一般有界渐近成熟

（3.34）那么，对于每个固定的b∈ (0, ∞), 使用（3.34），（3.24）和Caucy-Schwarz我们可以写出（κ，t）≤ ebκ（t）P（η<Xt≤ bκ（t））+E[eXt{Xt>bκ（t）}]≤ ebκ（t）-logt（1+o（1））+E[e2Xt]P（Xt>bκ（t））~ E-logt（1+o（1））+Ce-f（b）logt（1+o（1）），在最后一步中，我们使用了E[e2Xt]≤ 对于某些常数C，自E[e2Xt]→ 1 ast→ 0比（3.20）。通过（3.23），我们可以将b放大到f（b）>2，从而得到c（κ，t）≤E-logt（1+o（1）），对于每一个ε>0，我们可以选择一个足够小的>0，使得f（a）<1+ε，因此c（κ，t）≥ E-（1+ε）logt（1+o（1））乘以（3.33）。总之，证明了关系式（3.32）。让我们继续讨论t政权→ 0和κ~ aκ（t）对于某些a∈ (0, ∞). 关系式（3.24）表明，这样一个（κ，t）家族满足假设2.2，I+（%）=f（%a）/f（a）（我们强调∈ (0, ∞) 在整个论证过程中都是固定的，因此I+可以依赖于a）。由于力矩条件（2.9）明显满足（3.20），我们可以应用定理2.3：关系式（2.18）和（3.24）证明（3.27）的第三行。最后，还有待证明（3.28），因此我们假设→ 0和κ κ（t），ort→\'t∈ (0, ∞) 和κ→ ∞. 关系式（3.25）表明假设2.2适用于I+（%）=%。根据定理2.3，关系式（2.18）得出（3.28），完成了定理3.4的证明。16弗朗西斯科·卡拉文纳和雅格布·科尔贝特3。3.赫斯顿模型。给定参数λ，θ，η，σ∈ (0, ∞) 和%∈ [-1,1]，theHeston模型[H93]是一个随机波动率模型（St）t≥0由以下SDE定义dSt=St√VtdWt，dVt=-λ（Vt）- θ）dt+η√VtdWt，X=0，V=σ，其中（Wt）t≥0和（Wt）t≥0是标准布朗运动，具有hdWt，dWti=%dt。请注意，STT显示瞬间爆炸，即e[SpT]=∞ 对于足够大的p>1。

总的来说，对于任何固定的≥ 0可以定义爆炸时刻p*（t） asp*（t） ：=sup{p>0:E[Spt]<∞},所以E[Spt]<∞ 对于p<p*（t） 而E[Spt]=∞ 对于p>p*（t） （在赫斯顿的模型中，有一个E[Spt]=∞ 也适用于p=p*（t） ）。爆炸力矩p的行为*（t） 在下面的引理中描述，证明如下。引理3.5。如果%=-1，然后是p*（t） =+∞ 每一个t≥ 0.如果%>-1，然后是p*（t）∈ (1, +∞) 每t>0。而且↓ 0p*（t）~Ct，其中C=C（%，η）：=ηp1- %arctanp1- %%+ π1%<0!如果%<1η如果%=1。（3.35）隐含波动率σimp（κ，t）的渐近行为在大走向（固定期限）和小走向（固定期限）的情况下是已知的在[BF08]中，Benaim和Friz表明，对于固定的t>0，当κ→ +∞σimp（κ，t）~κ↑∞√2κ√T聚丙烯*（t）-聚丙烯*（t）- 1., （3.36）基于估算（参见[AP07]）- 对数P（Xt>κ）~κ↑∞P*（t） κ。（3.37）o在[FJ09]中，Forde和Jacquier已经证明，对于任何固定的κ>0，作为↓ 0σimp（κ，t）~T↓0κp2∧*（κ） ，（3.38）式中∧*（·）是函数∧：R的勒让德变换+→ R+∪ {∞} 由∧（p）给出：=σpηp1- %婴儿床ηpp1- %- %如果p<C，∞ 如果p≥ C，（3.39），其中C是（3.35）中的常数。