一般有界渐近成熟

然后- a） +]=σE“N（0，1）-aσ+#= σZ∞aσxe-十、√2πdx-aσZ∞aσe-十、√2πdx= σφaσ-一个-aσ!= Daσ,（A.4）我们使用了N（0，1）随机变量的密度φ和分布函数Φ，参见（4.1），以及D的定义（2.32）。回顾（2.35），我们得到了C+（A）=σ。A.3。引理3.3的证明。我们从一些估计开始。接下来是（3.20），xtd=σWt+ut+NtXi=1yi，带Yi~ N（α，δ）和Nt~ P ois（λt）（在Nt=0的情况下，我们同意和等于0）。受切尔诺夫的约束——P（Nt>M）≤ （eλtM）M，henceP（Xt>κ）=e-λtMXn=0PN（ut+Nα，σt+Nδ）>κ（λt）nn！+OeλtMM（A.5）其中N（A，b）表示均值为A、方差为b的高斯随机变量。我们重新调用标准估计对数P（N（0，1）>x）~ -xas x→ ∞. 然后我们可以写：如果t从上面有界（例如t→\'t∈ [0, ∞)) 和κ→ ∞,对数PN（ut+Nα，σt+Nδ）>κ~ -κ2（σt+nδ）。（A.6）特别是，我们从（A.5）中得到，对于固定的M∈ N、 P（Xt>κ）~ E-κ2σt（1+o（1））+MXn=1e-κ2（σt+nδ）（1+o（1））（λt）nn！+OeλtMM≤ E-κ2σt（1+o（1））+M maxn=1，。。。，我-κ2nδ+n对数λt+logn！（1+o（1））+oeλtMM（A.7）对于下限，将（A.5）中的和限制为单个值n∈ N、 我们得到p（Xt>κ）≥ E-κ2（σt+nδ）+n logλt+logn！（1+o（1））。（A.8）+事实上，σWt的分布/√对于所有的t>0，t是N（0，σ）应用马尔可夫不等式P（Nt>M）≤ E-MαE[EαNt]=E-Mα+λt（eα）-1） 并在α上进行优化≥ 0.有界成熟度的一般微笑渐近33我们现在证明关系（3.24）。我们将一个（κ，t）家族与t→ 0和κ~ aκ（t）表示某物∈ (0, ∞). 为了得到一个上限，我们去掉logn！在（A.7）中（自e-登录n！≤ 1） 和plugκ~ aqlogt，gettingP（Xt>κ）≤ ta2σt（1+o（1））+M max=1，。。。，Mta2nδ+n（1+o（1））+oeλtMM（A.9）让我们用“na”来表示∈ N的值∈ N达到f（a）定义（3.22）中的最小值。

选择M∈ N足够大，所以M≥ 如果M>eλ和M>f（A），那么（A.9）中的中间项是tf（A）（1+o（1））并且是主要项，因此第三项是 tf（a）。对于一个类似的下界，我们应用（A.8）和n=`na:sinceσt+nδ~ nδ（回想一下t→ 0），我们得到p（Xt>κ）≥ E-原木！tf（a）（1+o（1））=（常数）tf（a）（1+o（1））。因此，我们证明了关系（3.24）。还有待证明关系（3.25）。我们将一个（κ，t）家族→ 0和κ κ（t）或t→\'t∈ (0, ∞) 和κ→ ∞. 自从n！≥ （n/e）n，κ2nδ+n对数λt+logn！≥κ2nδ+n logneλt≥ infx≥0κ2δx+x logxeλt.通过直接计算，最大值为¨x~κδp2 logκt，（A.10）产生κ2nδ+n logλt+logn！≥κδr2 logκt1+o（1）.现在我们在（A.7）中选择M=b3\'-xc，所以p（Xt>κ）≤ E-κ2σt（1+o（1））+3\'-xe-κδ√2 logκt（1+o（1））+oλt′x3\'x！≤ E-κ2σt（1+o（1））+e-κδ√2 logκt（1+o（1））+oE-3〃x对数〃xλt, （A.11）我们在指数中的o（1）项中吸收了3’x，因为log（3’x）=o（κ）=o（κ）=o（κplogκt）（A.10）（回想一下κ→ ∞). 对（A.11）的主要贡献由中间项给出（注意，3’x log’xλt~κδp2 logκt，总是通过（A.10））。对于相应的下界，我们应用（A.8）和n=b\'-xc:since log n！~ n log（n/e）和σt+b′xcδ~ b\'xcδ（因为\'x→ ∞), 我们得到p（Xt>κ）≥ E-κ2δb\'xc+b\'xclogλt+logb\'xc！（1+o（1））=e-κ2δb\'xc+b\'xclogb\'xceλt（1+o（1））=e-κδ√2 logκt（1+o（1））。因此，我们展示了log P（Xt>κ）~ -κδr2 logκt，完成关系式（3.25）和引理3.3的证明。34弗朗西斯科·卡拉文纳和雅格布·科尔贝塔。4.命题4.2的证明。让我们首先证明（4.11）和（4.12）。由于φ（d）eκ=φ（d），参见（4.1）和（4.8），回顾（4.2），我们可以将Black&Scholes公式（4.7）改写如下：CBS（κ，v）=φ（d）U(-d）- U(-d）= φ（d）U(-d）- U(-d+v）. （A.12）如果d→ -∞, 应用（4.3）我们得到了(-d）- U(-d+v）=-Z-d+v-dU（z）dz~Z-d+v-dz=v-d(-证明了d+v）和（4.11）。

