | qn |<∞.（2） （制度2）如果limn↑∞|qn |/rn=l∈ (0, ∞) thenlimn公司↑∞（pn（qn）- dn）=-**的∈R(-放置- I（y））∈ R.（4.11）（3）（制度3）。1）如果limn↑∞qn/rn=∞ 然后林超恩↑∞（pn（qn）- dn）≤ inf{y|I（y）<∞}.2） 如果林↑∞qn/rn=-∞ 然后是lim infn↑∞（pn（qn）- dn）≥ sup{y|I（y）<∞}.如上所述，命题4.4是一般情况下的直接结果，其中不假设-∞ = Mand\'M=∞. 现在介绍一般情况（其证明见附录C）。提案4.5。让假设4.1和4.3保持不变。然后（1）（制度1）如果limn↑∞|qn |/rn=0然后limn↑∞（pn（qn）- dn）=0。特别是，这适用于ifsupn | qn |<∞.（2） （制度2）如果limn↑∞qn/rn=l∈ (0, ∞) 然后∈0, -文科硕士==> 画↑∞（pn（qn）- dn）=财政年度∈Ry+alI（y）∈ (-∞, 0];M*> -∞, l>-M*a==> 画↑∞（pn（qn）- dn）=-∞.（4.12）如果limn↑∞qn/rn=l∈ (-∞, 然后∈-“妈，0==> 画↑∞（pn（qn）- dn）=supy∈Ry+laI（y）∈ [0, ∞);M*< ∞, l<-M*a==> 画↑∞（pn（qn）- dn）=∞.（4.13）（3）（制度3）。1）如果limn↑∞qn/rn=∞ 然后*> -∞ ==> 画↑∞（pn（qn）- dn）=-∞;M=-∞ ==> 林尚↑∞（pn（qn）- dn）≤ inf{y|I（y）<∞}.2） 如果林↑∞qn/rn=-∞ 然后*< ∞ ==> 画↑∞（pn（qn）- dn）=∞;\'M=∞ ==> 林恩芬↑∞（pn（qn）- dn）≥ sup{y|I（y）<∞}.4.2. 最佳质量和大偏差率。命题4.5表明，根据极限limn↑∞qn/rn=l存在广泛的可能限制差异。本节的目的是描述通过购买最佳数量获得qnis时的l：即。

qn=给定^pn的（2.14）中的^qn（^pn）∈ （bn，\'bn），其中bn，\'bn来自引理2.9，形式为bn=dn+essinfPn（Yn）；\'bn=dn+essuppn（Yn）。本节的主要结果表明，当购买最佳数量时，限值l=0，±∞不可能发生在所有“合理价格”~pn∈ （bn，\'bn）使↑∞|~pn- dn |>0。为了便于表述，有必要排除一种特殊的小情况和无套利价格范围内的波动情况。关于一般情况，考虑当存在一些子序列（仍然标记为n）和一些极限l时，l=limn↑∞esssupPn（Yn）=limn↑∞essinfPn（Yn）。As（1/rn）log（Pn[Yn≥ l+]）→ -∞ 和（1/rn）对数（Pn[Yn≤ L- ]) → -∞ 对于所有的>0，从假设4.3可以清楚地看出，l=0，I的形式为I（0）=0，I（y）=∞, y6=0。此外，对于任何qn，差异价格pn（qn）都是套利fr ee，它很容易遵循limn↑∞pn（qn）-对于所有序列{qn}n，dn=0∈N、 不管它与{rn}N的关系如何∈N.因此，排除这一微不足道的情况，并排除价格可能对一个序列{nk}k无套利的振荡情况∈为{j}而不是另一个序列}∈N（此类病例可单独治疗），我们假设假设为4.6。l<u的存在使得limn↑∞essinfPn（Yn）=l和limn↑∞因此，如果p∈ （l，u）那么对于足够大的n，p+dn∈ （十亿，十亿）是无套利的。备注4.7。那我≤ 0≤ 当且仅当y=0时，u随I（y）=0。此外，在第3节的大型市场示例中，essinfP（Yn）=P∞i=n+1essinfP（Bi）和esssupP（Yn）=P∞i=n+1esssupP（Bi），则l=0或l=∞ u=0或u=∞. 事实上，引理3.4表明∞i=1E[Bi]存在且是有限的，我们对每个n∞Xi=n+1esssupP（Bi）=∞Xi=n+1（ESSUPP（Bi）- E[Bi]）+∞Xi=n+1E[Bi]。因此，ifP∞i=1（ESSUPP（Bi）- E[Bi]）<∞ 那么u=0，否则u=∞.