他们的分析基于这一估计- 对数P（Xt≥ κ) ~T↓0t∧*（κ） ，（3.40）有界成熟度的一般微笑渐近17，通过显示对数价格（Xt）t≥0在赫斯顿模型中，满足了大偏差原则↓ 0，速率为1/t，良好速率函数∧*(κ).我们首先注意到，渐近性（3.36）和（3.38）很容易遵循定理2.3，将估计（3.37）和（3.40）分别插入关系（2.15）和（2.18）中。我们还观察到，估计值（3.36）和（3.38）在以下意义上是匹配的：如果我们接受极限t→ （3.36）右侧的0（即我们首先让κ↑ +∞ 然后是t↓ 在σimp（κ，t））中，我们得到（3.36）~T↓0√2κ√tpp*（t）~√2κ√tqCt=√κ√2 C。

（3.41）另一方面，如果我们取极限κ↑ ∞ （3.38）的右侧（即we Firstlet↓ 然后是κ↑ +∞ 在σimp（κ，t））中，自∧*(κ) ~ Cκ，+我们得到（3.38）~κ↑+∞κ√2Cκ=√κ√2 C，（3.42）与（3.41）一致。类似地，估计值（3.37）和（3.40）也相匹配。然后很自然地推测，对于（κ，t）的任何值族，κ↑ +∞和t↓ 0，一个人应该有log P（Xt≥ κ) ~ -Cκt（3.43），其中C是（3.35）中的常数。如果成立，应用定理2.3，关系式（2.18）得出σimp（κ，t）~√κ√2c，（3.44）提供（3.36）和（3.38）之间的平滑插值。备注3.6（赫斯顿模型的表面渐近性）。如果（3.44）适用于（κ，t）和κ的任何家族→ ∞ 和t→ 因此，对于每一个ε>0，就存在sm=M（ε）∈ (0, ∞) 使以下不平等现象成立：1.- ε√κ√2 C≤ σimp（κ，t）≤1 + ε√κ√2c，对于AT，M:={0<t区域中的所有（κ，t）≤M、 κ>M}，因为它很容易被矛盾所跟随（类似的论点参见备注3.2）。引理3.5的证明。给定任意数p>1，我们定义爆炸时间T*（p） 阿斯特*（p） ：=sup{t>0:E[Spt]<∞}.注意，如果*（p） =t∈ (0, +∞) 然后p*（t） =p。

根据[AP07]（另见[FK09]）T*（p）=+∞ 如果（p）≥ 0，χ（p）<0，√（p） 日志χ（p）+√（p） χ（p）-√（p）如果（p）≥ 0，χ（p）>0，√-（p）阿尔克坦√-（p） χ（p）+π1χ（p）<0如果（p） <0，（3.45），其中χ（p）：=%ηp- λ , （p） ：=χ（p）- η（p- p） 这是因为∧（p）↑ +∞ 作为p↑ C、 因此∧的斜率*（κ） 收敛到C作为κ→ ∞.18 FRANCESCO CARAVENNA和JACOPO Corbettao观察到如果%=-1，那么χ（p）=-ηp-λ<0和（p） =λ+p2ηλ + η≥ 0，whit*（p） =+∞ 对于每一个p>1，或相当于p*（t） =+∞ 每t>0。另一方面，自从（p） =%ηp+λ- 2η%λp- ηp+ηp=ηp（%）- 1） +p（η）- 2η%λ）+λ，我们观察到如果%6=1，那么p<0为p→ +∞, 哪一个最简单*（p）~P↑∞p（ηp1）- %)arctanηpp1- %%ηp+π1%<0=pηp1- %arctanp1- %%+ π1%<0!.（3.46）特别是，这会得出结论，如果|%| 6=1，那么*（t）~T↓0CTW在（3.35）中定义了C。还有待研究%=1的情况，其中每一个p的χ（p）>0。我们有两种可能性：如果η>2λ，那么（p） p时>0→ +∞, 因此以（3.45）T*（p）~P↑∞pp（η+2ηλ）log1+2pp（η+2ηλ）ηp-pp（η+2ηλ）！