接下来我们假设v→ 0.通过U（·）的凸性（参见引理4.1），-U(-d+v）≤U(-d）- U(-d+v）v≤ -U(-d） 因此，为了证明（4.12），有必要证明(-d+v）~ U(-d） 。为了达到这个目的，通过一个后继论证，我们可以假设d→ D∈ R∪ {±∞}. 自从d≤vforκ≥ 0，当v→ 0必然是d∈ [-∞, 0]. 如果d=-∞, 即-D→ +∞, 然后-d+v~ -D→ +∞ 你呢(-d+v）~ U(-d） 然后是（4.3）。另一方面，ifd∈ (-∞, 0]然后你俩(-d） 你呢(-d+v）收敛到U(-d） 6=0，通过U的延续，因此U(-d） /U(-d+v）→ 1，即美国(-d+v）~ U(-d） 按要求。现在让我们证明（4.10）。假设min{d，log v}→ -∞, 请注意，对于每个子序列，我们可以提取一个子序列，沿着它→ -∞ 或v→ 然后我们可以应用（4.11）和（4.12）来证明CBS（κ，v）→ 0:o如果d→ -∞, （4.11）的右侧从上方以φ（d）为界/(-d）→ 0;o 如果κ≥ 0和v→ 0，然后是d≤五、→ 0和φ（d）U(-d） 是从上方统一边界的，因此（4.12）的右侧消失（因为v→ 0).最后，我们假设min{d，log v}6→ -∞ 并显示CBS（κ，v）6→ 0.提取一个子序列，我们有min{d，log v}≥ -M代表一些固定的M∈ (0, ∞), i、 e.两者≥ε：=e-M> 0和d≥ -M、 我们可以假设v→ 五、∈ [ε, +∞] 和d→ D∈[-M+∞]. 首先考虑情况v=+∞, i、 电动汽车→ +∞: 到了（4.8）一个人已经-d+v=-D≥五、→ +∞, 因此φ（d）U(-d+v）→ 0（因为φ是有界的），并回顾（4.2）关系（A.12）yieldsCBS（κ，v）=Φ（d）- φ（d）U(-d+v）→ Φ（d）>0。接下来考虑案例v<+∞: 自从d≤v、 我们已经成功了≤vand再次通过（A.12）获得CBS（κ，v）→ φ（d）（U）(-d）- U(-d+v）大于0。在这两种情况下，CBS（κ，v）6→ 0感谢法比奥·贝利尼、斯特凡·格霍尔德和卡洛·斯加拉的富有成效的讨论。参考文献[AP07]L.B.G.Andersen和V.V.Piterberg（2007），《随机波动模型中的瞬间爆炸》，金融学Stoch。11，第29-50页。[ACDP12]A.Andreoli，F.Caravenna，P。

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