非线性系统局部解的稳定性与解析展开

使用相同的过程M，A，U和V，我们得到mt=Lt+Et[AT]- E[AT]和停止时间τEτ[|AT]- Eτ[AT]|]≤ 2EτZTτ| f′（s，ζ′s）- f（s，ζs）|ds≤ 2（Uτ+Vτ）。通过柯西-施瓦兹不等式，我们从（A3）推导出uτ=EτZTτ| f′（s，ζ′s）- f′（s，ζs）|ds≤ ΘEτZTτ（|ζs|+|ζ′s|）|ζs|ds≤ Θ（kζkHBMO+kζ′kHBMO）kζkHBMOand来自（2.7）thatVτ=EτZTτf′（s，ζs）- f（s，ζs）|ds≤ EτZTτδs |ζs | ds≤ K√ΔζkHBMO。考虑到（2.4），我们得到了2κkAT- E[在]kLBMO≤ Θ（kζkHBMO+kζ′kHBMO）kζkHBMO+k√ΔζkHBMOand sincekζkHBMO=kMkBMO≤ KLkBMO+kAT- E[AT]kLBMO，如果我们选择C=4κ，eC=4κ，估计值（2.11）很容易得出。最后，我们从kMkBMOand kAT的估计值推导出（2.12）（适当的eC=eC（n））- 我们一写信就去看kLBMOasY=E[Ξ]+M- （A）- E[AT]）。备注2.2。假设BSDE（2.1）和（2.6）满足（A1）、（A2）、（A3）和（2.7），并假设（Y，ζ）和（Y′，ζ′）是它们各自的解。如果我们设为，Zt（f′（s，ζs）- f（s，ζs））ds，γt，|ζ′t- ζt|（f′（s，ζ′s）- f′（s，ζs））1{|ζ′t-ζt |>0}，那么我们就不能写了- Yt=Ξ′- Ξ+在- At+ZTtγs|ζ′s- ζs|ds-ZTt（ζ′）- ζ） dB。如果我们观察到局部界（2.8）暗示了该定理第（ii）项的条件，这个线性化参数允许我们从[7]的定理2.2中给出的Lipschitz BSDE的稳定性估计推导（2.10）。我们向裁判f或指出这种联系。备注2.3。关于驱动因子f=f（t，z；ω）的假设（A3）允许我们在不涉及成熟度t的条件（2.5）下得到（2.1）的解的存在性。

如果没有（2.2）（这一事实很容易看出）或者（2.3）被一个较弱的条件（2.13）|f（T，u）取代，这种T-独立性属性就无效- f（t，v）|≤ Θ（|u- v |）（1+| u |+| v |）。下面我们使用与[10]中相同的想法构造一个相关的反例。我们采用一维布朗运动B，将停止时间τ和有界鞅M定义为τ，minT∈ (0, 1 ) :Zt1- SDB=π,Mt，Zt∧τ1 - sdBs，t≥ 我们推导出τ∈ （0,1）和| Mτ|=π/2。标准参数（见[16，引理1.3]）表明（2.14）E经验ahMiτ=1/cos（aπ/2），0≤ a<1，∞, A.≥ 1.我们考虑三维二次BSDE，参数化为a>0和T>1:Yt=a√技术性贸易壁垒-ZTtζdB，Yt=ZTtMτ{s≥1} ζ-sds-ZTtζdB，Yt=ZTt（ζs）+（ζs）ds-ZTtζdB。我们注意到，第二个方程中的驱动力线性依赖于ζ，即（2.13）与Θ=π保持一致，以及（2.15）kΞkLBMO=kA.√TBT，0，0kLBMO=a。如果rζdB和rζdB是[0，T]上的真鞅，那么前两个方程得出ζ=a√T、 ZTζdB=a（T- 1)√TMτ。第三个等式意味着expY+ZTζdB-ZT（ζs）ds= 经验ZT（ζs）ds= 经验a（T）- 1） 2ThMiτ.根据（2.14）和（2.15），ζ的存在性相当于t oa（t-1)√T=kΞkLBMO（T- 1)√T<1。因此，我们的BSDE的可解性取决于纯二次BSDE的kΞklbmoa和T.3解析展开，其中考虑了n维BSDE（3.1）Yt=aΞ+ZTtf（s，ζs）ds-ZTtζdB，t∈ [0，T]，其中终端条件取决于参数a∈ R