~ηp.另一方面，如果η<2λ，那么（p） p时<0→ ∞ 索特*（p）~P↑∞pp（2ηλ）- η） arctanpp（2ηλ）- η） pη！~ηp.最后，如果η=2λ，（p） =λ，和soT*（p） =λlog1+2ληp- 2λ~P↑∞ηp。在所有情况下，我们都得到p*（t）~T↓0ηt，符合（3.35）。4.从期权价格到隐含波动率在这一节我们证明了定理2.9。我们从Black&Scholes模型和相关数量的背景开始。设Z为标准高斯随机变量，用φ和Φ表示其密度和分布函数：φ（Z）：=P（Z）∈ dz）dz=e-Z√2π，Φ（z）：=P（z≤ z） =Zz-∞φ（t）dt。(4.1)4.1. 米尔斯比率。米尔斯比率U:R→ (0, ∞) 定义为u（z）：=1- Φ（z）φ（z）=Φ(-z） φ（z），Z∈ R（4.2）下一个引理总结了将在续集中使用的U的主要性质。引理4.1。

函数U是光滑的、严格递减的、严格凸的且满足（z）~ -扎斯↑ ∞. （4.3）成熟度有界的一般微笑渐近性。因为Φ（z）=φ（z）和φ是解析函数，所以U也是解析函数。自φ（z）=-zφ（z），一个得到su（z）=zU（z）- 1，U（z）=U（z）+zU（z）=（1+z）U（z）- Z（4.4）回顾U（z）>0，这些关系已经表明，对于allz，U（z）<0和U（z）>0≤ 0.对于z>0，以下边界保持[S54，等式（19）]，[P01，Th.1.5]：zz+1=z+z<U（z）<z+z+z=z+2z+3z，z>0。（4.5）施用（4.4）产生U（z）>0和-1+z<U（z）<-3+z表示所有z>0，因此为（4.3）。我们记得光滑函数D:（0，∞) → (0, ∞) 在（2.32）中引入。正弦（z）=-zφ（z）<0，（4.6）D（·）是严格递减的双射（注意limz↓0D（z）=∞ 还有林茨→∞D（z）=0）。它的反比是D-1: (0, ∞) → (0, ∞) 然后是平滑的，严格来说也是递减的。写入d（z）=φ（z）（z）- U（z）），然后是（4.5）thatz- U（z）~扎斯↑ ∞, 亨塞德（z）~zφ（z）~E-Z√2πzas z↑ ∞, D（z）~zφ（0）=√2πzas z↓ 0 .很容易得出结论，D-1.（·）满意度（2.33）。4.2。布莱克和斯科尔斯。让（Bt）t≥0是标准的布朗运动。Black&Scholes模型由风险中性原木价格（Xt:=σBt）确定-σt）t≥0，其中参数σ∈ (0, ∞) 代表波动性。Black&Scholes公式计算正常化欧洲看涨期权的价格为CBS（κ，σ）√t） 式中，κ是对数走向，t是成熟度，我们定义b（κ，v）：=E[（evZ-五、- eκ）+]=（（1）- eκ）+如果v=0，Φ（d）- eκΦ（d）如果v>0，（4.7），其中Φ在（4.1）中定义，我们设置（d=d（κ，v）：=-κv+v，d=d（κ，v）：=-κv-v、 所以（d=d- v，d=d+2κ。（4.8）注意CBS（κ，v）是（κ，v）的连续函数。由于eκφ（d）=φ（d），对于所有v>0的情况，很容易计算CBS（κ，v）v=φ（d）>0，CBS（κ，v）κ= -eκΦ（d）<0，因此CBS（κ，v）在v中严格增加，在κ中严格减少（见图2）。