类似的声明也适用于我。因此，假设4.6要求l=0，u=∞ 或l=-∞, u=0或l=-∞ , u=∞.现在，所谓“合理”价格，是指pn必须是这样的，从一个大偏差的角度来看，Yn的取值可能低于pn- DNO或以上pn- dn。这是通过假设假设假设4.3中的速率函数I在大于或小于pn的情况下不完全相同来实现的- dn。我们假设n足够大，~pn-dn=pn∈ （l，u）和limn→∞pn=p∈ （l，u）。事实上，为了处理演示文稿，我们进一步假设≡ p不随n变化。因此，我们得到以下结果。提案4.8。假设4.1、4.3和4.6成立。对于给定的pn∈ （bn，\'bn）将^qn=^qn（^pn）设置为命题2.10。回想一下假设4.6中对（l，u）的定义。然后（1）假设l<0，并设pn=dn+p表示l<p<0。Thena）lim infn↑∞^qn/rn>0。b） 如果存在y<p使得I（y）<∞ 然后林超恩↑∞^qn/rn<∞.（2） 假设u>0，并设pn=dn+p表示0<p<u。如果pn，则命题4.8的结果不变- dn=pn→ P∈ （l，u）a）林上↑∞^qn/rn<0。b） 如果存在y>p使得I（y）<∞ 然后是lim infn↑∞^qn/rn>-∞.证据注意，（2.14）的形式是（4.14）p=˙∧n(-^qna）=EPn炔烃-^qnaYnEPn[e-^qnaYn]。∧n的凸性使映射q为7→ EPnYneqYn/EPneqYnq（证明（1）中的陈述）的数量在增加↑∞^qn/rn≤ 0.设>0，取一个子序列（仍然标记为n），这样对于足够大的n，我们可以假设a^qn≤ rn。然后我们从（4.14）得到（4.15）p≥EPn炔烃-rnYnEPn[e-rnYn]。拿n↑ ∞ 然后呢→ 0在上面我们有≥ lim inf→0lim infn↑∞EP炔烃-rnYnEP[e-rnYn]=0，其中最后一个后面跟着引理D.4（ther ein为-). 这就是p≥ 0，但这是一个矛盾，因为p<0。因此，lim infn↑∞^qn/rn>0。

现在，假设p<0表示I（y）<∞ f或某个y<p。通过矛盾的方式假设：↑∞^qn/rn=∞然后取一个子序列（仍然标记为n），这样limn↑∞^qn/rn=∞. 回想一下（2.13）中的^qn最小化了qp+a∧n(-qa）=qp+alogEPnE-凯恩,特别是，取q=0，并注意到^qn/rn→ ∞ 意味着n的^qn>0，尽管我们有^qnp+alog埃普恩-^qnaYni≤ 0 ==>^qnalog埃普恩-^qnaYni≤ -p、 霍尔德在等式中暗示了地图q 7→ （1/q）日志EPnE-qYn当q>0时增加。现在，让m>0。As^qn/rn→ ∞ 对于足够大的n，我们可以假设^qna≥ Mrn≥ 0.T husMrnlogEPnE-尼恩先生≤ -p、 我们假设{Yn}n∈Nsatis是一个具有缩放{rn}n的LDP∈因此，对于任何M′<M，上述不等式意味着，从Varadhan的积分引理和Holder不等式可知↑∞rnlog埃普恩-马尔尼= supy∈R-嗯- I（y）≤ -因此，对于任何y∈ R-嗯- I（y）≤ -嗯==> -Y-I（y）M′≤ -p、 因此，对于y，I（y）<∞ 我们有，拿M\'↑ ∞, 这是允许的，因为M>0是任意的-Y≤ -p还是y≥ p、 因此，I（y）<∞ 暗指≥ 这意味着I（y）=∞ 但是，这是一个矛盾，因为假设p是I（y）<∞ 对于某些y<p。因此，lim supn↑∞^qn/rn<∞.（第（2）条陈述的证明）：p＞0的情况与p＜0的情况几乎相同。