如果Ξ和f满足（A2）和（A3）以及|a |<ρ，其中（3.2）ρ，8κΘkLkBMO，那么，根据[18，定理a.1]，只有一个解（Y（a），ζ（a）），使得（3.3）kζ（a）kHBMO≤对于这个解，我们有一个估计：kζ（a）kHBMO≤ 2 | a | kLkBMO。特别是，ζ（a）在HBMOA中收敛到0，因为a接近0。在理论上。2下面我们得到了ζ（a）在a=0的八分之一处的解析展开式，前提是驱动函数f=f（t，z）在z中是纯二次的：f（t，z）=Xijklzijzklαijklt对于某些Rn值可预测有界过程（αijkl）或等价地，（A4）f（t，z）=ef t（t，z，z），其中对于所有的u，v∈ Rn×D地图t 7→ef（t，u，v）是一个Rn值的可预测过程，对于每个t∈ [0，T]地图（u，v）7→ef（t，u，v）是对称的，在Rn×d×Rn×d上是双线性的，并且由一个常数Θ>0来限定。换句话说，ef（t，λu，v+w）=ef（t，λ（v+w），u）=λ（ef（t，u，v）+ef（t，u，w）），ef（t，u，v）≤ |u|v|∈ [0，T]，λ∈ R、 还有u，v，w∈ 注意，（A4）意味着（A3）：|f（t，u）- f（t，v）|=ef（t，u，u）-ef（t，v，v）=ef（t，u）- v、 u+v）≤ Θ（|u- v |）（u+v |）≤ Θ（|u- v |）（|u |+|v |）。条件（A4）自然出现在涉及世博会公用设施的金融应用中，参见[10]、[18]和[15]。为了说明定理3.2，我们需要以下技术结果。引理3.1。假设（A1）和（A4）。对于u，ν∈ HBMother是一个独特的ζ∈ HBMOsuch表示（3.4）（ζ·B）t=EtZTef（s，us，νs）ds- EZTef（s，us，νs）ds.此外，kζkHBMO≤ 2κΘkukHBMOkνkHBMO，其中正常数κ和Θ在（2.4）和（A4）中定义。证据

定义鞅等ZTef（s，us，νs）ds- EZTef（s，us，νs）ds.对于停止时间τ，我们从（A4）和Cauchy-Schwarz不等式推导出τ[|MT- Mτ|]=EτZTτef（s，us，νs）ds- Eτ[ZTτef（s，us，νs）ds]≤ 2EτZTτef（s，us，νs）ds≤ 2ΘEτZTτ|us |νs |ds≤ 2ΘEτZTτ|us | ds1/2EτZTτ|νs | ds1/2.因此由（2.4）kMkBMO≤ κsupτkEτ[|MT- Mτ|]kL∞≤ 2κΘkukHBMOkνkHBMO，结果如下，因为从（A1）来看，M允许一个积分代表离子ζ·B，用于某些唯一的ζ∈ HBMO。引理3.1允许我们定义mapeF:HBMO×HBMO→ HBMOsuchζ=eF（u，ν）由（3.4）给出。这个映射是双线性的（sinceef（t，·，·）是双线性的），并且以2κΘ为界。回想一下（3.2）中的常数ρf和（A2）中的BMO鞅L。定理3.2。假设（A1）、（A2）和（A4）。那么对于|a |<ρ，只有一个解（Y（a），ζ（a））到（3.1）满足（3.3）。它甚至是由权力系列（a）决定的=∞Xk=1Y（k）akandζ（a）=∞对于SBMO和HBMO中的|a |<ρ，Xk分别为1ζ（k），系数为（1）t=Et[Ξ]，t∈ [0，T]，（3.5）ζ（1）·B=L，（3.6）和，对于k≥ ζ（k）=Xl+m=keF（ζ（l），ζ（m）），（3.7）Y（k）t=Xl+m=kEt[ZTtef（s，ζ（l）s，ζ（m）s）ds]，t∈ [0，T]，（3.8）式中，我们对所有加在k上的正整数对（l，m）求和。备注3.3。基于（3.7）-（3.8）和双线性mapeF的定义，利用鞅表示法构造（Y（a），ζ（a））的幂级数展开式。我们参考文献[5]和参考文献中的数值算法来近似布朗运动函数的鞅表示项。理论的证明。2.关于一些引理。引理3.4。假设（A1）、（A2）和（A4）。设（ζ（k））k≥1根据（3.6）-（3.7）给出。然后（ζ（k））k≥1. HBMOand（3.9）∞Xk=1kζ（k）kHBMOρk≤4κΘ.证据每个ζ（k）属于HBMOfollows的说法来自其构造和L emma 3.1。