它还直接检查了所有κ∈ R和v≥ 0一个hasbs（κ，v）=1- eκ+eκCBS(-κ、 v）。（4.9）在附录A.4中证明的以下关键命题中，我们表明当κ≥ 0 Black&Scholes call price CBS（κ，v）在v→ 0或d→ -∞ （或者，更一般地说，在这两种状态的组合中，当min{d，log v}→ -∞). Wealso还提供了每个区域的CBS（κ，v）的精确估计（对数CBS（κ，v）的较弱估计可以从定理2.3和2.4中推导出来）。20 FRANCESCO Caravena和JACOPO CORBETTAFigure 2。（κ，v）7的绘图→ CBS（κ，v），代表κ∈ [-10,10]和v∈ [0, 4].提议4.2。对于（κ，v）和κ的任何值族≥ 0，v>0，一个hasCBS（κ，v）→ 0当且仅当min{d，log v}→ -∞, （4.10）也就是CBS（κ，v）→ 0当且仅当从（κ，v）的任何子序列中可以提取asub子序列→ -∞ 或v→ 0.此外：o如果d=-κv+v→ -∞, 然后是cbs（κ，v）~ φ（d）v-d(-d+v）；（4.11）o如果v→ 0，然后是cbs（κ，v）~ -U(-d） φ（d）v；其中φ（·）和U（·）在（4.1）和（4.2）中定义。定理2.9的证明。因为函数v7→ CBS（κ，v）是[0]的双射，∞)至[（1）- eκ+，1），它允许一个反函数C7→ 由CBS（κ，VBS（κ，c））定义的VBS（κ，c））=c。（4.13）通过构造，VBS（κ，·）是从[（1）严格增加的双射-eκ+，1）到[0，∞). 我们将主要关注κ一案≥ 其中VBS（κ，·）：[0,1）→ [0, ∞).考虑一个风险中性对数价格（Xt）为t的任意模型≥设c（κ，t）为标准化欧式看涨期权的对应价格，参见（2.1）。从z 7开始→ （z）- eκ）+isa凸函数，一个有c（κ，t）≥ （E[eXt]-eκ）+=（1-eκ）+由詹森不等式；自（z）-eκ）+<z+，其中c（κ，t）<e[eXt]=1。因此，根据（4.13），我们在隐含波动率σimp（κ，t）（定义见§2.1）和VBS（κ，c（κ，t））之间有以下关系：σimp（κ，t）：=VBS（κ，c（κ，t））√T

（4.14）关系（4.14）允许用函数VBS更透明地重新表述定理2.9。受（2.2）的启发，我们将p=p（κ，c）定义为p:=c- (1 - eκ）。（4.15）有界成熟度的一般微笑渐近解考虑（κ，c）的任意值族，使得≥ 0，c∈ （0,1）和c→ 0或κ≤ 0，p∈ （0,1）和p→ 0（与（4.15）中的p相同）。然后，根据（4.14），我们可以写出以下内容：o如果κ的界远离零（lim-inf |κ|>0），关系式（2.37）相当于Vbs（κ，c）~p2(-对数c+κ）-p2(-log c）如果κ>0，p2(-日志（p）-p2(-如果κ<0，则记录p+κ）。（4.16）o如果κ的边界远离整体（lim sup|κ<∞), 关系式（2.38）和（2.39）相当于Vbs（κ，c）~κD-1（cκ）如果κ>0，√2πc=√2πp如果κ=0，-κD-1（p-κ） 如果κ<0，（4.17），其中D-1（·）是（2.32）和（2.33）中定义的函数D（·）的反比。定理2.9的证明现在简化为证明关系式（4.16）和（4.17）。我们假设κ≥ 0，通过对称参数。演绎案例κ≤ 案例κ中的0≥ 0.回顾（4.9）和（4.13），对于所有κ∈ R与C∈ [(1 - 我们有VBS（κ，c）=VBS(-κ, 1 - E-κ+e-κc）=VBS(-κ、 e-κp），其中p在（4.15）中定义。因此，在κ的情况下≤ 0，将κ替换为-κ与cby-e-κp在（4.16）的第一行，我们得到（4.16）的第二行。在（4.17）yieldsVBS（κ，c）的第一行执行相同的替换~-κD-1（e）-κp-κ） ，这与第三行（4.17）略有不同。然而，这种差异只是显而易见的，因为我们认为-1（e）-κp-κ) ~ D-1（p-κ). 检查如下：如果κ→ 0，然后是e-κp-κ~P-κ; 如果κ→ κ ∈ (-∞, 0），因为p→ 假设为0，则（2.33）中的拟合结果为D-1（e）-κp-κ) ~问题2(-对数（p-κ) + κ) ~问题2(-对数（p-κ)) ~ D-1（p-κ） ，视需要而定。