假设lim s upn↑∞^qn/rn≥ 0.设>0，并取一个子序列（仍然标记为n），这样对于n大，我们可以假设a^qn≥ -rn。与（4.15）类似，我们有≤EPn伊恩·奥尔宁EPn[ernYn]。再一次，拿n↑ ∞ 然后呢→ 我们有≤ lim sup→0lim su pn↑∞EPn伊恩·奥尔宁EPn[ernYn]=0，其中最后一个等式后面跟着下面的引理D.4。这是一个矛盾，因为p>0。因此，林苏平↑∞^qn/rn<0。现在，假设p>0使得I（y）<∞ 对于一些y>p。

假设，通过矛盾的方式，lim infn↑∞^qn/rn=-∞ 然后取一个子序列ce（仍然标记为n），例如limn↑∞^qn/rn=-∞. As^qn使qp+a∧n最小(-qa）=qp+alogEPnE-凯恩在R上，取q=0给出（回忆一下^qn<0）：^qnp+alog埃普恩-^qnaYni≤ 0 ==> -^qnalog以弗-^qnaYni≤ p、 地图q 7→ （1/q）日志EPneqYn当q>0时增加。现在，让M>0。As^qn/rn→ -∞ 对于足够大的n，我们可以假设-^qna≥ Mrn≥ 0.T husMrnlogEPn埃姆宁≤ p、 由assu-mption{Yn}n∈Nsatis是一个具有缩放{rn}n的LDP∈因此，对于anyM′<M，上述不等式意味着，从Varadhan的积分引理和Holder的不等式thatlimn↑∞rnlog埃普海姆·尔尼尼= supy∈R嗯- I（y）≤ 因此，对于任何y∈ R、 嗯-I（y）≤ 嗯==> Y-I（y）M′≤ p、 因此，对于y，I（y）<∞ 我们有，拿M\'↑ ∞, 这是允许的，因为M>0是任意的≤ p、 因此，I（y）<∞ 含蓄的≤ 这意味着I（y）=∞ 对于y>p。但是，这是一个矛盾，因为假设p是这样的，I（y）<∞ 对于某些y>p。因此，lim infn↑∞^qn/rn>-∞.5.关于大偏差原则的存在，本节的目的是提供假设4.3适用于随机变量{Yn}n的条件∈N.L大偏差理论是一门发展很好的学科（见[15,18]），证明LDP存在的一个特别著名和广泛使用的结果是G¨artner-Ellis定理（[15，定理2.3.6]），我们现在回顾一下。考虑∧nfrom（4.2）。G¨artner-Ellis定理给出了{Yn}n的LDP∈N（参见定义4.2，其中S=R和ξN=Yn）如果存在序列{rn}N∈N与rn→ ∞ 使得（i）极限Γ（λ）=limn↑∞（1/rn）∧n（λrn）对于每个λ都有很好的定义∈ (-∞, ∞].（ii）0∈ DoΓ，DΓ的内部={λ∈ R：Γ（λ）<∞}.（iii）Γ（·）在R中是较低的半连续，在D中是可区分的oΓ.（iv）DΓ=R或Γ在DΓ，即。

对于λ∈ DoΓ，limλ→u˙Γ(λ)= ∞ 每微升∈ DΓ。事实上，在上述条件下，{Yn}n的自民党∈Nand缩放{rn}n∈n遵循（良好）速率函数I（y）=supλ∈R（λy）- Γ（λ）），Γ（λ）的勒让德-芬切尔变换。此外，当力矩条件（4.5）在上述（ii）之后时，假设4.3成立。然而，我们要强调的是，G–artner-Ellis定理对于THLDP来说只是有效的，而不是必要的。为了加强这一点，我们从第3部分的大市场中给出了两个具体的例子。在第5.1小节中，LDP确实是通过G¨artner-Ellis定理给出的，一切（限制差异价格、最优购买率）都可以明确计算出来。相比之下，在第5小节中。2.即使不能使用G–artner-Ellis定理，LDP仍然成立，并且本文的所有感兴趣的量都可以通过引用示例的特殊结构来显式计算。