为了n≥ 1.通过2κΘwe obta insn使用双线性映射ef的有界性定义部分sumsn，nXk=1kζ（k）kHBMOρk- s=nXk=2kζ（k）kHBMOρk≤nXk=2Xl+m=kkeF（ζ（l），ζ（m））kHBMO！ρk≤ 2κΘnXk=2Xl+m=k（kζ（l）kHBMOρl）（kζ（m）kHBMOρm）≤ 2κΘn-1Xl，m=1（kζ（l）kHBMOρl）（kζ（m）kHBMOρm）=2κn-1Xk=1kζ（k）kHBMOρk！=2κΘ（sn）-1).为了验证（3.9），我们使用归纳论点。对于n=1，我们有s=kζ（1）kHBMOρ=ρkLkBMO=8κΘ。如果现在-1.≤ 1/（4κΘ），然后≤ s+2κΘ（sn）-1)≤8κΘ+ 2κΘ4κΘ=4κΘ和（3.9）如下。引理3.5。假设（A1）和（A4）。对于u，ν∈ HBMOthe processXt等ZTtef（s，us，νs）ds, T∈ [0，T]属于SBMOandkXkSBMO≤ 2（1+κ）kukHBMOkνkHBMO。证据半鞅X的正则分解的形式为X=X+M- A、 其中t=Ztef（s，us，νs）ds，X=E[AT]，Mt=Et[AT]- E[AT]。作者：艾玛3。我们有KMKBMO≤ 2κΘkukHBMOkνkHBMO。就像引理3的证明一样。1我们推导出，对于任何停止时间τEτ[ZTτ| dA |]=Eτ[ZTτef（s，us，νs）[ds]≤ ΘkukHBMOkνkhbmo，结果如下。定理3.2的证明。采取行动∈ R使得| a |<ρ。回想一下，（A4）意味着（A3）。[18]中的定理A.1则暗示了满足（3.3）的解ζ（A）的存在性和唯一性。

为了证明（3.10）ζ（a）=β，∞Xk=1ζ（k）ak，我们需要验证β是图F:HBMO的固定点→ HBMOgiven byF（ζ），aζ（1）+eF（ζ，ζ）。为了n≥ 1确定部分和：βn，nXk=1ζ（k）ak。鉴于外稃3。4.将β和βnbelong加工成HBMOandkβ- β-nkHBMO≤∞Xk=n+1kζ（k）kHBMOρk→ 0，n→ ∞.f和引理3.1的双线性度然后yieldkF（β）- F（βn）kHBMO=keF（β，β）-eF（βn，βn）kHBMO=keF（β- βn，β+βn）kHBMO≤ 2κkβ- βnkHBMO（kβkHBMO+kβnkHBMO）→ 0，n→ ∞,为了得出（3.10）的证明，我们只需要证明（3.11）kF（βn）- β-nkHBMO→ 0，n→ ∞.根据f的双线性性和（ζ（k））的构造，我们推导出f（βn）- βn=eF（nXk=1ζ（k）ak，nXk=1ζ（k）ak）-nXk=2ζ（k）ak=nXl，m=1eF（ζ（l），ζ（m））al+m-nXk=2Xl+m=keF（ζ（l），ζ（m））！ak=X1≤l、 m≤nl+m>neF（ζ（l），ζ（m））al+m。利用2κΘ的双线性mapeF的有界性，我们得到了inkF（βn）- β-nkHBMO≤ 2κΘXl+m>nkζ（l）kHBMOkζ（m）kHBMOρl+m≤ 2κΘ∞Xk=1kζ（k）kHBMOρk！-[n/2]Xk=1kζ（k）kHBMOρk（3.11）来自引理3.4。只要我们写下（a）asYt（a）=aEt[Ξ]+Et[ZTtef（s，ζs（a），ζs（a））ds]，就可以很容易地从ζ（a）的展开式中得到Y（a）的幂级数表示及其系数的公式（3.5）和（3.8）∈ [0，T]，并使用f和引理3的双线性性。5.4价格影响模型的应用我们考虑在加里诺、佩德森和波特什曼[11]、德国[12]以及克拉姆科夫和普利多[18]研究的价格影响财务模型。有一位具有代表性的交易商，其对终端财富的偏好由指数效用u（x）=-ae-斧头∈ R.风险规避系数a>0决定了价格影响的强度。尤其是↓ 0我们得到了经典的无影响数学金融模型；见第4节。2.金融市场由一个银行账户和n只股票组成。银行账户支付零利率。