（有关更多详细信息，请参见以下（4.26）行。）κ的（4.16）证明≥ 0.我们将（κ，c）的一系列值与c结合起来→ 0和κ以零为界，比如说κ≥ 对于某些固定的δ>0。我们的目标是证明这个关系（4.16）成立。如果我们设置v:=VBS（κ，c），通过定义（4.13），我们得到CBS（κ，v）=c→ 0.让我们首先展示d:=-κv+v→ -∞. 根据命题4.2，CBS（κ，v）→ 0表示最小值{d，log v}→ -∞, 这意味着（κ，c）的每个值的子序列都允许d→ ∞ 或v→ 关键是v→ 0d→ -∞, 因为d≤ -δv+v（回想一下κ≥ δ). 因此d→ -∞ 沿着每个子序列，这意味着→ -∞ 沿着（κ，c）的整个家族。自从d→ -∞, 我们可以应用关系式（4.11）。记录这一关系的两面，回顾φ的定义（4.1）和CBS（κ，v）=c的事实，我们可以写出c~ -D- 日志√2π+logv-d(-d+v）。（4.18）22 FRANCESCO CARAVENNA和JACOPO CORBETTAWe现在表明，右边的最后一个任期是o（d），因此可以受益。注意-D≥ 1最终，因为d→ -∞, 亨塞洛夫-d(-d+v）≤ logv1+v≤ 0 .从第7节开始→-d+Vv正在下降-d> 0，在案例v中≥ -完成了logv-d(-d+v）= 日志-d(-d+v）v≤ 日志(-2d）=o（d）。另一方面，回顾d≤ -δv+v，在v<-完成了≤ -δv-d、 可以重写为v≥2δ-3和v一起-迪耶兹logv-d(-d+v）= 日志-d(-d+v）v≤ 日志-d(-D- d） 2δ-3d=原木3(-d） 2δ= o（d）。总之，（4.18）得出对数c~ -d、 即存在γ=γ（κ，c）→ 0，使得（1+γ）log c=-d、 从日志c开始≤ 我们可以写出（1+γ）| log c |=d=κv+v- κ.这是v中的二次方程，其解（均为正）为v=2κ“1+2（1+γ）| log c |κ±2s（1+γ）|对数c |κ+（1+γ）| log c |κ#。

（4.19）自d→ -∞, 最终，一个人的d<0：因为d=-κv+v=-2v(√2κ -v）(√2κ+v），因此v<2κ，选择-” （4.19）中的溶液。取（4.19）两边的平方根，并回忆v=VBS（κ，c）得到等式VBS（κ，c）=p2（1+γ）| log c |+2κ-p2（1+γ）| log c |，（4.20），当一个人检查（4.20）两侧的平方时。最后，自从γ→ 0，关系式（4.20）得出（4.16）是非常直观的。为了证明这一事实，我们观察到通过（4.20）我们可以写出evbs（κ，c）p2 | log c |+2κ-p2 | log c |=fγκ| log c|, （4.21）其中固定γ>-1我们定义了函数fγ：[0，∞) → (0, ∞) byfγ（x）：=√1+γ+x-√1 + γ√1+x- 1对于x>0，fγ（0）：=limx↓0fγ（x）=√1 + γ.通过直接计算，当γ>0（分别为γ<0）时，对于allx>0，一个有ddxfγ（x）>0（分别为<0）。