5.1. 例子：高斯情况。如例3.7所示，假设BiP~ N（γi，δi）所以=∞Xi=n+1BiP~ N∞Xi=n+1，∞Xi=n+1δi！。设置rn=P∞i=n+1δi-1.显然，林→∞rn=∞, 和，f或任意λ∈ R：Γ（λ）=limn↑∞rnlog以弗λrnYni= 画↑∞λ+λP∞i=n+1γirn=λ.（5.1）因此，盖特纳-埃利斯定理暗示{Yn}n∈Nsatis是一个具有速率R和良好速率函数I（y）=supλ的LDP∈Rλy- λ/2= y/2，产生假设4.3。限制差异价格。回想一下（3.11）中的limn↑∞dn=d存在。接下来，回忆一下（3.8）中pn（q）的公式和例3.7中ΓIf的显式公式。把它们放在一起，我们得到（5.2）pn（qn）-dn=-qna∞Xi=n+1qnaδi- qnaγi= -qna∞Xi=n+1δi+∞Xi=n+1γi=-aqn2rn+∞Xi=n+1γi，其中最后一个等式使用rn的定义。

因此，林↑∞（pn（qn）- dn+aqn/（2rn））=0，因此对于任何子序列（仍然标记为n），limn↑∞|qn |/rnexists：（1）（制度1）如果limn↑∞|qn |/rn=0然后limn↑∞pn（qn）=d.（2）（制度2）如果limn↑∞|qn |/rn=l6=0然后limn↑∞pn（qn）=d- （1/2）al.（3）（制度3）如果limn↑∞|qn |/rn=∞ 然后limn↑∞pn（qn）- d=±∞ 如果qn/rn→ ∞.注意，因为M=M*= -∞,\'M=M*= ∞ I（y）=y/2这些结果与命题4.4完全一致。最佳数量。考虑通过购买最佳数量获得qnis的情况：即qn=^qnfrom（3.13）。使用rnit的定义如下（5.3）^qn=rnadn- ~pn+∞Xi=n+1γi！。如果pn- dn=P6=0，则^qn/rn→ -p/a.如果pn=Dn，则为^qn/rn→ 0，尽管|^qn |→ ∞, 如（5.3）所示。备注5.1。对于具有pn的最佳质量对比-dn=p，如^qn/rn→ l=-p/a我们有limn↑∞pn（^qn）=d+p/2.5.2。例子：泊松案例。如例3.8所示，假设BiP~ Poi（βi）使（5.4）Yn=∞Xi=n+1BiP~ 波伊∞Xi=n+1βi！。分配等式成立，因为对于λ∈ R、 EPeλYn= e（eλ）-1） P∞i=n+1βi.设置rn=-日志P∞i=n+1βi注意，rn→ ∞. 一个简单的计算显示（5.5）limn↑∞rnlog以弗λrnYni=(∞ λ > 10 λ ≤ 1.在这种情况下，我们不能用盖特纳-埃利斯定理来证明{Yn}n的LDP的存在性∈N.然而，正如Yn的显式分布所知，{Yn}N的LDP∈Nstill持有。提议5.2。让{βi}i∈Nbe P独立，这样BiP~ 每个i的Poi（βi），以及假设∞i=1βi<∞. 设置rn=-日志P∞i=n+1βi. 然后{Yn}n∈Nfrom（5.4）以{rn}n的比率满足自民党∈Nand良率函数I（y）=(∞ y 6∈ { 0, 1, 2, 3, ...}y y∈ {0, 1, 2, 3, ...}.命题5.2的证明。通过手动计算，结果如下（5.4）所示，YnP~Poi（e）-rn）和hen ce用于任何y∈ {0, 1, 2, 3, . . . } 我们有（5.6）rnlog（P[Yn=y]）=-罗恩-注册护士- Y-rnlog（y！）。真的，让我来看看∈ {0, 1, 2, 3, . . .