股票支付股息ψ=（ψi）i=1，。。。，自然成熟；每个ψ都是一个随机变量。虽然终端股票的价格总是由ψ给出，它们的中间价值是由外生需求过程γ通过以下均衡机制影响的石[0，T）区域。定义4.1.具有RNI值的可预测过程γ称为需求。如果存在n维半鞅，且终端价值为ST=ψ，则需求γ是可行的，使得定价概率测量Q由DQDP，U′定义（RTγdS）E[U′（RTγdS）]=E-第5条-aRTγdS]和S以及随机积分γ·S是Q下的统一可积鞅。引理2.2在[18]中阐明了定义4.1的经济意义。它表明，需求γ是可行的，当且仅当它为以股票价格S=S（γ）交易的交易商定义股票的最优数量时。在（A1）中，对于伴随着股票价格S和定价测度Q的可行需求γ，f有唯一的过程α∈ H（Rd）和σ∈H（Rn×d），分别称为风险的市场价格和波动率，即dqdp=e-RTαdB-RT |αt | dt，St=S+ZtσSαsds+ZtσdB。[18]中的定理3.1用二次BSDE系统的解刻画了S，α，a和σ。

更准确地说，它表明需求γ是可行的，并且伴随着股票价格S当且仅当存在一维半鞅R和可预测过程η∈ H（Rd）和θ∈ H（Rn×d），这样，对于每t∈ [0，T]，aRt=ZTt（|θ）*sγs|- |ηs |）ds-ZTtηdb，（4.1）aSt=aψ-ZTtθs（ηs+θ）*sγs）ds-ZTtθdB，（4.2），这样随机指数Z，E(-(η + θ*γ） 过程ZS和Z（γ·S）是一致可积鞅。在这种情况下，Z是定价测度Q的密度过程，风险α的市场价格和波动率σ由α=η+θ给出*γ、 （4.3）σ=θ/a。（4.4）辅助过程R在时间t的值可以写成rt，U-1.EtUZTtγdS= -阿洛格埃斯-aRTtγdSi,因此代表了交易商确定的剩余收益的等价值。备注4.2。来自定义4。1我们推断股票价格S=S（γ，a，ψ）对可行需求γ、风险规避系数和股息ψ的依赖性具有以下同质性：对于b>0，S（bγ，a，ψ）=S（γ，ba，ψ）=bS（γ，a，bψ）。这使得风险α=α（γ，a，ψ）的市场价格和波动率σ=σ（γ，a，ψ）：α（bγ，a，ψ）=α（γ，ba，ψ）=α（γ，a，bψ），σ（bγ，a，ψ）=σ（γ，ba，ψ）=bσ（γ，a，bψ）的市场价格具有相似的性质。（4.5）4.1关于需求γ的稳定性如果需求γ的形式为：γ=m，则称之为简单-1Xi=0θi（τi，τi+1），其中0=τ<τ<···<τm=T是停止时间，θiis是一个Fτi可测量的r和om变量，其值为Rn，i=0，…，m-1.[12]中的定理1表明，只要红利ψ=（ψi）具有所有指数矩，则每个有界单需求γ都是可行的。此外，在这种情况下，价格过程S=S（γ）是唯一的，并且由反向归纳法显式构造。对于一般（非简单）需求，情况更复杂。