自从limx→+∞fγ（x）=1，每x≥ 0一个有fγ（0）≤ fγ（x）≤ 1如果γ>0，而1≤ fγ（x）≤ fγ（0）如果γ<0；因此，对于任何γ，p1+|γ|≤ fγ（x）≤p1- |γ|, 十、≥ 0，产生limγ→0fγ（x）=1均匀覆盖x≥ 0.通过（4.21）证明了关系式（4.16）。κ的有界成熟度的一般微笑渐近性证明（4.17）≥ 0.我们现在将（κ，c）的一系列值与c结合起来→ 0和κ边界距离单位，比如0≤ κ ≤ M代表一些固定的M∈ (0, ∞), 我们证明了关系式（4.17）。我们设置v:=VBS（κ，c），使CBS（κ，v）=c→ 0，参见（4.13）。（注意v>0，因为假设c>0。）应用命题4.2，我们有min{d，log v}→ -∞, i、 e.艾瑟德→ -∞ 或v→ 沿子序列0。然而，这一次，我感到失望→ -∞ 暗示v→ 0，因为d≥ -Mv+v（回想一下κ≤ M） ，这意味着→ 0沿着（κ，c）的整个给定值族。自从v→ 0，关系（4.12）yieldsc~ -U(-d） φ（d）v。（4.22）让我们关注美国(-d） ：回顾d=-κv+vand v→ 0，我们首先表明(-d）~ Uκv.

（4.23）通过后继论证，我们可以假设κv→ % ∈ [0, ∞], 我们记得v→ 0:o如果%<∞, U(-d） U（κv）收敛到U（%）6=0，因此U(-d） /U（κv）→ 1;o 如果%=∞, -DκD向∞ （4.3）产生U(-d） /U（κv）~ （κv）/(-d）→ 1.已完成（4.23）的证明。接下来我们观察到，同样是v→ 0,φ(-d）=√2πe-d=√2πe-（κv+v）-κ)~ eκ√2πe-κv=eκφκv.因此，我们可以重写（4.22）asc~ -Uκvφκveκv。（4.24）如果κ=0，回忆（4.4）我们得到c~ φ（0）v=√2πv，是（4.17）的第二行。接下来我们假设κ>0。通过（4.4），（4.2）和（2.32），对于所有z>0，我们可以写-U（z）φ（z）=-φ（z）祖（z）- 1.= φ（z）- zΦ(-z） =zD（z），因此（4.24）可以重写为asc~ κeκDκv, i、 e.（1+γ）c=κeκDκv,对于某些γ=γ（κ，c）→ 回顾v=VBS（κ，c），我们已经证明了VBS（κ，c）=κD-1.（1+γ）cκeκ. 我们现在声称-1.（1+γ）cκeκ~ D-1.cκ. （4.26）通过后继论证，我们可以假设Cκ→ η ∈ [0, ∞] 和κ→ κ ∈ [0，M]。o如果η∈ (0, ∞), 然后‘κ=0（回想一下c→ 因此（1+γ）c/（κeκ）→ η; 然后（4.26）的两边收敛到D-1(η) ∈ (0, ∞), 因此，它们的比率收敛到1.o如果η=∞, 然后又是‘κ=0，因此是（1+γ）c/（κeκ）→ ∞: 自从D-1（y）~√2πy-1asy→ ∞, 参考（2.33），紧接着（4.26）成立。24 FRANCESCO CARAVENNA和JACOPO CORBETTAo如果η=0，那么（1+γ）c/（κeκ）→ 0:D之后-1（y）~p2 | log y | as y→ 0，参见（2.33），D-1.（1+γ）cκeκ~slogcκ+log1+γeκ~slogcκ,因为| logcκ|→ ∞ 而| log[（1+γ）/eκ]|→κ ∈ [0，M]，因此（4.26）成立。在证明了（4.26）之后，我们可以将其插入（4.25），精确地获得（4.17）的第一行。这就完成了定理2.9的证明。5.从尾部概率到期权价格在本节中，我们证明定理2.3、2.4和2.7。