}假设 R和y是开放的∈ 答：到（5.6）为止，我们已经知道了↑∞rnlog（P[Yn∈ A] )≥ 林恩芬↑∞rnlog（P[Yn=y]）=- y=-I（y），并且，大偏差下界遵循fr om[15，p.6]。接下来，让我们看一看 R要紧凑。如果∩ {0, 1, 2, ...} =  然后limn↑∞（1/rn）对数（P[Yn∈ A] ）=-∞ = -英菲∈艾（y）。否则，表示是。。。，Ym A中的（有限）非负整数集。我们有↑∞rnlog（P[Yn∈ A] ）=lim supn↑∞rnlogMXm=1P[Yn=ym]！；=最大值=1，。。。，M（林苏平）↑∞rnlog（P[Yn=ym]）；=最大值=1，。。。，M{-ym}=- minm=1，。。。，M{I（ym）}=- 英菲∈AI（y），其中第二个等式来自[15，引理1.2.15]。因此，{Yn}n∈用速率函数I和标度{rn}n解弱LDP方程∈现在，让K>0。对于任何λ>0，我们都有p[Yn≥ K]≤ E-λK+log（EP[eλYn]）=e-λK+e-rn（eλ）-1).在λ>0上最小化右手边，我们可以看到最优^λ满足^λ=rn+log（K）。插入此值并获取限制值↑∞rnlog（P[Yn≥ K] )≤ 林世平↑∞注册护士-（rn+log（K））K+e-rn（ern+log（K）- 1)= -K.阿斯林≥ 0上述不等式意味着{Yn}n∈Nis指数紧，标度为{rn}n∈因此，自民党全体成员紧随其后。备注5.3。请注意，我满足假设4.3中的假设。另外，注意f或λ∈ Rrnlog以弗λrnYni=注册护士eλrn- 1.E-rn=e（λ）-1） rnrn-罗恩-注册护士。由此可知（5.5）成立。因此，假设4.3适用于{Yn}n∈此外，我们还有*= M=-∞, 还有M*=\'M=1。限制差异价格。还记得d=limn吗↑∞存在。正如其中的假设，使用命题4.5，以及I的显式公式，计算表明，对于limn表示的任何子序列（仍然标记为n）↑∞|qn |/rnexists：（1）（制度1）如果limn↑∞|qn |/rn=0然后limn↑∞pn（qn）=d.（2）（制度2）如果limn↑∞|qn |/rn=l6=0↑∞pn（qn）- d=（0 l>-A.∞ l<-a、 （3）（制度3）如果limn↑∞|qn |/rn=∞ 然后（林苏平）↑∞pn（qn）- D≤ 0 qn/rn→ ∞画↑∞pn（qn）- d=∞ qn/rn→ -∞.最佳数量。

考虑通过购买最佳数量获得qn的情况，即qn=^qn来自示例3.8。回想一下我们需要的≥ d-to-en-ure–Pn是无套利的套利n。在这个例子中，我们有（5.7）^qn=-阿洛格~pn-dnP∞i=n+1βi= -核糖核酸-alog（~pn）- dn）。因此，如果pn- dn=p>0然后limn↑∞^qn/rn=-1/a.备注5.4。有趣的是，在这个例子中，对于任何价格dn+p，p>0的最优购买，我们会遇到^qn/rn的边界情况→ -1/a，结果不在第4.5条中。然而，可以使用（5.7）、（3.8）和示例3.8pn（^qn）明确计算pn（^qn）- dn=-^qnalog以弗-^qnaYni=p+d- dn- E-rnrn+对数（p+d- dn）→ 0.此外，可以直接显示如果qn/rn→ ∞ 然后pn（qn）→ d、 附录A.第2节的证明在证明命题2.5 2.8、2.10和L emma 2.9之前，我们首先陈述和证明一些辅助定理，并引入一些符号来简化表述。在本节中，假设2.1、2.2、2.4和2.6都是强制执行的。回想一下假设2.2中的量度Qon GT。通过定义（A.1）Q[A]=E“dQdP扩展Qto FTOGTA#；A.∈ FT.这种扩展类似于[1，定义2.5]中的扩展，在其中被称为“保留鞅的概率度量”。接下来，设置（A.2）Zt=dQdPGt=dQdP英尺；T≤ T.最后，回想一下，M表示FT上等价的局部鞅测度的类别，并且对于任意Q，M的子集相对于P具有有限的相对熵∈ M d e fine（A.3）ZQt=dQdP英尺；T≤ T、 因此，在滥用符号的情况下，我们得到了Zt=ZQt。引理A.1。如果Q∈ 然后通过（A.4）ZQt=ZRT定义R；T≤ T、 因此，ERt燃气轮机= 1为所有t≤ T特别是，Q=Qon GT。证据这个事实在[2，引理4.3]中基本相同的背景下得到了证明。为了方便读者，我们也证明了这一点。