如[18，命题4.3]所示，即使对于有界红利ψ和需求γ，价格S=S（γ）的存在性或唯一性也可能失效。根据[18，定理4.1]，在正的一面，有一个常数c=c（n）>0（仅取决于股票数量n），因此如果（4.6）akγkH∞kψ- E[ψ]kLBMO≤ c、 那么价格S=S（γ）存在并且是唯一的。下面的定理表明，在（4.6）下，价格S=S（γ）在需求γ的微小变化下是稳定的。特别是，它们可以很好地近似于源自简单需求的价格。定理4.3。假设（A1），让p>1。有一个常数c=c（n，p）>0，如果（γm）m≥1和γ是H的元素∞（Rn）使（4.7）akγmkH∞kψ- E[ψ]kLBMO≤ c、 m≥ 安第斯山脉1号ZT |γmt- γt|dt→ 0米→ ∞,然后（γm）m≥1和γ是可行的dem和相应的股票价格（Sm）m≥1和S，挥发性（σm）m≥1和σ，以及风险的市场价格（αm）m≥1和α收敛为（4.8）kSm- SkSp+kσm- σkHp+kαm- αkHp→ 0米→ ∞.证据观察风险和波动率的市场价格的自相似关系（4.5），我们可以假设A=1≥ kγmkH∞, M≥ 1.显然，γ满足（4.6）中的常数c与（4.7）中的常数c相同。根据[18，定理4.1]，我们可以选择c=c（n），这样需求（γm）和γ是可行的，并且伴随着独特的股票价格。使用定理2。1和BSD特征（4.1）–（4.4）我们也可以选择c=c（n，p），所以KSM-SkSp+kσm-σkHp+kαm-αkHp≤ CkZT |γmt- γt |（|αt |+|σt |）dtklpf对于某些C=C（n，p）。这就得到了（4.8）的支配收敛定理。备注4.4。利用定理2.1，我们可以证明BMO中价格（Sm）及其局部特征（αm，σm）的一个类似收敛结果，前提是kγm- γkH∞→ 0

然而，重要的是要强调的是，对于形式k·kH，SimpleDemand在有界需求空间中不是稠密的∞.4.2小风险规避的渐近展开随着风险规避系数a接近零，价格影响消失，我们得到了一个经典的数学金融模型。理论4。5下文提供了a=0附近的风险波动率和市场价格的分析扩展。这些展开式中的项是通过鞅表示递归计算的，因此非常明确。我们写z∈ R（n+1）×mas z=（z，z）带z∈ 曼纳德z∈ Rn×m，（n+1）×m维矩阵在其第一个和第二个图上的分解；以下m=1或d，是（A1）的基本布朗运动的维数。对于向量w∈ 考虑双线性映射：g（·；w）=（g，g）（·；w）：R（n+1）×d×R（n+1）×d→ Rn+1根据R（n+1）×dasg（u，v；w），（hu）定义为u=（u，u）和v=（v，v）*w、 五*wi- 胡，六）g（u，v；w），-（uv+vu+）（uv*+ 似曾相识*)w） 式中，hx，yi表示x，y的标量积∈ Rm。以γ为例∈ H∞（Rn）。外稃3。1表明对于HBMO（R（n+1）×d）中的u和ν，存在唯一的ζ∈ HBMO（R（n+1）×d）使得（4.9）ZtζdB=Et[ZTg（us，νs；γs）ds]- E[ZTg（us，νs；γs）ds]。因此，我们可以定义一个双线性mapG（·，·；γ）：HBMO（R（n+1）×d）×HBMO（R（n+1）×d）→ HBMO（R（n+1）×d），ζ=G（u，ν；γ）由（4.9）给出。用S（0）和σ（0）表示未受干扰股票的价格和波动率，对应于γ=0:St（0）=Et[ψ]=S（0）+Ztσ（0）dB，t∈ [0，T]。定理4.5。假设（A1）和0<kψ- E[ψ]kLBMO<∞.有一个常数c=c（n）>0，如果γ∈ H∞（Rn），γ6=0，风险厌恶系数（4.10）0<a<ρ，ckγkH∞kψ- 那么γ是一个可行的需求。